La théorie de la stabilité globale fournit

            un moyen simple d'investigation des problèmes complexes d'aéroacoustique. Notre étude se

            concentre donc sur la stabilité d'un cas appliqué issu d'expérimentations : nous

            étudierons l'écoulement au dessus d'une cavité cylindrique pour une vitesse incidente de

            70m/s  d'où un nombre de Reynolds important. La même approche de stabilité sera

            appliquée à des écoulements sur des cavités rectangulaires supposées infinies dans la

            direction de l'envergure

CASALIS, Grégoire

MÉRY, Fabien

French

I-Revues

19 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
Instabilités globales d’un écoulement à grand nombre de
Reynolds sur une paroi présentant une cavité
FABIEN MÉRY ET GRÉGOIRE CASALIS
ONERA, DMAE 2 Avenue Edouard Belin BP 4025 F-31055 TOULOUSE CEDEX 4
Résumé :
La théorie de la stabilité globale fournit un moyen efficace d’investigation des probl èmes complexes d’aéroacoustique.
L’étude présente se concentre sur la stabilité d’un cas étudié expérimentalement : l’écoulement au-dessus d’une cavité
cylindrique pour une vitesse incidente de 70 m/s d’où un nombre de Reynolds important. La même approche de stabilité
est appliquée ensuite au même écoulement incident mais sur une cavité rectangulaire supposée infinie dans la direction
transversale.
Abstract :
The global stability theory provides an efficient tool for investigation of aeroacoustics problems. The present study puts
the stress first on the stability of a configuration experimentally studied : the flow above a cylindrical cavity for an inflow
freestream of 70 m/s. The same stability approach is applied to a flow over a rectangular cavity supposed infinitely large
in the transverse direction
Mots clefs : Stabilité globale, Cavité
1 Introduction
L’aéroacoustique des cavités constitue une problématique majeure pour l’industrie aéronautique en ce qui
concerne la réduction du bruit d’un avion à l’atterrissage. Parmi les différents outils d’analyse d’un tel écoulement,
la théorie de la stabilité fournit un moyen efficace d’investigation. Dans la bibliographie afférente, on trouve
surtout des études fondamentales (bas nombres de Reynolds, cavités rectangulaires) réalisées notamment à
l’ONERA DAFE [1] et à Caltech [2]. Notre étude se concentre sur la stabilité d’un cas plus appliqué issu
d’expérimentations réalisées à l’ECL [3]. Précisément, nous étudierons un écoulement à grand nombre de
Reynolds sur une paroi plane présentant une cavité cylindrique et qui par ailleurs a fait l’objet d’une simulation
aux grandes échelles réalisée à l’ONERA DSNA [4]. Les résultats obtenus sur ce cas de cavité cylindrique
seront confirmés par une étude de la stabilité de la cavité rectangulaire supposée infiniement large pour s’af-
franchir des possibles effets 3D lié à l’écoulement complexe de la cavité cylindrique. L’article s’articule autour
de deux grandes parties. Dans une première partie, nous abordons le cas de la cavité cylindrique. Au regard de
ces résultats, la seconde partie est consacrée au cas de la cavité rectangulaire infinie en envergure.
2 Cavité Cylindrique
2.1 Description de la configuration étudiée
La configuration étudiée est une cavité cylindrique (figure 1) de diamètre D = 0.1 m. et de profondeur
H = 0.1 m. L’écoulement est un gaz idéal. La vitesse incidente est de U∞ = 70 m/s, correspondant à
un nombre de Mach de M = 0.2. Le nombre de Reynolds basé sur le diamètre de la cavité est environ
450 000. La couche limite amont est laminaire, son épaisseur est de δ = 15 mm à 0.2 m en amont de la ca-
vité. L’écoulement devient rapidement turbulent à partir du bord amont de la cavité. L’écoulement calculé par
simulation aux grandes échelles (SGE), utilise le code interne ONERA appelé Flu3M [5]. Ce calcul comporte
environ 13 millions de points avec au minimum 40 points dans la couche limite. Cette simulation est en très bon
accord avec les résutats expérimentaux [3, 4]. La partie moyenne de cette simulation nous sert d’écoulement de
base pour l’étude de stabilité, la partie instationnaire d’éléments de comparaison. Afin d’obtenir des quantités
adimensionnées (pour les longueurs, les composantes de la vitesse et le temps), on utilise la profondeur de la
cavité H , la vitesse U∞ et le rapport H/U∞, respectivement. Pour des cavités rectangulaires, Rossiter propose
une relation semi-empirique qui prévoit les harmoniques dominants [6]. En effet, les perturbations acoustiques
liées à l’impact des tourbillons sur le bord aval de la cavité excitent les instabilités de couche de mélange au
niveau du bord amont, un accord particulier se fait entre le temps de parcours des perturbations acoustiques
et le nombre de tourbillon dans la couche de mélange : on peut observer des oscillations auto-entretenues ou
1
19 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
FIG. 1 – Configuration étudiée, position des capteurs de pression et illustration du champ de vitesse instantannée
dans le plan médian (y = 0).
encore appelé phénomène de rétroaction. On peut supposer que la formule de Rossiter est applicable dans le
cas de la cavité cylindrique. La formule employée dans la présente communication, valable à bas nombre de
Mach, sera celle proposée par Block [7] :
StRossitern =
n
M(1 + 0.514D/H ) +
1
κ(D/H)
(1)
avec κ(D/H) un paramètre empirique (κ = 0.61 dans notre cas) et n l’entier correspondant à l’harmonique
considérée.
2.2 Etude de Stabilité
2.2.1 Modélisation et méthodes numériques
L’écoulement est tridimensionnel, l’étude de stabilité est toutefois limitée au plan médian (y = 0) à la cavité
situé dans l’axe de l’écoulement principal. Dans ce plan, on suppose que l’écoulement moyen représenté par
son champ de vitesse (ū, 0, w̄) présente deux directions d’inhomogénéité : x et z, avec x la direction principale
de l’écoulement et z la normale à la plaque. On met alors en oeuvre la théorie de stabilité dite globale 2D [8].
La limitation au plan médian sera discutée dans la section suivante. On superpose une petite fluctuation à
l’écoulement moyen, chaque variable de l’écoulement se décompose comme suit :
q(x, z, t) = q̄(x, z) + q̃(x, z, t)
avec q̄ la partie moyenne qui est la partie moyenne de la SGE et q̃ la perturbation à déterminer. La perturbation
est écrite sous forme d’un mode normal : q̃(x, z, t) = q̂(x, z)e−iωt avec ω une valeur propre complexe et
q̂(x, z) la fonction propre correspondante.
Nous utilisons une modélisation en fluide parfait pour déterminer la perturbation. En effet, il est raisonnable de
considérer que le moteur des instabilités réside essentiellement dans le gradient de vitesse (couche de mélange).
Nous introduisons donc la décomposition précédente dans les équations d’Euler linéarisées pour un fluide
parfait compressible. On obtient ainsi un problème aux valeurs propres via un système d’équations aux dérivées
partielles. Ce dernier est discrétisé en utilisant une méthode aux éléments finis (voir Freefem.org), on obtient
un problème aux valeurs propres généralisé :
Aq = ωBq (2)
avec A et B des matrices et q = {p̂, û, ŵ} le vecteur des fonctions propres de la perturbation de la pression,
de la vitesse dans le sens de l’écoulement et de la vitesse normale à l’écoulement. Ce problème aux valeurs
propres est résolu par la méthode d’Arnoldi, méthode qui permet de calculer le spectre autour d’une valeur
cible.
2.2.2 Résultats
Le calcul de stabilité a permis de mettre en valeur quatre modes propres, appelés modes de Kelvin-Helmholtz
(modes KH) [9], car ils sont concentrés essentiellement dans la couche de mélange. Chaque mode est ca-
2
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ractérisé par un nombre complexe ω = (ωr, ωi) avec ωr la fréquence de la perturbation et ωi le taux d’amplifi-
cation de la perturbation. Dans notre cas, les modes KH sont amplifiés (ω i > 0). A partir de ωr, on définit un
nombre de Stouhal comme suit :
St =
ωrU∞
2πH
Les valeurs numériques du nombre de Strouhal des quatre modes KH sont reportés dans le tableau 1, ci-après.
Les nombres de Strouhal des modes KH semblent coı̈ncider avec les modes de Rossiter (Ro) :les modes Ro I
et Ro II avec KH I et KH II et Ro III avec KH IV. Cette coı̈ncidence permet une réinterprétation de la formule
de Rossiter d’un point de vue stabilité : ces modes de Rossiter semblent être des modes propres globaux
de l’écoulement. Par ailleurs, la SGE fournit un champ de vitesse instationnaire. Trois capteurs de pression
numériques ont été placés dans le plan médian (figure 1). En chaque point, une analyse de densité spectrale
du signal de pression instantannée a été réalisé (figure 2). On observe une fréquence de résonance priviliégée.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Spectra at 70 m/s
Frequency (Hz)
Sp
ec
tr
al
 D
en
si
ty
 (
dB
/H
z)
 v
ia
 W
E
L
C
H
Point 01
Point 02
Point 03
FIG. 2 – Densité spectrale des 3 capteurs de pression dans la SGE
f = 667Hz correspond à un nombre de Strouhal de St = 0.95. Ce mode résonant est en excellent accord avec
les mesures [4]. Par ailleurs, il est aussi en excellent accord avec le mode KH II. Une transformée de Fourier
discrète à la fréquence de résonance permet de comparer la forme du mode avec le mode KH II issu du calcul
de stabilité. La figure 3 présente une comparaison entre la transformée de Fourier discrète à la fréquence de
résonance du signal instationnaire et le mode KH II issu du calcul de stabilité.
(a) stabilité (b) SGE
FIG. 3 – Comparaison de la fluctuation de vitesse normale à l’écoulement (partie réelle). Mode de Kelvin-
Helmholtz II (StII ) (a) et transformée de Fourier discrète à la fréquence de résonance de la SGE de la cavité
cylindrique (b)
On note un très bon accord ce qui confirme l’hypothèse de réinterprétation du mode II de Rossiter comme étant
3
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un mode global et notamment le mode KH II. Néanmoins, le calcul de stabilité dans le plan médian d’un calcul
fortement tri-dimensionnel est discutable. C’est pourquoi une étude strictement 2D 1 semble intéressante afin
de confirmer les résultats ci-dessus.
3 Cavité rectangulaire infinie en envergure
3.1 Description de la configurations étudiée, comparaison avec le cas cylindrique
Avec les mêmes conditions de nombre Reynolds et nombre de Mach, on considère l’écoulement au-dessus
d’une cavité rectangulaire infinie en envergure : D = H = 0.1 m, U∞ = 70 m/s i.e. M = 0.2, le nombre de
Reynolds reste de 450 000. La couche limite amont est laminaire, son épaisseur est de δ = 15 mm à 0.2 m
en amont de la cavité. Le calcul a été réalisé avec le même logiciel (Flu3M). Ce calcul comporte environ 2.5
millions de points avec au minimum 40 points dans la couche limite. Pour assurer un résultat”2D”, le domaine
a une envergure de 2.5 fois la longueur D de la cavité avec une condition de periodicité à chaque extrémités.
FIG. 4 – Vitesse instantannée u de la SGE dans le cas 2D et capteur de pression dans la SGE pour le cas
cylindrique
Il est important d’évaluer de manière quantitative les différences entre le cas cylindrique et le cas rectangulaire.
L’ensemble des phénomènes observés prend sa source dans la couche de mélange, il est donc intéressant
d’étudier les caractéristiques de la couche de mélange. On définit ainsi l’épaisseur de quantité de mouvement
de la couche de mélange δm par :
δm(x) =
∫ ymax
ymin
ū(x, y)
U∞
(
1 − ū(x, y)
U∞
)
dy
avec ymin et ymax choisis de telle manière que le résultat ne varie plus et ū(x, y) la vitesse moyenne. La valeur
de dδmdx est particulièrement sensible dans les études de stabilité linéaire 1D [10]. D’autre part, l’épaisseur de
vorticité δω définie par :
δω(x) =
U∞
maxy
[
∂ū(x,y)
∂y
]
constitue un autre indicateur caractéristique de la stabilité. En effet il caractérise le point d’inflexion du profil
de vitesse. La figure 5 présente un bon accord avec les épaisseurs intégrales entre le cas 2D et le cas cylin-
drique. On peut donc s’attendre à des résultats de stabilité relativement proches, mais cette fois les résultats ne
souffriront pas d’une simplification trop importante (écoulement 3D / étude de stabilité 2D).
3.2 Etude de stabilité sur le cas rectangulaire 2D
On réalise le même calcul de stabilité sur le cas 2D. Les résultats en terme de nombre de Strouhal sont consignés
dans le tableau 1.
On obtient un résultat très comparable au cas cylindrique (sauf un petit écart sur KH I). Notamment on retrouve
la coı̈ncidence des modes de Rossiter (I,II,III) avec les modes globaux de Kelvin-Helmholtz (I,II,IV). Comme
dans le cas cylindrique, on a placé un capteur de pression légèrement au-dessus de la couche de mélange. La
figure 6 présente le résultat.
On observe l’émergence de deux fréquences priviliégées f1 = 651Hz et f2 = 936Hz, ces fréquences corres-
pondent à des nombres de Strouhal de St1 = 0.93 et St2 = 1.33. Il y aurait donc un accord entre le mode de
1Par abus de langage, nous parlons d’étude 2D du point de vue de la stabilité (deux directions d’inhomogénéité) alors que
l’écoulement est toujours pleinement tri-dimensionnel, que ce soit pour le cas cylindrique ou le cas rectangulaire.
4
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(a) épaisseur de vorticité (b) dérivée de l’épaisseur de quantité de mouvement
normalisée
FIG. 5 – Comparaison des épaisseurs intégrales caractéristiques de l’écoulement entre le cas cylindrique dans
le plan médian (symboles) et le cas rectangulaire 2D (ligne)
I II III IV
Nombre de Strouhal des modes KH cas 2D 0.46 0.91 1.26 1.53
Nombre de Strouhal des modes KH cas cylindrique 0.51 0.93 1.28 1.55
Nombre de Strouhal des modes de Rossiter 0.51 1.02 1.53 2.04
TAB. 1 – Comparaison entre le nombre de Strouhal prévu par la formule (1) et le nombre de Strouhal des modes
de Kelvin-Helmholtz pour le cas 2D et le cas cylindrique
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
30
40
50
60
70
80
90
100
110
Frequency (kHz)
P
ow
er
/fr
eq
ue
nc
y 
(d
B
/H
z)
Power Spectral Density
FIG. 6 – Densité spectrale du capteur de pression dans le calcul SGE 2D
nombre de Strouhal St1 avec le mode de KH II (comme dans le cas cylindrique) et surtout le mode de nombre
de Strouhal St2 avec le mode de KH III. Ce dernier accord fréquentiel est confirmé par une comparaison de la
forme des modes (figure 7).
Il faut noter sur la partie SGE (figure 7-b) la présence de structures en proche paroi inaccessibles au présent
calcul de stabilité (vu que l’on se limite au fluide parfait). Par ailleurs, on peut souligner que le pic fréquentiel
f2 qui n’est pas prévu par la formule de Rossiter, correspond à un mode d’instabilité. Pour la configuration
considérée, l’approche classique des modes de Rossiter ne fournit qu’une partie du contenu tonal observé.
L’étude de stabilité globale permet ainsi de compléter ce contenu modal avec une nouvelle interprétation basée
sur des modes de type KH.
4 Conclusion
Cette étude de stabilité permet de mettre en valeur les modes responsables du bruit rayonné par les cavités. En
ce qui concerne l’écoulement au-dessus d’une cavité cylindrique, une étude de stabilité dans le plan médian,
fournit un bon résultat, en très bon accord avec la partie instationnaire de la SGE. L’étude conjointe de la cavité
5
19 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
X
Y
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
(a) stabilité (b) SGE
FIG. 7 – Comparaison de la fluctuation de vitesse normale à l’écoulement (partie réelle). Mode de Kelvin-
Helmholtz III (StIII ) (a) et transformée de Fourier discrète à la fréquence de résonance f2 de la SGE de la
cavité 2D (b)
rectangulaire infinie en envergure permet de confirmer les résultats et ainsi de valider le choix du plan médian
dans le cas tridimensionnel. D’autre part, les différents modes de Rossiter semblent coı̈ncider avec les modes
globaux d’instabilité. La présente étude permet de compléter l’approche de Rossiter et même d’aller encore
plus loin puisqu’un mode résonant semble être un mode global non coı̈ncidant avec un mode de Rossiter.
Remerciements
Les auteurs remercient Daniel Mincu, ONERA DSNA, pour la SGE sur le cas cylindrique. Cette étude est
financée par la Fondation de Recherche pour l’Aéronautique et l’Espace. La thèse de Fabien Méry est financée
par la Délégation Générale pour l’Armement.
Références
[1] Barbagallo A. and Sipp D. Control of an incompressible cavity flow using a reduced model based on
global modes. New York, 2008. 5th AIAA Theoretical Fluid Mechanics Conference.
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[10] Rowley C. Modeling, simulation and control of cavity flow oscillations. PhD thesis, California Institute
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6


Instabilités globales d'un écoulement  à grand nombre de Reynolds sur

            une paroi présentant une cavité

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/36782/1/839.pdf

Instabilités globales d'un écoulement à grand nombre de Reynolds sur une paroi présentant une cavité

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