La zone de production générée en aval d'une grille fractale de maille carrée est étudiée au travers de mesures expérimentales de vitesse et de vorticité. Cette étude révèle que la position du pic de production est indépendante de la vitesse moyenne imposée dans la soufflerie. Les mesures de vitesse dans le voisinage immédiat de la grille mettent en évidence la présence d'oscillations à grande échelle (15 cm) qui persistent sur une grande distance en aval de la grille. En parallèle, une turbulence multi-échelle est progressivement produite en s'éloignant de la grille sous la forme de bouffées turbulentes locales comme en témoignent les signaux de vitesse et de vorticité. La comparaison simultanée entre la vitesse grande échelle et la vorticité petite échelle montre l'existence de fortes corrélations entre ces champs

BAUDET, Christophe

BRUERA, Carlo

MAZELLIER, Nicolas

VASSILICOS, John Christos

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Production turbulente en aval d’une grille fractale
Nicolas Mazellier†‡, Carlo Bruera†, Christophe Baudet‡& John Christos Vassilicos†
†Department of Aeronautics, Imperial College London, SW7 2AZ, Royaume-Uni
‡Laboratoire des Ecoulements Géophysiques et Industriels, UJF, F-38041 Grenoble, France
Correspondant : n.mazellier@imperial.ac.uk
Résumé :
La zone de production générée en aval d’une grille fractale de maille carrée est étudiée au travers de mesures
expérimentales de vitesse et de vorticité. Cette étude révèle que la position du pic de production est indépendante
de la vitesse moyenne imposée dans la soufflerie. Les mesures de vitesse dans le voisinage immédiat de la grille
mettent en évidence la présence d’oscillations à grande échelle (15cm) qui persistent sur une grande distance
en aval de la grille. En parallèle, une turbulence multi-échelle est progressivement produite en s’éloignant de la
grille sous la forme de bouffées turbulentes locales comme en témoignent les signaux de vitesse et de vorticité. La
comparaison simultanée entre la vitesse grande échelle et la vorticité petite échelle montre l’existence de fortes
corrélations entre ces champs.
Abstract :
The production region generated in the lee of a fractal square grid is investigated by means of experimental
measurements of velocity and vorticity. This study shows that the position of the production peak is independant of
the inlet flow velocity in the wind-tunnel. Velocity measurements in the immediate neighbourhood of the grid reveal
the presence of large-scale oscillations which are well-defined in space rather than in time (15cm) and persist for
a long way in the lee of the grid. At the same time, turbulence is progressively produced in form of local turbulent
bursts as evidenced by velocity and vorticity signals. The comparison of simultaneous large-scale velocities and
small-scale vorticity components shows a strong correlation between these fields.
Mots-clefs :
forçage multi-échelle ; vorticité/vitesse ; production turbulente
1 Introduction
La turbulence est constituée de structures à une multitude d’échelle, souvent en équilibre,
qui résultent de mécanismes non-linéaires de transfert d’énergie [Frisch (1995)]. Afin de mieux
comprendre cette nature multi-échelle et la dynamique de la turbulence nous nous proposons
ici d’étudier expérimentalement la turbulence générée en aval d’une grille fractale développée
au sein du groupe TMFC de l’Imperial College [Hurst et al. (2007)]. La particularité de ce type
de grille est d’être construite sur une série d’itérations d’un motif de base à différentes échelles
ceci ayant pour objectif de créer un forçage multi-échelle de l’écoulement contrairement aux
grilles à mailles régulières [Comte-Bellot et al. (1971)]. Le motif de base de la grille utilisée
pour la présente étude est une maille carrée comme l’illustration la figure 1.
Un total de 5 paramètres permet de caractériser entièrement la grille fractale : sa taille totale
définie par la dimension T de la soufflerie, le nombre d’échelles (ou itérations) N du motif de
base, le rapport tr entre la plus grande (tmax) et la plus petite largeur, le rapport tL entre la plus
grande (Lmax) et la plus petite longueur et la maille effective de la grille Meff = 4T
2
P
√
1− σ
(avec P le périmètre de blocage de l’écoulement et σ la solidité de la grille) qui donne une
estimation de la maille moyenne sur toute la surface de la grille. Nous avons utilisé pour cette
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 1 – Schéma de la grille fractale, Lmax ≈ 24cm et tmax ≈ 3cm
étude une grille dont le nombre d’échelle N est égal à 4. Les rapports d’épaisseur et de longueur
tr et tL de la grille en question sont égaux à 17 et 8 respectivement. La maille effective Meff de
la grille est environ égale à 2.7cm. De plus, cette grille se caractérise par une solidité σ de 25 %
ce qui est relativement faible en comparaison à des grilles à maillage régulier (σreg ≈ 34 %).
2 Dispositifs expérimentaux
2.1 Soufflerie d’essai
Les résultats présentés ici ont été obtenus dans une soufflerie à air fonctionnant en boucle
ouverte. La veine d’essai, dont la section est un carré de côté T = 46cm, mesure environ 4m de
long. La vitesse maximale atteinte en l’absence d’obstacle dans la veine de mesure est d’environ
40m/s. Le taux de turbulence résiduelle mesuré le long de l’axe du tunnel est inférieur à 0.3 %.
2.2 Mesure de vitesse
Les champs de vitesse ont été mesurés à l’aide d’un dispositif d’anémomètrie à fils chauds à
température constante. Nous utilisons une sonde simple DANTEC 55P01 sur laquelle est monté
un fil Platinium/Tungsten de diamètre 5µm et de longueur sensible 1.25mm. Cette sonde est
connectée à un anémomètre DISA 55M10 fonctionnant en mode température constante avec un
coefficient de surchauffe de 0.5. Le signal de sortie de l’anémomètre est alors conditionné grâce
à un filtre/amplificateur DISA 55D26. Le temps de réponse de ce montage à été mesuré entre
25µs et 50µs suivant la vitesse moyenne de l’écoulement. Le dispositif est étalonné au début et
à la fin de chaque expérimentation au moyen d’une mesure de vitesse réalisée grâce à un tube
de Pitot relié à un micro-manomètre différentiel FURNESS CONTROLS.
2.3 Mesure de vorticité
Le champ de vorticité ω(x, t) est étudié au moyen d’un dispositif expérimental de diffusion
ultrasonore [Poulain et al. (2004)]. Le principe de la mesure repose sur la diffusion d’ondes
sonores en présence de structures vorticitaires [Kraichnan (1953)]. Une photo du banc expé-
rimental est présentée sur la figure 2. Comme le montre cette photo, le banc de mesure a été
adapté afin d’acceuilir également la sonde à fil chaud. Les capteurs acoustiques sont diaphrag-
més à un diamètre sensible de 7cm afin de réduire la taille de la zone d’interrogation délimitée
par l’intersection des faisceaux acoustiques incidents et reçus. Le volume acoustique Vscatt ainsi
défini possède un allongement axial de l’ordre de 15cm et son centre est positionné à environ
30cm en amont des capteurs. Des mesures par anémomètrie à fil chaud n’ont révélé aucune
modification majeure du champ de vitesse à petite et à grande échelle dûe à la présence du
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
dispositif acoustique dans la veine d’essai.
FIG. 2 – Photo du banc acoustique
Un des transducteurs émet une onde acoustique plane pinc qui interagit avec le champ de vor-
ticité de l’écoulement fluide. Le champ de pression diffusée pscatt résultant de cette interaction
peut être directement relié [Lund et al. (1989)] à une composante du champ de vorticité :
pscatt (t) = pinc (t) · ω⊥ (qscatt, t) (1)
où ω⊥ est la composante de vorticité normale au plan de diffusion imposé par l’emplacement
des transducteurs et qscatt le vecteur d’onde défini dans notre cas par :
qscatt =
4pifinc
c
sin
(
θscatt
2
)
x
x
(2)
où finc est la fréquence de l’onde incidente et θscatt l’angle de diffusion entre l’émetteur et le
récepteur. Dans le cadre de la présente étude le vecteur d’onde qscatt est aligné avec l’axe de la
soufflerie. La mesure par diffusion ultrasonore est donc sensible à l’évolution temporelle d’un
mode spatial de Fourier d’une composante du champ de vorticité ω⊥ (qscatt, t) défini comme :
ω⊥ (qscatt, t) =
∫ ∫ ∫
Vscatt
ω⊥ (x, t) e−iqscatt·xd3x (3)
Les mesures de diffusion acoustique ont été concentrées à un nombre d’onde qscatt ≈
1700m−1 qui correspond à une échelle spatiale d’environ 4mm ce qui est de l’ordre de grandeur
de l’échelle de Taylor λ de l’écoulement. Le dispositif acoustique permet donc de mesurer la
dynamique temporelle du champ de vorticité à petite échelle.
3 Résultats et discussion
3.1 Définition de la zone de production
L’évolution du taux de turbulence urms/U le long l’axe de la soufflerie ainsi que le coeffi-
cient d’auto-corrélation ρuu(τ) =
〈u(t)u(t+τ)〉t
〈u(t)2〉t du champ de vitesse mesuré à x = 10Meff sont
tracés sur la figure 3. Ces mesures ont été obtenues pour différentes vitesses V∞ en entrée de la
veine d’essai : 5m/s, 10m/s et 15m/s.
De manière identique aux résultats observés par Hurst et al. (2007), le taux de turbulence
révèle la présence de deux régions aux comportements distincts. Nos mesures montrent que la
transition et le comportement de ces deux régions est indépendante de la vitesse V∞ imposée
en entrée de veine d’essai. Jusqu’à x ≈ 45Meff , le taux de turbulence croît fortement pour
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
0 20 40 60 80 100 120
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
x / M
eff
v r
m
s 
/ V
V = 5 m/s
V = 10 m/s
V = 15 m/s
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τ V
∞
 (m)
ρ u
u
V
∞
 = 5 m/s
V
∞
 = 10 m/s
V
∞
 = 15 m/s
FIG. 3 – Evolution spatiale du taux de turbulence le long de l’axe de la soufflerie (gauche) et de l’auto-
corrélation de vitesse à x = 10Meff (droite) pour différentes vitesses en entrée de veine
atteindre un maximum d’environ 8 %. Cette région, dite zone de production, est marquée par la
présence d’une instabilité grande échelle comme l’illustre l’évolution de l’auto-corrélation de
vitesse ρuu obtenue à x = 10Meff . Afin de tenir compte de l’effet de convection, le retard tem-
porel τ est pondéré par la vitesse V∞. Cette représentation fait clairement ressortir la présence
de cette structure grande échelle dont la taille caractéristique est de 15cm ce qui ne semble pas
correspondre de manière évidente à une échelle caractéristique de la grille (Meff , Lmax, tmax,
T ). En aval de la zone de production, une région de turbulence en décroissance est observée
comme l’ont montré les résutats obtenus par Hurst et al. (2007).
Les résultats présentés par la suite concernent uniquement la région de production turbulente
de l’écoulement et ont été obtenus pour une vitesse V∞ en entrée de veine de 10m/s.
3.2 Instabilité à grande échelle
Les évolutions du spectre d’énergie E(q) (anémomètrie à fil chaud) et du coefficient d’auto-
corrélation du champ de vorticité ρωω(τ) =
〈ω(t)ω(t+τ)〉t
〈ω(t)2〉t (diffusion acoustique) sont représentées
sur la figure 4. Ces mesures ont été réalisées dans la zone de production à 10Meff et 20Meff en
aval de la grille.
100 101 102 103 104 105
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
q (m−1)
E(
q)
x = 10 M
eff
x = 20 M
eff
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
τ V
∞
 (m)
ρ w
w
x = 10 M
eff
x = 20 M
eff
0 0.2 0.4 0.6 0.8
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
FIG. 4 – Evolution des spectres d’énergie (gauche) et de l’auto-corrélation de vorticité (droite) à x =
10Meff et x = 20Meff pour V∞ = 10m/s
Les spectres d’énergie sont très nettement marqués par la présence de la structure grande
échelle (pic à q = 40m−1 environ) dont l’énergie domine les fluctuations de vitesse. A x =
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
10Meff , le champ de vitesse est uniquement contrôlé par la structure grande échelle comme le
confirme les mesures de vorticité par diffusion acoustique. En effet, l’autocorrélation de vor-
ticité ρωω est très proche de zéro ce qui signifie que le niveau de vorticité présente à petite
échelle est extrêmement faible. En revanche, plus en aval de la grille la production turbulente
commence à agir comme l’illustre le spectre d’énergie obtenu à x = 20Meff . A cette position,
bien que la structure à grande échelle soit toujours présente, le spectre d’énergie exhibe une
manifestation d’activité turbulente avec l’apparition d’une loi de puissance s’étendant sur plus
d’une décade. Ce phénomène se confirme sur les mesures de vorticité réalisées à x = 20Meff
comme le prouve la présence d’un niveau de corrélation à temps long classiquement observé
dans des écoulements turbulents développés [Poulain et al. (2006)]. Le zoom de la corrélation
de vorticité proche de la valeur nulle présenté dans l’insert révèle la présence d’oscillation du
coefficient ρωω à x = 20Meff signe d’une interaction entre le champ de vitesse grande échelle
et le champ de vorticité à petite échelle.
3.3 Corrélation vitesse/vorticité
Afin d’appréhender plus en détail ces interactions nous avons réalisé des mesures simulta-
nées de vitesse et de vorticité. Pour cette expérience, le volume acoustique est centré à 20Meff
en aval de la grille et la sonde à fil chaud est placée au centre du volume acoustique. Les résultats
obtenus dans cette configuration sont reportés dans la figure 5. La figure de gauche représente
l’évolution simultanée sur un intervalle de 0.5s du champ de vitesse u (haut), de la dissipation
² = 15ν
(
∂u
∂x
)2
(milieu) et de l’enstrophie ω2 (bas). Toutes ces quantités ont été normalisées
par leur écart-type. De plus, le signal d’enstrophie a été seuillé afin d’éliminer le bruit aéro-
dynamique ambiant. Alors que le champ de vitesse u est dominé par la signature des grandes
échelles, le champ de dissipation est par construction sensible aux propriétés à petite échelle.
La comparaison directe de ces deux quantités avec le champ de vorticité pourrait témoigner des
influences réciproques entre u, ² et ω. Le signal de vitesse illustre l’existence de bouffées tur-
bulentes très localisées et dont l’énergie dépasse plusieurs écart-type. Ces bouffées turbulentes
correspondent à des zones où la dissipation et l’enstrophie sont très intenses. La ressemblance
entre les signaux de dissipation et de vorticité sont tout à fait frappants. Afin de mettre en évi-
dence et de quantifier les interactions entre ces différentes quantités nous nous intéressons au
coefficients d’inter-corrélation ρωu(τ) =
〈ω(t)u(t+τ)〉t√
〈ω(t)2〉t
√
〈u(t)2〉t
et ρω²(τ) =
〈ω(t)²(t+τ)〉t√
〈ω(t)2〉t
√
〈²(t)2〉t
dont
les évolutions sont tracées à droite sur la figure 5.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
−15
−10
−5
0
5
u
(t)
 / u
rm
s
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
0
20
40
60
80
ε(t
) / 
ε r
m
s
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
0
5
10
t (s)
|ω(
t)|2
 
/ |ω
|2 rm
s
−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
τ V
∞
 (m)
ρ ω
 
u
 
o
u
 ρ
ω
 
ε
ρ
ω u
ρ
ω ε
FIG. 5 – Comparaison des dynamiques des champs à grande échelle et à petite échelle
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
L’inter-corrélation entre la vorticité ω et la dissipation ² présente un maximum égal à 10 %
centré autour du retard nul ce qui montre que ces deux quantités apparaissent simultanément
dans l’écoulement. La valeur maximale de l’inter-corrélation, environ−15%, entre vorticité ω et
vitesse u est atteinte pour un retard de 5ms correspondant à une distance de 5cm. Ce décalage
ne semble pas pouvoir s’expliquer par une erreur de positionnement de la sonde à fil chaud.
Toutefois des tests sont en cours afin de déterminer si le retard mesuré est consistent avec la
physique de l’écoulement. Cette courbe tend à montrer que les bouffées d’énergie turbulentes
visibles sur les signaux de vitesse sont légèrement déphasées avec l’apparition des bouffées
vorticitaires.
4 Conclusions
L’ecoulement généré en aval d’une grille fractale à maille carrée produisant un forçage
multi-échelle est étudié expérimentalement au travers de mesures du champ de vitesse par ané-
momètrie à fil chaud et du champ de vorticité par diffusion ultrasonore. Nos mesures confirment
l’existence d’une zone de production turbulente dans voisinage proche de la grille qui se carac-
térise par une augmentation du taux de turbulence jusqu’à un maximum que nous montrons être
indépendant de la vitesse moyenne de l’écoulement. Le coefficient d’auto-corrélation de vitesse
mesurés dans le voisinnage de la grille révèlent l’existence d’une instabilité grande échelle dont
la taille est indépendante de la vitesse de convection moyenne de l’écoulement et ne corres-
pond pas de manière évidente aux échelles caractéristiques de la grille. Alors que cette structure
grande échelle persiste sur une longue distance en aval de la grille, les mesures de vitesse et de
vorticité mettent en évidence l’apparition d’un turbulence multi-échelle en développement suffi-
sament loin de la grille. L’étude simultanée des champs grande échelle (vitesse) et petite échelle
(vorticité) montrent l’existence d’une forte dépendance entre les bouffées turbulentes apparai-
sant en aval de la grille et la création de vorticité et de dissipation à petite échelle comme le
confirment les niveaux d’inter-corrélations entre ces différentes quantités.
Ce travail est supporté par Marie Curie Training Network (Fluid Mechanical Stirring and
Mixing : the Lagrangian approach) et la Délégation Générale pour l’Armement.
Références
Frisch, U. 1995 Turbulence Cambridge University Press
Comte-Bellot, G., Corrsin, S. 1971 Simple Eulerian time correlation of full- and narrow-band
velocity signals in grid-generated ’isotropic’ turbulence J. Fluid Mech. 48 273-337
Hurst, D., Vassilicos, J.C. 2007 Scalings and decay of fractal-generated turbulence Physics of
Fluids 19 à paraître
Kraichnan, R.H. 1953 The scattering of sound in a turbulent medium J. Acoust. Soc. Am. 25
1096-1104
Lund, F., Rojas, C. 1989 Ultrasound as a probe of turbulence Physica D 37 508-514
Poulain, C., Mazellier, N., Gervais, P., Baudet, C., Gagne, Y. 2004 Spectral vorticity and lagran-
gian velocity measurements in turbulent jets Flow, Turb. Comb. 72 245-271
Poulain, C., Mazellier, N., Chevillard, L., Gagne, Y., Baudet, C. 2006 Dynamics of spatial Fou-
rier modes in turbulence : sweeping effect, long-time correlations and temporal intermittency
Eur. Phys. J. B 53 219-224
6


Production turbulente en aval d'une grille fractale

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16503/1/CFM2007-0758.pdf

Production turbulente en aval d'une grille fractale

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues