La validation de modèle est une question

            centrale quant à la diminution des marges notamment dans le cas des lanceurs spatiaux.

            Les modèles sont de plus en plus performants, mais malgré tout, des méconnaissances

            fortes subsistent, quant aux excitations et aux paramètres structuraux de certaines

            liaisons complexes. La démarche de recalage développée a pour but de mettre à profit les

            mesures réalisées en phase de vol atmosphérique,  ce afin de réduire les

            méconnaissances

CHARBONNEL, Pierre-Etienne

LADEVÈZE, Pierre

LOUF, François

French

I-Revues

19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
Recalage de mod̀eles de lanceur̀a partir d’essais en vol
P.E.CHARBONNEL a , P.LADEV ÈZEa,b , F.LOUFa
a. LMT-Cachan(ENSCachan/CNRS/Paris6University) 61 avenuedu Pŕesident Wilson, F-94235 Cachan
Cedex, France Email : [charbonnel,ladeveze,louf]@lmt.ens-cachan.fr
b. EADS Foundation Chair ”Advanced Computational StructuralMechanics”
Résuḿe :
La validation/recalage de modèle est une question centrale quant` la diminution des marges notamment dans le cas des
lanceurs spatiaux. Les modèles sont de plus en plus performants, mais malgré tout, des ḿeconnaissances fortes subsistent,
quant aux excitations et aux paramètres structuraux de certaines liaisons complexes. La démarche de recalage dévelopṕee
a pour but de mettrèa profit les mesures réaliśees en phase de vol atmosphérique, ce afin de ŕeduire les ḿeconnaissances.
Abstract :
Model validation is a major point regarding safety-marginsreduction, especially for space launchers. Models are more
and more complex and efficient, but in spite of everything, a certain Lack Of Knowledge (LOK) remains on the sources
of excitation on the one hand, and some structural stiffnessand damping parameters on the other hand. The updating
method that will be developed aims to profit from the flight measurements performed at the end of an atmospherical flight,
in order to reduce the Lack Of Knowledge
Mots clefs : Recalage/Validation, Erreur en Relation de Comportement,Méconnaissances
1 Introduction
Dans le domaine de l’aérospatiale, la validation (ou recalage) est une question centrale quant à la diminution
des marges. La démarche de recalage consiste à améliorerla qualité d’un modèle numérique en le confrontant
à un certain nombre de résultats d’essais.
Certes les modèles sont de plus en plus performants, mais malgré tout, des méconnaissances fortes subsistent
par exemple quant aux amortissements ou encore à certainesrigidités. Les sources d’excitation sont elles aussi
mal connues tant par leurs niveaux que par leur temps d’apparition et leurs durées. Ainsi les essais en vol, s’ils
sont bien instrumentés, constituent pour la validation oule recalage des ensembles d’information extrêmement
riches et originaux dont il doit être possible de tirer des en eignements majeurs. Notons qu’un essai en vol est
un fait un multi-essai au sens où plusieurs sources d’excitations sont excitées ; une des difficultés et non des
moindres est que ces sources d’excitation ne sont pas connuesa priori.
En matière de validation ou de recalage, il existe deux philosophies très différentes :
– La première est de supposer très peu de chose sur le modèle et l s excitations, les informations que l’on tire
étant lues quasiment directement sur les mesures. Son avantage est la facilité de mise en oeuvre, les outils
s’appliquant à de très larges familles de problèmes [1],[2].
– La seconde, celle que nous suivrons ici, est au contraire detirer partie des connaissances que l’on a sur le
modèle et les excitations. Seule une partie du modèle et des excitations est considérée comme mal connue,
le reste étant supposé fiable. En d’autre termes, une partie du modèle entre dans ce que l’on peut entendre
comme la référence. Cette démarche a été initiée au LMT-Cachan [3], [4] et a depuis connu de nombreux
développements, notamment dans le domaine de la validation de modèles probabilistes [5]. Son inconvénient
est son coût ; par contre elle est susceptible de fournir desinformations inaccessibles par toute autre méthode.
Dans cette communication nous proposons un développementde cette démarche, applicable à des modèles
industriels complexes comme ceux du lanceurs Ariane 5E, pour lesquels les mesures en vol peuvent fournir
un ensemble d’informations riche et original pour le recalage. Rappelons que dans le cas que nous traitons, les
excitations sont considérées comme partiellement inconues ; nous préciserons la façon dont on s’affranchira
de cette difficulté. Nous présenterons enfin un premier jeude résultats obtenus à l’aide du modèle de lanceur le
plus simple utilisé par ASTRIUM-ST. Après avoir identifi´e les paramètres du modèle qui sont les plus erronés,
la méthode restreint ces paramètres à des intervalles deconfiance (réduction des méconnaissances). A partir de
ces intervalles, associés à un faible niveau d’erreur relativ , la méthode fournit une estimation des excitations,
tout en ”qualifiant” la réponse du modèle numérique par rapport aux phénomènes physiques impliqués.
1
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
2 Problème de ŕeférence
F
d
f
∂ Ω
2 ∂ Ω1
U
FIG. 1 – description schématique du problème de réfence
Considérons la structure de la figure 1, occupant le volumeΩ pendant un intervalle de temps[ti, tf ]. Le
problème mécanique à résoudre s’écrit classiquement:
TrouverU(M, t) ∈ U [ti,tf ], σ(M, t) ∈ S [ti,tf ] avecM ∈ Ω vérifiant :
– contraintes cińematiques et conditions aux limites, U(M, t) ∈ U [ti,tf ] :
M ∈ Ω, U |t=0= U0
dU
dt
|t=0= U̇0 , ∀t ∈ [ti, tf ], U |∂1Ω= Ud
– équations d’́equibre, σ(M, t) ∈ S [ti,tf ] :
ρ
d2U
dt2
= divσ + f , σ · n|∂2Ω= F d
– relations de comportement:
∀t ∈ [ti, tf ], M ∈ Ω, σ(t) = K : ε + B : ε̇ (1)
3 Hypothèses
On suppose que le comportement de la structure lors de la phase étudiée est du type vibratoire lentement
variable tant en phase qu’en fréquence et en module :
U t =
∫ ωmaxt
ωmint
U tω e
jωttdω (2)
A chaque instantt, le contenu fréquentiel du signal est caractérisé par une famille de valeurs(U tω, ωt) oùU tω
sont les valeurs complexes du domaine de Fourier. Les valeurs (U tω, ωt) sont supposées évoluer lentement
avect. Dans la suite, afin d’alléger les notations, on noteraU ` la place deU tω tant qu’il ne demeure aucune
ambiguı̈té.
Du point de vue de la modélisation, on considère ici que lesquantités les plus mal connues sont relatives aux
liaisons et aux excitations. Pour simplifier, les amortissement ne sont pas pris en compte.
4 Erreur en relation de comportement / Probl̀eme inverse
A ce niveau, remarquons que, pour le problème de référenc, toutes les équations n’ont pas le même degré de
certitude. Le point fondamental de la méthode développée consiste à séparer les équations et données ”fiables”,
de celles qui le sont moins.
4.1 Śeparation des quantit́es
Données fiables
– Conditions aux limites en déplacement
– Equations d’́equilibre dynamique
Données non-fiables
– Relations de comportement
Introduisons un champ de déplacementV 6= U tel que le champ de contrainte vérifie :
σ = Kǫ(V ) + Bǫ̇(V ) (3)
Le champU sera dit ”cinématiquement admissible” tandis que le champV sera dit ”dynamiquement admis-
sible”.
2
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
– quantit́es mesuŕeesŨ
Lors d’un essai en vol, considéré ici comme un ”multiessai”, on connaı̂t à chaque instant :
(ω, Ũ(ω)) pourω ∈ Ωt t ∈ [0, T ] (4)
– les excitationsF
Les excitations seront supposées partiellement inconnues mais les sous-structures sur lesquelles elles s’ap-
pliquent sont connues.
4.2 Champs admissibles
Après discrétisation du problème par éléments finis, une solutions = {U, V , F} est admissible si :
(Ctω)
U |∂1Ω= Ud
KV − ω2MU = F
(5)
car les modèles sont supposés non-dissipatifs. NotonsSad,tω le champ des solutions admissibles.
4.3 Erreur en Relation de Comportement modifíee (CRE)
Il faut maintenant écrire un résidu sur les données et équations non-fiables. Pour cela, on forme pour chaque
couple(t, ω) une fonctionnelle appelée Erreur en Relation de Comportement odifiée (ERC), qu’on écrit :
e2tω =
1
2
∑
E∈ER
(UE − V E)
∗
KE (UE − V E) +
r
1 − r
(U − Ũ)∗ Ga (U − Ũ) (6)
où :
– UE , V E ,KE désigne la restriction deU, V ,K associée à la sous-structureE.
– ER est le sous-ensemble des sous-structuresE dont les paramètres de raideur doivent être recalés.
– Ga est une matrice qui donne le même poids aux deux termes de2tω.
– r ∈]0, 1[ est un scalaire relatif à la confiance que l’on accorde aux mesuresŨ .
– A∗ désigne le transposé du conjugué deA t tel que la fonctionnelle2tω est réelle.
L’ERC modifiée est sommée sur les fréquences, puis intégrée en temps :
e2t =
1
mes(Ωt)
∫
Ωt
e2tω(ω)dω e
2(s) =
1
T
∫ T
0
e2t dt
L’erreur totale peut être interprétée la somme d’une errur de modèle et d’une erreur de mesure :
e2 = e2CRE +
r
1−re
2
exp
Le premier terme permet de minimiser la distance entre les deux champsU etV , tandis que le second compare
le champU aux résultats expérimentaux. Si ce dernier terme devienttrop important et que l’erreur provient
d’un petit nombre de capteurs, ceux-ci peuvent être considérés comme défaillants et exclus du calcul de l’ERC
modifiée.
4.4 Recherche des ∈ Sad,tω qui minimise e2(s)
Les données fiables définissent les champs admissibles. Oncherche donc une solution dans les champs admis-
sibles et qui vérifient ”au mieux” les équation et donnéesnon-fiables. Le problème qu’on résout s’écrit :
(Ptω)
trouver ŝ = (U, V , F ) ∈ Sad,tω
qui minimise e2(s) avecs ∈ Sad,tω
(7)
5 Procédure de recalage
5.1 Activation de la proćedure
Une fois les capteurs défaillants écartés, il faut définir si le modèle a besoin d’être recalé. Pour cela, on définit
une erreur relativeε2 de la forme suivante :
ε2 =
1
T
·
1
mes(Ωt)
∫ tf
ti
∫ ωmaxt
ωmint
(V − U)∗K(V − U)
D2
dt dω (8)
with D2 =
1
T
·
1
mes(Ωt)
∫ tf
ti
∫ ωmaxt
ωmint
(V 0 + U0)∗K0(V 0 + U0) dt dω (9)
(10)
3
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
oùU0, V 0 etK0 sont les quantités associées au modèle dans sa configuration initiale (i.e. avant recalage).
Le modèle doit être recalé si :
ε2 ≥ ε20 (11)
oùε20 est une valeur seuil donnée.
Cette valeur dépend de la finesse du modèle choisi pour représ nter la structure. Pour un modèle riche, capable
de rendre compte de la majorité des phénomènes en jeu,ε0 sera fixé à une valeur faible (typiquement 1-2%).
Pour des modèles plus simplistes et grossiers, chercher àatteindre une faible valeur d’erreur n’a pas de sens ;
qui plus est, le modèle peut en être incapable. Pour de telsmodèles, la valeur seuil (11) sera fixée à 5-10%.
On sort de la procédure de recalage dès que le critère (11)devient faux.
5.2 Une it́eration du processus de recalage
Pendant une itération de la procédure, l’erreur relativeest calculée pour chaque sous-structureE ∈ E :
ε2E =
1
T
·
1
mes(Ωt)
∫ tf
ti
∫ ωmaxt
ωmint
(V E − UE)
∗
KE(V E − UE)
D2
dt dω (12)
et on définitER le sous-espace des sous-structuresE telles que :
ε2E ≥ 0.8 sup
E∈E
ε2E (13)
qui sont les sous-structures dont les raideurs sont les plusmal modélisées et ont besoin d’être recalées.
5.3 Recherche du minimum
L’erreur globalee2 est fonction de tous les paramètres de raideur. Le problème de correction consiste alors à
trouver les paramètres de raideurαR (associés aux sous-structures à recalerE ∈ ER) qui minimisente
2(αR).
Une fois le minimum atteint pour le sous-ensembleER, un nouvel ensembleER peut être défini.
Ce minimum de l’erreur peut être atteint à l’aide de méthodes du type gradient ou BFGS. Le critère d’arrêt (11)
quant à lui, concerne l’erreur relative ; par conséquens,si l’algorithme de descente s’arrête sur un minimum
local, le critère d’arrêt sur l’erreur relativeε2 ≤ ε20 ne sera pas vérifié, et la procédure de recalage pourra
continuer.
5.4 Sortie de la proćedure
Une fois le critèreε20 atteint, on est en mesure de fournir :
– de nouvelles valeurs pour les paramètresαi ∈ αR, qui sont données dans un intervalleAi = [α
min
i ;α
max
i ],
associé à la valeurε20 de l’erreur relative.
– une estimation des excitations, qui sont calculées grâce aux nouvelles valeursαi ∈ Ai.
5.5 Cas probĺematiques
Il peut arriver que la procédure de recalage ne puisse allerà son terme : l’erreur ne peut décroı̂tre. Cela peut
signifier que le modèle est globalement incapable de représ nt r les mesures car trop pauvre. Une modification
en profondeur de ce dernier doit être effectuée.
6 Mise en oeuvre sur une structure industrielle
Dans cette section, on illustre la méthode décrite ci-avant d ns le cas du modèle le plus simple utilisé par
Astrium pour représenter une partie du lanceur Ariane 5E.
6.1 Les mesures
Les données accessibles pour le vol qu’on étudie concernent :
– 2 capteurs accélérométriques aux noeuds 1 et 2
– 1 capteur de pression au noeud 1 (voir figure 3 pour la position des noeuds)
En conséquence de l’hypothèse formulée en introduction, et qui suppose que les données du problème sont
lentement variables avect, une manière efficace de post-traiter les mesures est d’utiliser une transformée de
Fourier à fenêtre glissante. Afin d’avoir le meilleur compromis pour la résolution temps-fréquence, on choisit
des fenêtres de Gabor (gaussienne). Pour plus de détails concernant les analyses temps-fréquence, on pourra
se référer à [6]. L’analyse-temps fréquence pour les accéléromètres et les capteurs de pression est représenté
figure 2.
4
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
Acceleration at Node 2
a
c
c
e
le
ra
ti
o
n
 
Pression at node 1
time
p
re
s
s
io
n
 
time
fr
e
q
u
e
n
c
y
Spectrum - Acceleration node 1
time
fr
e
q
u
e
n
c
y
Spectrum - Acceleration node 2
time
fr
e
q
u
e
n
c
y
Spectrum - Pression node 1
time
Acceleration at Node 1
time 
a
c
c
e
le
ra
ti
o
n
FIG. 2 – time-frequency Gabor analysis
6.2 Recalage d’un mod̀ele simple
6.2.1 Le mod̀ele EF
On considère le modèle le plus simple utilisé par Astriumpour représenter une partie du lanceur :
DIAS
Corps Central
Tuyère
EAP
Butée
FIG. 3 – modèle unidimensionnel
– l’Etage à poudreEAP ,
– le Corps CentralCC, qui modélise le corps
du lanceur et l’EAP droit.
– la tuyèreTUY
et deux liaisons :
– le DIspositif ASsouplisseurDIAS, qui est
la liaison (considérée élastique) entre le
CC et l’ EAP ,
– la Butee flexible est la liaison entre la
TUY et l’EAP .
Le modèle de la figure 3 ne prend en compte que les déplacements verticaux ; c’est une hypothèse très restric-
tive, mais qui permet malgré tout de rendre compte des princi aux phénomènes.
Les excitations sont principalement dues à des oscillations de pression à l’intérieur desEAP . Les efforts
associés vont apparaı̂tre pour les noeuds 1, 2 et 3, et les inconnues d’effort seront notéesFEAP = {F1, F2, F3}.
Afin de modéliser plus fidèlement l’élancement de l’EAP qui joue un rôle prépondérant (eu égard au charge-
ment), on ajouteranEAP noeuds sur l’EAP .
Sont également pris en compte les dépendances au temps desaramètres de raideur, et surtout de masse des
différents composants.
6.3 Premiers ŕesultats
Sont représentés sur la figure 4 les différents résultatob enus pour les étapes de localisation et de sortie de la
procédure décrite ci-avant.
5
19 èmeCongr̀es Français de Ḿecanique Marseille, 24-28 aôut 2009
α
EAP
α
B
u
té
e
Erreur Relative
 
 
0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
1 2 3 4
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
CC                      DIAS                       EAP                     Butee
Localisation - Carte d'erreur Sortie de la procédure
70 75 80 85 90 95 100 105 110
0
2
4
6
Excitation − Noeud 1 − frequency x Hz
time
e
x
c
it
a
ti
o
n
 
 
effort mesuré
effort estime
α
Butée
EAP
α
Estimation de l'excitation
 à fréquence donnée
Erreur  seuil ε
(contour jaune)
0
FIG. 4 – Premiers résultats pour un modèle simpliste
7 Conclusion
Dans cette communication on a présenté une démarche recalag daptée à un environnement expérimental
incertain, et testée sur un modèle EF simple. Cette méthod permet de définir la ”qualité” du modèle traité au
regard des phénomènes impliqués, grâce au niveau d’erreur relative atteint en sortie de procédure. Un modèle
grossier est associé à un niveau d’erreur élevé (5-10%)tandis qu’un modèle fin et adapté au problème atteint
des valeurs de 1-2%.
L’algorithme développé est applicable à des modèles industriels complexes, et fait preuve en la matière d’une
grande robustesse. Cette approche, teintée d’un ”contenumécanique” fort, fournit les jeux de paramètres à
recaler dans des intervalles (associé à des faibles valeurs d l’erreur relative), et du même coup, conduit à une
estimation des excitations, considérées comme partiellem nt inconnues.
A court terme, l’enjeu est de traiter des modèles industriel d lanceur Ariane 5E, susceptibles de contenir des
données probabilistes et dissipatives. Les perspectivesà plus long terme sont de procéder à une optimisation
de la position des capteurs sur le lanceur, ce afin de réduireles méconnaissances sur des quantités d’intérêt à
définir.
Références
[1] J.E.Mottershead and M.I.Friswell . Model updating in struc ural dynamics : a survey.
[2] P.Stoca and R.L.Moses . Introduction to spectral analysis. Prentice Hall, 1997.
[3] P.Ladeveze D. and M.Reynier . Updating of finite element models using vibrations tests. AIAA Journal,
7(32), 1485–1491, 1994.
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[5] P.Ladeveze G. and T.Romeuf . Validation of structural dynamics models containing uncertainties. Com-
puter methods in applied mechanics and engineering, 195(4-6), 373–393, 2005.
[6] E.Roubine . Introduction to communication theory, volume 1, 2 and 3. Masson Cie, Paris, 1970.
6


Recalage de modèles de lanceur à partir d'essais en vol

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/37009/1/898.pdf

Recalage de modèles de lanceur à partir d'essais en vol

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