Nous proposons d’examiner les apports des

            techniques de programmation par contrainte en conception et notamment en optimisation de

            composants mécaniques. Nous présentons le cadre théorique de modélisation d’un problème

            de satisfaction de contraintes, les principes de résolution et de recherche d’optimum

            ainsi que leur utilisation potentielle en ingénierie de produit. Un exemple concret

            d’application au dimensionnement optimal d’une transmission de puissance par adhérence

            est finalement traité

LAFON, Pascal

YVARS, Pierre-Alain

ZIMMER, Laurent

French

I-Revues

19
ème
 Congrès Français de Mécanique                                                                                       Marseille, 24-28 août 2009 
  1
Optimisation multicritère de composants mécaniques à l’aide 
d’une approche par satisfaction de contraintes 
P. A. YVARSa, P. LAFONb, L. ZIMMERc  
a. Institut Supérieur de Mécanique de Paris (SupMeca), LISMMA, 3 rue Fernand Hainaut, 93407 Saint 
Ouen Cedex (France)(payvars@supmeca.fr) 
b. Institut Charles Delaunay, LASMIS, UTT, 12 rue Marie Curie, 10010 
Troyes(France)(pascal.lafon@utt.fr) 
c. Dassault Aviation, 78, Quai Marcel Dassault , 92252 Saint Cloud (France)(laurent.zimmer@dassault-
aviation.fr) 
 
Résumé : 
Nous proposons d’examiner les apports des techniques de programmation par contrainte en conception et 
notamment en optimisation de composants mécaniques. Nous présentons le cadre théorique de modélisation 
d’un problème de satisfaction de contraintes, les principes de résolution et de recherche d’optimum ainsi 
que leur utilisation potentielle en ingénierie de produit. Un exemple concret d’application au 
dimensionnement optimal d’une transmission de puissance par adhérence est finalement traité 
Abstract : 
This article deals with Constraint Satisfaction methods applied to the optimization of mechanical 
components. We present the CSP model, its associated resolution and optimization principles and the 
potential usage in engineering design. An example of resolution is given on the monocriterion and 
bicriterion optimization of a bolt coupling mechanism. 
Mots clefs : CSP, optimisation multicritère, système mécanique 
1 Introduction 
L’activité de conception de produit mécaniques et de systèmes est aujourd’hui plongée dans un contexte de 
conception intégré et collaboratif. Elle nécessite un outillage adapté tout au long du processus de conception. 
Nous nous intéressons ici aux problèmes de dimensionnement optimal de composants et de systèmes et 
proposons d’outiller cette étape à l’aide de techniques de satisfaction de contraintes. 
Après avoir présenté dans un premier temps les Problèmes de satisfaction de contraintes (Constraint 
Satisfaction Problem ou CSP) ainsi que les principes de résolution associés, nous envisageons leur 
application au cas du dimensionnement optimal multicritère d’un système de transmission de puissance par 
adhérence. L’exemple est entièrement traité et les résultats numériques sont détaillés et commentés. 
2 Problème de satisfaction de contraintes 
2.1 Les CSP 
L’approche par contrainte se base sur la notion dite de Constraint Satisfaction Problem ou CSP. 
Un CSP est défini par un triplet (X, D, C) tel que [1]: 
– X = {x1, x2, x3, ..., xn} est un ensemble fini de variables dites variables contraintes. n étant le nombre entier 
de variables du problème à résoudre. 
– D = {d1, d2, d3, ..., dn} est un ensemble fini de domaines de valeurs des variables de X tel que :  
   1, … , 	
 ,     
– C = {c1, c2, c3, ..., cp} est un ensemble fini de contraintes. p étant un entier quelconque, représentant le 
nombre de contraintes du problème.  
   1, … , 
, !     /     
19
ème
 Congrès Français de Mécanique                                                                               
 
Résoudre un CSP revient à instancier chacune des variables de 
contraintes du problème. 
On appelle ici contrainte, n’importe quel type de relation  mathématique (linéaire, quadratique, non linéaire, 
booléenne,…) portant sur les valeurs d’un ensemble de variables.
2.2 Techniques de résolution
Les algorithmes de résolution de CSP 
et flottant dans le cadre des CSP continus.
- Les méthodes de résolution de CSP discrets sont héri
l’intelligence artificielle.  Les premiers travaux datent d’environ trente cinq ans
l’énumération de valeurs discrètes et le filtrage
de l’évolution du processus de résolution, l
réduits par cette méthode. 
- Pour ce qui concerne les CSP continus 
utilisées sont une synthèse entre l’analyse par intervall
Plusieurs algorithmes de résolution ont ainsi été développés 
2.3 Optimisation et CSP 
Dans le cas d’une utilisation des techniques de CSP pour une optimisation monocritère, l
résoudre par dichotomie une suite de CSP dans laquelle le jeu de contraintes augmente d’un élément de la 
suite au suivant. A chaque étape, une contrainte est ajoutée exprimant que le CSP suivant doit être meilleur 
que le précédent. Le processus s’arrête
considérée à un  près ajustable. Pour ce qui concerne l’optimisation multicritère 
tenu du nombre de critères réduit de notre exemple (optimisation bicritère), 
méthode de Van Wassenhove et Gelders adaptée pour les CSP
2.4 Applications en conception de produits et de 
Quatre espaces peuvent être utilisés pour décrire les échanges d’information lors d’
conception
l’espace des spécifications fonctionnelles {FRs} et l’espace des paramètres de conception {DPs} [14]
L’ensemble des valeurs des paramètres de conception {DPs} re
fonctionnelles {FRs} constitue l’espace des solutions du problème de conception.
Dans les étapes avancées de la conception, plusieurs techniques telles que l’optimisation multidisciplinaire 
(MDO)[14] ou la programmation par contraintes, peuvent être mise en œuvre dans le but de déterminer 
l’espace de conception. La communauté 
et de système [15, 16, 17, 18, 19, 20
de fonctions de coûts sur des CSP discrets. Moins nombreuses sont les contributions en optimisation de CSP 
continus. Notre objectif est ici de présenter un exemple de conception optimal multicritère d’un composant 
mécanique.  
2.5 Application à la conception optimale d’un composant mécanique
2.5.1 Cas d’étude proposé 
        Marseille, 24
 2
X tout en satisfaisant l’ensem
 
 
dépendent du type de variable manipulé: entier da
  
tées à l’origine de la recherch
 [2, 3, 4, 5]. 
 aussi appelé propagation de contraintes
es domaines de valeurs discrètes des variables du 
ils opèrent sur des intervalles de valeurs 
es [6] et la satisfaction de contraintes
[10, 11]. 
 sur le CSP qui minimise la valeur de la variable de performance 
au sens de Pareto 
nous 
 [12]. 
systèmes 
[13]. Le principal effort étant d’établir une correspondance entre 
spectant l’ensemble des spécifications 
  
CSP a développé des travaux applicables en conception de produit 
].  De nombreux travaux ont été réalisés dans le champ de l’optimisation 
FIG. 1 - transmission par adhérence 
-28 août 2009 
ble C des 
ns les CSP discrets 
e opérationnelle et de 
Ils sont basés sur 
. Au fur et à mesure 
problème sont 
réelles.  Les techniques 
 [7, 8, 9]. 
e point clé est de 
et compte 
nous inspirerons de la 
un processus de 
. 
 
 
19
ème
 Congrès Français de Mécanique                                                                                       Marseille, 24-28 août 2009 
  3
Nous proposons d’illustrer la contribution des méthodes CSP sur un cas simple de composant mécanique de 
transmission de puissance par adhérence chargé de transmettre un couple par effort presseur assuré par un 
ensemble de N boulons répartis uniformément sur la circonférence de la jante (figure 1). 
Dans le cadre de cette étude, on suppose que les choix technologiques ont déjà été effectués. Les concepteurs 
ayant choisi ce composant, il est alors possible d’identifier l’ensemble des paramètres de conception 
{DPs}(tableau 1) ainsi que les spécifications fonctionnelles {FRs}. Ces dernières peuvent ici être écrites 
sous la forme d’un ensemble de relations (équations et inéquations)  explicites entre les paramètres de 
conception de {DPs}. La méthode VDI [21] a été utilisée pour établir ces relations. 
 
Paramètres de conception 
P
a
ra
m
èt
re
s 
g
éo
m
ét
ri
q
u
es
 
ds Diamètre de la section résistante (mm) 
d Diamètre nominal de la vis (mm) 
b Épaisseur radiale de la surface de contact 
s Intervalle entre boulons (mm) 
d2 Diamètre moyen (mm) 
p Pas des éléments filetés (mm) 
sm , bm Encombrement de l’outil de serrage (mm) 
As Section résistante équivalente des boulons (mm²) 
N Nombre de boulons 
Nm Nombre de boulons minimum 
R Rayon d’encombrement (mm) 
Rb Rayon des vis (mm) 
Rm Rayon intérieur (mm) 
P
a
ra
m
èt
re
s 
fo
n
ct
io
n
n
el
s 
M Moment transmis par l’accouplement (N.mm) 
MT Moment à transmettre par l’accouplement (N.mm) 
F0mini , 
F0maxi 
Dispersion mini et maxi sur l’effort de serrage (N). 
C1 Moment de torsion de la vis dû à la précharge (N.mm) 
 : Contrainte normale maximum dans la vis (MPa) 
 Contrainte tangentielle maximum dans la vis (MPa) 
 Contrainte de Von Mises maximum dans la vis (MPa) 
 Rapport Fomaxi / Fomini 
P
a
ra
m
èt
re
s 
m
a
té
ri
a
u
x
 fm , f1 Coefficients de friction 
Tableau. 1 – Paramètres de conception 
2.5.2 Modèle CSP associé 
Une analyse du système de transmission par adhérence nous donne les relations ci-dessous considérées en 
tant que contraintes d’un CSP : 
 ! " # $%  #  &  # '0)         (1) 
'0 !   #  '0)             (2) 
 ! 
*+,-./ 
01
             (3) 
 ! 16 # 
34
5 # 61
7
         (4) 
89 ! '0  # 0.16 #  ; 0.583 # ?  # &9)    (5) 
 ! @? ;  3 # ?       (6) 
A ! 2 # C # DE
F
         (7) 
$% ! $ ; G            (8) 
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  4
H !  C #
61
I
J
           (9) 
$%  K  $ ; G           (10) 
0.9 # $M K          (11) 
 K  N             (12) 
A K A          (13) 
G K G          (14) 
" K "          (15) 
La table des combinaisons valides des paramètres des vis (tableau 2) peut être modélisée comme un tableau 
contraint. Il s’agit d’une contrainte dite globale représentant les combinaisons possibles de valeurs pour un 
ensemble de variables contraintes. Chaque ligne d’un tableau contraint est considérée comme un n-uplet de 
valeurs consistantes. Par exemple, avec le tableau 2, si la valeur de d2 doit être plus grande que 10 et que p 
doit être différent de 2 alors, les lignes 1, 2, 3, 5 and 6 sont automatiquement enlevée de la table par 
propagation. Seules les lignes numéro 4, 7 and 8 resteront dans le tableau contraint. 
Num d ds d2 p bm sm dt 
1 6 5.062 5.350 1.00 7.50 14.50 6.6 
2 8 6.827 7.188 1.25 9.50 18.50 9.0 
3 10 8.593 9.026 1.50 12.50 23.50 11.0 
4 12 10.358 10.863 1.75 13.50 26.50 13.5 
5 14 12.124 12.701 2.00 15.50 29.50 15.5 
6 16 14.124 14.701 2.00 17.00 32.00 17.5 
7 20 17.655 18.376 2.50 21.00 40.00 22.0 
8 24 21.185 22.051 3.00 25.00 48.00 26.0 
Tableau. 2 - Table des paramètres vis 
2.5.3 Résultats numériques 
Nous avons implémenté ce modèle avec deux outils différents : 
-  IlogCP, une librairie C++ développée par Ilog [22] 
- Constraint Explorer (CE) [23], un environnement à base de contraintes pour la conception développé dans 
le cadre d’un projet RNTL piloté par Dassault Aviation. 
Le tableau 3 fait état des résultats obtenus dans le cadre du processus de dimensionnement optimal de notre 
composant mécanique. Au début du processus, les intervalles de valeurs possibles pour chacune des 
variables sont initialisés. Puis une première propagation est lancée. Du fait du jeu d’équations et 
d’inéquations présent dans le modèle, on constate que dès cette phase certains domaines sont réduits. 
Après avoir ajouté les spécifications suivantes : 
 N ! 4000000         (16) 
& ! 0.15          (17) 
&9 ! 0.15          (18) 
 ! 1.5         (19) 
$M ! 627          (20) 
" ! 8          (21) 
$ ! 50          (22) 
Le pavé (produit cartésien des intervalles de valeurs des variables du problème) est de nouveau réduit. 
Une résolution optimale monocritère nous donne une solution à R=82mm, après avoir rajouté un objectif de 
minimisation de la variable de performance R tel que : 
$ ! $% ;  G         (23) 
Une résolution est alors tentée à l’aide de deux autres variables de performance dont on souhaite 
minimiser les valeurs: 
- Le coût total de l’accouplement en euros : 
8QQRS ! T9 #  ; T? # "        (24) 
Avec: 
K1 = 0.6 euros/mm        (25) 
K2 = 5 euros /boulons        (26) 
- La masse totale de l’accouplement : 
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  5
 QQRS ! 
5
?
# U # VW # X4 # $% # G Y " # Z
?[ ; V\ # " # ?   (27) 
VW ! 2.710]^kg.mm
-3         (28) 
V\ ! 7.810]^kg.mm
-3         (29) 
Une solution optimale au sens de pareto est générée pour une masse de 480,8 grammes et un coût de 
52 euros. En terme de performance, la résolution est quasi instantanée sur un ordinateur de type PC 
usuel avec des résultats finaux équivalents à ceux obtenus avec des techniques d’optimistaion plus 
classiques [24]. 
Paramètres 
géométriques 
Domaines 
initiaux 
Première 
propagation 
Après 
spécifications 
Optimisation 
monocrière 
min (R) 
Optimisation 
multicritère min 
(Caccou & 
Maccou) 
As [15 , 400] [20.12, 352.49] [20.12, 352.49] 115.447 244.8 
Rb [5 , 1000] [13, 1000] [58 , 100] 66 71 
Rm [5 , 1000] [5, 992] 50 50 50 
s [1, 100] [14.5, 100] [14.5 , 78.5398] 31.8992 55.76 
b [5 , 50] [8,50] [8,50] 16 21 
N [1 , 1000] [4 , 433] [8 , 43] 13 8 
Nm [4 ,1000] [4 , 433] 8 8 8 
d [6 , 24] [6 , 24] [6 , 24] 14 20 
p [1 , 3] [1 , 3] [1 , 3] 2 2.5 
d2 [5.35 , 22.051] [5.35, 22.051] [5.35, 22.051] 12.701 18.376 
ds [5.062 , 21.185] [5.062, 21.185] [5.062 , 21.185] 12.124 17.655 
sm [14.5 , 48] [14.5 , 48] [14.5 , 48] 29.5 40 
bm [7.5 , 25] [7.5 , 25] [7.5 , 25] 15.5 21 
dt [6.6, 26] [6.6, 26] [6.6, 26] 15.5 22 
ep 10 10 10 10 10 
Paramètres fonctionnels 
M [1000, 1e+007] [1000, 1e+007] [4e+006, 1e+007] 4.3274e+006  
MT [1000, 
10000000] 
[1000, 
10000000] 
4e+006 4e+006 4e+006 
F0mini [10 , 1 0] [10, 66666.7] [6201.55, 66666.7] 33623.9  
F0maxi [10 , 100000] [15, 100000] [9302.33, 100000] 50435.9 [70422.1, 70879.2] 
C1 [0 , 200000] [2.4, 200000.] [5840.53, 200000] 72158.7 [46948.1, 47252.8] 
 [0  , 2000] [0.0425, 1110.6] [26.3903, 564.274] 436.875 [287.66, 289.5] 
 [0  , 2000] [0.00128, 641.2] [3.12851, 325.442] 206.215 [130.8, 131.65] 
 [0  , 2000] [0.0426, 1110.6] [26.9409, 564.3] 564.3 [366.16, 368.54] 
 [1.5 , 4] [1.5 , 4] 1.5 1.5 1.5 
Paramètres matériaux 
fm [0 , 1] [3.464e-008, 1] 0.15 0.15 0.15 
f1 [0 , 1] [0 , 1] 0.15 0.15 0.15 
Fonctions objectifs 
- Monocritère 
R [10, 1050] [21, 1050] [66, 150] 82  
- Multicritère 
Caccou [0, 1000000]  [44, 229]  52 
Maccou [0, 10]  [0, 3.868]  0.4808 
Tableau. 3 – Résultats numériques du dimensionnement optimal de l’accouplement 
3 Conclusion 
Nous avons présenté tout au long de ce papier l’application des techniques de programmation par 
contraintes en dimensionnement optimal d’un composant mécanique. La résolution par CSP procure un 
certain nombre d’avantages par rapport aux approches classiques et en ce sens fournit une alternative 
intéressante. Nous citerons : 
- La non nécessité de simplifier et/ou de résoudre les systèmes d’équations / inéquations. 
- L’Assurance de trouver une solution si elle existe dans les pavés retournés. 
- L’Assurance de non-solution dans le cas ou le réseau de contraintes du problème est inconsistant. 
- La possibilité de disposer d’un optimum global lorsque ce dernier existe. 
 
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 Congrès Français de Mécanique                                                                                       Marseille, 24-28 août 2009 
  6
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Optimisation multicritère de composants mécaniques à l’aide d’une

            approche par satisfaction de contraintes

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Optimisation multicritère de composants mécaniques à l’aide d’une approche par satisfaction de contraintes

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