Cette étude numérique concerne le

            développement de l'instabilité de Rayleigh-Taylor d'un film mince aux temps longs. Nous

            présenterons une étude de stabilité linéaire générale, ainsi que les différents régimes

            observés aux temps longs, en fonction des paramètres sans dimensions du problème

DUCHEMIN, Laurent

LE BARS, Michael

French

I-Revues

19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
Instabilit é de Rayleigh–Taylor d’un film mince visqueux
L. D UCHEMIN & M. L E BARS
IRPHE - UMR 6594 Technopˆ le de Cĥateau-Gombert
49, rue Joliot Curie - B.P. 146 13384 Marseille Cedex 13
Résuḿe :
Lorsqu’on appliquèa un film liquide, en contact avec un solide, une force volumiqe constante diriǵee du fluide vers
l’extérieur, l’interface se d́estabilise lińeairement (instabilit́e de Rayleigh–Taylor) [1, 2], puis on voit apparaı̂tre un jet
qui peutéventuellement se rompre sous l’effet de la tension de surface (instabilit́e de Rayleigh–Plateau) [3]. Cettéetude
nuḿerique concerne le d́eveloppement non linéaire du jet, dans le cas d’un fluide très visqueux fortement accéléré, et en
particulier l’ évolution temporelle de la goutte forméeà son extŕemit́e.
Abstract :
When a liquid film on a solid substrate is subject to a constantbody force directed from the fluid to the exterior, the
interface undergoes the classical Rayleigh–Taylor instabili y [1, 2], then a thin jet appears, which can eventually break
under the effect of surface tension (Rayleigh–Plateau instability) [3]. This numerical study deals with the long-timenon-
linear evolution of the jet. With the help of an axi-symmetric Navier–Stokes code, which accurately includes free surfaces,
we have computed the film destabilization, from the linear regim to the non-linear one.
Mots clefs : Rayleigh–Taylor, jets visqueux.
1 Introduction
L’objectif de ce travail est l’étude approfondie de l’évolution non-linéaire des jets visqueux accélérés. Cette
étude présente un intérêt fondamental. En effet, si le pincement de jets peu visqueux est désormais bien com-
pris, il n’existe pas encore d’explication satisfaisante de l’absence de pincement pour des fluides très visqueux
comme le miel. En d’autres termes, l’effet de la viscosité sur la déstabilisation des jets n’est pas encore quan-
tifié. Ce sujet présente aussi un intérêt quant à la compréhension de certains écoulements industriels (jets
d’encre) et géophysiques. Parmi ces derniers, les cheveuxde Pelé sont un exemple intéressant [4]. Ces fibres
de lave solidifiée, de plusieurs mètres de long, recueillies près de certains volcans, se forment par expulsion vio-
lente de gouttes de laves. Ces gouttes entraı̂nent derrière ell s un fil pouvant atteindre un diamètre de quelques
centaines de microns avant de se solidifier. La raison pour laq elle ces jets ne se déstabilisent pas pour donner
naissance à des gouttes avant la solidification n’est pas connue.
Lorsqu’on applique à un film liquide, en contact avec un solide, une force volumique constante dirigée du
fluide vers l’extérieur, l’interface se déstabilise lin´eairement (instabilité de Rayleigh–Taylor) [1, 2], puis on
voit apparaı̂tre un jet qui peut éventuellement se rompre sous l’effet de la tension de surface (instabilité de
Rayleigh–Plateau) [3]. Cette étude numérique concerne le développement du jet aux temps longs. A l’aide
d’un code de résolution des équations de Navier–Stokes axi- ymétriques [5], prenant en compte la présence
d’une surface libre, nous avons simulé la déstabilisation de la surface libre, du régime linéaire au régime
fortement non-linéaire. Bien que préliminaires, ces résultats mettent en évidence plusieurs régimes d’évolution
du jet, et devraient permettre d’isoler différents types ddéstabilisation.
2 Analyse de stabilit́e linéaire
On considère une couche de fluide d’épaisseurh0 (prise égale à1mm pour tous les calculs présentés), de masse
volumiqueρ, de viscosité cinématiqueν, de tension de surfaceγ, et soumise à une densité de force volumique
g constante. Soientlc =
√
γ/ρg la longueur capillaire etlν = (ν2/g)1/3 la longueur visqueuse ; on définit
le nombre d’ondek adimensionné parl−1c , le taux de croissanceω adimensionné par
√
g/lc, et les grandeurs
suivantes :
b =
(
lc
lν
)3/2
α =
h0
lc
S =
√
k2 + ωb
1
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
Une étude de stabilité linéaire générale (à deux dimensions) donne la relation de dispersion suivante :
kb2(1 − k2) (k tanh(αS) − S tanh(αk)) =
4k2S(ωb + 2k2)
cosh(αk) cosh(αS)
+k tanh(αS) tanh(αk)
(
4k2S2 + (ωb + 2k2)2
)
− S
(
4k2 + (ωb + 2k2)2
)
Cette relation nous informe notamment de la coupure systématique pourk = 1, c’est-à-dire pour une longueur
d’onde égale à la longueur capillairelc. En outre, elle permet de mettre en évidence des régimes tout à fait
différents pourk ≪ 1 : en diminuant le rapporth0/lν , on passe continûment d’un régime en
√
gk à un régime
enk2, ce qui implique qu’il doit exister un régime linéaire enk pourk ≪ 1.
La figure 1 représente les taux de croissance obtenus grâceau ode Navier–Stokes axi-symétrique [5], pour
différentes valeurs deν et γ. La relation de dispersion, quant à elle, donne des courbesde croissance en bon
accord qualitatif avec les résultats numériques, mais une étude de stabilité axi-symétrique reste à faire pour
tester quantitativement la validité du code numérique lors de la croissance exponentielle.
0 1000 2000 3000 4000 5000
k
0
500
1000
1500
si
gm
a
FIG. 1 – Taux de croissance de l’instabilité en fonction du nombre d’onde pour différentes valeurs deν et
γ : (de haut en bas)Trais pleins : ν = 10−6, 2 × 10−6, 4 × 10−6, 8 × 10−6, 1.6 × 10−5, 3.2 × 10−5, 6.4 ×
10−5, 1.28 × 10−4m2/s, Pointill és :γ = 0.02, 0.04, 0.08, 0.16, 0.32N/m. Les valeurs des deux paramètres
fixés sont parmi :ν = 0.1m2/s, γ = 0.02N/m, etg = 750m/s2 .
En utilisant systématiquement le nombre d’onde correspondant au taux de croissance maximum obtenu aux
temps courts, nous avons effectué des simulations longues, pour différentes valeurs deν et γ, afin d’observer
l’évolution du jet aux temps longs.
3 Evolution du jet
Après la phase de croissance exponentielle, un jet se développe et une goutte apparaı̂t à son extrémité sous
l’effet de la tension de surface. La figure 2 représente trois régimes différents observés, pour trois valeurs de la
viscosité.
Le premier régime (figure du haut) semble donner lieu au pincement capillaire au voisinage de la goutte, bien
que, pour des raisons de convergence numérique, nous n’ayons pu poursuivre le calcul jusqu’à la singularité. Le
troisième régime (figure du bas) présente un amincissement i portant du jet à sa base, ce qui semble indiquer
que le pincement devrait avoir lieu dans cette région. Le r´egime intermédiaire correspond à un amincissement
du jet à la fois à sa base, mais également près de la goutte. Il est donc probable qu’il y ait une transition de type
de pincement, lorsqu’on fait varier la viscosité, pour unemême épaisseur de fluide initiale.
2
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−1
0
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
−1
0
1
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
−1
0
1
FIG. 2 – Profils successifs de la surface libre, pour trois valeurs dela viscosit́e. De haut en bas :ν =
0.004, 0.016, 0.032m2/s. Par ailleurs, on a choisiγ = 0.02N/m et g = 750m/s2. Les axes sont gradués
en millimètres ; seule la première figure poss̀ede la m̂emeéchelle en abscisse et en ordonnée. Un pas de temps
adaptatif aét́e utilisé ; le temps entre deux profils successifs n’est pas constant.
4 Trajectoire de la goutte
Les seuls effets ralentissant la trajectoire uniformément accélérée de la goutte sont les effets de la tension de
surface et de la viscosité. A priori, il n’est pas évident que ces effets ne soient pas comparables à l’inertie aux
temps longs.
Si l’on néglige les effets de la viscosité sur la rétraction de la goutte, on montre facilement que la goutte se
rétracte par rapport au fluide se trouvant dans son voisinage, avec une vitesse constante égale à
√
2γ/ρR (où
R est le rayon du jet, considéré comme constant). Cet effet ne peut donc être prédominant aux temps longs,
puisque la force volumique – s’il n’y avait d’autres effets di sipatifs – devrait transmettre aux particules fluides
une vitesse affine en temps (v ≃ g(t − t0)).
L’effet de la viscosité est plus important et vient, en partie, du terme de Trouton des équations des films minces :
(3/R2)(∂/∂z)
(
µR2(∂v/∂z)
)
(où µ est la viscosité dynamique etv la vitesse du fluide dans la directionz
du jet). Ce terme, présent dans l’équation de conservation de la quantité de mouvement dans la directionz,
est l’expression extensionnelle, pour les jets minces, du terme de viscosité de cisaillement des équations de
Navier–Stokes. Il représente donc une résistance à l’étirement et doit avoir un effet non négligeable sur la
trajectoire de la goutte. Le second effet lié à la viscosité est le drainage du film de liquide en contact avec le
solide. Par cisaillement cette fois, on observe une forte g´enération de vorticité au contact du solide, qui ralentit
la progression du jet.
Les résultats numériques montrent néanmoins que l’inertie st clairement dominante aux temps longs. La
figure 3 représente la vitesse de la goutte pour différentes valeurs de la viscosité et de la tension de surface. On
constate que les courbes convergent toutes, aux temps longs, vers une asymptote d’équationv = g(t − t0), où
g est la densité de force volumique imposée au fluide, ett0 un temps à partir duquel l’inertie est dominante et
avant lequel la croissance de l’instabilité est exponentielle (Rayleigh–Taylor). Nous ne disposons pas encore de
modèle théorique permettant d’évaluer ce tempst0, mais l’analyse dimensionnelle et les résultats numériqu s
devraient permettre d’obtenir sa dépendance enν, γ, g eth0.
3
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
0 0.01 0.02 0.03
t (s)
0
2
4
6
8
10
V
 (
m
/s
)
FIG. 3 –Vitesse de la goutte (enm/s) en fonction du temps (ens) pour les m̂emes valeurs de viscosité et tension
de surface que préćedemment. Les courbes en traits pleins correspondent aux différentes valeurs de viscosité,
les courbes en pointillés aux cinq valeurs de tension de surface (Cf. Fig. 1). On constate que toutes les courbes
tendent approximativement vers une pente communeégaleà l’accélération donńee par la force volumiqueg.
(droite en pointilĺes mixtes)
5 Evolution du rayon de la goutte
L’analyse de la goutte dans le référentiel du fluide avoisinant (Taylor–Culick) permet également de trouver
l’évolution du rayon de la goutte au cours du temps. On trouve que ce rayon, si l’on assimile la goutte à une
sphère, doit évoluer ent1/3, c’est-à-dire que sa masse doit être linéaire en temps. Par ailleurs, il est naturel de
comparer le rayon avec la longueur capillairelc.
La figure 4 représente le rayon de la goutte, adimensionné par lc en fonction du temps (ens). On constate
que pour toutes les simulations numériques, ce rayon est compris entre2 et 3 fois la longueur capillaire. Par
ailleurs, ce rayon évolue très lentement en comparaison de la position de la goutte, en suivant une loi ent1/3
compatible avec la théorie de Taylor–Culick, en considérant en première approximation et sur l’échelle de
temps des simulations, que le rayon de la fibre est quasi-constant. Il reste à faire une étude détaillée du rayon
au cours du temps, pour savoir notamment si la viscosité jouun rôle dans la rétraction de la goutte ou si le
mécanisme de Taylor–Culick est toujours valable pour les grandes valeurs de la viscosité.
4
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
t (s)
0
1
2
3
4
R
te
te
/lc
FIG. 4 – Rayon de la goutte adimensionné par la longueur capillairelc en fonction du temps (ens) pour les
mêmes valeurs de viscosité et tension de surface que préćedemment (Cf. Fig. 1). Les courbes en traits pleins
correspondent aux différentes valeurs de viscosité, les courbes en pointillés aux cinq valeurs de tension de
surface.
6 Perspectives
Cette étude numérique préliminaire ouvre plusieurs champs de réflexion, fondamentaux et appliqués. D’un
point de vue fondamentale, l’occurence du pincement, sa localisation dans l’espace et le temps, en fonction
des paramètres physiques du liquide, reste une question ouverte. En particulier, l’effet de la viscosité sur la
déstabilisation des jets n’est pas encore clair, alors même qu’il est parfaitement compris au voisinage de la
singularité de pincement. Dans le cadre de cette étude, pour des fluides très visqueux, nous avons pu obtenir
des simulations présentant des jets fins et longs, sur de longues durées, sans détachement de gouttes, comme
c’est le cas pour un filet de miel.
Pouvoir décrire l’instabilité en fonction des paramètres physiques et géométriques permettra d’obtenir et de
quantifier des grandeurs importantes pour l’industrie, telles que la distribution de tailles de gouttes émises.
Un autre effet sur la déstabilisation, peu abordé ici, estl’´ tirement que subit le jet sous l’effet de la force
volumique. Cet étirement a probablement un effet déterminant sur la formation de gouttes et fera l’objet d’une
étude numérique et théorique approfondie.
Références
[1] Rayleigh L. Scientific papers ii. Cambridge University Press, page 200, 1900.
[2] Taylor G. The instability of liquid surfaces when accelerat d in a direction perpendicular to their planes. i.
Proc. R. Soc. A, 201, 192, 1950.
[3] Eggers J. Nonlinear dynamics and breakup of free-surface flows. Rev. Mod. Phys., 69(3), 865–930, 1997.
[4] Eggers J. and Villermaux E. Physics of liquid jets. Rep. Prog. Phys., 71, 036601, 2008.
[5] Popinet S. and Zaleski S. Bubble collapse near a solid boundary : a numerical study of the influence of
viscosity. J. Fluid. Mech., pages 137–163, 2002.
5


Instabilité de Rayleigh–Taylor d’un film mince visqueux

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/36848/1/818.pdf

Instabilité de Rayleigh–Taylor d’un film mince visqueux

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues