Ce travail concerne une étude préliminaire

            relative à la modélisation numérique d'une structure déformable immergée dans un

            écoulement cavitant instationnaire. Un hydrofoil de type NACA66012 est considéré. Le

            calcul de la dynamique du fluide est basé sur un code volume finis 2D avec modèle de

            cavitation 1-fluide. Le calcul de la dynamique de la structure 3D, est réalisé avec le

            code éléments finis CASTEM. Le couplage est réalisé simplement par l'interpolation des

            efforts de pression aux noeuds de la structure calculés au préalables sur une section 2D

            de la structure rigide. Les résultats obtenus sont comparés à des résultats

            expérimentaux obtenus dans le tunnel hydrodynamique de l'Ecole Navale

ASTOLFI, Jacques-André

BENAOUICHA, Mustapha

DEBECDELIEVRE, Hugues

DUCOIN, Antoine

FRIKHA, Sobhi

French

I-Revues

19èmeCongrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
Etude numérique et expérimentale du comportement
hydroélastique d’un hydrofoil dans un écoulement cavitant
M. BENAOUICHA, A. DUCOIN, S. FRIKHA, J.A. ASTOLFI, H. DEBECD ELIEVRE
Institut de Recherche de l’Ecole Navale (IRENav). BCRM Brest, CC 600. 29240 BREST Cedex 9
Résumé :
Ce travail concerne une étude préliminaire relative à la modélisation numérique d’une structure déformable immergée
dans un écoulement cavitant instationnaire. Un hydrofoil de type NACA66012 est considéré. Le calcul de la dynamique
du fluide est basé sur un code volume finis 2D avec modèle de cavitation 1-fluide. Le calcul de la dynamique de la
structure 3D, est réalisé avec le code éléments finis CASTEM.Le couplage est réalisé simplement par l’interpolation
des efforts de pression aux noeuds de la structure calculés au préalables sur une section2D de la structure rigide.
Les résultats obtenus sont comparés à des résultats expérimentaux obtenus dans le tunnel hydrodynamique de l’Ecole
Navale.
Abstract :
The present work deals with the preliminary study of numerical modeling of a deformable structure immersed in an
unsteady cavitating flow. A NACA66012 cambered hydrofoil type is considered. The 2D computational fluid dynamics is
based on a single fluid model of cavitation. The 3D computation l structure dynamics is carried out with the finite element
code CASTEM.The results are compared with the experiments ones obtained from experimental study carried out in the
hydrodynamic tunnel of the research institute of the FrenchNaval Academy.
Mots clefs : Couplage fluide-structure, cavitation, hydroélasticité
1 Introduction
Dans les écoulements liquides, la cavitation apparaît lorsque la pression descend en dessous de la pression de
vapeur saturante. Elle peut être observée dans une grande variété de systèmes comme les pompes, les injecteurs
et les propulseurs marins. Le développement de la cavitation peut être à l’origine de plusieurs effets négatifs
comme le bruit, les chutes de performances, l’érosion et lesvibrations.
Des études numériques de la cavitation ont été poursuivies pendant des années, mais il est toujours très difficile
de prévoir de tels écoulements instables et complexes [1]. De plus, les travaux sur l’interaction fluide-structure
dans les écoulements cavitant sont très rares.
L’objectif de ce travail est l’étude le comportement hydroélastique d’un hydrofoil immergé dans un écoulement
cavitant. Cette étude est développée dans le cadre général de conception et de dimensionnement de structures
marines. Le calcul de la dynamique du foil 2D est réalisé avecun ode volumes finis2D. Les chargements
en pression issus du calcul fluide sont appliqués à la structure en considérant une répartition unifome le long
de l’envergure du foil. Le calcul de la dynamique de la structure 3D est réalisé dans le cadre de la théorie
de l’élasticité dynamique linéaire. La méthode des éléments fi is est utilisée pour la discrétisation spatiale et
l’algorithme de Newmark pour la discrétisation en temps. Des essais ont été réalisés dans le tunnel de cavitation
sur le même profil (NACA66 en POM, encastré d’un côté et libre de l’autre). Les résultats numériques obtenus
ont été confrontés aux résultats issus de cette étude expérimentale.
2 Modélisation numérique de la cavitation :
Les calculs ont été réalisés sur une configuration2D. Les calculs sont basés sur la modélisation 1-fluide de
la cavitation : le mélange liquide/vapeur est considéré comme un fluide homogène à densité variable. Les
équations de conservation (1) sont couplées à une loi d’étatbaro rope qui relie la densité du fluide à la pression
locale [2].



∂ρF
∂t
+ ∇ · (ρF u) = 0
∂(ρF u)
∂t
+ ∇(ρF u
2) = ∇ · σF
(1)
1
19èmeCongrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
Les calculs2D sont réalisés avec un code basé sur la discrétisation en volumes finis sur un maillage curviligne
orthogonal bidimensionnel. La résolution numérique est baée sur une méthode de correction de pression dé-
rivée de l’algorithme SIMPLE. Un schéma d’intégration temporelle précis à l’ordre 2 est appliqué. Un modèle
de turbulencek − ǫ − RNG modifié pour tenir compte du mélange liquide-vapeur, est appliqué. La viscosité
turbulente est donnée par :
µt =
f(ρF )Cµk
2
ǫ
où f(ρF ) = ρv + (1 − α)
n(ρl − ρv)
oùα est le taux de vide.n est pris égal à 10, cette valeur a été proposé par Coutier-Delgosha et al. 2006 [3]. Les
conditions de frontière classiques pour des écoulements incompressibles sont appliquées : une vitesse imposée
à l’entrée, et une pression fixée en sortie. Un maillage orthogonal de type ’C’ est utilisé (FIG. 1).
Un calcul 2D sur un foil de type NACA66 a été effectué en utilisant la loi barotrope de Delannoy [4] pour
σ = 1.3 et un angle d’incidence de8◦.
FIG. 1 – Maillage du domaine fluide, l’écoulement va de la gauche vers la droite
3 Modélisation numérique de la structure :
On noteΩ le domaine occupé par l’hydrofoil à l’équilibre etn le vecteur unitaire normal à la surface extérieure
à la frontière∂Ω = ∂Ωξ ∪ ∂Ωσ du domaineΩ. ξ(M, t) = (ξ1, ξ2, ξ3) désigne le déplacement à un instantt du
pointM(x1, x2, x3) ∈ Ω.
On travaille dans le cadre de la théorie viscoélastique linéaire (modèle de Kelvin-Voigt). D’où
σS =
E
1 + ν
ǫ +
Eν
(1 + ν)(1 − 2ν)
Tr(ǫ)I + ηǫ̇ (2)
oùǫ = 12 (∇ξ+∇
tξ) est le tenseur des déformations linéarisé,Tr est l’opérateur Trace,I est le tenseur identité
etη le coefficient d’amortissement visqueux.ξ vérifie les équations suivantes :























ρS
∂2ξ
∂t2
= ∇ · σS + fv surΩ
ξ = 0 sur ∂Ωξ
σS · n = σF · n sur ∂Ωσ
ξ(·, 0) = 0 sur Ω
ξ̇(·, 0) = 0 sur Ω
(3)
3.1 Résolution numérique
La méthode des éléments finis est utilisée pour la discrétisation spatiale du problème. La forme discrète des
équations (3) est donnée par :
MẌ + CẊ + KX = F (4)
oùX, Ẋ, Ẍ ∈ IRN représentent respectivement les valeurs deξ, ∂ξ
∂t
, ∂
2ξ
∂t2
auxN noeuds du maillage.M , C etK
sont respectivement lesN × N matrices de masse, d’amortissement et de rigidité etF est le vecteur des efforts.
L’algorithme centré de Newmark [5] est utilisé pour la discrétisation en temps du problème.
2
19èmeCongrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
FIG. 2 – Influence du maillage sur les déformations du foil
Xn+1 = Xn + ∆tSẊn +
∆t2
S
2 Ẍn
Ẋn+1 = Ẋn +
∆tS
2 Ẍn +
∆tS
2 Ẍn+1
(5)
Ainsi, le problème final est réduit à l’inversion du système des équations linéaire suivant :
(M + ∆tS2 C)Ẍn+1 = F − C(Ẋn +
∆tS
2 Ẍn)
− K(Xn + ∆tSẊn +
∆t2
S
2 Ẍn)
(6)
Pour la résolution numérique, le code éléments finis CASTEM est utilisé[6]. Des éléments 3D linéaires (Q1)
sont utilisés pour le maillage du foil. Les matrices de masseet de raideur sont déterminées par les caractéris-
tiques matérielles et géométriques du foil. La matrice d’amortissement est déterminé par le choix du coefficient
d’amortissement visqueux(η) de telle façon que la solution instationnaire converge sansoscillations vers l’état
stationnaire sous un chargement constant. L’écoulement, décrit ans la section ci-dessus, est considéré comme
bi-dimensionnel autour d’un hydrofoil 2D fixe (FIG. 1). Le chargement fluide (en pression) issu du calcul fluide
est donné par :PF (t) = σF · n. Ce chargement est appliqué, après interpolation, à chaquesection transversale
le long de l’envergure de l’hydrofoil 3D.
3.1.1 Cas stationnaire
FIG. 3 – Déformation de l’hydrofoil (à gauche). Tension de von-Mises (à droite)
Dans ce cas, les moyennes temporelles des pressions sont considérées :
〈PF 〉 =
1
T
∫ T
0
PF (t)dt
La figure (FIG. 2) montre l’influence du maillage sur la déformation de la structure. L’augmentation du nombre
de noeud devient sans influence à partir de(N > 30000). Dans la suite des calculs, on prendN = 30940. Les
figures (FIG. 3) illustrent les déformations et les tensions de von-Mises de l’hydrofoil. On peut observer que le
déplacement maximal se sétue à l’estrémité libre du foil et qu les contrainte sont maximales à l’emplanture.
3
19èmeCongrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
3.1.2 Cas instationnaire
Dans ce cas, les pressions instantanées issus du calcul fluide PF (t) sont appliquées à la structure avec un pas
de temps∆tS = 10∆tF = 1.41 · 10−3 s.
FIG. 4 – Variations temporelles du coefficient de portance et du déplacement du bord d’attaque et du bord de
fuite de l’hydrofoil et leurs densités spectrales.
On montre (FIG. 4) les variations temporelles et les densités spectrales du coefficient de portance, obtenues
par le calcul fluide et les déformations correspondantes de l’hydrofoil (déplacement du bord d’attaque et du
bord de fuite), obtenues avec le calcul structure. Le régimed’écoulement est celui d’une poche de cavitation
pulsante de grande dimension(l/c = 0.8) caractérisée par un pic principal aux environs de11Hz visible sur
le spectre de portance et un pic secondaire sous-harmoniqueaux alentours de5Hz. On observe une bonne
correspondance entre les spectres de déplacements de la structure et les variations du chargement fluide exercé
sur le foil. On voit que la fréquence caractéristique des déplacements de la structure est égale à la fréquence
des oscillations des poches de cavitation. On notera que la sous-harmonique aux environs de 5Hz est nettement
visible sur les spectres de déplacements.
4 Etude expérimentale et comparaison des résultats :
4.1 Protocole expérimental
Les essais ont été réalisés par Ducoin [7] dans le tunnel de cavitation de l’Ecole Navale. Un foil NACA66 en
polyacetate (POM) est monté horizontalement dans le tunnel(FIG. 5). Le module de Young du matériau vaut
E = 3GPa et le coefficient de poisson estν = 0.35. La densité du matériau estρS = 1480kg/m3. Une caméra
numérique à haute cadence a été utilisée pour filmer la section libre de l’hydrofoil au cours de son mouvement.
Une méthode de traitement d’images a été spécifiquement développée pour reconstituer le déplacement vertical
au cours du temps d’un point quelconque de la section libre del’hydrofoil. Elle est fondée sur une technique de
gradient et de détection de front. Une série d’image a été enregist ée à une fréquence de2 kHz. La précision
de la méthode est de2 pixels. La corde du foil fait2056 pixels correspondant à150mm, 1 pixel représente
0.07mm et l’incertitude de la mesure du déplacement vaut donc0.14mm qui correspond aussi à la résolution
de la méthode de mesure. Les déplacements au dessous de cettevaleur ne sont pas détectés. Les essais et les
calculs ont été réalisés à une vitesse de5.33m/s correpondant à un nombre de Reynolds de0.8 · 106, une
incidence de8◦ et un nombre de cavitationσ = 1.4 ± 0.1.
4
19èmeCongrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
FIG. 5 – Montage expérimental (à gauche). Mesure des déplacements d la section du foil (à droite)
4.2 Comparaison des résultats numériques et expérimentaux
Dans cette section, les résultats numériques et expérimentaux sont comparés. On s’intéresse particulièrement
aux déplacements de la section libre d’extrémité de l’hydrofoil au bord d’attaque et au bord de fuite. Les fi-
gures (FIG. 6) représentent les déplacements temporels du bord d’attaque et du bord de fuite de la section
libre obtenus numériquement et expérimentalement avec un recalage en temps fondé sur le passage par un
maximum. On observe un bon accord qualitatif entre le calculet l’expérience. Globalement dans les deux cas,
le foil est animé d’un mouvement oscillatoire à la même fréquence que celle des oscillations de la poche de
cavitation : les déplacements verticaux augmentent quand la cavité se développe sur l’extrados et chute rapide-
ment lorsque la cavité implose. Ce phénomène périodique n’est pas parfaitement sinusoïdale et peut conduire
à des oscillations secondaires harmoniques ou sous-harmoniques de la fréquence d’oscillation principale. On
pourra cependant noter que les déplacements expérimentauxfont apparaître en plus des oscillations plus hautes
fréquences.
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
x 10
−3 BA sigma=1,4
Temps (s)
D
e
p
la
ce
m
e
n
t 
B
A
 (
m
)
 
 
experience
calcul
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
1
2
3
4
5
x 10
−3 BF sigma=1,4
Temps (s)
D
é
p
la
c
e
m
e
n
t 
B
F
 (
m
)
 
 
expérience
calcul
FIG. 6 – Déplacements du bord d’attaque (à gauche) et du bord de fuite (à droite). Résultats numériques (bleu)
et expérimentaux (rouge)
D’autre part, l’intensité des déplacements instantanées du bord d’attaque et du bord de fuite sont très voisines
montrant que l’hydrofoil ne subit pas de torsion instationnaire significative dans le cas des poches de cavita-
tion pulsante. Du point de vue quantitatif, on obtient une val ur moyenne (sur une durée d’environ1 seconde)
pour le déplacement du bord d’attaque de3.4mm dans l’expérience contre2.7mm dans le calcul. De même
pour le bord de fuite on trouve un déplacement moyen de3mm dans l’expérience contre2.4mm pour le cal-
cul. L’intensité des fluctuations de déplacement vertical est d 0.73mm (resp.0.557mm) dans l’expérience
pour le bord d’attaque (resp. bord de fuite) à comparer avec0.62mm (resp.0.921mm). pour le calcul. Les
densités spectrales de déplacement (FIG. 7) montrent clairement la réponse spectrale de la structure dans le
cas expérimental et numérique. On observe un accord satisfaisant entre les deux spectres. On note cependant
que la fréquence principale aux alentours de11Hz est nettement atténué dans le cas expérimental par com-
paraison au calcul. On observe également expérimentalement un remontée spectrale aux alentours de40Hz
correspondants aux premiers modes de flexion de l’hydrofoilimmergé.
5
19èmeCongrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x 10
−4
 
 
 Resultats numeriques BA sigma=1,4
frequence (Hz)
D
e
n
si
te
 s
p
e
ct
ra
le
 d
e
 p
u
is
sa
n
ce
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x 10
−4 Resultats experimentaux BA sigma=1,4
frequence (Hz)
D
e
n
si
te
 s
p
e
ct
ra
le
 d
e
 p
u
is
sa
n
ce
 
 
FIG. 7 – Densité spectrale du déplacement du bord d’attaque. Numérique (à gauche) et expérimentale (à droite)
5 Conclusion :
Ce travail a permis d’initier une étude numérique et expérimentale relative au couplage entre un écoulement
turbulent cavitant instable (de type cavitation par pochespul antes) et une structure déformable linéaire. Les
calculs fluide2D sont réalisés avec un code basé sur la discrétisation en volumes finis des équations RANS et
un modèle de turbulencek − ǫ−RNG modifié pour tenir compte du mélange liquide-vapeur. La structure est
supposée linéaire et résolue par la méthode des éléments finis. Le couplage fluide-structure est faible au sens
où il est fondé sur le transfert et l’interpolation vers la struc ure du chargement fluide calculée initialement
en écoulement2D sur une structure rigide. Du point de vue hydrodynamique, les résultats obtenus (longueur
caractéristique de la poche de cavitation, fréquence princi ale d’oscillation) sont en bon accord avec les ob-
servations expérimentales. Des visualisations de la déformation de la structure par vidéo numérique à haute
cadence et une méthode de traitement d’images développés aulaboratoire ont permis de mesurer la dynamique
de la structure avec une relative bonne précision. Vu la complexité de l’écoulement et malgré le couplage faible,
les résultas numériques montrent un bon accord avec les résultats expérimentaux aussi bien dans le cas sta-
tique que dans le cas dynamique. On observe cependant une réponse lus importante à la fréquence principale
d’excitation dans le cas numérique que l’on peut attribuer àl’hypothèse de couplage faible.
Références
[1] Leroux J., Coutier-Delgosha O., and Astolfi J. A joint exprimental and numerical study of mechanisms
associated to instability of partial cavitation on two-dimensional hydrofoil. Physics of Fluids, 17, 052101,
2005.
[2] Frikha S., Coutier-Delgosha O., and Astolfi J.-A. Influenc of the cavitation model on the simulation of
cloud cavitation on 2d foil section. International Journalof Rotating Machinery, 2008, 2008.
[3] Coutier-Delgosha O., Stutz B., Vabre A., and Legoupil S.Experimental study of the cavitation flow on a
2d hydrofoil by x-ray absorption. Sixth International Symposium on cavitation CAV2006, Wageningen,
The Netherlands, 2006.
[4] Delannoy Y. and Kueny J.-L. Cavity flow predictions basedon the euler equations. ASME Cavitation and
Multi-Phase Flow Forum, 109, 153–158, 1990.
[5] Kane C., Marsden J., Ortiz M., and West M. A preliminary evaluation of carbon fiber reinforced polymer
plates for strengthening reinforced concrete members. Interna ional Journal for Numerical Methods in
Engineering, 49(10), 1295–1325, 2000.
[6] Le Fichoux E. Présentation et utilisation de CASTEM 2000. ENSTA-LME (http ://www-cast3m.cea.fr),
1998.
[7] Ducoin A. Etude expérimentale et numérique du chargement hydrodynamique des corps portants en régime
transitoire avec prise en compte du couplage fluide structure. PhD thesis, Ecole Centrale de Nantes/Ecole
Navale, ED SPIGA, Novembre 2008.
6


Etude numérique et expérimentale du comportement hydroélastique d'un

            hydrofoil dans un écoulement cavitant

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/36624/1/601.pdf

Etude numérique et expérimentale du comportement hydroélastique d'un hydrofoil dans un écoulement cavitant

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