Cet article propose un modèle de prédiction de vibrations non-linéaires de plaques circulaires minces comportant de faibles imperfections géométriques. Les équations locales, dans lesquelles a été injecté le défaut de forme, sont discrétisées en utilisant la base des modes propres de plaque circulaire parfaite. Les développements analytiques nous fournissent les nouveaux coefficients linéaires, quadratiques et cubiques. Les résultats du modèle, appliqué au cas d'un défaut sphérique, sont comparés au modèle de coque sphérique précédemment développé par Thomas et al. (2005). Les effets dans le domaine linéaire de l'injection de défauts simples, axisymétriques et asymétriques, par cette méthode sont ensuite présentés puis confrontés à une simulation numérique par la méthode des éléments finis

CAMIER, Cédric

THOMAS, Olivier

TOUZÉ, Cyril

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceCet article propose un modèle de prédiction de vibrations non-linéaires de plaques circulaires minces comportant de faibles imperfections géométriques. Les équations locales, dans lesquelles a été injecté le défaut de forme, sont discrétisées en utilisant la base des modes propres de plaque circulaire parfaite. Les développements analytiques nous fournissent les nouveaux coefficients linéaires, quadratiques et cubiques. Les résultats du modèle, appliqué au cas d'un défaut sphérique, sont comparés au modèle de coque sphérique précédemment développé par Thomas et al. (2005). Les effets dans le domaine linéaire de l'injection de défauts simples, axisymétriques et asymétriques, par cette méthode sont ensuite présentés puis confrontés à une simulation numérique par la méthode des éléments finis

Camier, Cédric

Touzé, Cyril

Thomas, Olivier

HAL Descartes

Effet des imperfections géométriques sur les vibrations non-linéaires de plaques circulaires minces

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Effet des imperfections géométriques sur les vibrations non-linéaires de
plaques circulaires minces
Cédric Camier1, Cyril Touzé1 & Olivier Thomas2
1ENSTA/UME 2CNAM/LMSSc
Unité de recherche en Mécanique Laboratoire de Mécanique des Structures et Systèmes couplés
Chemin de la Hunière, 91761 Palaiseau cedex. 2, rue Conté, 75003 Paris.
cedric.camier@ensta.fr
Résumé :
Cet article propose un modèle de prédiction de vibrations non-linéaires de plaques circulaires minces comportant
de faibles imperfections géométriques. Les équations locales, dans lesquelles a été injecté le défaut de forme, sont
discrétisées en utilisant la base des modes propres de plaque circulaire parfaite. Les développements analytiques
nous fournissent les nouveaux coefficients linéaires, quadratiques et cubiques. Les résultats du modèle, appliqué au
cas d’un défaut sphérique, sont comparés au modèle de coque sphérique précédemment développé par Thomas et
al. (2005). Les effets dans le domaine linéaire de l’injection de défauts simples, axisymétriques et asymétriques,
par cette méthode sont ensuite présentés puis confrontés à une simulation numérique par la méthode des éléments
finis.
Abstract :
This article is devoted to geometrically nonlinear vibrations of free edge circular plates with geometrical imper-
fections. The equations of motion are discretized by using the eigenmodes of the perfect plate. Analytical devel-
opments yields linear coupling terms as well as quadratic and cubic non-linear terms. Results are validated by
comparison with the spherical shell model developed by Thomas et al (2005). Simple defects (purely axisymmetric
or asymmetric) are then introduced and compared to numerical simulation with finite elements.
Mots-clefs :
Plaque circulaire ; vibrations non-linéaires ; imperfection géométrique
1 Introduction
Cette étude s’intéresse aux vibrations non-linéaires géométriques de plaques circulaires
minces imparfaites à bord libre. Des études expérimentales (Thomas et al. (2006), Touzé (2005)),
ainsi que des résultats théoriques (Amabili (2003), Gonçalvès (1994)) ont montré l’importance
des imperfections géométriques sur les caractéristiques vibratoires. Un défaut de forme de faible
amplitude change drastiquement les valeurs de fréquences propres et provoque également la
scission des deux fréquences issues de modes propres dégénérés (modes compagnons). Dans
le domaine non-linéaire, il peut être à l’origine d’une modification qualitative des tendances de
non-linéarité.
Un défaut géométrique, à état de contrainte initiale nulle, est ajouté aux équations de vi-
brations de plaque parfaite (analogue dynamique de von Kármán). Quelques cas simples sont
ensuite choisis et comparés à des simulations numériques effectuées avec le code de calcul
CAST3M R©. Ces exemples soulèvent d’une part une discussion sur la convergence de la mé-
thode employée et apporte d’autre part une contribution quant à l’influence d’un défaut asymé-
trique. Enfin, les confrontations avec des mesures sur des coques de laboratoire montrent un
gain notable dans la prédiction des fréquences propres.
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
2 Formulation du problème
On considère dans la suite une plaque circulaire mince avec un faible défaut géométrique
transverse, de diamètre 2a, d’épaisseur h et réalisée dans un matériau homogène et isotrope
de densité ρ, de coefficient de Poisson ν et de module d’Young E. Le défaut géométrique est
représenté par un déplacement transverse w0(r, θ), que l’on suppose de faible amplitude, i.e.
telle que : w0(r, θ) << a,∀r ∈ [0, a] et ∀θ ∈ [0, 2pi]. Les équations du mouvement sont
obtenues en injectant un déplacement de la forme :
w(r, θ, t) = w0(r, θ) + w˜(r, θ, t), (1)
dans les équations non-linéaires de vibration d’une plaque circulaire parfaite (plane) de Touzé et
al. (2002) et en annulant les contraintes associées à w0. w˜ représente alors le déplacement de la
plaque par rapport à la configuration de repos avec imperfections géométriques. On obtient :
∆∆w˜ + ¨˜w = ε[L(w˜, F˜ ) + L(w0, F˜ )− 2µ ˙˜w + p˜], (2a)
∆∆F˜ = −
1
2
[L(w˜, w˜) + 2L(w˜, w0)]. (2b)
avec :
L(w,F ) = w,rr
(
F,r
r
+
F,θθ
r2
)
+ F,rr
(w,r
r
+
w,θθ
r2
)
− 2
(w,rθ
r
−
w,θ
r2
) (F,rθ
r
−
F,θ
r2
)
, (3)
où  = 12(1 − ν2) est le paramètre issu de l’adimensionnement de w par h, µ le coefficient
d’amortissement, p˜ la pression locale normale appliquée à la plaque, F˜ la fonction de force
qui est fonction des efforts dans le plan de la plaque (efforts de membrane) ; ¨˜w, w˜,αβ sont
respectivement les dérivées secondes partielles de w˜ par rapport au temps et aux coordonnées
spatiales.
L’inertie longitudinale étant négligée, la fonction de force F˜ dépend du déplacement trans-
verse w˜. L’opérateur L(·, ·) étant bilinéaire, le terme L(w0, F˜ ) de (2a) crée un terme linéaire et
un terme quadratique en w˜. Ainsi, la première partie du terme L(w0, F˜ ) de (2a) traduit le cou-
plage linéaire entre le mouvement transverse et l’étirement membranaire résultant de la géo-
métrie non plane du défaut (dépendance en w0). La seconde partie du terme L(w0, F˜ ), quant à
lui, ainsi que le terme L(w˜, F˜ ) rendent compte du couplage non-linéaire dû aux grandes élon-
gations. Il comporte un terme quadratique issu à la fois de L(w0, F˜ ) et de L(w˜, F˜ ) et un terme
cubique issu uniquement de L(w˜, F˜ ), indépendant du défaut w0. Ce dernier est donc naturelle-
ment égal à celui de la plaque plane circulaire sans défaut. Par contre, le terme quadratique était
auparavant absent des équations non-linéaires de plaque (Touzé et al. (2002)).
3 Cas d’un défaut sphérique
Nous nous appliquons ici à retrouver le modèle de vibrations de coque sphérique mince de
Thomas et al. (2005) à partir du modèle de plaque mince circulaire dans lequel on injecte un
défaut sphérique peu profond. Dans un plan comprenant l’axe de symétrie de la plaque, on pose
y0 l’ordonnée à l’origine du défaut w0, R son rayon de courbure, et r l’abscisse ; un défaut
sphérique peut alors s’écrire en grandeurs adimensionnées :
w0(r) =
a
h
(√
(R/a)2 − r2 + y0/a− (R/a)
)
, w0,r≈ −
a2r
hR
, w0,rr≈ −
a2
hR
. (4)
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Le développement limité au premier ordre des dérivées première et seconde de w0 par rapport
à r traduit l’hypothèse de faible courbure introduit par Thomas et al. (2005). En injectant ce
développement dans (2), nous obtenons exactement les équations dynamiques du modèle de
coque sphérique et justifions ainsi l’approche que nous nous sommes proposé d’adopter.
4 Solution par développement modal
Les équations locales (2) sont discrétisées en utilisant la base tronquée à Np des modes
propres (Φi, ωi)i∈N de la plaque parfaite. Parallèlement, nous projetons le défaut de forme sur
cette même base. D’autre part, la fonction de force F˜ s’avère être une combinaison linéaire
de fonctions spatiales Ψs(r, θ), modes propres de la plaque à bord encastré (cf Thomas et al.
(2005)). Ainsi en posant :
w˜(r, θ, t) =
Np∑
p=1
q˜p(t)Φp(r, θ) et w0(r, θ) =
Np∑
p=1
apΦp(r, θ), (5)
nous obtenons :
¨˜qu + ω
2
uq˜u = ε
[ Np∑
p=1
αup q˜p +
Np∑
p=1
Np∑
r=1
βuprq˜pq˜r +
Np∑
p=1
Np∑
r=1
Np∑
s=1
Γurspq˜pq˜rq˜s − 2µu
˙˜qu + p˜u
]
(6)
avec :
Γursp = −
1
2ξ4q
Np∑
q=1
∫∫
S
ΦuL(Φp, Ψq)
∫∫
S
ΨqL(Φr, Φs)dS∫∫
S
Φ2udS
∫∫
S
Ψ2qdS
,
où p˜u est la projection de la pression p˜ et µu un amortissement modal. Dans ces équations appa-
raissent des coefficients linéaires αup et quadratiques βupr qui proviennent du défaut géométrique
introduit. Ils s’expriment analytiquement :
αup =
Np∑
r=1
Np∑
s=1
2Γurpsaras, β
u
pr =
Np∑
s=1
(Γurps + 2Γ
u
srp)as. (7)
Le problème (6) est ensuite diagonalisé numériquement. Soit la matrice A = {αup+ω2uδup}u,p∈[1;Np]
la partie linéaire de (6). La diagonalisation de A permet de calculer les fréquences propres Ωp
et les déformées modales de la plaque avec défaut, ainsi que les nouveaux termes non-linéaires
quadratiques gupq et et cubiques hupqr. Ces derniers sont obtenus en utilisant la matrice de passage
composé des vecteurs propres associés à la diagonalisation de A.
5 Applications
5.1 Défaut sphérique
Afin de valider notre méthode, nous regardons l’effet de l’injection d’un défaut sphérique
paramétré par χ = 12(1 − ν2)a4/(h2R2) que nous comparons au modèle de Thomas et al.
(2005). Les résultats sur les fréquences propres (fig.1) et sur les déformées modales (fig.2)
montrent un excellent accord tant sur les modes axisymétriques qu’asymétriques.
Sont comparés également quelques coefficients cubiques issus d’une part du modèle de
coque et d’autre part de l’injection du défaut (fig.3). Il apparaît que la convergence du calcul
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
des coefficients cubiques selon la troncature Np est parfois difficile. Les divergences les plus
fortes sont constatées sur les termes faisant intervenir les plus grands projetés issus de la dé-
composition modale du défaut. Les coefficients quadratiques, non présentés ici, montrent de la
même manière une bonne adéquation, entachée cependant d’erreurs dues à la convergence.
0 20 40 60 80 100 120 140
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2 x 10
4
Pulsations Ωkn [adim]
Pa
ra
m
èt
re
 d
e 
co
ur
bu
re
 χ
 
[ad
im
]
2,0
3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 0,1 1,1
2,1 0,2
3,1
1,2
4,1
2,2
0,3
5,1
3,2
1,3
6,1
FIG. 1 – Pulsations naturelles adimensionnées Ωkn d’une coque en fonction du paramètre de courbure χ d’après les données
de l’article de Thomas et al. (2005) (−) et d’après les résultats du calcul de l’introduction d’un défaut sphérique dans les
équations de plaque (O). (k, n) se rapportent respectivement au nombre de diamètres et de cercles nodaux.
5.2 Effets d’un défaut axisymétrique ou asymétrique
Une application est menée sur les cas simples d’un défaut porté sur un seul mode axisy-
métrique (0, 1) et ou sur un seul mode asymétrique (2, 0) (fig.4). L’évolution des fréquences
propres est tracée en fonction de l’amplitude ap du défaut projeté sur le mode Φp normalisé
selon
∫∫
S
Φ2pdS. Cette étude permet notamment d’évaluer l’importance du défaut asymétrique
que peuvent comporter les coques réelles. En effet, en portant le défaut sur un seul des modes
compagnons du mode (2, 0), la fréquence propre de ce dernier varie considérablement tandis
que celle de son homologue reste quasiment inchangée. On note également que les modes dont
le nombre de diamètres nodaux est multiple de k = 2 varient plus fortement que les autres. Plus
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−0.5
0
0.5
1
Rayon r [adim]
Pr
of
il d
u 
m
od
e 
Φ
(0,
1)
χ=2*104
χ=10−11
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.5
1
Rayon r [adim]
Pr
of
il d
u 
m
od
e 
Φ
(2,
0)
χ=10−11
χ=2*104
FIG. 2 – Profils des modes (0, 1) et (2, 0) établis grâce au modèle présenté, pour χ = 10−11 (+) et χ = 2 ∗ 104 (o), et
comparés à ceux calculés par Thomas et al. (2005), pour χ = 10−11 (−) et χ = 2 ∗ 104 (-·-).
4
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0 0.5 1 1.5 2
x 104
7
8
9
10
11
χ
hu u
u
u
 
a
ve
c 
u
=
(0,
1)
0 0.5 1 1.5 2
x 104
1.895
1.9
1.905
1.91
1.915
χ
hu u
u
u
 
a
ve
c 
u
=
(2,
0)
0 0.5 1 1.5 2
x 104
160
170
180
χ
hu u
u
u
 
a
ve
c 
u
=
(0,
2)
FIG. 3 – Coefficients cubiques huuuu des modes (0, 1), (2, 0) et (0, 2) en fonction de χ selon le modèle de coque de Thomas et
al. (2005) (−), selon le modèle présenté ici avec Np=4 (O), Np=7 () et Np = 13 (+).
généralement, il apparaît que les modes les plus touchés sont ceux de la famille à laquelle appar-
tient le mode sur lequel on a projeté le défaut. Des simulations numériques avec CAST3M R© ont
également été effectuées afin d’évaluer la pertinence de nos résultats (fig.4). Les résultats des
deux méthodes montrent une très bonne correspondance. On relève néanmoins certains désac-
cords pour le cas du défaut asymétrique. Notre doute porte sur les résultats fournis par le code
de calcul par éléments finis. En effet, alors que la symétrie est brisée, les fréquences des modes
compagnons (3, 0), par exemple, ne se scindent pas d’après le calcul effectué par CAST3M R©.
0 20 40 60 80 100 120 140
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pulsations Ωp [adim]
Am
pl
itu
de
 d
u 
dé
fa
ut
 a
p/h
 [a
dim
]
0 10 20 30 40 50
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Pulsations Ωp [adim]
Am
pl
itu
de
 d
u 
dé
fa
ut
 a
p/h
 [a
dim
]
FIG. 4 – Évolutions des pulsations propres des premiers modes dans le cas d’un défaut porté sur (0, 1) et (2, 0) selon
CAST3M R© (−) et d’après notre modèle (O). L’amplitude ap du défaut est adimensionnée par l’épaisseur h.
5.3 Application à des coques réelles
Le défaut axisymétrique (mesuré selon une directrice) des coques de laboratoire utilisées
dans Thomas et al. (2006) a été pris en compte dans le modèle. Un ajustement des fréquences a
été fait sur le module d’Young, de manière à ce que les fréquences expérimentales et théoriques
des modes asymétriques soient en moyenne les plus proches possible. Les résultats de l’appli-
cation du défaut montrent une meilleure prédiction de toutes les fréquences propres, y compris
sur les modes axisymétriques (tab.1). L’écart reste cependant important lorsque le nombre de
diamètres ou de cercles nodaux est élevé. Cela étant, le défaut réel de la coque est mal repré-
senté par une simple mesure de profil. Une campagne de mesures de la géométrie complète des
coques de laboratoire est prévue très prochainement et sera présentée au congrès.
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Mode (2, 0) (3, 0) (4, 0) (5, 0) (6, 0) (7, 0) (8, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3) (0, 4)
Fexp (Hz) 13.75 34 57.25 83 110 141 172.25 225 354 444.25 555.5
17.5 35.5 58.25 83.75 111 141.5 176 214
Fth1 (Hz) 11.02 26.37 46.90 72.17 101.77 135.45 173.01 386.03 393.11 423.17 495.65
Fth2 (Hz) 11.54 30.2 56.9 86.5 118.7 152.4 186.5 211.8 220.6 254.5 451.3
TAB. 1 – Valeurs expérimentales et théoriques des fréquences propres d’une coque de laboratoire. Fexp sont les
fréquences mesurées expérimentalement ; les fréquences propres des modes compagnons sont différentes à cause
du défaut asymétrique de la coque. Fth1 sont les fréquences théoriques données par le modèle de coque sphérique
parfaite de Thomas et al. (2006) et Fth2 les fréquences théoriques issues de l’injection du défaut axisymétrique.
6 Conclusions
A notre connaissance, les études précédentes sur l’introduction d’un défaut géométrique
étaient soit limitées au cas d’un défaut axisymétrique (Gonçalvès (1994)), soit ne montraient
l’effet du défaut que sur l’évolution de quelques fréquences propres (Amabili (2003)). Aucun
article ne propose une étude systématique de l’effet du défaut sur les caractéristiques linaires et
non-linaires, ainsi qu’une validation de la méthode avec des résultats démontrés par ailleurs, ce
que tente de faire cette étude. Les différentes confrontations menées ici, entre théories, simula-
tions et mesures soulignent les importants problèmes de convergence rencontrés mais valident
bon nombre de résultats qui nous confortent dans la méthode adoptée. Par ailleurs, cette étude
systématique fournit les coefficients non-linéaires des équations dynamiques des structures im-
parfaites et ouvre ainsi le champ d’étude à beaucoup d’applications, notamment la prédiction
plus précise des tendances de non-linéarité et des couplages intermodaux (Touzé et Thomas
(2006)) dans le cas de coques minces réelles.
Références
Amabili M. (2003) A comparison of shell theories for large-amplitude vibrations of circular cylindrical shells : Lagrangian
approach. Journal of Sound and Vibration. Vol. 264, pp. 1091-1125.
Amabili M. (2003) Theory and experiments for large-amplitude vibrations of empty and fluid-filled circular cylindrical shells
with imperfections. Journal of Sound and Vibration. Vol. 262, pp. 921-975.
CAST3M R© (2004) Cast3m : Documentation.
Gonçalves P. B. (1994) Axisymetric vibrations of imperfect shallow spherical caps under pressure loading. Journal of Sound
and Vibration. Vol. 174, Issue 2, pp. 249-260.
Thomas O. (2003) Vibrations non-linéaires de calottes sphérique minces. Expériences et modélisation. Rapport de stage de
post-doctorat.
Thomas O., Touzé C. et Chaigne A. (2005) Non-linear vibrations of free-edge thin spherical shells : modal interaction rules
and 1 :1 :2 internal resonance. International Journal of Solids and Structures. vol. 42, No. 11-12, pp. 3339-3373.
Thomas O., Touzé C. et Luminais E. (2006) Non-linear vibrations of free-edge thin spherical shells : experiments on a 1 :1 :2
internal resonance. Nonlinear Dynamics. Sous presse.
Touzé C.et Thomas O. (2005) Type of non-linearity of shallow spherical shells unsig non-linear normal modes. EUROMECH
Non-linear Oscillations Conference 2005.
Touzé C. et Thomas O. (2006) Non-linear behaviour of free-edge shallow spherical shells : Effect of the geometry. International
Journal of non-linear Mechanics. Vol. 41, No. 5, pp. 678-692.
Touzé C., Thomas O. et Chaigne A. (2002) Asymmetric non-linear forced vibrations of free-edge circular plates, part I : theory.
Journal of Sound and Vibration. Vol 258, No 4, pp. 649-676.
6


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