L’estimation des forces d’impact par des
            mesures directes, pour des structures qui sont dans des conditions réelles
            d’utilisation, est en pratique très difficile voire même impossible. Pour répondre à ce
            besoin il est souvent fait recours aux méthodes inverses, qui correspondent à la
            démarche inverse du problème direct : des réponses mesurées sur une structure donnée
            sont exploitées pour tenter d’en identifier les causes, qui en sont à l’origine.
            L'approche conduit à créer des fonctions de transfert entre les points d'impact et de
            mesure sur la structure que ce soit expérimentalement ou numériquement, à mesurer les
            réponses, et à reconstruire l’effort par déconvolution du signal. Il est connu que ce
            type de problème est souvent mal posé, et que les solutions trouvées peuvent ne pas être
            représentatives du problème réel, du fait de bruits de mesures. Pour obtenir une
            solution stable avec un sens physique, nous utilisons l’une des méthodes classiques de
            régularisation, tels que Tikhonov qui semble la plus appropriée. Le problème de
            caractérisation de l'impact devient plus complexe lorsque le point d’impact est inconnu,
            par conséquent, nous devons créer les fonctions de transfert entre plusieurs points
            d'impact et de mesure, et minimiser la fonctionnelle permettant dans un premier temps de
            localiser l’impact, et dans un second temps d’identifier la force d’impact

BENNANI A.

BOUKRIA Z.

LIMAM A.

PERROTIN P.

French

I-Revues

19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  1 
Identification et localisation des impacts par analyse inverse 
 - Poutre et plaque- 
Z. Boukria a, P. Perrotina,  A.Bennanib, A. Limamc 
a-LOCIE, CNRS FRE3220-Université de Savoie 
 Polytech’ Savoie, 73376 Le Bourget du Lac Cedex, France 
b-Université de Lyon, France 
Université de Lyon1, INRETS, LBMC, UMR-T9406 
c-Université de Lyon,  INSA Lyon, LGCIE 
 Bât Coulomb, 20 Avenue Einstein-69621 Villeurbanne cedex, France 
Résumé : L’estimation des forces d’impact par des mesures directes, pour des structures qui sont dans 
des conditions réelles d’utilisation, est en pratique très difficile voire même impossible. Pour répondre à ce 
besoin il est souvent fait recours aux méthodes inverses, qui correspondent à la démarche inverse du 
problème direct : des réponses mesurées sur une structure donnée sont exploitées  pour tenter d’en idet fi r 
les causes, qui en sont à l’origine. L'approche conduit à créer des fonctions de transfert entre les points 
d'impact et de mesure sur la structure que ce soit expérimentalement ou numériquement, à mesurer les 
réponses, et à reconstruire l’effort par déconvoluti n du signal. Il est connu que ce type de problème est 
souvent mal posé, et que les solutions trouvées peuvent ne pas être représentatives du problème réel, du fait 
de bruits de mesures. Pour obtenir une solution stable avec un sens physique, nous utilisons l’une des 
méthodes classiques de régularisation, tels que Tikhonov qui semble la plus appropriée. Le problème de 
caractérisation de l'impact devient plus complexe lorsque le point d’impact est inconnu, par conséquent, 
nous devons créer les fonctions de transfert entre plusieurs  points  d'impact et de mesure, et minimiser la 
fonctionnelle permettant dans un premier temps de localiser l’impact, et dans un second temps d’identifier la 
force d’impact. 
Abstract :  The estimate load by direct measures for structures that are in actual use is in practice very 
difficult or even impossible. For such problems, and in the case of geometry and simple boundary conditi s, 
inverse methods can estimate the effort. The problem of identifying impact force on mechanical structures is 
the inverse of the direct problem: the use of measured responses on a given structure to try to identify the 
causes, i.e. the impact forces that are at the origin. The approach is to create the transfer functions between 
impact and measure points on structure experimentally or numerically, to measure responses, and to find the 
load by deconvolution of the signal. It is known that this type of problem is ill posed due to noise measures. 
To obtain a stable solution with a physical sense, w  must stabilize it either by filtering noise, or by
conventional methods of regulation, such as Tikhonov. The problem of characterization impact becomes 
more complex when impact location is unknown, hence we need to create the transfer functions between 
several impact  and measuring point, and minimize the objective function, which allow in the first time to 
locate impact, and a second time to identify force impact history. 
Mots clefs : problème inverse, identification, localisation, fonctions de transfert, poutre, plaque 
1 Introduction 
La caractérisation (localisation et identification) des forces d’impact appliquées sur une structure en situation 
réelle est l'un des problèmes inverses les plus importants qui peut s’avérer très utile lors de phases de retour 
d’expériences sur l’évaluation de sollicitations. La technique d'identification des forces d'impact en utilisant 
des réponses mesurées sur une structure a été proposée ar de nombreux chercheurs. Doyle [1,2,3,4] propose 
une méthode dans une série d'études visant à identif er la force de l'impact sur des structures simples (poutre 
et plaque) soumises à un impact. Les relations entre les déformations mesurées et  la force appliquée ont été 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  2 
obtenues à partir de la théorie classique des poutres e  des plaques : les techniques dans le domaine temporel 
et fréquentiel ont ensuite été utilisées pour reconstruire l’effort d’impact.  Yen et Wu [5], ont mis au point 
une méthode permettant de localiser et d'identifier la force de l'impact à partir de déformations enregistrées 
pour un certain nombre de points sur une plaque rectangulaire. Une fonctionnelle  a été développé à partir de 
plusieurs  mesures d’impact et de déformation entre différents couples (point de mesure, point d’impact). La 
localisation de l’impact revient à minimiser cette fonctionnelle, et la force d’impact est obtenue en 
minimisant la fonction d’erreur entre la force mesurée (ou calculée), et celle estimée. 
2 Identification des impacts par analyse inverse (poutre et plaque)  
2.1 Approche 
Dans le cas d’une poutre ou d’une plaque, on peut utiliser une approche basée sur les fonctions de transfert 
entre point d’impact et point de mesure pour reconstruire l’effort. Ces fonctions de transfert peuvent être 
déterminées analytiquement [6], expérimentalement [7] ou numériquement. Une détermination 
expérimentale à l’aide d’essais de vibration ou d’impacts a l’avantage d’être applicable à tous types de 
structures, même complexes et tient compte des conditions aux limites réelles. La mesure de la réponse de la 
structure lors d’un choc peut être une accélération, un déplacement ou une déformation. Une fois la foncti n 
de transfert construite et la réponse mesurée, il rste à déconvoluer les signaux, dans le domaine tempor l ou 
fréquentiel. Dans le domaine temporel, la solution de l’équation de mouvement d’une se ramène après 
discrétisation à la résolution du système linéaire suivant :   ( ) ( )j ij iE H F =     ...(1) 
       
( ) 0 0
( 2 ) ( )
( 3 ) ( 2 )
0
( ) (( 1) ) ( )
ij
ij ij
ij ijij
ij ij ij
H t
H t H t
H t H tH
H n t H n t H t
∆ 
 ∆ ∆ 
 ∆ ∆  =   
 
 ∆ − ∆ ∆ 
⋱
⋱ ⋱
⋮ ⋮ ⋱ ⋱
… …
  ...(2) 
( )jE représente la réponse mesurée au point j, ( )iF représente la force d’impact appliquée au point i. 
L’équation (1) représente le problème direct. Dans u  problème inverse l’inconnue est( )iF , l’inversion de 
l’équation (1) n’est pas simple car la matrice [Hij] est souvent mal conditionnée, ce qui peut conduire à une 
solution instable et n’ayant pas de sens physique. Il faut donc régulariser le problème pour obtenir une 
solution physiquement acceptable. Une des hypothèses qu  nous pouvons faire est la contrainte de positivité 
de la solution : la force obtenue étant une force de choc, elle est toujours positive. Il est connu que ce type de 
problème est mal posé [8]  et très instable ce qui conduit à une forte sensibilité de la réponse aux bruits de 
mesure. Pour obtenir une solution stable avec un sens physique, nous devons lisser la solution en utilisant 
une méthode  de régularisation. 
2.2  Méthode de régularisation  
La méthode de régularisation que nous allons utiliser est la méthode de Tikhonov [8], qui procède par 
optimisation d'une fonction d'erreur construite au départ à partir de deux termes. 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  3 
              
{ }
{ } [ ]{ } 2 2min
f
e E H f fβ= − +    … (4) 
Le premier terme représente l'erreur entre les réponses mesurées et les réponses calculées à partir de la force 
estimée. Le second, représentant la norme du vecteur force pondérée par un paramètre β  dit de 
régularisation, et qui a pour objet de rendre la méthode moins sensible aux incertitudes de mesure.         
La complexité de la méthode de régularisation réside dans la détermination d'une valeur optimale du 
paramètre de régularisation β  qui lui assure une précision et une robustesse suffisantes. Le paramètre 
optimal doit permettre de minimiser l'erreur entre les forces identifiées et les forces réelles or celles-ci 
constituent l'inconnue du problème et d'autre part, β  dépend de paramètres tels que le type ou le niveau d  
bruits entachant les réponses mesurées qu'il est délicat de définir avec précision. 
Dans notre cas, nous appliquons la méthode L-Curve qui permet de déterminer le paramètre de régularisation 
de manière graphique. Développée par Hansen [9] pour la régularisation au sens de Tikhonov, elle est basée 
sur le principe de recherche de l'optimum d'une foncti nelle composée de deux termes, un résidu appelé RN 
(Residual Norm) et la norme de la solution, désignée par SN (Semi-Norm). 
           { } [ ]{ } 2RN E H f= −   … (5)             { } 2SN f=    … (6) 
La méthode consiste à représenter graphiquement l'évolution de SN en fonction de RN. Le paramètre de 
régularisation optimal correspond alors au point de courbure maximale. 
2.3 Montage expérimental 
Le dispositif expérimental est composé : 
- d’une plaque en aluminium encastrée sur son pourtour dans un montage circulaire, 
- d’une poutre an aluminium encastrée à une extrémié. 
Nous avons effectué des essais d’impacts en différents points. Les dispositifs permettent d’enregistrer d  
façon synchronisée les efforts appliqués et les déformations induites. 
 
 
FIG. 1 – Montages expérimentaux – Identification 
 
 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  4 
2.4 Résultats  
 
 
FIG. 2 – Résultats -Identification 
On constate que si nous utilisons la fonction de transfert et une déformation mesurée sans traitement, l’ ffort 
reconstruit est perturbé et peu très rapidement diverger. Par contre, en utilisant la méthode de Tikhonov, qui 
est l’une des méthodes les plus utilisées pour régulariser les problèmes inverses, avec la déterminatio  du 
paramètre de régularisation β utilisant la méthode L-Curve, il est possible d’obtenir un résultat de meilleure 
qualité. Expérimentalement on utilise la même démarche pour identifier l’impact dans le cas d’une poutre ou 
d’une plaque. 
 Pour montrer la nécessité d’avoir un paramètre optimal de régularisation, nous avons comparé une solution 
exacte, et une solution régularisée pour trois valeur de β, qui correspond a une sous régularisation, une 
régularisation correct, et une sur régularisation, et on a constaté bien que la solution avec le bon paramètre de 
régularisation est la plus proche de la solution. 
 
3 Caractérisation (identification et localisation) des impacts  
3.1 Méthode 
Le problème de caractérisation des impacts sur une structure devient plus complexe lorsque le point d’impact 
est inconnu. Pour résoudre ce problème nous utilisons une méthode [10] basée sur la minimisation d’une 
fonctionnelle créée à partir des fonctions de transfert entre les points d’impact formant un maillage sur la 
structure, et plusieurs points de mesure (au minimum 3 capteurs [11]). 
On appliquant la technique d’identification des impacts à partir de plusieurs capteurs, nous obtenons la 
Création de la fonction 
de transfert 
Reconstruction de l’effort avec et sans régularisation 
Effort d’impact 
enregistré 
Mesure de 
déformation 
Réponse 
fréquentielle 
Effort sans 
régularisation 
Effort avec 
régularisation 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  5 
fonctionnelle suivantes : 
    
{ }
{ } [ ]{ } 2 2
1
min
m
i i
f i
F H f fε β
=
= − +∑
ɶ
ɶ ɶɶ ... (7) 
{ }iεɶ  est la déformation mesurée par le capteur i situé au point (x0i,y0i,z0i)  
[ ]iH  est la fonction de transfert reliant { }iεɶ  et { }fɶ   , β  est le paramètre de régularisation. 
Pour localiser l’impact, on suppose un effort { }efɶ  appliqué en un point sur le grillage de la structure, qu’on 
va calculer à partir de la formule (8) et la déformation mesurée{ }iεɶ . On peut donc construire un vecteur 
d’erreur entre les déformations mesurées et estimées : 
         
[ ]{ } { }
{ }
2
2
1
m i e i
i i
H f
E
ε
ε=
−
=∑
ɶ ɶ
ɶ
   ... (8)    
Le point d’impact est obtenu en minimisant la fonctionnelle E. Dans le processus de minimisation, force 
{ }efɶ  est recalculée pour chaque point d’impact supposé à l’aide de l’équation (7). Une fois le point d’impact 
localisé, la force d’impact est reconstruite par l’équation (7). 
3.2 Résultats 
Nous avons effectué un quadrillage sur la plaque et la poutre, et nous avons enregistré les déformations sur 
plusieurs jauges de déformations, après impact sur ous les points du quadrillage, ce qui nous a permit de 
créer les fonctions de transfert. 
 
 
FIG. 2 – Résultats – Localisation 
Après traitement des données sous Matlab, nous avons pu obtenir la position du point  d’impact pour  
plusieurs impacts sur les points du quadrillage de la structure en minimisant la fonctionnelle qui fait 
intervenir  la réponse enregistré (déformations) et les fonctions de transfert calculées. 
3.3 Conclusion 
A B C D E 
J1 
J2 J3 
J4 
A 
B 
C 
D 
E F 
G 
H 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  6 
Dans cette étude nous avons montré qu’il est possible de reconstruire et localiser les force d’impact  
expérimentalement, pour des structure simple de typ poutre et plaque, avec un matériau linéaire, en utilisant 
les réponses mesurés, et les fonctions de transfert. L’utilisation de la méthode de régularisation de Tikhonov, 
et la méthode L-curve pour le choix optimal du paramètre de régulation permet d’obtenir de bons résultats. 
Les fonctions de transfert entre différent point d’impact formant un quadrillage sur la structure, et les 
mesures enregistrées sur différents capteurs, permett nt de localiser un point d’impact sur le quadrillage, et 
ainsi pouvoir reconstruire la force d’impact. 
References 
[1] J. F. Doyle, An experimental method for determining the dynamic contact law, Experimental Mechanics 
24, no. 4, 265-270, 1984 
[2] J. F. Doyle, Further developments in determining the dynamic contact law, Experimental Mechanics, 24, 
no. 4, 265-270, 1984 
[3] J. F. Doyle, Determining the contact force during the transverse impact of plates Experimental Mechani s, 
27, no. 1, 68-72, 1987 
[4] J. F. Doyle, Experimentally determining the contact force during the transverse impact of an orthopic      
plate, Journal of Sound and Vibration, 118, no. 3, 441-448, 1987 
[5] C. S. Yen and E. Wu, On the inverse problem of rectangular plates subjected to elastic impact, 
part II: Experimental verification end further applications, Journal of Applied Mechanics 62, no. 
3, 699-705, 1995. 
[6] M. Géradin and D. Rixen, Théorie des vibrations: application à la dynamique des structures, 
MASSON, (Paris), 1993 
[7] E. Jacquelin, A.Bennani and P.Hamelin, Force reconstruction: analysis and regularization of a 
deconvolution problem, Journal of Sound and Vibration, 265, 81-107, 2003. 
[8] A. N. Tikhonov, V. Y. Arsenin, Solutions of ill-posed problems, Wiley, 1977. 
[9] P. C. Hansen , The L-curve and its use in the numerical treatment of inverse problems, Tech. 
Report, IMM-REP 99-15, Dept. of Math. Model. Tech. Univ. of Denmark, 1999 
[10] N. HU and H.FUKUNAGA, A new method for health monitor ng of composite structures   
through identification of impact force, Journal of Advanced Science, 17, no.1&2, 82-89,2005. 
[11] A. Salehian, identification the location of a sudden damage in composite laminates using       
wavelet approach, rapport de thèse, Worcester Polytechnic Institute, Juin 2003. 


Identification et localisation des impacts par analyse inverse - Poutre
            et plaque

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/36683/1/296.pdf

Identification et localisation des impacts par analyse inverse - Poutre et plaque

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