Cette étude s’intéresse au contrôle de la

            dynamique des structures comportant des défauts. Le changement de la dynamique de la

            structure fissurée et de ses paramètres modaux est examiné à partir d’une modélisation

            éléments finis d’un treillis comportant une fissure. Le contrôle actif de la structure

            fissurée est ensuite réalisé par l’application d’un algorithme de contrôle Linéaire

            Quadratique et de composants de contrôles positionnés de façon optimale sur les modes

            les plus sensibles à la fissure à l’aide du critère de Hac et Liu

CHOMETTE, Baptiste

SINOU, Jean-Jacques

French

I-Revues

19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
 
  
 
1
Surveillance vibratoire et contrôle actif d’une structure de 
type treillis comportant une fissure 
B. CHOMETTE   et  J-J. SINOU  
Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes CNRS UMR5513, Ecole Centrale de Lyon, 
36 av. Guy de Collongue 69134 Ecully cedex 
 
Résumé : 
Cette étude s’intéresse au contrôle de la dynamique des structures comportant des défauts. Le changement 
de la dynamique de la structure fissurée et de ses paramètres modaux est examiné à partir d’une 
modélisation éléments finis d’un treillis comportant u e fissure. Le contrôle actif de la structure fissurée est 
ensuite réalisé par l’application d’un algorithme de contrôle Linéaire Quadratique et de composants de 
contrôles positionnés de façon optimale sur les modes les plus sensibles à la fissure à l’aide du critère de 
Hac et Liu.   
Abstract : 
Cracks can modify structural dynamic and modal parameters of mechanical systems. Active control can be 
used to limit cracks incidence on structures. This paper presents the active control (Linear Quadratic 
algorithm) of a cracked truss modelised by finite el ments model. Control components are optimaly located 
using Hac and Liu Criterion applied on the most sensible modes to the crack. 
Mots clefs: défaut, structure treillis, dynamique, contrôle, identification 
1 Introduction 
La surveillance vibratoire dans les structures mécaniques a fait l’objet de nombreuses recherches lors de ces 
dernières années [1-4]. L’objectif de telles études est de permettre une détection des défauts en amont ava t 
une cassure de pièce. Ces approches ne permettent pas ce endant de palier à la modification et à la variation 
du comportement dynamique des structures dues à la présence du défaut. Cette étude s’intéresse donc au 
contrôle de la dynamique des structures comportant un défaut, plus particulièrement à une structure de typ  
treillis avec une fissure. La stratégie de contrôle colocalisé [5] est l’une des solutions pour contrôler la 
dynamique d’une structure fissurée. L’application d’un algorithme Linéaire Quadratique (LQ) permet de 
cibler le contrôle sur les modes souhaités afin de ré uire l’amplitude des modes les plus sensibles à a fissure. 
Le choix du nœud d’application du contrôle est effectué en utilisant le critère de Hac et Liu [6] appliqué 
uniquement aux modes précédents. 
2 Modèle d’un treillis fissuré 
Le système considéré est un treillis discrétisé en poutres éléments de Timoshenko. Le treillis et la fissure 
étudiés sont présentés sur les FIG 1(a.) et (b.). 
L’équation de la dynamique globale d’un treillis fisuré peut s’écrire sous la forme 
 ( ) ,+ + − =crackMx Cx K K x Fɺɺ ɺ  (1) 
où M , C et K sont les matrices de masse, d’amortissement visqueux et de raideur de la structure sans 
fissure. crackK  est la matrice de raideur due à la fissure obtenue à partir d’un calcul de type éléments finis 
standard. La fissure transversale est modélisée par une éduction du moment d’inertie I∆ de l’élément fissuré 
(Mayes et al. 1984 [3]) 
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2
 
( ) ( )
( ) ( )
2
20
1
1 1
R
FI l ,
RI F
l
− ν µ∆ =
+ − ν µ
 (2) 
où 0, , , ,I R l ν µ  et ( )F µ définissent le moment d’inertie, le rayon de l’arbre, la longueur de l’élément fissuré, 
le coefficient de Poisson, la profondeur de fissure adimensionnée et une fonction variant suivant la taille de 
la fissure et validée expérimentalement. Le modèle e fissure proposé prend en compte l’orientation de la 
fissure par rapport aux axes principaux Y et Z et l’influence de la gravité qui peut induire une fermetur  
partielle de cette dernière [7]. 
Ainsi , la contribution du défaut s’obtient à partir du nouveau centroide (du à la présence de la fissure) 
 ( )3 23 22 2µ-µ ,
3
X R
A
=  (3) 
et l’aire modifiée de l’élément fissure 
 ( ) ( )( )2 2 11 µ 2µ-µ cos 1 µA R ,−= − + −  (4) 
les moments d’inertie suivant les axes  principaux par rapport au front de fissure sont définis par 
 I Iη η= ɶ  (5) 
et 
 2I I AX ,ξ ξ= −ɶ  (6) 
R  et µ  correspondant au rayon de l’élément et à la profondeur de fissure adimensionnalisée (i.e. µ h R= ). 
Après calculs, les moments d’inertie I ηɶ and I ξɶ  (selon les axes η  and ξ ) sont donnés par 
 ( )( ) ( )( )42 2 2 11 µ 1 4µ 2µ 2µ-µ cos 1 µ4A
R
I Y dA ,−η = = − − + + −∫ɶ  (7) 
 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )4 3 22 4 2 2 2 1 22 11 µ 2µ-µ 1 µ 1 4µ 2µ 2µ-µ sin 2µ-µ4 3 4A RI X dA R .−ξ π= = + − + − − + +∫ɶ  (8) 
Finalement, l’assouplissement ,crack
η ξK  de la matrice de raideur du fait de la fissure (pour un élément de 
longueur l  avec un module d’Young E), suivant les degrés de liberté  [ ]1 1 1 1 2 2 2 2u v u vθ ψ θ ψ  
s’écrit sous la forme 
 
2 2
2 2
3
2
2
12 0 0 6 12 0 0 6
12 6 0 0 12 6 0
4 0 0 6 2 0
4 6 0 0 2
12 0 0 6
12 6 0
4 0
4
,
crack
I lI I lI
I lI I lI
l I lI l I
l I lI l IE
.
I lIl
I lI
Sym. l I
l I
η η η η
ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ
η η ηη ξ
η η
ξ ξ
ξ
η
− 
 − − − 
 
 − =  −
 
 
 
 
  
K  (9) 
Ainsi, la matrice de raideur crackK  suivant  les axes principaux Y et Z est définie par 
 ( ) ( )T T T T ,crack crackdiag diagη ξ= × ×K P P P P K PPPP  (10) 
avec 
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3
 
cos sin
,
sin cos
χ χ 
=  − χ χ 
P  (11) 
où χ  définit l’angle entre le front de fissure et l’axe principal vertical Z. 
De plus, la contribution de la présence de la fissure sur la traction compression de l’élément fissuré est 
modélisée par un assouplissement local. La matrice de raideur suivant les degrés de liberté [ ]1 2w w  pour 
l’élément fissuré prend alors la forme  
 
1 1
1 1
T / C
crack
EA
,
l
− 
=  − 
K  (12) 
avec A  l’aire totale de l’élément fissuré. 
 
FIG 1 – Treillis étudié et section fissurée. 
3 Définition du contrôleur 
L’application de techniques de contrôle actif est l’une des solutions pour réduire le niveau de vibraton du 
treillis fissuré. Le choix d’un algorithme de contrôle Linéaire Quadratique (LQ) basé sur une matrice de 
pondération modale permet de cibler le contrôle sur les modes les plus sensibles à la présence d’une fissure. 
La dynamique du treillis soumis à une perturbation extérieure peut s’écrire sous la forme 
 ,
u w= + +
 =
x Ax B G
y Cx
ɺ
 (13) 
où y  est le vecteur des sorties, w la perturbation extérieure,x est le vecteur d’état du système et u  la 
commande. A est la matrice de la dynamique du système libre, B  et C sont respectivement les matrices 
actionneur et capteur, G  est la matrice de perturbation. Les matrices d’état du système peuvent s’écrire en 
fonction des paramètres modaux pour un modèle à n  modes sous la forme 
 
( )
( ) ( ) , , , , ,- - 2
i
i i i
diag
diag diag
 ω ω     
 = = = = =        ω ξ ω       
n,n n,1 n,1 c
1,na f
0 0 0 q
A B G C Π 0 x
Π Π qɺ
 (14) 
où iω et iξ  sont respectivement les pulsations propres et les facteurs d’amortissement modaux calculés à 
partir d’un amortissement de Rayleigh. aΠ , cΠ et fΠ  sont respectivement les vecteurs actionneurs, capteur 
et de perturbation projetés dans la base modale, définis par 
 , , ,= = =a t a c t c f t fΠ φ K Π φ K Π φ K  (15) 
où aK , cK  et fK sont respectivement les vecteurs de répartition des degrés de liberté actionneur, capteur et 
de perturbation et φ  la matrice des vecteurs propres. 
La commande optimale est définie telle que 
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4
 ,u = −Kx  (16) 
où K est la matrice des gains de contrôle obtenue à partir de la minimisation de la fonctionnelle 
 ( )
0
1
,
2
J u u dt
∞
= ∫
t tx Qx + R  (17) 
où Q et R sont les matrices de pondération sur l’état et sur la commande. La matrice de pondération sur l’état 
peut s’écrire sous la forme 
 ,
 
= γ  
 
sup n,n
n,n inf
Q 0
Q
0 Q
 (18) 
où γ  est un terme de pondération global s’appliquant sur to t les modes. supQ  et infQ  sont respectivement 
les matrices de pondération en raideur et en amortissement. Dans le cas de l’amortissement actif, le terme 
supQ  est prépondérant. Dans le cas d’un unique actionneur, la matrice R  est réduite à un scalaire. 
Le vecteur d’état du système en boucle ouverte peut s’écrire en variable de Laplace avec (13) 
 ( ) 1 ,s w−= × −x Id A G  (19) 
et en boucle fermée avec (16) 
 ( ) 1 .s w−= × −x Id A + BK G  (20) 
La commande du système en boucle fermée s’écrit alos vec (16) et (20) 
 ( ) 1 .u s w−= − × −K Id A + BK G  (21) 
La fonction de transfert du système en boucle ouverte ntre la perturbation w  et le vecteur des sorties y  
peut s’écrire avec (20) et (13) 
 ( ) 1 ,BOH s −= × −C Id A G  (22) 
et en boucle fermée avec (21) et (13) 
 ( ) 1 .BFH s −= × −C Id A + BK G  (23) 
Le choix du nœud d’application du contrôlé colocalisé, c’est à dire le positionnement optimal des 
composants de contrôle est déterminé en utilisant le critère de Hac et Liu appliqué au système ( ), ,A B C  
précédemment défini 
 
22
2
1 1
,
mm
m
i i
i i
PI
= =
 = λ λ 
 
∑ ∏  (24) 
où iλ  sont les valeurs propres de la matrice du grammien de contrôlabilité et m  le nombre de modes 
contrôlés sur lesquels s’effectue l’optimisation. 
4 Application du contrôle LQ 
Le contrôle LQ est appliqué au treillis dans le casd’une fissure sur l’élément 44 avec 0,5µ = et une 
orientation 180χ = ° . Une perturbation unitaire est appliquée sur le nœud 85. La FIG 2 présente les fonctions 
de transfert identifiées par curve fitting entre la perturbation suivant Y appliquée au nœud 85 et le 
déplacement mesuré au nœud 100 suivant Y pour une fissure de caractéristique 0,5µ = et une variation de 
l’orientation de la fissure 0χ =  () à 180° (). La rotation de la fissure induit une variation de la réponse 
fréquentielle du treillis et une variation des paramètres modaux, particulièrement de l’amplitude modale pour 
le mode 13. Les modes 13 à 2578 Hz et 16 à 3570 Hz sont les modes les plus influencés par la rotation de la 
fissure. 
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5
Le positionnement optimal est déterminé en utilisant le critère de Hac et Liu défini par (24). Les FIG 3(a.) et 
(b.) présentent les valeurs du critère de Hac et Liu aux différents nœuds du treillis en prenant en compte 
l’ensemble des modes ( 20m= ) et en prenant uniquement en compte les modes les plus sensibles à la fissure 
( 2m= ). Le critère de positionnement est maximum sur le nœud 96 dans le premier cas et sur les nœuds 85 
et 64 dans le second cas. Le nœud 85 étant le nœud d’application de la perturbation, le nœud 64 sera rtenu 
pour l’application du contrôle. 
La FIG 3(c.) présente les fonctions de transfert du reillis non contrôlé et contrôlé calculées avec (22) et (23) 
pour un contrôle colocalisé sur le nœud 96 et sur le nœud 64 avec une pondération 810γ = . Dans le premier 
cas, le contrôle ne permet pas la réduction du niveau de vibration sur les modes 13 et 16 et augmente l  
niveau du mode 13. Le positionnement obtenu en prenant en compte l’ensemble des modes ne permet donc 
pas de contrôler les modes souhaités. Dans le second cas, le contrôle permet une réduction effective du 
niveau de vibration sur les modes 13 et 16. Le positionnement obtenu en prenant en compte uniquement les 
modes souhaités est donc validé. 
La commande u, présentée sur la FIG 4(a.), est calculée avec (21) pour un coefficient de pondération variant 
de 0γ =  à 1010γ =  avec inf sup n,nQ = Q = Id . Le choix du nœud 64 permettant déjà de cibler le contrôle sur 
les modes 13 et 16, seul le coefficient global γ est utilisé pour pondérer l’énergie nécessaire au contrôle. La 
fonction de transfert entre le déplacement suivant Y mesuré au nœud 64 et la perturbation appliquée au nœud 
85 est présentée sur la FIG 4(b.) pour le treillis non contrôlé () et contrôlé (--). La fonction de transfert 
entre le déplacement suivant Y mesuré au nœud 100 et la p rturbation appliquée au nœud 85 est présentée 
sur la FIG 4(c.) pour le treillis non contrôlé () et contrôlé (--). 
L’application du contrôle suivant le positionnement op imal obtenu par l’application du critère de Hac et Liu 
permet une réduction du niveau de vibration sur les modes 13 et 16 les plus sensibles à la fissure comme 
présenté sur les FIG 4(d.) et (e.). Le niveau de vibration des modes 13 et 16 est réduit par un facteur 5 pour 
une pondération  1010γ = . 
 
FIG 2 – Fonctions de transfert identifiées par curve fitting entre la perturbation suivant Y appliquée au nœud 
85 et le déplacement mesuré au nœud 100 suivant Y pour une fissure de caractéristique 0,5µ = et une 
variation de l’orientation 0 180χ = °… ( … ). 
 
FIG 3 – Valeurs du critère de Hac et Liu pour 20m=  (a.) et 2m=  (b.) et fonctions de transfert du treillis 
non contrôlé () et contrôlé avec un contrôle colocalisé sur les nœuds 96 (---) et 64 (⋅⋅⋅⋅). 
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6
 
FIG 4 – Commandes et fonctions de transfert du treillis non contrôlé (--) et contrôlé pour différentes 
pondérations, 100 10γ = … ( … ). 
5 Conclusion 
L’application de techniques de contrôle actif, algorithme LQ, est une solution pour réduire le niveau de 
vibration sur les structures de type treillis comportant un défaut. Le positionnement optimal des composants 
de contrôle à l’aide du critère de Hac et Liu appliqué aux modes les plus sensibles au défaut permet 
également de cibler le contrôle sur ces modes et ainsi d’optimiser l’énergie nécessaire au contrôle. 
Remerciements 
Les auteurs tiennent à remercier l’Agence Nationale de la Recherche via le programme « Dynamique 
Robuste des Systèmes Mécaniques Non linéaires » Jeunes Chercheurs ANR-076-JCJC-0059-01-CSD 2. 
Références 
[1] Friswell M.I. et Penny J.E.T., Crack Modelling for Structural Health Monitoring, International Journal 
of Structural Health Monitoring, 1(2), 139-148, 200. 
[2] Gasch R., A Survey of the Dynamic Behaviour of a Simple Rotating Shaft with a Transverse Crack, 
Journal of Sound and Vibration, 160(2), 313-332, 1993. 
[3] Mayes I.W. et Davies W.G.R, Analysis of the Response of a Multi-Rotor-Bearing System Containing a 
Transverse Crack in a Rotor, Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design, 106, 
139-145, 1984. 
[4] Wauer J., Dynamics of Cracked Rotors: Literature Survey, Applied Mechanics Review, 43, 13-17, 
1990. 
[5] Preumont A., Vibration control of Actives Struct res: An introduction, second ed., Kluwer Academic, 
Dordrecht, 2002. 
[6] Hac A. et Liu L., Sensor and actuator location in motion control of flexible structures, Journal of Sound 
and Vibration, 167, 239-261, 1993. 
[7] Sinou J-J. et Lees A.W., The influence of cracks in rotating shafts, Journal of Sound and Vibration, 
285, 1015-1037, 2005. 


Surveillance vibratoire et contrôle actif d’une structure de type

            treillis comportant une fissure

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/37018/1/1116.pdf

Surveillance vibratoire et contrôle actif d’une structure de type treillis comportant une fissure

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