Une évaluation expérimentale sur un lit

            fluidisé 2D de la fonction de corrélation à deux particules sera présentée. Les

            résultats pour des nombres de Reynolds particulaires compris entre 1 et 1000 montrent le

            rôle des sillages sur le comportement microscopique de la suspension. Leur conséquence

            sur l’anisotropie de la répartition macroscopique de la phase solide sera ensuite

            expliquée à partir d’un schéma montrant comment ils conduisent à la formation de chaînes

            de particules

BRUNET, Yves

JIANG, Qifeng

French

I-Revues

19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
1 
Microstructure et anisotropie macroscopique de suspensions 
hors régime de Stokes 
Q. JIANG,  Y. BRUNET  
 Université de Lille 1,  Laboratoire de Mécanique de Lille,  Cité scientifique, 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex 
Résumé : 
Une évaluation expérimentale sur une suspension 2D de la fonction de distribution de paires est présenté  
pour différents régimes hydrodynamiques caractérisés par des nombres de Reynolds particulaires variant de 
1 à 1000. Les résultats montrent une anisotropie de la microstructure due à des phénomènes de sillage. Un  
anisotropie de la répartition macroscopique de phase solide apparaît lorsque les nombres de Reynolds 
particulaire dépassent 100. Comme elle ne peut êtrepleinement expliquée à partir des fonctions de 
distribution de paires, une explication basée sur la formation de chaînes de particules perpendiculaires à 
l’écoulement moyen sera proposée. 
Abstract: 
Experimental measurements of the pair probability dstribution functions on a 2D suspension are presented 
for a range of particle Reynolds number from 1 to 1000. Results exhibit anisotropy of the microstructure due 
to wake mechanisms. An anisotropy of macroscopic reartition of solid phase appears at Reynolds number 
higher than 100. This anisotropy cannot be fully explained by the pair probability distribution functions. An 
explanation based on the formation of particle chains perpendicular to the mean flow is suggested.    
Mots clefs: lit fluidisé, microstructure, anisotropie 
1 Introduction 
Dans une suspension de particules hors du régime de Stokes, la présence de sillages rend les interactions 
hydrodynamiques fortement anisotropes. Cette anisotropie se retrouve lors de l’étude de la microstructure de 
la suspension, par exemple sur la fonction de distribution de paires. Etudier expérimentalement la 
microstructure d’une suspension nécessite de connaître à chaque instant la position de toutes les particules, 
ce qui semble actuellement possible que sur des suspensions bidimensionnelles.   
Nous présenterons ici des résultats sur la microstructu e de suspensions bidimensionnelles pour des nombres 
de Reynolds particulaires de l’ordre de l’unité et d  quelques centaines. L’influence de la microstructure sur 
la répartition de la phase solide à l’échelle macros opique sera abordée dans la dernière partie. 
2 Dispositif expérimental 
Le dispositif utilisé est une cellule de Hele-Shaw composée de deux plaques de verre parallèles d’épaisseur 
6mm, suffisamment rigides pour assurer leur parallélisme. La veine d’essais a une épaisseure 3,1mm= , une 
largeur mm100L =  et une hauteur mm600H = . Le fluide est amené par une pompe à débit variable. Il 
traverse une chambre de tranquillisation puis un injecteur composé de deux rangées de 20 jets de diamètre 
1mm disposés en quinconce. Les particules mono-dispersées au nombre de 1200N =  ont un 
diamètre mm3a2 = . Le mouvement de la phase solide est ainsi quasi-bidimensionnel le rapport entre 
l’épaisseur de la veine d’essais et le diamètre des particules étant de 1,03.  
Le nombre de Reynolds caractéristique de l’écoulement autour d’une particule ou nombre de Reynolds 
particulaire PRe  est donné par : ( )
V
P
U 2a
Re
1
=
ν − φ
 où VU  est la vitesse la vitesse débitante, et
vU
1− φ
 une 
évaluation de la vitesse interstitielle. 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
2 
Nos expériences sont réalisées avec deux types de flui de l’eau déminéralisée et une huile cosmétique. Les  
nombres d’Archimède 
( )( )3P f
r 2
f
g 2a
A
ρ − ρ
=
ρ ν
 sont respectivement 3.4 105 pour l’eau et 44,2 pour l’huile. 
g est l’accélération gravitationnelle, fρ  et pρ  les masses volumiques du fluide et des particules, ν la 
viscosité cinématique du fluide. Les expériences sont réalisées pour deux fractions volumiques de phase 
solide φ  de 0,23 et 0,20. Les valeurs correspondantes du nombre de Reynolds particulairesPRe  sont 0,63 et 
0,7 pour l’huile, 364 et 389 pour l’eau.  
Les mesures sont effectuées par traitement d’images où les particules apparaissent en noir sur un fondblanc 
uniformément éclairé (Fig.1). L’écoulement est filmé à l’aide d’une caméra vidéo numérique de résolution 
768 x 576 qui permet d’acquérir 25 images par seconde. Le diamètre d’une particule sur l’image est de 5 
pixels. Ainsi, la précision sur la position des particules est 0,6mm. 
 
Fig. 1 – Image prise pendant l’expérience, pRe 389=  et 0,20φ = pour l’huile. 
Les fractions volumiques locales et instantanées sont déduites du nombre de particules observées sur des 
volumes de section 2x2cm2. Les valeurs  moyennes résultent de moyennes d’ensemble sur 1130 images 
consécutives séparées par un intervalle de temps supérie r au temps de StokesV
U
2a
.  Un exemple de fraction 
volumique est présenté sur la Fig.2. La fraction volumique est spatialement homogène (rectangle noir sur la 
Fig. 2) pour tous les écoulements étudiés à l’exception de zones d’environ 2cm le long des parois latérales et 
juste en aval de l’injecteur.    
 
Fig. 2 – Carte de fraction volumique localeφ  pour pRe 250=  et
5
rA 3.4 10  = . Le rectangle noir délimite la 
zone où la répartition de fraction volumique est homogène. 
Les vitesses de particules mesurées par PTV (Particle Tracking Velocimetry) montrent que l’ensemble des 
particules est animé d’un mouvement moyen très lent structuré sous forme de deux tourbillons contra-rot tifs 
ascendant au centre de la veine d’essais. La vitesse moyenne des particules est en tout point de la zone 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
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homogène inférieure à 3 % de la vitesse interstitielle du fluide. Le mouvement moyen du fluide résulte de 
l’équilibre entre le poids apparent et la force de traînée exercés sur chaque particule. La force de trainée 
obtenue avec une bonne approximation par 2 2D X f r
1
F C a U
2
 = π ρ 
 
 est donc affectée de moins de 1% par le 
mouvement moyen des particules. Ainsi nous pouvons supposer que toutes les particules ont des conditios 
hydrodynamiques similaires dans cette zone. Dans la gamme de PRe considérée, les coefficients xC  sont de 
l’ordre de 10 pour l’huile et 1 pour l’eau. 
3 Microstructure 
La microstructure de la phase solide est étudiée à l’aide de la fonction de distribution de paires (fonction de 
paires):  
( ) ( )
SN
i j2
i 1 j iS
S
P r r r
N −= ≠
= δ −∑∑
  
 
Où S est la surface de zone étudiée et 
SN  : le nombre de particules dans cette zone.  
Cette fonction renseigne sur des fluctuations de répartition moyenne de phase solide dans le voisinage proche 
d’une particule arbitrairement choisie (particule test). Ces fluctuations résultent des interactions etre 
particules. A grande distance de la particule test,l’effet de ses interactions ne se fait plus sentir et la fonction 
de distribution de paires devient identiquement égale à 1. 
 0,20φ =  0,23φ =  
Eau 
5
rA 3.4 10=  
(a) (b)  
Huile  
rA 44,2=  
 
(c) (d) 
Fig. 3 – Fonction de distribution de paires avec 5rA 3.4 10=   et  0,20φ =  (a), 0,23φ =  (b) avec rA 44,2=  
et 0,20φ =  (c), 0,23φ =  (d). Les cercles et les rectangles représentent respectivement la fonction de paires 
horizontale et verticale. 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
4 
( )P r  est évaluée en comptant le nombre de particules observées dans de petits volumes répartis autour de 
particules test. La mesure résulte de moyennes d’ensemble sur environ 2300 images et 100 particules test par 
image. 
En suspensions bidimensionnelles, ( )P r  peut être exprimée en coordonnées cylindriques( )P r,θ , θ  est 
l’angle par rapport à la direction de gravité. Nous avons mesuré la fonction de distribution dans deux 
directions : 0θ =  et 2θ = π . Les volumes ont une taille de r a∆ = et 0,35 rad∆θ = , ce choix représente un 
compromis entre la résolution spatiale et la convergence statistique. La valeur maximum de r est 11a. Les 
particules test ont donc été choisies à des position  telles que la mesure de la fonction de distribution de 
paires s’effectue toujours à l’intérieur de la zone homogène.  
Nous représentons sur la Fig.3, la fonction de paires pour deux nombres de Reynolds et deux fractions 
volumiques différentes. Contrairement aux observations expérimentales [1] et numériques [2] réalisées à 
faibles nombres de Reynolds qui montrent une isotropie de la fonction de paires, nos résultats manifestent 
toujours une différence marquée entre les directions perpendiculaire et parallèle à l’écoulement moyen. 
Les fonctions de paires verticales présentent une allure similaire pour tous les paramètres : une déficience de 
densité pour 4a< , et puis un pic supérieur à 1 pour4a r 5a< < . 
Les fonctions de paires horizontales changent brutalement de comportement quand φ  passe de 0,20 à 0,23  
indépendamment du nombre de Reynolds (et/ou d’Archimède).  
Dans tous les cas les fonctions de paires horizontales présentent un pic autour de r 5a= , pour 0,23φ =  elles 
présentent un second pic au voisinage direct de la particule test. Ce second pic peut s’expliquer par des
particules en contact les unes avec les autres comme cela a déjà été observé à faible nombre de Reynolds [1] 
et à Re ~ 10 [3].  
L’ensemble de ces observations peut s’expliquer par des phénomènes de sillages déjà mentionnés par Koch 
[3] et [4] à des nombres de Reynolds de l’ordre de l’unité. Comme représentée Fig.4.  
 
Fig. 4 – Evolution de deux particules qui chutent avec l’interaction entre eux 
Une particule (1) est attirée dans le sillage de la particule test (T). La position (2) correspondant u pic 
observé sur la fonction de paires verticales. Elle est ensuite éjectée latéralement : position (3) correspondant 
au pic observé sur les fonctions de paires horizontales. Ce mécanisme a déjà été observé par Fortes [5] sur 
des particules isolées dans un fluide. 
4 Influence de la microstructure sur le comportement macroscopique 
L’anisotropie de la microstructure peut tendre à structurer la répartition de phase solide (étirement dans une 
direction privilégiée) alors que l’agitation particulaire a tendance à l’homogénéiser. Afin de vérifier 
l’influence de la microstructure sur la répartition globale de phase solide, nous avons évalué le nombre de 
particules croisées par deux segments de droite orientés parallèlement et perpendiculairement à la direction 
d’injection. Ces deux segments sont situés au centre de l’écoulement (indépendamment de la présence ou 
non d’une particule test) et ont une longueur L 20a=  nettement plus grande que la distance caractéristique 
d’influence de la microstructure (≈8a). Les valeurs présentées résultent d’une moyenne sur 40 images 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
5 
successives. Nous n’avons pas de différence entre les deux directions pour le cas derA 44,2= . 
Pour 5rA 3.4 10= , la répartition de particules est isotrope à grande concentration ( 0,38φ = ), et elle est étirée 
dans la direction du mouvement du fluide quand la fraction vomique diminue (nombre de Reynolds 
augmentant). La Fig.5 représente respectivement les nombres moyens nv  et nh  de particules croisées par le 
segment de droite de longueurL orienté verticalement et horizontalement. 
 
Fig. 5 – Nombres moyens nv  et nh  de particules  croisées en fonction de vitesse débitante normalisée par la 
vitesse de chute d’une particule seule pour 5rA 3.4 10  = . ni  : valeur correspondante pour une répartition 
isotrope. 
Les figures 3a et 3c présentent des allures similaires de la fonction de paires alors que les expériences 
correspondant au cas 3a montrent un étirement vertical de la répartition de phase solide qui n’est pas observé 
dans le cas 3c. On pourrait s’attendre à une compétition entre l’effet de la microstructure tendant à étirer la 
répartition de phase solide et l’agitation des particules tendant à homogénéiser l’ensemble. Hors les 
fluctuations de vitesses mesurées sont beaucoup plus élevées dans le cas anisotrope (eau) 
( 2 2 2u '  =1997mm /s, 2 2 2v'  =1825mm /s) que dans le cas isotrope (huile) (2 2 2u '  =86mm /s, 2 2 2v'  =61mm /s ). 
L’explication la plus plausible de l’étirement de la répartition de phase solide est la formation de chaînes de 
particules perpendiculaire à la direction principale de l’écoulement. Les observations de Fortes [5] sur des 
lits fluidisés bidimensionnels pour des nombres de Reynolds particulaires de 500 à 1000 montrent une 
structuration de l’écoulement sous forme de chaînes orientées préférentiellement perpendiculairement à 
l’écoulement moyen. Ce résultat est confirmé par les simulations numériques de Koch [3] qui constate par le 
biais de la fonction d’orientation : 
20
2
0
P(r, ) P (cos )sin  d
P (r)
P(r, )sin  d
π
π
θ θ θ θ
=
θ θ θ
∫
∫
  où ( )2P cosθ  est le second polynôme de Legendre 
que les particules tendent à s’orienter horizontalement pour des nombres de Reynolds particulaires de 10 
alors que leur répartition est parfaitement isotrope pour des nombres de Reynolds de 1. 
La présence de chaînes horizontales lorsque le nombre de Reynolds particulaire devient grand devant 1 est 
confirmée par une simple observation des photographies de la Fig.6 correspondant respectivement à un 
nombre de Reynolds particulaire de 0,7 et de 389. 
 (a)          (b) 
Fig. 6 – Images prises sur deux différents nombres d’Archimède (a) rA 44,2= , Re ~1et (b)
5
rA 3.4 10= , 
Re ~ 300avec la même fraction volumique 0, 20φ = . 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
6 
Ces résultats montrent que la nature anisotropique des interactions hydrodynamiques est susceptible 
d’influencer le comportement macroscopique d’une suspension bidimensionnelle par l’intermédiaire d’un 
processus complexe de formation de chaînes de particules. Ils sont néanmoins difficiles à étendre à des 
suspensions tridimensionnelles. Une situation bidimensionnelle ne peut rendre compte de l’ensemble des 
configurations possibles (positions respectives de particules voisines) dès que plus de 2 particules sont en jeu.   
References 
 [1] F. Rouyer, D. Lhuillier, J. Martin, and D. Salin, Phys. Fluids, 12, 958, 2000. 
 [2] A. J. C. Ladd, Phys. Fluids, 9, 491, 1997. 
 [3] X. Yin and D. L. Koch,  Phys.Fluids, 19, 093302, 2007. 
 [4] D. L. Koch, Phys. Fluids A, 5, 1141, 1993. 
 [5] A. F. Fortes, D. D. Joseph, and T. S. Lundgren, J. Fluid Mech, 177, 467, 1987. 


Microstructure et anisotropie macroscopique de suspensions hors régime

            de Stokes

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/36702/1/85.pdf

Microstructure et anisotropie macroscopique de suspensions hors régime de Stokes

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