La propagation des ondes de cisaillement à

            polarisation horizontale (ondes SH) dans des guides d'ondes isotropes à surfaces

            rugueuses fait apparaître des mécanismes de couplage de modes guidés. La modélisation de

            ces mécanismes est basée sur la formulation intégrale, et les solutions reposent sur des

            développements modaux en guide à géométrie compatible, extérieur au guide réel. Les

            résultats obtenus pour des rugosités périodiques sont en accord avec des résultats

            numériques de la littérature

BRUNEAU, Michel

POTEL, Catherine

VALIER-BRASIER, Tony

French

La propagation des ondes de cisaillement à polarisation horizontale (ondes SH) dans des guides d'ondes isotropes à surfaces rugueuses fait apparaître des mécanismes de couplage de modes guidés. La modélisation de ces mécanismes est basée sur la formulation intégrale, et les solutions reposent sur des développements modaux en guide à géométrie compatible, extérieur au guide réel. Les résultats obtenus pour des rugosités périodiques sont en accord avec des résultats numériques de la littérature

Oskar Bordeaux

Propagation guidée d'ondes de cisaillement horizontales dans des plaques solides rugueuses

I-Revues

19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  1 
Propagation guidée d'ondes de cisaillement horizontales dans 
des plaques solides rugueuses 
T. VALIER -BRASIER, C. POTEL , M.  BRUNEAU 
Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Maine (LAUM), UMR-CNRS 6613, Université du Maine, 
avenue Olivier Messiaen, 72085 Le Mans cedex 9, France  
Résumé 
La propagation d'ondes de cisaillement à polarisation horizontale (ondes SH) dans des guides d'ondes 
isotropes à surfaces rugueuses fait apparaître des mécanismes de couplage de modes guidés. La nouvelle 
modélisation de ces mécanismes proposée ici repose sur la formulation intégrale du problème aux limites 
posé, et les solutions sont construites à partir de développements sur les modes du guide à géométrie 
compatible, extérieur au guide réel. Les résultats obtenus pour des rugosités périodiques sont en accord 
avec des résultats extraits de la littérature. 
Abstract 
Shear horizontal waves (SH-waves) propagating in isotropic rough waveguide involve mechanisms of modes 
coupling. The new modelling of these mechanisms preent d here relies on the integral formulation in the
frame of a modal approach, using the set of the eignfunctions of a plate with regularly shaped surfaces that 
bound outwardly the perturbed surfaces of the rough waveguide. The results obtained for periodic roughness 
are in agreement with results available in the litera ure. 
Mots clefs : acoustique, rugosité, guide 
1 Introduction 
Depuis plus d'une décennie, l'étude des effets de la rugosité de paroi sur la propagation acoustique dans les 
guides d'ondes fait l’objet d’un regain d’intérêt, notamment dans le cadre du contrôle non destructif en vue 
de vérifier la qualité de collages dans les structures assemblées ou de caractériser l'état de surface de 
certaines pièces [1-5]. La présente étude fait suite à des études analytiques effectuées en milieux fluides [6, 7] 
et a pour objet d'ouvrir la voie à l'étude de la propagation des ondes de Lamb dans des guides solides 
rugueux. Elle porte sur la propagation d'ondes de cisaillement à polarisation horizontale, parallèle aux stries 
de surface de guides solides isotropes. Plus précisément, l'objet de l'étude est d'exprimer l'évolution de 
l'amplitude de modes propagatifs ( ( )xÂm ) au cours de leur propagation dans la partie du guide dont les 
parois sont rugeuses. 
La méthode utilisée ici présente la particularité de faire usage de la formulation intégrale du problème aux 
limites posé, les solutions étant construites à partir de développements sur les fonctions propres du guide à 
géométrie compatible, extérieur au guide réel. La rugosité de paroi est introduite dans le modèle par des 
conditions de contraintes nulles aux frontières qui font intervenir la pente locale de la rugosité.  
2 Le problème 
Le guide d'onde considéré, caractérisé par sa masse volumique ρ  et son second coefficient de Lamé µ , est 
une plaque limitée par deux plans parallèles rugueux d  longueur et de largeur infinies (figure 1). Le plan de 
propagation correspondant (par choix) au plan ),( zx  et le guide étant infini suivant la dimension "y ", le 
domaine D  d'étude de frontière D∂  (problème 2D) est défini par x positif et par z appartenant à l'intervalle 
( ( )xz1 , ( )xz2 ), où les coordonnées 1z  et 2z  définissent les cotes des frontières du guide donc celles de la 
corrugation pour x compris dans l'intervalle ( )l,0 . Un guide fictif aux parois situées en 0=z  et Lz = , 
immédiatement extérieur au guide réel (confondu avec le guide réel en dehors de la corrugation), définit le 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  2 
domaine d'étude retenu pour la formulation intégrale utilisée. Les vecteurs 1n
r
 et 2n
r
 sont les vecteurs 
unitaires normaux respectivement aux surfaces ( )xz1  et ( )xz2  en tout point des rugosités et orientés vers 
l'extérieur du guide. Le guide fictif extérieur d'épaisseur L  définit le domaine 0D . 
z
y
x
O L
y x
z
O
)(1 xz
)(2 xz
L
2n
r
1n
r
z
 
FIG. 1 – Le guide d'onde à parois rugueuses et le guide fictif extérieur. 
 
Le champ de déplacement, supposé harmonique de pulsation ω , est exprimée en fonction du temps par la 
fonction )(exp ti ω . Ainsi, dans le cadre des hypothèses de l'acoustique l néaire et étant donné les symétries 
du système étudié, l'amplitude complexe du champ de déplacement (suivant y) ( )z,xÛ  ne dépend que des 
deux variables x  et z , et est solution du système d'équations suivant, comportant l'équation de Helmholtz et 
des conditions de contraintes nulles aux frontières, 
 
( ) ( ) ( )
( ) [ [ ( )
( ) [ [ ( )
( ) ( ) ( )






==
=∞+∞−∈∀=
=∞+∞−∈∀=
∈∀=+∂+∂
,x,xzÛz,Û
,xzz,,x,n.z,xT
,xzz,,x,n.z,xT
,Dz,x,z,xÛkTzzxx
00
en0
en0
0
0
22
11
222
δ
rr
rr
 
(1-a) 
(1-b) 
(1-c) 
(1-d) 
où le nombre d’onde Tk  est défini par TT ck /ω= , ρµ /=Tc  représentant la célérité d’une onde 
transverse dans un solide isotrope, où la fonction ( )zÛ0  représente l’amplitude (harmonique) du champ 
incident à l'entrée du domaine 0>x  et où ( )z,xT désigne le tenseur des contraintes, la notation 2uu∂  
représentant la dérivée partielle seconde par rappot à u . 
3 Conditions aux frontières 
Etant donnée l'expression du vecteur normal aux frontières rugueuses 
 ( ) ( )[ ]zqqxxqq eheNn rrr 11 −+∂= −  (2) 
avec ( ) 21 qxq hN ∂+=  , (3) 
et compte-tenu de la loi de Hooke et de la nature SH de l'onde, les conditions (1-b) et (1-c) de contrai es 
nulles sur les surfaces rugueuses du guide peuvent êtr  exprimées de la façon suivante 
 ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] 21011 ,q,x,ez,xThz,xTNn.z,xT yqyzqqxqyxqqq =∀=−+∂= − rrr   , (4-a) 
soit ( ) ( )[ ] ( ) 2101 ,q,x,z,xÛh qzqxqx q =∀=∂−+∂∂µ   , (4-b) 
ou encore  ( ) 210 ,q,x,z,xÛ qnq =∀=∂   , (5) 
où l'opérateur ∇=∂
rr
.qn nq  représente la dérivée suivant la normale qn
r
 à la surface. 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  3 
4 Expression modale du champ 
Le champ de déplacement est exprimé par un développment sur les fonctions propres ( )zmψ , 
 ( ) ( ) ( )∑=
m
mm zxÂz,xÛ ψ  (6) 
où le nombre m  prend les valeurs entières de 0 à l’infini. Ces fonctions propres sont solutions du problème 
aux valeurs propres de Neumann transverse pour le gid à géométrie compatible (extérieur au guide réel), 
 
( ) [ ]
( )



===∂
∈=



 +∂
,Lzz,z
,L,z,zk
mz
mmzz
et0en0
0022
ψ
ψ
 
(7-a) 
(7-b) 
et ont pour expression 
 ( ) ( ) ( )zkLz mmm cos2 0δψ −=   , (8) 
avec Lmk m π=    (9) 
et où 0mδ  représente le symbole de Kronecker.   
5 Formulation intégrale du problème 
Le champ de déplacement dans le domaine D  du guide étudié peut être exprimé, par application de la 
formule de Green, compte tenu des équations (1-a) pour le champ de déplacement Û et du choix de fonction 
de Green satisfaisant à des conditions de Neumann (équations (11.a) et (11.b) ci-dessous), de la façon 
suivante [10] : 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑ ∫
∫ ∫
=
∞+
∞+
′′∂′−′∂′+
′′′′′′=



−∈
∈
21 0
00
2
1
0
,q
qnqqnq
z
z
,xdz,x;z,xGz,xÛz,xÛz,x;z,xG
xdzdz,xÛz,x;z,xG
,DDz,x
z,xÛ,Dz,x
qq
 
 
 
 
(10) 
où l’intégrale double représente l’effet des sources (Û ), et où l’intégrale simple (intégrale de surface fermée 
à l'infini) traduit les effets des frontières du domaine. 
La fonction de Green ( )z,x;z,xG ′′  choisie est définie dans le domaine 0D du guide à géométrie compatible 
(guide extérieur) et satisfait à des conditions de Neumann aux frontières : 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )



==∈′′∀=′′∂
∈′′∀′−′−−=′′



 +∂+∂
.Lzz,Dz,x,x,z,x;z,xG
,Dz,x,z,x,zzxxz,x;z,xGk
z
Tzzxx
et0en0 0
0
222 δδ
 
(11-a) 
(11-b) 
Cette fonction de Green peut être développée (sommation simple) sur la base des fonctions propres 
orthogonales (8) du guide extérieur à parois lisses et rectilignes, comme suit [8] : 
 ( ) ( ) ( ) ( )∑ ′′=′′
m
mmm zzxxgzxzxG ψψ;,;,   , (12) 
avec ( ) ( ) ( )mmm ixxiexpx;xg κκ 2′−−=′   , (13) 
et 222 mTm kk −=κ   . (14) 
Compte tenu de la condition en frontière (5), le facteur ÛG
qn
∂  de l’équation (10) est nul, et le facteur 
GÛ
qn
∂  de l’équation (10), peut être mis sous la forme 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  4 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )∑∑∑∑
==
′′′′′′=′′∂
m n q
nnqnqqmm
q
n zx;xgzz,xOzxÂz,x;z,xGz,xÛ q
2
1
2
1
ψψψ  (15) 
L’équation (10) prend alors la forme suivante : 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ),zxÂĤxF̂
,DDz,x
zxÂ,Dz,x
n
m
mnmn
n
n
nn ψ
ψ






+=




−∈
∈
∑∑
∑
00
 (16) 
 
où ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ′′′′′′= D nnn zdxdxzÛzx;xgxF̂ δψ 0 , (17) 
 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
=
+∞

⌡
⌠
′′′′′′−=
2
1
0
d;,ˆˆˆ
q
nqnqqmmmnm xxxgzzxzxAxAH ψΟψ  (18) 
avec ( ) ( ) ( )[ ] 2,1,,1, 1 =′∀∂−+∂∂=′′ ′′′− qxhNzx qzqxqxqqΟ   . (19) 
La projection de l’équation (16) sur la fonction pro e ( )zmψ  permet d’obtenir une équation pour 
l’amplitude mÂ  de chaque mode m , 
 ( )[ ]∑ ++=
n
nmnnmnmm ÂBÂĤF̂Â  (20) 
avec ∫ ∫ ( ) ( ) zdzzB mn
L
z
z
mn ψψ







+=
2
1
0
  . (21) 
L’équation (20) fait apparaître deux mécanismes de couplage, l’un traduit par l’opérateur de volume mnB  et 
l’autre par l’opérateur de surface mnĤ , qui représentent respectivement le couplage de modes dû à la 
profondeur de rugosité sur chaque section du guide r gueux et le couplage en surface du guide dû à la pente. 
Le comportement du champ de déplacement est donc déterminé par ces deux mécanismes de couplage 
(couplage de volume et de surface [9]) au cours de la propagation le long de l’axe du guide. 
6 Résolution par approximations successives 
En supposant que les facteurs de couplage du membre de droite de l'équation (20) (opérateurs mnĤ  et mnB  
liés respectivement à la profondeur et la pente locales de la rugosité) sont des petites perturbations par 
rapport à l'opérateur de source nF̂ , l'amplitude de chaque mode considéré, notée 
]N[
mÂ  à l'ordre N  , est 
recherchée par approximations successives [8], 
 )()1()2()1()0(][ ˆˆ...ˆˆˆˆ Nm
N
mmmm
N
m AAAAAA +++++=
−  (22) 
où N  est le nombre d'itérations, )0(ˆ mA  représentant la solution à l'ordre 0=N  en l'absence de rugosité 
( 01 =z  et Lz =2 , approximation de Born), donnée par 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫+∞ ′′′′′′== 0 00 21
z
z mmm
)(
m xdzdxzÛzx;xgxF̂xÂ δψ  (23) 
avec ( ) ( ) ( ) ( )xzQ̂xzÛ mm δψδ =0  (24) 
où mQ̂  est l’amplitude de la source acoustique, qui est supposée ici ne créer que le mode noté "m ". 
Compte tenu des relations (20) et (22), l’expression à l’ordre N  de l’amplitude de chaque mode, en fonction 
de l'ordre )1( −N , prend la forme 
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  5 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xÂxBxdzx;xgz,xzxÂxÂ
n
)N(
nmn
n q
qmmqqn
)N(
n
)N(
m ∑∑∑∫
−
=
∞+ − +′′′′′′′−= 1
2
1
0
1 ψΟψ   . (25) 
7 Résultats et discussion 
La configuration choisie ici à titre d’illustration est celle d’un guide en forme de plaque d'épaisseur L  
comportant une rugosité en dents de scie uniquement sur la surface supérieure (1z ), l’autre surface étant 
parfaitement lisse (figure 2), la rugosité de la surface 1z , de longueur l , étant composée de 20 dents de scie. 
Chaque dent de scie est caractérisée par une hauteur de r gosité h  telle que 040,Lh =  et une périodicité 
spatiale Λ  telle que 52,L =Λ .  
Λy xO
z
Λ20=l L
( )xz1
( )xz2
h
 
FIG. 2 – Schéma du guide d’onde étudié. 
 
Les résultats présentés ici portent sur les amplitudes du mode incident (m ) ou des modes diffusés (n ) en 
fonction de la fréquence et de la coordonnée spatiale x. Pour certaines fréquences, la relation de phonon [2] 
 02 =−+ Λπκκ nm   , (26) 
est satisfaite ; elle caractérise le couplage privilégié entre un mode incident m  et un mode diffusé n  
(figure 3). Le domaine de fréquence f étudié est compris entre les valeurs de la fréquence adimensionnée 
31,cLf T =  et 751,cLf T = . Quatre modes sont pris en compte dans les calculs : les modes incident SH0 
et diffusés SH1, SH2 et SH3. Sur la bande fréquentielle de l’étude, les modes SH0, SH1 et SH2 sont 
propagatifs et le mode SH3 est soit évanescent soit pr pagatif (sa fréquence de coupure est donnée par 
51,cLf T = ).  
FIG. 3 – Courbes de dispersion (courbes en traits pleins) et de phonon (courbes en traits pointillés). 
 
a)  b) c) 
FIG. 4 – Module de l’amplitude normalisée de modes en fonction de la coordonnée spatiale 
adimensionnalisée Λx  et de la fréquence adimensionnalisée TcLf  : a) mode incident SH0, b) mode 
diffusé SH2, et c) mode diffusé SH3. 
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1.3 1.75
SH 0
SH 0
SH 1
SH 1
SH 2
SH 2
SH 3
SH 3
fL/c
T
κ m
L
/2
π
19ème Congrès Français de Mécanique                                                                           Marseille, 24-28 août 2009 
  6 
 
Dans ce domaine de fréquence, il existe deux relations de phonons, représentées par l'intersection des 
courbes de phonon (courbes descendantes sur la figure 3) et des courbes de dispersion (courbes ascendant s 
sur la figure 3) : une première relation de phonon entre le mode incident SH0 avec le mode diffusé SH2en 
381,cLf T =  et une seconde relation de phonon entre le mode incide t SH0 et le mode diffusé SH3 en 
631,cLf T = . 
L’amplitude du mode incident SH0 décroît très faiblement au cours de la propagation, sauf pour les 
fréquences pour lesquelles les deux relations de phonon avec les modes créés par couplage SH2 et SH3 sont 
vérifiées (respectivement 381,cLf T =  et 631,cLf T = ) (figure 4a). Corrélativement, l’amplitude de 
chacun de ces deux modes diffusés SH2 et SH3 est négligeable sauf pour la fréquence associée à sa relation 
de phonon avec le mode incident (figures 4b et 4c). Les mécanismes de transfert d’énergie entre modes ayant 
lieux pour des fréquences proches de fréquences vérifiant les relations de phonon avec les modes concernés 
sont clairement mis en lumière par ces résultats [2, 4, 5, 7]. 
8 Conclusion 
Le modèle analytique présenté permet d'interpréter les effets de rugosité de frontières de faible hauteur (en 
comparaison avec l’épaisseur de la plaque) et de faibles pentes, et de mettre en lumière les mécanismes de 
transfert d’énergie entre modes. Il apparaît en particulier que pente et hauteur de rugosité exercent tous deux 
des influences du même ordre de grandeur sur les couplages de modes. Pour un profil périodique, les 
mécanismes de transfert d’énergie entre modes sont très sensibles au voisinage des relations de phonon. Ces 
différents aspects des effets de couplage modaux dus à la rugosité sont fondamentaux en pratique, en termes 
de caractérisation de rugosités réelles dont les profils présentent en général des caractéristiques 
intermédiaires entre profil périodique et profil alé toire. 
References 
[1] Chimenti D.E., Lobkis O.I., The effect of rough surfaces on guided waves in plates, Ultrasonics, 36, 155-
162, 1998. 
[2] Leduc D., Hladky A-C., Morvan B., Izbicki J-L., Pareige P., Propagation of Lamb waves in a plate with 
periodic grating: Interpretation by phonon, J. Acoust. Soc. Am., 118 (4), 2234-2239, 2005. 
[3] Banerjee S., Kundu T., Elastic wave propagation in sinusoidally corrugated waveguides, J. Acoust. Soc. 
Am., 119 (4), 2006-2017, 2006. 
[4] Potel C., Leduc D., Morvan B., Depollier C., Hladky A-C., Izbicki J-L., Pareige P., Bruneau M., Lamb 
wave attenuation in a rough plate. I. Analytical and experimental results in an anisotropic plate, J. Appl. 
Phys., 104, 074908, 2008. 
[5] Potel C., Leduc D., Morvan B., Depollier C., Hladky A-C., Izbicki J-L., Pareige P., Bruneau M., Lamb 
wave attenuation in a rough plate. II. Analytical and numerical results in a fluid plate, J. Appl. Phys., 104, 
074909, 2008. 
[6] Valier-Brasier T., Potel C., Bruneau M., Modes coupling of shear acoustic waves polarized along a one-
dimensional corrugation on the surfaces of an isotropic solid plate, Appl. Phys. Let., 93, 164101, 2008. 
[7] Potel C., Bruneau M., Modes coupling due to nonh mogeneously-shaped walls in duct acoustics, J. 
Sound Vib., 313, 738-759, 2008. 
[8] Morse P.M., Feshbach H., Methods of Theoretical Physics-Part II, McGraw-Hill, New-York, 999-1064, 
1953. 
[9] Sum K. S., Pan J., Effects of the inclination of a rigid wall on the free vibration characteristic of acoustic 
modes in a trapezoidal cavity, J. Acoust. Soc. Am., 119, 2201-2210, 2006. 
[10] Michel Bruneau, Manuel d'Acoustique Fondamentale, Hermès, Paris, p. 320, 1998. 


Propagation guidée d'ondes de cisaillement horizontales dans des

            plaques solides rugueuses

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/36600/1/779.pdf

Propagation guidée d'ondes de cisaillement horizontales dans des plaques solides rugueuses

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