De récentes campagnes d'expérimentation menées sur le pont à haubans d'Iroise entre Brest et Quimper ont mis en évidence des vibrations répétées siégeant dans les câbles et susceptibles de causer des problèmes de durabilité. Une analyse spectrale des réponses a permis d'identifier deux régimes dans lesquels soit le premier soit le troisième mode du câble H3Q22 était sollicité. Une analyse temps fréquence des scalogrammes ondelettes a mis à jour l'existence d'un mode localisé de pile excité par le trafic ambiant qui à son tour excite les modes de câbles par un mécanisme de résonance paramétrique nonlinéaire avec les modes de flexion verticale de la structure pile et tablier. Des résultats préliminaires sont présentés ainsi qu'une tentative d'explication d'un tel scénario

BERLIOZ, Alain

BOUJARD, Olivier

LAMARQUE, Claude

PERNOT, Stephane

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
 
Phénomène de résonance paramétrique nonlinéaire dans un hauban du pont 
d’Iroise: Modélisation et expérimentation 
 
Olivier Boujard(1), Stéphane Pernot(2), Alain Berlioz(3), Claude Lamarque(2) 
 
(1) Division Ingénierie Vent et Environnement, CSTB, Nantes, France, boujard@cstb.fr 
(2) Département Génie Civil URA CNRS 1652, Ecole Nationale des Travaux Publics de l’Etat,  Vaulx en 
Velin, France, stephane.pernot@entpe.fr, claude.lamarque@entpe.fr 
(3) Département  Génie Mécanique, Université Paul Sabatier, Toulouse III, LGMT, France, 
berlioz@lm2f.ups-tlse.fr 
 
Résumé : 
De récentes campagnes d’expérimentation menées sur le pont à haubans d’Iroise entre Brest et Quimper 
ont mis en évidence des vibrations répétées siégeant dans les câbles et susceptibles de causer des 
problèmes de durabilité. Une analyse spectrale des réponses a permis d’identifier deux régimes dans 
lesquels soit le premier soit le troisième mode du câble H3Q22 était sollicité. Une analyse temps 
fréquence des scalogrammes ondelettes a mis à jour l’existence d’un mode localisé de pile excité par le 
trafic ambiant qui à son tour excite les modes de câbles par un mécanisme de résonance paramétrique 
nonlinéaire avec les modes de flexion verticale de la structure pile et tablier. Des résultats préliminaires 
sont présentés ainsi qu’une tentative d’explication d’un tel scénario.   
 
Abstract : 
Recent experimental campaigns led on the Iroise cable stayed bridge near Brest, France, revealed 
repeated vibratory events in some cable stay likely to provoke durability problems. A spectral analysis 
emphasized two regimes in which either the fundamental or the third cable mode were excited. Yet, 
wavelet scalograms of tests allowed to exhibit a localized pylon mode excited by traffic environment 
which again excites cable modes by means of a nonlinear parametric resonance mechanism with vertical 
bending modes of the girder. Preliminary results are introduced as an attempt to explain such a scenario. 
 
Mots-clefs :  
 
Dynamique des haubans ; résonance paramétrique nonlinéaire; modèle d’Irvine de cable 
 
1 Introduction 
 
Le pont à haubans d’Iroise qui relie la baie de Brest à Quimper (voir Fig. 1g.) est 
instrumenté par le CSTB depuis 2004 afin de mieux comprendre les phénomènes vibratoires 
siégeant dans le 22ème haubans ancré aux deux tiers de la traverse principale, animé par de 
nombreux épisodes de vibrations alors que ses voisins demeurent à l’équilibre. L’analyse des 
accélérations a mis en évidence deux régimes vibratoires dans lesquels soit le mode 
fondamental (amplitude 10 cm) soit le troisième mode du câble (amplitude 18 cm) 
prédominaient. Dans une précédente étude Boujard et al. (2006), une interaction avec des 
conditions particulières de vent et des modes de flexion verticale du tablier était suspectée d’être 
à l’origine du phénomène, mais les résultats de simulations obtenues à partir d’un modèle 
nonlinéaire équivalent n’avaient pas permis de conforter entièrement cette hypothèse et surtout 
ne tenait pas compte du grand élancement de la pile. Une analyse temps-fréquence 
d’enregistrements récents a depuis lors, permis d’isoler un mode localisé de pile excité par le 
trafic routier qui excite à son tour les modes du câble par un mécanisme de résonance 
paramétrique nonlinéaire avec les modes de flexion verticale du tablier. 
Les principaux résultats de recherche ayant trait à la dynamique des câbles tendus ont été 
fournis par Irvine (1981) pour ce qui est de la modélisation théorique. Les expériences de 
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laboratoire développées par Fujino et al. (1993), Berlioz et al. (2005), Georgakis et al. (2005) 
ont également contribué à explorer diverses résonances paramétriques de câbles tendus excités 
par des modes de tablier. Toutes ces études font cependant l’hypothèse d’une pile de pont rigide 
ce qui n’est pas le cas présent. 
 
 
 
 
FIG. 1 – g) Le pont d’Iroise, Brest, France ; d) Plan d’expérience du 19 Décembre 2006 ; mode 
localisé de pile à 2.947 Hz (bleu) 
 
Le présent travail consiste à étudier ce cas résonant pour un modèle de câble équivalent 
d’Irvine afin de prédire le comportement vibratoire nonlinéaire du câble dans le plan du pont. Le 
modèle équivalent d’Irvine reprend à sa charge les principales contributions modales du tablier, 
du mode localisé de pile assimilé à un mode global mais aussi les trois premiers modes plans de 
câble. La méthode des échelles multiples sera utilisée afin de valider le scénario observé 
expérimentalement, les données d’enregistrements en accélérations servant aussi bien pour 
l’identification des paramètres constitutifs du modèle que pour effectuer une comparaison avec 
les réponses du modèle analytique. 
 Le présent travail qui présente des résultats préliminaires est articulé comme suit : en 
section 1, est présentée l’analyse de résultats expérimentaux récents qui ont permis d’identifier 
le rôle du mode localisé de la pile H3 et ses propriétés modales. En section 2, un modèle 
condensé de câble à trois modes est présenté, incluant les couplages nonlinéaires avec les 
principaux modes de flexion du tablier et du mode localisé de pile. Enfin quelques perspectives 
sont données relativement aux travaux d’analyse des scénarios identifiés par la méthode des 
échelles multiples.  
 
2 Analyse des résultats expérimentaux 
 
Une campagne d’essais vibratoires a été conduite le 19 décembre 2006 sur le pont d’Iroise 
(voir Fig. 1d.) afin d’identifier les propriétés modales de la pile H3 incriminée, les paramètres 
identifiés servant à alimenter le modèle de câble d’Irvine.  
Le plan d’expérience a consisté à enregistrer des données d’accéléromètres fixés sur la 
paroi intérieure de la pile (voir Fig. 2g.) et à l’intérieur du tablier. Ces essais ont été réalisés 
dans des conditions de sollicitations ambiantes et de trafic routier afin d’obtenir les fonctions de 
réponse en fréquence expérimentales. Une autres séries de tests a été développée consistant à 
faire circuler sur le tablier à plusieurs reprises un engin de déneigement chargé de sel et roulant 
à une vitesse voisine de 90 km/h. Cette vitesse qui apparaît comme étant une sollicitation 
dynamique excitant principalement le mode localisé de pile, a été estimée en considérant la 
distance moyenne entre des ancrages de haubans successifs. 
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FIG. 2 – Pont d’Iroise : g) vue sur les haubans ; intérieur de la pile et accéléromètres utilisés ; d) 
FrF et phase de la pile à l’ancrage H3Q22 
 
Une analyse de la réponse en fréquence de la pile H3 calculée en position S1 permet de 
localiser la fréquence d’un mode de pile à f = 2.947 Hz (voir Fig. 2d.). L’analyse de toutes les 
données FrF et phases disponibles a permis de reconstruire la déformée expérimentale du mode 
localisé de pile (voir Fig. 1d.) qui coïncide avec le deuxième mode de flexion verticale de la 
pile. La présence d’autres fréquences voisines est à mettre sur le compte du troisième mode des 
câbles H3Q18 et H3Q21 et est confirmée par l’analyse des scalogrammes ondelettes suivants. 
 
 a) cable H3Q18 (f = 2.79 HZ) 
 
 b) cable H3Q21 (f = 2.85 HZ) 
 
L’amortissement spécifique du mode localisé de pile est estimé à 0.5% avec une grande 
part d’erreur du fait de la mauvaise séparation modale. Les vibrations mettant en scène le mode 
de pile fH3 = 2.947 Hz et le troisième mode de câble H3Q22 fc3= 2.20 Hz sont visibles dans les 
encadrés en rouge des figures 3c) et 3d). Le premier constat est que fH3 coïncide avec les 
combinaisons fc1 + fc3 et 2 fc1 + fc2, fc1= 0.73 Hz et fc2= 1.46 Hz étant les fréquences respectives 
du premier et du second mode de câble H3Q22. 
Target 2.947 Hz2.79 Hz 
2.85 Hz 
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 c) câble (fc3= 2.20 Hz ; fH3= 2.94Hz) d) Pile H3 (fc3 = 2.20 Hz ; fH3 = 2.947 Hz) 
    FIG. 3 – Scalogramme des réponses en déplacement  
 
Ainsi, une résonance paramétrique nonlinéaire entre la pile H3 est suspectée être à 
l’origine des vibrations de grande amplitude (fc3= 2.20 Hz puis fc1= 0.73 Hz) se développant 
dans le câble H3Q22. Le hauban H3Q18 est susceptible de jouer un second rôle dans ce 
scénario car des dommages structurel ont été constatés in situ sur l’ancrage sur la pile du dit 
câble certainement causés par des concentrations élevées de contraintes dans cette zone. La 
section suivante concerne la mise en équation d’un modèle nonlinéaire condensé de câble pour 
le hauban H3Q22. 
 
3 Modèle nonlinéaire condensé de câble 
 
Reprenant le modèle d’Irvine pour un câble tendu, un modèle de câble est développé dans 
le but de valider le mécanisme de résonance paramétrique nonlinéaire entre le mode localisé de 
pile H3 et des combinaisons linéaires des trois modes de câble H3Q22. Le déplacement du câble 
prenant les déformées quasi-statiques est donné dans un repère global attaché au pont. Au final, 
un modèle à 6 degrés de liberté est écrit avec : 
? Les trois premiers modes plans du câble H3Q22  (qk)k = 1.. 3, 
? Les deux modes de flexion verticale du pont d’Iroise (f1 = 0.305 Hz, f2 = 0.44 Hz) 
montrés en Fig. 4, 
? Le mode localisé de pile fH3 = 2.947 Hz considéré comme un mode global. 
 
Les notations utilisées dans le modèle sont : 
Propriétés du câble H3Q22: 
m : masse linéique, L: longueur 
θ :  angle, H : tension statique, 
λ² : parameter d’Irvine 
( )
H
mgL θµ cos= , 
qk : coordonnées généralisées des modes (k=1, 2,  3), 
ωk : fréquence  propres du câble, 
  ( ) 111 +−+= kkα , 
  ( )4
2²2
1 π
αλβ
k
k
k += . 
 
Propriétés du pont et de la pile H3 :  
Mk : masse modale généralisée k = 1, 2 
pour les modes de flexion du tablier et 
k= 3 (pile), Kk : raideur généralisée, 
sk : coordonnée généralisée pour les 
modes du pont k = 1, 2, 3, 
Ωk : fréquence du mode k, ( ) ( )
( ) ( )
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100
0cossin
0sincos
θθ
θθ
T  : matrice 
de passage entre le repère local au cable 
et le repère global. 
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Fig. 4 Modes de flexion du pont f1 = 0.305 Hz, f2 = 0.44 Hz (modèle élément finis). 
 
En écrivant le principe d’Hamilton, on obtient finalement le système d’équations pour le câble : 
 
( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++++ ∑= 12313221231112111111
3
1
31311
2
11111 ........2 qqEqEqEqDCqqCsBqqq
i
iiωωζ &&&
[ ] ∑∑
==
++++−=
3
1
1
3
1
1
2
313
2
212313
2
1 .....
i
ii
i
ii sGsFqDqDqA &&ω  
( ) ∑∑
==
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++
3
1
22
2
323
2
121
3
2222
3
1
32312122
2
22222 .........2
i
ii
i
ii sGqqEqEqEqqCqCsBqqq &&&&& ωωζ  
( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ++++ ∑= 32232213133332333333
3
1
13133
2
33333 ........2 qqEqEqEqDCqqCsBqqq
i
iiωωζ &&&
[ ] ∑∑
==
++++−=
3
1
3
3
1
3
2
232
2
131131
2
3 .....
i
ii
i
ii sGsFqDqDqA &&ω  
avec  
 
k
lk
kl lk
A βπ
ααλ
43
22= , 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
=
12
1
2
2
2
λβµ
λ
k
i
ki
L
UB , i = 1, 2, 3 
k
l
kl Ll
C βµπ
αλ2= , 
k
k
kl Lk
lD βµπ
αλ
3
22
2
= ,
k
kl L
lE βµ
πλ
22
222
4
= , 
( ) k
kik
ki
k
UF β
ω
λµπ
λα 2
2
3
2
.
12
1
2
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
−= , 
( )
.
2
12
1
2
2
3
2
πλµπ
λα
k
V
k
UG iikki −
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
=
De même, on pose ( )Pji,ψ  i =1, 2, 3 et j = U, V, W, la ième déformée modale du pont dans la 
direction j et localisée au point P. Les coefficients de participation modaux iU  et iV  sont 
donnés par : ( ) ( ) ( ) ( )θψθψ cos.sin. ,, PylôneUiTablierVii XXU −=  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )θψθψ cos..1sin. ,1, TablierViiPylôneUii XXV +−+−=  
où XTablier et XPylône désignent respectivement les lieux d’ancrage bas et haut du câble considéré. 
 
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En appliquant de nouveau le principe d’Hamilton au système constitué du haubans H3Q22, 
de la pile H3 et du tablier, on obtient au final les équations suivantes pour la kème coordonnée 
modale du pont, k = 1, 2, 3 : 
( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +++−=Ω+Ω+ ∑ ∑= =
3
1
3
1
2
3311*
2** .....12
i i
ikiikikkk
k
kkkkkk qRqQqPqPZM
sss &&&&& ζ  
faisant apparaître des constantes qui ne sont pas détaillées ici. 
 
4 Analyse du modèle condensé 
La méthode des échelles multiples est utilisée pour retrouver des solutions stationnaires 
ayant une amplitude semblable à celle mesurée expérimentalement. Parmi les différents cas de 
résonance étudiés, quatre scénarios potentiels doivent être vérifiés analytiquement : 
Résonance fc1 = 0.73 Hz :  f1 + f2 = 0.305 + 0.44,  
Résonance fc2 = 1.46 Hz :  2 fc1 , 
Résonance fH3 = 2.94 Hz :  2 fc2 , 
Résonance fc3 = 2.20 Hz : fH3 – (fc1 + fc2). 
Tous ces mécanismes sont susceptibles de provoquer des résonances en combinaisons. Dans le 
programme de calcul formel utilisé, quatre équations supplémentaires sont requises pour 
éliminer les termes séculiers et ces liaisons coïncident justement avec les équations de 
résonance précédentes. Une étude paramétrique vis-à-vis de l’amortissement, de l’amplitude de 
forcing devra être mené afin d’évaluer le poids de chacune de ces résonances. 
 
5 Conclusions 
 
Une étude expérimentale de la dynamique du pont d’Iroise a exhibé des résonances 
paramétriques nonlinéaires entre un mode de pile (flexible) et un câble lors de sollicitations dues 
au vent et au trafic routier. Durant ces évènements, le câble étudié rentre en vibrations selon son 
premier ou son troisième mode de façon intermittente. Le diagnostic a révélé quatre scénarios 
de résonances potentielles. A première vue, l’analyse semble montrer l’existence d’un état de 
transition mettant en scène une résonance fH3 : 2 fc2. Un modèle condensé d’Irvine à 6 degrés de 
liberté est en cours d’étude pour valider ce scénario et améliorer la compréhension du  
comportement dynamique du câble. A notre connaissance, cette étude est la première se 
rapportant à la dynamique d’un câble tendu et dont les deux extrémités sont en mouvement. 
 
Références 
 
Irvine, H.M. 1981 Cable Structures. The M.I.T. Press, Cambridge, MA. 
 
Fujino, Y., Warnitchai, P., Pacheco, B.M. 1993 An Experimental and Analytical Study of 
Autoparametric Resonance in a 3DOF Model of Cable-Stayed-Beam. Nonlinear Dynamics 4, 
111–138. 
 
Berlioz, A., Lamarque C.-H. 2005 A non linear model for the dynamics of an inclined cable. 
Journal of Sound and Vibration 279, 619–639. 
 
Georgakis, C.T., Taylor, C.A. 2005 Nonlinear dynamics of cable stays. Part 1 : sinusoidal cable 
support excitation. Journal of Sound and Vibration 281 (3-5), 537–564. Part 2 : stochastic 
cable support excitation. Journal of Sound and Vibration 281 (3-5), 565–591. 
 
Boujard, O., Pernot, S., Berlioz, A., Lamarque, C.-H. 2006 Autoparametric resonance in a 
cable-stayed bridge : reduced order modelling with NNM’s’, 2nd International conference on 
nonlinear normal modes, Samos, Greece, June 19-23 2006. 


Phénomène de résonance paramétrique nonlinéaire dans un hauban du pont d'Iroise: Modélisation et expérimentation

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceDe récentes campagnes d'expérimentation menées sur le pont à haubans d'Iroise entre Brest et Quimper ont mis en évidence des vibrations répétées siégeant dans les câbles et susceptibles de causer des problèmes de durabilité. Une analyse spectrale des réponses a permis d'identifier deux régimes dans lesquels soit le premier soit le troisième mode du câble H3Q22 était sollicité. Une analyse temps fréquence des scalogrammes ondelettes a mis à jour l'existence d'un mode localisé de pile excité par le trafic ambiant qui à son tour excite les modes de câbles par un mécanisme de résonance paramétrique nonlinéaire avec les modes de flexion verticale de la structure pile et tablier. Des résultats préliminaires sont présentés ainsi qu'une tentative d'explication d'un tel scénario

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