Ce travail traite de l’identification, au

            moyen d’essais vibratoires, des propriétés viscoélastiques d’un polymère P(oly)M(ethyl)

            M(eth)A(crylate). Une comparaison entre différentes techniques d’analyse, telles que

            l’analyse modale, la viscoanalyse ou encore l’analyse dynamique par ultrasons et un

            essai de fluage dit de « lâcher », est présentée. Les paramètres identifiés (facteur de

            perte et module élastique) sont discutés, au travers des modèles rhéologiques, sur une

            large gamme de fréquences

CORN, Stephane

DARIDON, Loïc

DUPUY, Jean-Sébastien

IENNY, Patrick

French

I-Revues

19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  1
Identification des propriétés viscoélastique d’un PMMA par 
analyse vibratoire: comparaison entre différentes méthodes 
expérimentales 
S. CORN a, P. IENNY a, J.S. DUPUY a, L.  DARIDON b 
a.  Ecole des Mines d’Alès,  6 avenue de Clavières,  30319 Alès cedex 
b.  LMGC – Université Montpellier II,  Pl. Eugène Bataillon,  34095 Montpellier cedex 
Résumé : 
Ce travail traite de l’identification, au moyen d’essais vibratoires, des propriétés viscoélastiques d’un 
polymère P(oly)M(ethyl) M(eth)A(crylate). Une comparaison entre différentes techniques d’analyse, telles 
que l’analyse modale, la viscoanalyse ou encore l’analyse dynamique par ultrasons et un essai de fluage dit 
de « lâcher », est présentée. Les paramètres identifiés (facteur de perte et module élastique) sont discutés, au 
travers des modèles rhéologiques, sur une large gamme de fréquences. 
Abstract : 
This work deals with identification, by means of vibration tests, of viscoelastic properties of a P(oly)M(ethyl) 
M(eth)A(crylate) polymer. A comparison between different analysis techniques, such as modal analysis, 
viscoanalysis or ultrasonic dynamic analysis and a creep test, is presented. The identified parameters (los  
factor and elastic modulus) are discussed, through rheological models, over a wide frequency range. 
Mots clefs : viscoanalyse, analyse modale, dynamique, fluage, viscoélastique, polymère 
1 Introduction 
L’identification du comportement mécanique d’un matériau par des techniques d’analyse dynamique est un 
enjeu majeur, compte tenu du caractère non-destructif de ce type d’essais. Les méthodes expérimentales 
employées rendent compte à la fois de la rigidité et du comportement amortissant ou dissipatif du matériau, 
permettant ainsi d’accéder à la connaissance de ses propriétés viscoélastiques. Dans cette étude, nous 
intéressons à la comparaison de plusieurs méthodes d’analyse très différentes mais complémentaires : la 
viscoanalyse, l’analyse modale, l’analyse par ultrasons et un essai de fluage, type « lâcher », que nous avons 
développé. Dans un premier temps, pour chacune de ces méthodes, nous présentons ici les aspects 
expérimentaux, les principes théoriques et quelques résultats. Dans un deuxième temps, nous présentons une 
comparaison de ces méthodes pour les paramètres mécaniques identifiés, que sont le module élastique et l
facteur de perte. Le matériau étudié ici est un polymère PolyMethylMethAcrylate (PMMA). Une description 
plus détaillée de cette comparaison a été présentée dans la thèse de J.S. Dupuy [1]. Notons que l’ensemble 
des essais à été réalisé à température ambiante. 
2 Techniques expérimentales 
Les besoins spécifiques des différents dispositifs d’e sais utilisés ont nécessité la réalisation d’éprouvettes de 
PMMA de géométries différentes. Le tableau ci-dessou  décrit l’ensemble des géométries utilisées : 
Viscoanalyse en flexion   Poutre  50×10×9.6 mm 
Viscoanalyse en torsion  Poutre  30×10×4 mm 
Analyse modale (marteau de choc) Disque  diamètre 300 mm, épaisseur 9.6 mm ; 
Poutre  300×30×9.6 mm ;  Poutre  400×30×9.6 mm  
Analyse modale (pot-vibrant) Poutre de section 10×4 mm,  longueur 65 à 80 mm 
Essai de fluage (type « lâcher ») Plaque  268.5×73.5×9.6 mm 
Ultrasons Poutre  80×10×4 mm 
TAB. 1 – Géométries d’éprouvettes utilisées en foncti  du type d’essai 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  2
2.1 Viscoanalyse 
La viscoanalyse est une technique d’analyse expérimentale, couramment utilisée dans l’étude des polymères, 
permettant d’évaluer les propriétés thermomécaniques d’un matériau viscoélastique. Elle met en jeu des 
essais mécaniques de flexion, torsion ou traction-compression, et rend compte de l’évolution de la réponse 
du matériau sous sollicitations harmoniques «hors résonances». Elle est également utilisée pour détermin  la 
température de transition vitreuse des matériaux composés d’une matrice polymère. En effet, il existe un
forte dépendance du comportement viscoélastique à crtains paramètres, tels que la température et la 
fréquence des sollicitations. En pratique, le comportement viscoélastique est décrit en introduisant le module 
complexe E* : 
 EiEE ′′+′=*  (1)   
La partie réelle E′ , appelée module élastique (ou module conservatif), traduit le comportement élastique 
conservatif du matériau. La partie imaginaire E ′′ , appelée module de perte, caractérise son comportemen  
visqueux. Le facteur de perte η est défini par le rapport des parties imaginaire et ré lle : 
 
E
E
′
′′
=η  (2)   
Nous présentons ici les résultats de viscoanalyse obt nus à l’aide de deux instrumentations, Metravib et 
ARES, correspondant respectivement à deux modes de sollicitations différents : flexion et torsion. 
2.1.1 Viscoanalyse – sollicitation en flexion 
Le viscoanalyseur utilisé ici est le modèle VA2000 (Metravib). La chaîne de mesures se compose d’un 
excitateur électrodynamique (150 N), de capteurs de déplacement, de force et d’accélération, et d’un 
traitement électronique et informatique des données. L  échantillons de PMMA sont des poutres sollicitées, 
en flexion trois points, en régime harmonique à fréquence variable et contrôlée. Le balayage en fréquence st 
de type « pas à pas », la mesure pour chaque fréquence analysée nécessitant ainsi un temps de stabilisation 
afin de s’affranchir des phénomènes transitoires. L mesures du module élastique et du facteur de pert  ont 
été obtenues ici sur la gamme de fréquences 5-500 Hz. 
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 0  100  200  300  400  500
M
o
d
ul
e
 c
on
se
rv
a
tif
 (
G
P
a
)
Fréquence (Hz)
 0
 2
 4
 6
 8
 10
 0  100  200  300  400  500
F
a
ct
e
u
r 
d
e 
p
e
rt
e
 (
%
)
Fréquence (Hz)  
FIG. 1 – Module conservatif et facteur de perte du PMMA mesurés avec le viscoanalyseur VA2000 
Le module élastique E’ mesuré montre une croissance monotone en fonction de la fréquence de sollicitation, 
ce qui est conforme avec le comportement général d’un solide viscoélastique standard. Les valeurs obtenues 
vont de 5 à 6.5 GPa. Le facteur de perte η décroit légèrement avec la fréquence, de 8 à 6 %. Les éprouvettes 
étudiées étant de raideur relativement importante, il est nécessaire de prendre en compte la compliance du 
viscoanalyseur afin d’estimer correctement la raideur propre à l’éprouvette. De plus, les géométries étudi es 
présentant un faible élancement, l’identification du module élastique nécessite une modélisation de laraideur 
intégrant la déformation au cisaillement. 
2.1.2 Viscoanalyse – sollicitation en torsion 
Le viscoanalyseur de type ARES (Rheometric Scientific), permet d’étudier le comportement mécanique 
dynamique des matériaux sous sollicitations de torsion. La plage de fréquences balayée dépend de la raideu  
des échantillons. Elle s’étend ici de 0.01 à 10 H z. Le taux de déformation appliqué est de l’ordre de 0.1 %. 
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  3
 0
 1
 2
 3
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 5
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 0  2  4  6  8  10
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(G
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Fréquence (Hz)
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 0  2  4  6  8  10
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de
 p
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te
 (%
)
Fréquence (Hz)  
FIG. 2 – Module conservatif et facteur de perte du PMMA mesurés avec le viscoanalyseur ARES 
Nous retrouvons, pour chacun des deux paramètres, les évolutions attendues. Dans les très basses fréquences, 
la valeur du module élastique mesurée (3.2 GPa) correspond à la valeur du module d’Young obtenue par 
ailleurs à partir d’essais quasi-statiques normalisés [1]. Pour les fréquences plus élevées, le module élastique 
atteint 5 GPa. 
2.2 Analyse modale 
Le principe de l’analyse modale expérimentale consiste à imposer une sollicitation connue F*(ω) à une 
structure, pour une pulsation ω, et mesurer sa réponse X*(ω). Le modèle fréquentiel exprime les spectres de 
sortie (réponse du système en déplacement, vitesse ou accélération) et d’entrée, pondérés par la foncti  de 
transfert (ou Fonction de Réponse Fréquentielle) du système [2]. Cette fonction description H(ω) est définie 
comme le rapport complexe entre le spectre de sortie et le spectre d’entrée. Elle présente une série de pics 
pour lesquels le maximum d’amplitude correspond sensiblement à la fréquence de résonance (dans le cas des 
systèmes faiblement amortis). L’extraction des paramètres modaux (fréquences propres et amortissement 
modal) est réalisée par lissage des FRF, à l’aide du logiciel d’analyse modale MODAN [3]. 
 
    
 
FIG. 3 – Analyse modale – Dispositif expérimental : pot vibrant et marteau de choc – Réponse fréquentielle 
La figure 3 présente le schéma des dispositifs expérimentaux utilisés en analyse modale pour l’étude du 
comportement dynamique de ces structures. Pour l’essai au pot-vibrant (type LDS V406), l’échantillon est 
fixé directement sur la partie mobile du pot, dans u e fixation en aluminium permettant son encastrement. 
Deux accéléromètres (Kistler, type 8778A500) mesurent la réponse harmonique du système en deux points : 
l’un situé sur la partie mobile du système de fixation (voie de référence), l’autre sur l’échantillon, à proximité 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
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de l’encastrement. Pour l’essai au marteau de choc (Kistler type 9722A2000), la structure est maintenue à 
l’équilibre par une suspension souple (porte échantillon). 
A partir des fréquences propres mesurées, l’identifica on des modules élastiques est réalisée par un recalage 
fréquentiel sur la base d’un calcul en éléments finis. L’analyse modale estime un taux d’amortissement 
visqueux modal ξ de façon discrète pour chaque fréquence propre (i.e. à la résonance). En considérant 
l’équivalence en terme d’énergie dissipée à la résonance, nous pouvons établir la correspondance nécessair  
entre le facteur de perte η et le taux d’amortissement modal ξ pour chaque résonance (pulsation ωr) [4] : 
 )(2)( rr ωξωη =  (3)   
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 0  500  1000  1500  2000
M
o
d
u
le
 é
la
st
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u
e 
(G
P
a
)
Fréquence (Hz)
 0
 1
 2
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 4
 5
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 0  500  1000  1500  2000
T
a
u
x 
d
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m
o
rt
is
se
m
en
t 
(%
)
Fréquence (Hz)  
FIG. 4 – Analyse modale au marteau de choc – Module élastique et taux d’amortissement 
Sur la figure 4 sont reportées les valeurs discrètes m surées en analyse modale par des essais au marteau de 
choc. Les résultats obtenus par les essais au pot vibrant sont analogues. La sensibilité du module à la 
fréquence (de 100 à 2000 Hz) est obtenue en faisant varier les géométries et dimensions des éprouvettes. 
2.3 Essai de fluage 
L’essai de fluage développé pour cette étude s’applique à des éprouvettes de polymère de géométrie de type 
plaque ou poutre. L’essai comporte deux phases : tout d’abord, un essai de flexion trois points est réalis , le 
chargement constant étant appliqué à mi-longueur par une masse, jusqu’à stabilisation du système. 
Connaissant ainsi l’état de précontrainte dans la structure, une jauge de déformation permet d’estimer la 
valeur du module statique « relaxé » ER du matériau. Ensuite, l’éprouvette est déchargée instantanément de la 
contrainte appliquée. La réponse temporelle se caractérise alors par une déformation quasi-instantanée, puis 
un fluage du matériau sur un temps plus long que celui d  l’essai. Ainsi, la vitesse de sollicitation élevée 
permet d’étudier le comportement viscoélastique aux temps courts, et d’estimer un module « instantané » E0 
du matériau. 
  0
 0.001
 0.002
 0.003
 0.004
 0.005
 0.006
 0  0.5  1  1.5  2  2.5
D
éf
or
m
at
io
n
Temps (s)  
FIG. 5 – Essai de fluage : dispositif expérimental – Réponse temporelle 
Afin de modéliser le comportement viscoélastique du polymère, un modèle rhéologique simple de type Zener 
a été mis en place. Il s’agit d’un modèle à trois paramètres : deux modules ER et E0, ainsi qu’un temps de 
relaxation τ. On peut alors définir la complaisance J(t) du matériau au fluage, en fonction de ces paramètres : 
 )/exp()/1/1()( 0 τtEEtJ R −−=  (4)   
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  5
Les paramètres du modèle sont identifiés par interpolation de la réponse du matériau sur une durée très 
courte autour de l’instant du lâcher. Leur sensibilité à la précontrainte appliquée a été évaluée (tableau 2). 
Précontrainte (MPa) Module relaxé ER (GPa) Module instantané E0 (GPa) Temps de relaxation τ (s) 
10 3.038 5.082 12.78 10−3 
13 3.221 5.136 13.45 10−3 
16 2.998 5.097 13.24 10−3 
TAB. 2 – Paramètres rhéologiques identifiés par essai de fluage 
D’autre part, le modèle de Zener permet de prédire analytiquement la réponse du matériau en régime 
harmonique forcé (en déformation imposée). Les expressions du module élastique E′ et du facteur de perte η 
en fonction de la pulsation de sollicitation ω sont les suivantes : 
 
2
0
0
)(1
)('
0
ωτ
ω
E
E
R
R
EE
EE
+
−+=   ;   
2)(1
)1(
)(
0
0
ωτ
ωτ
ωη
E
E
E
E
R
R
+
−
=  (5)   
On peut ainsi aisément vérifier que les modules ER et E0 correspondent respectivement aux valeurs limites du 
module élastique en basses et hautes fréquences. En outre, les valeurs expérimentales issues de l’essai de 
fluage (tableau 2) sont conformes à celles obtenues en viscoanalyse (en torsion) ou en analyse modale. 
3 Comparaison des résultats et conclusion 
Les différentes méthodes d’analyse présentées ont été comparées en régime harmonique. L’évolution du 
module élastique et du facteur de perte en fonction de la pulsation de sollicitation est présentée figure 6. 
 
 
FIG. 6 – Comparaison fréquentielle des différentes méthodes d’analyse 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  6
De plus, ces analyses ont été complétées par une mesure du module élastique basée sur une technique 
d’analyse ultrasonore (classiquement utilisée dans le domaine du génie civil) [5]. Le principe consiste à 
générer une onde élastique longitudinale (par l’impulsion d’un transducteur piézoélectrique) dans 
l’éprouvette, un récepteur placé à l’autre extrémit permettant de mesurer le temps de parcours, et donc la 
célérité de l’onde. La détermination du module élastique, très reproductible, conduit à une valeur de 5.1 GPa, 
confirmant ainsi la tendance obtenue pour les hautes fréquences par les autres techniques mises en œuvre. 
Les méthodes d’analyse présentées dans ce papier ont permis de mettre en évidence le comportement 
viscoélastique du matériau étudié et, en particulier, la dépendance du module élastique et du facteur d  perte 
à la fréquence. En effet, les résultats obtenus couvrent un spectre de fréquences étendu (de 0.01 à 2000 Hz). 
Les méthodes utilisées sont complémentaires, et leurs résultats sont concordants. Les dispositifs 
expérimentaux utilisés sont cependant très différents. 
Les essais de viscoanalyse, largement répandus, mettent généralement en jeu des géométries normalisées. Ils 
sont relativement lents et coûteux. De plus, les résultats de viscoanalyse sont très sensibles à la calibration du 
système, qui s’est avérée difficile à réaliser dans notre cas (ce qui a entraîné une surestimation du module 
élastique, visible figure 6). 
L’analyse modale repose sur l’utilisation possible de plusieurs dispositifs expérimentaux (marteau de choc et 
pot-vibrant), et conduit à l’extraction des paramètres modaux à partir de l’analyse des FRF et des modes de 
résonance de la structure. Cette méthode d’analyse  fourni, pour des fréquences relativement élevées, une 
bonne estimation des paramètres viscoélastiques du PMMA. D’une mise en œuvre simple, rapide, et peu 
coûteuse, elle offre en outre la possibilité d’étudier des structures de géométrie « non normalisée ». 
L’identification des paramètres élastiques du matéri u peut toutefois nécessiter une modélisation en éléments 
finis dans ce cas. 
Les modules instantané et relaxé, identifiés à partir de la réponse temporelle des essais de fluage par lâcher, 
sont en accord avec ceux issus des différentes méthodes d’analyse vibratoire. En revanche, l’utilisation d’un 
modèle rhéologique de type Zener (faisant interveni u  unique temps de relaxation) ne permet pas une 
modélisation fiable du comportement dissipatif du PMMA. Un modèle plus élaboré, présentant plusieurs 
temps de relaxation, devrait être plus adéquat dansce cas. On pourrait envisager, par exemple un modèle 
rhéologique de type Maxwell généralisé, conduisant à décomposer l’expression des paramètres (équation 5) 
en série de Prony [6]. 
Enfin, l’application de l’ensemble de ces méthodes ’analyse à l’étude de matériaux composites particulaires 
à matrice polymère à fait l’objet de travaux récents [1,7]. L’objectif est, à terme, de proposer un moyen de 
caractérisation rapide de l’endommagement de matériaux composites à partir d’analyses mécaniques 
vibratoires. 
References 
[1] Dupuy J.S., Identification des propriétés mécaniques de matériaux composites par analyse vibratoire, 
Thèse de doctorat, Université de Montpellier II, 2008. 
[2] Ewins D.J., Modal Testing: Theory and Practice, R search Studies Press LTD, 1984. 
[3] Piranda J., Analyse modale expérimentale, Techniques de l’Ingénieur, Traité bruit et vibration, 2001. 
[4] Macioce P., Viscoelastic Damping 101, Roush Industries, Sound and Vibration, 2003. 
[5] Chevalier Y., Essais dynamiques sur composites – Caractérisation aux basses fréquences, Techniques de 
l’Ingénieur, Traité plastiques et composites, 2002. 
[6] Kergourlay G., Mesure et prédiction vibroacoustique de structures viscoélastiques – Application à une
enceinte acoustique, Thèse, Ecole Centrale Paris, 2004. 
[7] Dupuy J.S., Corn S., Ienny P., Daridon L., Suivi de l’endommagement de matériaux composites par 
analyse vibratoire, Colloque Vibrations Chocs et Bruit, Lyon, 2008. 
 


Identification des propriétés viscoélastique d’un PMMA par analyse

            vibratoire: comparaison entre différentes méthodes expérimentales

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/36997/1/305.pdf

Identification des propriétés viscoélastique d’un PMMA par analyse vibratoire: comparaison entre différentes méthodes expérimentales

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