La stabilité tri-dimensionnelle d'un jet

            plan de Bickley est étudiée sous l'hypothèse de Boussinesq en faisant varier l'angle

            formé par le plan de cisaillement et la stratification. Nous analysons dans quelle

            mesure le mode de Kelvin-Helmholtz peut avoir une structure rayonnante et plus

            généralement comment des ondes internes (ou ondes de gravité) associées à des modes

            rayonnants instables, peuvent être générées spontanément

CANDELIER, Julien

LE DIZÈS, Stéphane

MILLET, Christophe

French

Candelier, Julien

Millet, Christophe

Le Dizès, Stéphane

HAL AMU

Instabilités rayonnantes tri-dimensionnelles d'un jet plan stratifié

HAL-CEA

I-Revues

19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
Instabilit és rayonnantes tri-dimensionnelles
d’un jet plan stratifi é
J. CANDELIER 1,2 , C. M ILLET 1 ET S. LE DIZ ÈS2
1 CEA, DAM, DIF, F-91297 Arpajon, France
2 IRPHÉ, CNRS, BP 146, F-13384 Marseille cedex 13, France
E-mail : julien.candelier@cea.fr
Résuḿe :
La stabilit́e tri-dimensionnelle d’un jet plan de Bickley est´ tudíee sous l’hypoth̀ese de Boussinesq en faisant varier l’angle
formé par le plan de cisaillement et la stratification. Nous analysons dans quelle mesure le mode de Kelvin-Helmholtz
peut avoir une structure rayonnante et plus géńeralement comment des ondes internes (ou ondes de gravité) ssocíeesà
des modes rayonnants instables, peuventêtre ǵeńerées spontańement.
Abstract :
The three-dimensional stability of a two-dimensional plane Bickley jet is studied under the Boussinesq approximation
when the angle between the basic flow and the vertical direction of stratification is varied. We analyse under which
conditions the Kelvin-Helmholtz mode exhibits an oscillating structure and more generally, how internal gravity waves
can be spontaneously generated by the jet.
Mots clefs : Ondes de Gravit́e, Jet de Bickley, Instabilit́es
1 Introduction
Les sources d’ondes internes peuvent être multiples (voirFritts et al. (1)) et l’instabilité de cisaillement (ou de
Kelvin-Helmholtz) en fait partie. Les études de stabilit´e d’une couche cisaillée dans un fluide stratifié stable
se sont souvent limitées aux cas où l’écoulement moyen est uniforme dans un plan horizontal mais varie avec
l’altitude (voir Miles (2) et Howard (3)). Delonclet al. (4) ont récemment étudié la stabilité 3D d’un jet
de Bickley dont le plan de cisaillement est horizontal mais ils ne se sont intéressés qu’au mode de Kelvin-
Helmholtz.
Un lien entre les deux types d’étude va être obtenu en considérant un jet plan de Bickley dont le plan de cisaille-
ment possède une orientation arbitraire par rapport à la direction de stratification. Nous nous intéresserons plus
particulièrement aux propriétés de stabilité des modes rayonnants, c’est à dire à ceux possédant une structure
transverse oscillante à l’infini. De tels modes ont déjà ´eté mentionnés par Satomura (5) dans un modèle en eau
peu profonde. Ils sont également semblables aux(( modes acoustiques)) décrits par Tam and Hu (6; 7) que l’on
trouve dans les jets supersoniques.
2 Formulation du probl ème
En l’absence de perturbation, le fluide est stratifié avec unfréquence de Brunt-VäisäläN =
√
−g/ρ0 · dρ̄/dz∗
constante, avecz∗ vertical ascendant,ρ0 une densité de référence constante etρ̄ la densité moyenne, et possède
une vitesseU. On considère comme écoulement un jet de Bickley plan
U = U(z)ex =
1
cosh2(z)
ex, (1)
tel que le plan de cisaillementx-z forme un angleθ avec la verticale (voir figure 1(a)). Toutes les variables
sont adimensionnées en utilisant la vitesse maximale, la largeur du jet et la densité de référence. Le nombre de
Froude est ainsi défini parFr = 1/N . Les propriétés de stabilité sont obtenues en considérant les perturbations
linéaires de vitesseu = (u, v,w), de pressionp et de densitéρ, de la forme :
f̃(x, y, z, t) = f(z) exp(iωt − ikxx − ikyy). (2)
1
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
(a)
θ
z
x
y
g
U(z)
(b)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
k
y
Fr
−
ω
i
 
 
FIG. 1: (a)Écoulement de base : définition de l’angleθ (b) Taux de croissance temporel du mode de Kelvin-Helmholtzet
du premier mode rayonnant pourkx = 0.9021 et θ = π/2. — : résultats numériques ; - - - : analyse WKBJ pour
kyFr ≫ 1 ; ⋄ : résultats de Delonclet al. (4).
Dans le cadre des hypothèses non-visqueuse et de Boussinesq, les équations linéarisées pour la perturbation
deviennent :
(ω − kxU)u − i
dU
dz
w = kxp, (3a)
(ω − kxU)v + i sin(θ)N
2ρ = kyp, (3b)
(ω − kxU)w − i cos(θ)N
2ρ = i
dp
dz
, (3c)
(ω − kxU)ρ − i sin(θ)v + i cos(θ)w = 0, (3d)
ikxu + ikyv −
dw
dz
= 0. (3e)
Les équations (3) sont mises sous la formeAf = ωBf oùA etB sont les opérateurs discrétisés. Le problème
aux valeurs propres généralisé enω est alors résolu par une méthode de collocation spectrale; la partie imagi-
naire deω, notéeωi, représentant l’opposé du taux de croissance temporel. Un contour d’intégration dans le
plan complexe est utilisé afin d’appliquer correctement lacondition de rayonnement à l’infini (voir Riedinger
et al. (8)). Des conditions de parité sont également appliquées au centre du jet afin de sélectionner les modes
sinueux (impair en pression) et variqueux (pair en pression). Dans la suite, seuls les modes sinueux seront
considérés.
3 Résultats
3.1 Cisaillement vertical
Pour le cisaillement vertical,i.e. quandθ = 0, Miles (2) et Howard (3) ont trouvé une condition suffisante
d’instabilité en terme de nombre de RichardsonRi =
N2
(dU/dz)2
: si Ri < 1/4 alors l’écoulement est in-
stable. Dans le cas du jet de Bickley, le nombre de Richardsone t minimal au point d’inflexionzi où on a
dU
dz
∣
∣
zi
= ±4
√
3
9
. Ainsi, la condition d’instabilité s’écrit donc :Fr > 3
√
3
2
. Comme on peut le voir sur la figure
3, cette condition est vérifiée, mais elle n’a de sens que por θ = 0. En effet, dès que l’angleθ est différent de
zéro, l’écoulement est instable quel que soit le nombre deRichardson.
2
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
(a)
0.
01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.
02
0.02
0.02
0.
02
0.
02
0.
02
0.
03
0.
03
0.
03
0.
03
0.03
0.03
0.03
0.03
0.
04
0.
04
0.04 0.04
0.04
0.04
0.04
0.
05
0.
05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.
06
0.06
0.06
0.06
0.060.
07
0.0
7 0.07
0.070.
08
0.08
0.08
0.08
0.
09
0.09
0.09
0.090.
1
0.1
0.10.
11 0.11
0.11
0.
12
0.12
0.12
0.13
0.13
0.14
0.140.1
5
0.16
k
x
k y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(b)
0.002
0.002
0.002
0.002
0.003
0.003
0.003
0.003
0.004
0.004
0.004
0.004
0.005
0.005
0.005
0.00
5
0.006
0.006
0.006
0.00
6
0.007
0.007
0.0
07
0.00
7
0.008
0.008
0.0
08
0.0
08
0.009
0.009
0.0
09
0.0
09
0.01
0.01
0.0
1
0.0
10.011
0.011
0.0
11
0.
01
1
0.
01
2
0.012 0
.0
12
0.
01
2
0.013
k
x
k y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
FIG. 2: Taux de croissance temporel (a) du mode de Kelvin-Helmholtz (n = 0) et (b) du premier mode rayonnant (= 1)
pourθ = π/2 etFr = 1 dans le plankx-ky. Le mode présente une structure rayonnante entre les lignes épaisses
définies par les inégalités (5).
3.2 Cisaillement horizontal
Le cas où le cisaillement est orthogonal à la stratification c rrespond à l’angleθ = π/2 et a été traité par
Deloncleet al. (4). Le taux de croissance temporel maximal du mode de Kelvin-Helmholtz correspond à une
perturbation bi-dimensionnelle pourkx = 0.9021 ; il est tracé en fonction du nombre d’onde normalisékyFr
sur la figure 1(b). Les résultats sont en accord avec ceux de Deloncle et al. mais d’autres modes amplifiés,
appelés par la suite modes rayonnants, peuvent être obtenus grâce à l’intégration dans le plan complexe.
Dans le contexte des tourbillons stratifiés, Le Dizès & Billant (9) ont montré qu’une bonne description des
modes amplifiés pouvaient être obtenue en effectuant une analyse WKBJ (voir Bender & Orszag (10)) dans la
limite kyFr ≫ 1. Une telle analyse conduit ici à la relation de dispersion suivante pour les modes sinueux :
kyFr
∫ zc
0
√
(ω − kxU)2
1 − Fr2(ω − kxU)2
dz = nπ +
3π
4
−
i
4
ln 2, (4)
où n est un entier etzc = arcosh(
√
kx/ω). Le taux de croissance obtenu à partir de cette relation a été tracé
sur la figure 1(b) pourn = 0 andn = 1. Le bon accord avec les résultats numériques pourkyF > 5 montre
que l’analyse capture l’essentiel du mécanisme physique de l’instabilité. Ce résultat montre également que
le mode de Kelvin-Helmholtz, qui correspond au moden = 0 dans (4), est en réalité pour des grandsky le
premier mode d’une famille infinie de modes instables. Néanmoi s, il se distingue des autres modes par son
comportement instable pour des petitsky.
Le comportement rayonnant des modes s’obtient en analysantles solutions des équations des perturbations (3)
au voisinage de l’infini. On trouve que les modes rayonnent das l directionz dès que la partie réelle de leur
fréquence vérifie
kx
√
k2x + k
2
y
< ωrFr < 1. (5)
Notez en particulier que la deuxième inégalité correspond à la valeur limite d’existence des ondes internes
dans un milieu au reposω < N (1). Ces conditions ont été appliquées aux deux premiersmodes sur la fi-
gure 2. On peut ainsi remarquer que les deux types de modes rayonnent pour une large gamme de paramètres.
En particulier, le moden = 1 est quasiment toujours rayonnant. Dans les deux cas, on peutégalement souli-
gner en comparant les figures 1(b) et 2 que le désaccord entrel numérique et l’analyse WKBJ est important
uniquement lorsque le mode n’est plus rayonnant.
3
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
(a)
Fr
θ
 
 
10
−1
10
0
10
1
10
2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Ri = 1/4
(b)
Fr
θ
 
 
10
−1
10
0
10
1
10
2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Ri = 1/4
FIG. 3: Évolution du mode 2D (ky = 0) le plus amplifié ((a)kx et (b) -wi) en fonction des paramètresθ etFr.
3.3 Angleθ quelconque
Faire varier l’angleθ permet de voir comment sont reliées les situations précéd mment décrites. Sur les fi-
gures 3, nous avons tracé le taux d’amplification maximal etla fréquence associée d’une perturbation 2D
(ky = 0) en fonction de l’angle et du nombre de Froude. Comme on l’a souligné précédemment, la valeur
1/4 du nombre de Richardson est clairement visible, mais elle correspond à une limite de stabilité uniquement
lorsqueθ = 0.
Sur la figure 4, nous avons tracé, dans le cas fortement stratifié (Fr ≪ 1), les caractéristiques du mode de
Kelvin-Helmholtz et du premier mode rayonnant en fonction du nombre d’onde normalisékyFr lorsque l’angle
θ varie et pour la valeur dekx correspondant au taux d’amplification maximal àθ = π/2. On remarque que
les modes sont moins instables et que leur fréquence augmente lorsque l’angle diminue. Le premier effet peut
être relié à un effet stabilisant de la composante de stratification projetée dans le plan de cisaillement. L’autre
effet visible est la disparition du caractère bi-dimensionel du mode de Kelvin-Helmholtz (dès queθ ≃ π/8,
voir figure 4(b)). De plus, pour de petits angles, il est intéressant de remarquer que le taux d’amplification du
mode de Kelvin-Helmholtz devient du même ordre de grandeurque celui du premier mode rayonnant.
4 Conclusion
Nous avons montré comment les propriétés de stabilité d’un jet plan de Bicklet variaient lorsque l’angle de la
stratification vis-à-vis du plan de cisaillement était modifié. Ainsi, on a pu faire le lien entre les résultats obtenus
dans les deux cas limites d’un cisaillement parallèle et d’un cisaillement perpendiculaire. Parmi les résultats
intéressants, nous avons montré que le critère d’instabilité asé sur le nombre de Richardson (Ri < 1/4)
n’était utile que pour le cas d’un cisaillement parfaitement parallèle à la stratification. Dès que cisaillement et
stratification ne sont plus parallèles, nous avons démontré que le mode de Kelvin-Helmholtz était instable quel
que soit le nombre de Richardson.
En utilisant une astuce numérique, nous avons également pu mettre en évidence la présence d’autres modes
que celui de Kelvin-Helmholtz. Ces modes sont de type rayonnant car ils possèdent une structure transverse
oscillante loin du jet. Ils ont un taux de croissance comparable ` celui du mode de Kelvin-Helmholtz dans
le cas fortement stratifié (Fr ≪ 1) et lorsque cisaillement et stratification sont presque parallèles (faibleθ).
Nous avons aussi montré qu’ils pouvaient être décrits par une analyse WKBJ dans la limite des grands nombre
d’onde transversaux.
Références
[1] Fritts D. and Alexander M. Gravity wave dynamics and effects in the middle atmosphere. Reviews of
Geophysics, 41, 1, 2003.
[2] Miles J. On the stability of heterogeneous shear flows. J.Fluid Mech., 10, 496–508, 1961.
[3] Howard L. Note on a paper of john w. miles. J. Fluid Mech., 10 509–512, 1961.
[4] Deloncle A., Chomaz J., and Billant P. Three-dimensional st bility of a horizontally sheared flow in a
stably stratified fluid. J. Fluid Mech., 570, 297–305, 2007.
4
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
(a)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
k
y
Fr
ω
r
θ=π/2
θ=π/12
(b)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
k
y
Fr
−
ω
i
θ=π/12
θ=π/2
(c)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
k
y
Fr
ω
r
θ=π/12
θ=π/2
(d)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
k
y
Fr
−
ω
i
θ=π/12
θ=π/2
FIG. 4: Comportement du mode de Kelvin-Helmholtz ((a) et (b)) etdu premier mode rayonnant ((c) et (d)) pour
kx = 0.9021, Fr = 10−4 etθ deπ/2 àπ/12 par palier deπ/36.
[5] Satomura T. An investigation of shear instability in a shllow water. Journal of the Meteorological Society
of Japan, 59, 1, 1980.
[6] Tam C. and Hu F. On the three families of instability wavesof high-speed jets. J. Fluid Mech., 201,
447–483, 1989.
[7] Tam C. and Hu F. The instability and acoustic wave modes ofsupersonic mixing layers inside a rectan-
gular channel. J. Fluid Mech., 203, 51–76, 1989.
[8] Riedinger X., Le Dizès S., and Meunier P. Viscous stability properties of a lamb-oseen vortex in a
stratified fluid. J. Fluid Mech. (submitted).
[9] Le Dizès S. and Billant P. Radiative instability in stratified vortices. Phys. Fluids. (submitted).
[10] Bender C. and Orszag S. Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw-Hill,
1978.
5


Instabilités rayonnantes tri-dimensionnelles d'un jet plan

            stratifié

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Instabilités rayonnantes tri-dimensionnelles d'un jet plan stratifié

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