Pour gagner en faisabilité, plusieurs

            modèles de calculs, dont la simulation des explosions, combinent des méthodes uni et

            tridimensionnelles. La solution du calcul unidimensionnel est la condition initiale du

            calcul tridimensionnel. Pour être exploitée, cette solution doit être transférée de

            manière convenable au maillage tridimensionnel. Plusieurs techniquesd’interfaçage

            1D-3D sont présentées et testées ici. Une étude de sensibilité est proposée pour

            déterminer la technique la plus appropriée. Précision, conservation des directions

            privilégiées et sensibilité au maillage sont plus particulièrement examinées

BENSELAMA, Adel Mustapha

MONNOYER, François

WILLIAM-LOUIS, Mame Jean-Pierre

French

I-Revues

19èmeCongrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
Étude de sensibilité d’une méthode d’interfaçage 1D-3D
numérique
A.M. B ENSELAMA , M.J.-P. WILLIAM -L OUIS, F. MONNOYER
Université Lille-Nord de France-Valenciennes–Laboratoire de Mécanique-Énergétique
Le Mont Houy, F-59313 VALENCIENNES Cedex 9
Résumé :
Pour gagner en faisabilité, plusieurs modèles de calculs, dont la simulation des explosions, combinent des méthodes uni-
et tridimensionnelles. La solution du calcul unidimensionnel est la condition initiale du calcul tridimensionnel. Pour être
exploitée, cette solution doit être transférée de manière convenable au maillage tridimensionnel. Plusieurs techniques
d’interfaçage 1D-3D sont présentées et testées ici. Une étude de sensibilité est proposée pour déterminer la techniquela
plus appropriée. Précision, conservation des directions privilégiées et sensibilité au maillage sont plus particulièrement
examinées.
Abstract :
For feasibility considerations, some computational models, among them blast wave simulations, combine one- and three-
dimensional methods, when conceivable. The one-dimensional s lution is the initial condition for the three-dimensional
computation. The one-dimensional solution has then to be remapped onto the three-dimensional mesh in a correct fa-
shion. Some remapping techniques are presented and tested her . A sensitivity study is presented to determine the most
appropriate one. Accuracy, isotropy conservation and meshsize sensitivity are particularly examined.
Mots clefs : Interfaçage de maillages, Maillage cartésien, Méthode desVolumes Finis
1 Introduction
Il existe une large classe de phénomènes qui nécessitent la combinaison de plusieurs méthodes de simula-
tion pour pouvoir être appréhender de façon avantageuse d’un côté numérique, [1]. Le phénomène d’onde de
souffle générée par une explosion en fait partie [2]. En effet, scinder ce problème propagatif en deux partie
est une approche attrayante compte tenu du gain substantielob enu en coût de calcul [3, 4]. L’isotropie de
l’écoulement qui suit immédiatement la détonation suggèrede résoudre la première partie par une méthode
unidimensionnelle. La deuxième partie, dans laquelle est simulée la propagation d’onde entièrement dévelop-
pée et interagissant avec son milieu de propagation, est résolue par une méthode tridimensionnelle.
Un problème rencontré dans ce type de méthodes combinées estl’int rfaçage entre les deux parties. La dif-
ficulté est d’autant plus présente si les schémas utilisés imposent des maillages dont la finesse est d’ordre de
grandeur différent, comme est le cas d’une méthode combinée1D-3D en général. Ainsi, des techniques adé-
quates de transfert de solutions entre maillages uni- et tridimensionnels sont nécessaires. Un transfert de qualité
doit être assuré. Cette qualité doit être vérifiée à plusieurégards.
Idéalement, la méthode de transfert doit être, autant que possible, faiblement coûteuse en temps de calcul,
précise, conservative, robuste et ne doit pas altérer les dir ctions privilégiées de l’écoulement.
L’écoulement est supposé initialement au repos dans l’intégralité du domaine tridimensionnel à l’exception
d’une sphère de rayonL centrée au centre de l’onde de souffle. Dans cette region du domaine, l’écoulement est
perturbé par l’onde de souffle calculée par une méthode unidimensionnelle. Les méthodes qui permettent d’ef-
fectuer le transfert des solutions du maillage unidimensionnel vers le maillage tridimensionnel sont présentées
et leur performance évaluée dans ce qui suit.
2 Méthodes de transfert
Il s’agit de transférer une solutionϕ d’un maillage unidimensionnel vers une cellulei d’un maillage tridimen-
sionnel cartésien moins fin à l’instant de calcult0. ϕ représente une des quantités physiques à transférer, c.-à-d.
la masse volumique, la vitesse, la pression, l’énergie interne spécifique, ou toute autre variable physique choi-
sie. La lâcheté relative du maillage tridimensionnel s’explique par le fait que si des calculs unidimensionnels
peuvent sans difficulté s’effectuer sur un maillage unidimensionnel pratiquement aussi fin que souhaité, il n’en
est pas de même pour les calculs tridimensionnels.
1
19èmeCongrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
Transférer la solutionϕ, au sens des volumes finis, consiste à donner une estimation de la quantitéϕ3Di définie
par l’expression :
ϕ3Di =
1
Vi
∫
Vi
ϕdV (1)
oùVi est le volume de la cellulei.
L’approche la plus directe consiste à calculerϕ3Di en intégrant (1) par une méthode de quadrature, comme illus-
tré par Fig. 1–(a), et ce pour chaque cellulei du domaine à initialiser. Mais les calculs faramineux qu’entraî e
une telle approche la rendent inefficace et pratiquement inexploitable.
En effet, pour transférer la solution depuis un maillage unidimensionnel vers un maillage tridimensionnel
moins fin, une technique plus appropriée doit être développée de manière à satisfaire les critères :(a) de
robustesse, c.-à-d. la moins sensible aux variations de la taille du maillage que possible,(b) de précision,(c)
nécessitant le moins possible de ressources de calcul et(d) conservant les directions privilégiées de la solution
à transférer.
Afin de définir la procédure qui satisfait au mieux ces critères, plusieurs techniques ont été testées parmi
lesquelles deux sont présentées ici.
2.1 Méthode intégrale temporelle
La première technique de transfert de solutions est temporelle. Elle procède par intégration en temps des varia-
tions de la quantitéϕ à transférer. L’intégration s’effectue sur un pas de temps tridimensionnel correspondant
au pas de temps qui satisfait le critère CFL de stabilité, à savoir :
∆t3D = CFL × min
i
(
∆x3Di
(‖ui‖ + ai)
), (2)
où
∆x3Di =
2Vi
Σi
. (3)
ui est le vecteur vitesse,ai la vitesse locale du son etΣi l’aire de la surface de la cellulei, si bien que
l’expression (3) donne une mesure de la longueur caractéristique de la cellule tridimensionnelle considérée. Le
nombreCFL, fixé par l’utilisateur, et de l’ordre de l’unité. A la cellule tridimensionnellei, ϕ3Di est approchée
par l’intégrale des variations deϕ sur le pas de temps∆t3D, soit :
ϕ3Di (t0) = ϕ
1D
i
∗
(t0 − ∆t
3D) +
∫ t0
t0−∆t3D
(
∂ϕ1D
∂t
)∗
i
(t)dt, (4)
où ϕ1Di
∗
et
(
∂ϕ1D/∂t
)∗
i
sont les interpolations linéaires deϕ et de sa dérivée temporelle au centre de la
cellule i. Pour la méthode unidimensionnelle, le critère CFL de stabili é est défini de manière équivalente à
l’expression (2), soit :
∆t1D = CFL × min
k
(
∆x1Dk
(|uk| + ak)
), (5)
où ∆x1Dk est le pas spatial unidimensionnel. Puisque∀ (k, i) : ∆x
1D
k ≪ ∆x
3D
i , il vient que∆t
1D ≪ ∆t3D,
si bien que l’intégrale (4) est calculée de manière précise,.-à-d. avec un nombre suffisant d’instants intermé-
diairest.
2.2 Méthode moyenne sur la corde
La deuxième technique de transfert de solutions est spatiale. Elle calcule sur une corde convenablement choisie
la valeur moyenne de la quantité à transférer. La valeur de lavari bleϕ3Di est alors approchée par l’expression :
ϕ3Di (t0) =
1
rN − rM
∫ rN
rM
ϕ1D(r, t0) dr, (6)
oùM etN sont les extrémités de cette corde.
L’invariance de l’écoulement par rotation par rapport au centre de la charge, ou l’isotropie de la solution, sug-
gère de choisir la corde dont la direction est radiale. Dans ce cas, les pointsM etN sont les points d’intersection
de la surface de la cellulei et la droite qui joint le centreQ de cette cellule au centreC de la charge explosive,
comme illustré par Fig.1–(b). L’interfaçage est effectué pour toutes les cellules avoisinant, à un rayonL, le
centre de la charge explosive.
2
19èmeCongrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
Cellulei
C
x
y
z
Q
∆y ∆
x
∆
z
Cellulei
C
x
y
z
M
N
Q
∆y ∆
x
∆
z
(a) Transfert à la cellulei par quadrature (b) Transfert à la cellulei par la méthode spatiale
FIG. 1 – Transfert de la solution unidimensionnelle sphérique vers la cellule tridimensionnelle par : (a) quadra-
ture sur le volume de la cellule, (b) intégrale sur la corde[MN ] de la cellule
3 Tests numériques
Afin d’effectuer une étude de sensibilité de chacune des techniques de transfert présentées, il convient de définir
le paramètre associé à la finesse du maillage tridimensionnel λ. Ce paramètre, qu’on appellera longueur d’onde
numérique, est défini par l’expression :
λ =
M
1/3
c
∆x3D
(7)
comme proposé par Catlinet al.[5]. Mc est la masse équivalente T.N.T. de la charge explosive. Fig.2 représente
la distribution de la surpression calculée par l’approche unidimensionnelle comparée à la solution du domaine
tridimensionnelle après transfert. Deux longueurs d’ondenumériques sont sélectionnées, à savoirλ = 57 pour
(Fig.2-(a, b)) etλ = 114 pour (Fig.2-(c, d)). Les deux méthodes sont d’égale précision, pourvu que le maillage
tridimensionnelle soit suffisamment fin, en l’occurrence pour λ = 114.
Le tracé de sensibilité dans Fig.3 corrobore cette remarque. Les courbes représentent l’évolution de la sur-
pression mesurée en deux points clés de l’onde propagée. Cesdeux points, indiqués à Fig.2, correspondent
à la surpression enregistrée au front de l’onde sortante et dcelle se propageant vers le centre de la charge
explosive [6]. Pour les basses fréquences numériques,λ < 100, les deux méthodes sous-estiment les pressions
données par le calcul unidimensionnel. Cette observation est en accord avec les conclusions de Catlinet al.[5].
Quand la fréquence numérique augmente, c.-à-d. pourλ > 100, les deux méthodes convergent vers les valeurs
exactes de pression. Les deux techniques sont consistanteset s comportent à cet égard de manière similaire.
Pour effectuer le transfert sur une machine AMDR© à 2GHz pour λ = 507, par exemple, la méthode inté-
grale spatiale nécessite approximativement1Mo de mémoire et30 s de durée de calcul, alors que la méthode
intégrale temporelle nécessite environ100Mo de mémoire et900 s de durée de calcul.
Fig.4 et Fig.5 illustrent la distribution, après transfertde solution, de la surpression et du nombre de Mach
sur une coupe centrale du domaine tridimensionnel. La méthode intégrale temporelle ne conserve que moyen-
nement l’isotropie originelle de l’écoulement (cas a, c), tandis que la méthode intégrale spatiale préserve de
manière très satisfaisante l’isotropie de l’écoulement combien même la fréquence d’onde numérique reste mo-
deste (cas b, d).
4 Illustration de la faisabilité de la méthode d’interfaçage
La méthode spatiale est utilisée pour l’interfaçage 1D-3D.Une charge explosive de type T.N.T. de0.1 kg est
placée à une distance de0.4m du sol supposé rigide. Après la détonation, le calcul unidimensionnel s’effectue
jusqu’à0.02ms avant que la solution ne soit introduite comme condition initiale pour le calcul tridimensionnel
via la méthode d’interfaçage. Fig.6 représente la distribution tridimensionnel de pression à plusieurs instants
de calcul. Cette figure montre la propagation de l’onde de souffle ainsi que la formation du pied de Mach, suite
à la réflexion au voisinage du sol.
5 Conclusion
Pour des raisons de gain en coût de calcul, des méthodes combinées uni– et tridimensionnel sont appelées à être
utilisées. Les méthodes de simulation d’onde de souffle fontpartie de cette classe de méthodes. Pour assurer
une meilleure fidélité d’interfaçage, plusieurs techniques ont été testées, parmi lesquelles la méthode intégrale
temporelle et la méthode de moyenne sur la corde. La première, temporelle, revient à intégrer les variations
temporelles des quantités à transférer et calculées par la méthode unidimensionnelle. La seconde, spatiale,
3
19èmeCongrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
consiste à intégrer la quantité souhaitée sur une corde convenablement choisie de la cellule tridimensionnelle.
Les maillages unidimensionnels utilisés sont uniformes etde finesse largement supérieure à celle des maillages
tridimensionnels qui eux sont cartésiens.
Les deux méthodes ont montré leur aptitude à correctement effectuer le transfert de solution pourvu que le
domaine tridimensionnel soit suffisamment maillé démontrant par-ci même leur consistance. La technique
spatiale a montré une meilleure conservation des directions privilégiées de l’écoulement que la technique
x (m)
∆p
/p
re
f
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
100
200
300
400
500 Onde rentrante
Onde sortante
Hot gases/air
contact surface
x (m)
∆p
/p
re
f
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
100
200
300
400
500 Onde rentrante
Onde sortante
Hot gases/air
contact surface
(a) Méthode intégrale temporelle,λ = 57 (b) Méthode intégrale spatiale,λ = 57
x (m)
∆p
/p
re
f
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
100
200
300
400
500 Onde rentrante
Onde sortante
Hot gases/air
contact surface
x (m)
∆p
/p
re
f
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
100
200
300
400
500 Onde rentrante
Onde sortante
Hot gases/air
contact surface
(c) Méthode intégrale temporelle,λ = 114 (d) Méthode intégrale spatiale,λ = 114
FIG. 2 – Distribution de pression ( solution unidimensionnelle, Solution transférée au maillage tridi-
mensionnel àλ = 57 et114)
λ
∆p
/p
re
f
0 100 200 300 400 500 600 700
0
100
200
300
400
500
Méthode intégrale spatiale
Méthode intégrale temporelle
Calcul unidimensionnel
Onde rentrante
Onde sortante
FIG. 3 – Sensibilité des techniques de transfert au maillage tridimensionnel
4
19èmeCongrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
(a) Méthode intégrale temporelle,λ = 57 (b) Méthode intégrale spatiale,λ = 57
(c) Méthode intégrale temporelle,λ = 114 (d) Méthode intégrale spatiale,λ = 114
FIG. 4 – Iso-pression sur une coupe médiane du domaine tridimensonnel après transfert àλ = 57 et114
(a) Méthode intégrale temporelle,λ = 57 (b) Méthode intégrale spatiale,λ = 57
(c) Méthode intégrale temporelle,λ = 114 (d) Méthode intégrale spatiale,λ = 114
FIG. 5 – Iso-Mach sur une coupe médiane du domaine tridimensionnel après transfert àλ = 57 et114
5
19èmeCongrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
(a) t = 0.02ms (a) t = 0.5ms
(a) t = 0.7ms (a) t = 1.0ms
FIG. 6 – Distribution de pression dans deux coupes médianes du domaine tridimensionnel et au sol en fonction
du temps.
temporelle à finesse égale du maillage tridimensionnel. La technique d’intégrale temporelle nécessite des res-
sources et temps de calcul qui dépasse d’un ordre de grandeurla t chnique spatiale qui est ainsi plus indiquée
pour effectuer ce type d’interfaçage.
D’autres techniques d’interfaçage sont également envisageables, telles que les techniques spectrales, et sont
actuellement à l’étude.
Remerciements
Ce travail a été effectué dans le cadre du projet EGSISTES (Évaluation Globale de la Sécurité Intrinsèque aux
Systèmes de Transports En Souterrain) financé par l’Agence Nationale de la Recherche, ANR.
Références
[1] Bohbot J. and Jillet N. Impact of different mesh remapping techniques on 3D simulations in internal
combustion engines. In European Conference on Computational Fluid Dynamics, Delft, The Netherlands,
2002.
[2] Trélat S. Impact de fortes explosions sur les bâtiments représentatifs d’une installation industrielle. PhD
thesis, Université d’Orléans, 2006.
[3] Grandy J. Conservative remapping and region overlays byIntersecting Arbitrary Polyhedra. Journal of
Computational Physics, 148(2), 433–466, 1999.
[4] Benselama A. M., William-Louis M. J.-P., and Monnoyer F.An efficient numerical method for the on-
set of blast waves generated by spherical detonation. In Interna ional Conference on Mathematical &
Computational Methods in Science, Bucharest, Romania, 2008.
[5] Catlin C., Ivings M., Myatt S., Ingram D., Causon D., and Qian L. Explosion hazard assessment : a study
of the feasibility and benifits of extending current HSE methodology to take account of blast sheltering.
Technical Report HSL/2001/04, Sheffied Health and Safety Labor tory, 2001.
[6] Brode H. Blast waves from a spherical charge. The Physicsof Fluids, 2(2), 217–229, 1959.
6


Étude de sensibilité d’une méthode d’interfaçage 1D-3D numérique

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/36616/1/210.pdf

Étude de sensibilité d’une méthode d’interfaçage 1D-3D numérique

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues