Nous rappelons brièvement les résultats obtenus concernant les modèles dynamiques discrets construits à partir d'assemblages en série ou en parallèle d'éléments rhéologiques simples (ressorts linéaires ou non, amortisseurs, éléments de Saint-Venant). Nous étudions ensuite en régime dynamique le modèle géphyroïde introduit en régime quasi-statique par Persoz en 1969. Sa formulation à l'aide d'inclusions différentielles permet l'étude théorique puis numérique et l'illustration du caractère géphyroïde du modèle

BASTIEN, Jérôme

LAMARQUE, Claude-Henri

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Un modèle rhéologique discret non classique en dynamique
Jérôme Bastien & Claude-Henri Lamarque
Laboratoire Mécatronique 3M, Équipe d’accueil A 3318,
Université de Technologie de Belfort-Montbéliard,
90010 Belfort cedex, France
jerome.bastien@utbm.fr
et
Ecole Nationale des Travaux Publics de l’Etat
DGCB URA CNRS 1652 LGM
3, rue Maurice Audin 69 518 Vaulx-en-Velin Cedex France
lamarque@entpe.fr
Résumé :
Nous rappelons brièvement les résultats obtenus concernant les modèles dynamiques discrets construits à partir
d’assemblages en série ou en parallèle d’éléments rhéologiques simples (ressorts linéaires ou non, amortisseurs,
éléments de Saint-Venant). Nous étudions ensuite en régime dynamique le modèle géphyroïde introduit en régime
quasi-statique par Persoz [1]. Sa formulation à l’aide d’inclusions différentielles permet l’étude théorique puis
numérique et l’illustration du caractère géphyroïde du modèle.
Abstract :
We briefly recall obtained results for the models consisting of series or parallel assembly of elementary discrete
constitutive elements (springs -linear or non linear, dashpots, Saint-Venant elements). Then we examine the dy-
namical behaviour of the "gephyroidal" model introduced by Persoz for studying quasi-static behaviour [1]. It is
expressed as a differential inclusion that permits its theoretical and numerical study. Finally we present an example
of gephyroidal character of the model
Mots-clefs :
Dynamique, St-Venant, Persoz
1 Introduction
Dans des travaux antérieurs, nous avons étudié des modèles dynamiques discrets construits à
partir d’assemblages en série ou en parallèle d’éléments rhéologiques simples (ressorts linéaires
ou non, amortisseurs, éléments de Saint-Venant).
Les résultats obtenus concernent le caractère bien ou mal posé du problème [2], l’existence
et l’unicité d’une solution et l’identification des paramètres du modèle à partir d’un cycle de
chargement [3, 4], la construction de schémas numériques [4, 5, 6], la construction d’un modèle
avec un nombre infini d’éléments de Saint-Venant [4, 7], l’introduction d’un terme de retard
supplémentaire [8], l’adaptation à un cadre stochastique [9, 10], la présence en sus de ressorts
non linéaires réguliers [11]. Ce travail s’inscrit dans la suite de ces travaux et plus précisément
de [3, 6, 4, 7, 5] concernant le comportement dynamique d’assemblages d’éléments rhéolo-
giques simples (ressorts, amortisseurs, élément de Saint-Venant) et résume [12], où nous avons
étendu à un cadre dynamique le modèle de comportement quasistatique introduit par Persoz [1],
qu’il a appelé modèle géphyroïde. Ce modèle se différencie des associations parallèle ou série
de tels composants élémentaires. En effet, ce modèle correspond à la topologie d’un modèle
classique sur lequel vient se greffer un «pont» (d’où le terme géphyroïde) entre deux branches,
1
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pont comportant un élément de friction sèche. Nous décrivons brièvement le modèle via une in-
clusion différentielle maximale monotone. Nous exposons les résultats mathématiques et d’ana-
lyse numérique correspondant. Enfin, nous illustrons le caractère géphyroïde par une simulation
numérique.
u1
u0u2
u3
x
v2
v3
α1
α2
α3
k1
k2
k3
k0 m
f1
f0
f3
f2 F
g1
g2
g3
FIG. 1 – Le modèle étudié et les forces fi et gi et les déplacements ui, vi et x.
2 Description du modèle
Nous considérons le modèle représenté en figure 1 composé de 4 ressorts de raideurs k0, k1,
k2 et k3, 3 éléments de Saint-Venant de seuil α1, α2 et α3, connecté à un point matériel de masse
m. Comme dans [3], σ et β désignent respectivement le graphe du signe et son inverse. Ils sont
respectivement définis par
σ(x) =
⎧⎪⎨
⎪⎩
−1 si x < 0,
1 si x > 0,
[−1, 1] si x = 0,
et β(x) =
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
∅ si x ∈]−∞,−1[∪]1,+∞[,
{0} si x ∈]− 1, 1[,
R− si x = −1,
R+ si x = 1.
(1)
Ils sont représentés sur la figure 2.
Le modèle est gouverné par les équations constituées de liaisons géométriques,
u0 + v3 + u2 = x, (2a)
v2 + u3 + u0 = x, (2b)
u1 + u3 = v3, (2c)
2
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1
-1
x
y
σ
(a) Le graphe σ
1
-1
x
y
β
(b) Le graphe β
FIG. 2 – Les deux graphes maximaux monotones utilisés σ et β.
des lois de comportement des ressorts et des éléments de Saint-Venant
∀i ∈ {0, ..., 3}, fi = −kiui, (2d)
∀i ∈ {2, 3}, gi ∈ −αiσ (v˙i) , (2e)
g1 ∈ −α1σ (u˙1) , (2f)
et des équations d’équilibre :
g2 + f1 + g1 = f3, (2g)
g3 + f3 = f0, (2h)
g3 + g1 + f1 = f2, (2i)
mx¨ = f0 + F. (2j)
On suppose que F est donnée. Ainsi, on obtient un problème comportant 14 équations ou inclu-
sions et 14 inconnues, x,(ui)0≤i≤3, (vi)2≤i≤3, (fi)0≤i≤3, et (gi)1≤i≤3. En éliminant 9 inconnues
et en considérant X défini par
X = t (x, y, g2, g3, g1) , (3)
on formule le problème sous la forme d’une inclusion différentielle
X˙(t) + M∂ψC(X(t))  G
(
t, X(t)
)
, (4)
où M est une matrice de M5 (R), G une fonction de [0, T ] × R5 dans R5, continue en t et
lipschitzienne en X et C est le convexe fermé donné par
C = R× R× [−α2, α2]× [−α3, α3]× [−α1, α1], (5)
et ∂ψC est la sous différentielle de l’indicatrice de C : c’est un opérateur multivoque maximal
monotone [13].
3 Existence, unicité et analyse numérique
Si M est symétrique définie positive, on applique les résultats de [3] et on montre que
l’opérateur multivoque de R5 défini par
∀X ∈ R5, A(X) = M∂ψC(X), (6)
est maximal monotone, en utilisant le lemme
3
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Lemma 3.1 ([3], page 289). Si Rp est muni du produit scalaire canonique et du produit sca-
laire :
< X, Y >M = X
TM−1Y, (7)
alors, on lie la sous différentielle ∂φ de φ relativement au produit scalaire canonique à la sous
différentielle ∂Mφ relativement à <,>M par
∂Mφ(X) = M∂φ(X).
On en déduit la proposition
Proposition 3.2. Soient X0 ∈ C et F ∈ H1(]0, T [) et (αi)1≤i≤3 des nombres positifs, (ki)0≤i≤3
des nombres positifs vérifiant
k0 = 0, ∀i ∈ {1, 2, 3}, ki > 0, (8a)
ou
k0 > 0 et au moins deux des nombres k1, k2 et k3 sont positifs. (8b)
Alors, la matrice M est symétrique définie positive et il existe une unique solution X dans
W 1,∞(0, T ;R5) vérifant (4).
En se fondant sur [6, 3, 5], on montre le résultat d’analyse numérique suivant :
Proposition 3.3. Soient N un entier, h = T/N , hp = hp, X0 ∈ C et (Xp)0≤p≤N défini par
∀p ∈ {0, ..., N − 1}, Xp+1 = projC,M−1 (Xp + hG(tp, Xp)) . (9)
où projC,M−1 est la projection orthogonale sur le convexe C pour la norme de R5 définie par
∀X ∈ R5, ‖X‖M−1 =
√
XTM−1X. (10)
Soit Xh ∈ C0 ([0, T ];R5) l’interpolation linéaire à l’instant tp = hp de la solution X . Le
schéma numérique (9) est d’ordre un : il existe c tel que pour tout h :
∀t ∈ [0, T ], |u(t)− uh(t)| ≤ ch. (11)
4 Simulations numériques
Choisissons les conditions initiales X0 = 0 et
∀i ∈ {1, 2, 3}, αi = i, ∀i ∈ {0, 1, 2, 3}, ki = 1,
T = 80, h = 10−3, F (t) = 200 sin(6t), m = 1.
Nous représentons le graphe (t, F (t)−mx¨(t)) en figure 3 et le graphe (t, gj(t)) en figure 4.
Les variations opposées de g1 et g2, g3 traduisent le caractère géphyroïde du modèle.
5 Conclusions
Nous avons étendu à un modèle dit général ou géphyroïde simple les résultats des modèles
classiques.
4
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−6 −4 −2 0 2 4 6
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Displacement x
Fo
rc
e 
F
FIG. 3 – Tracé du graphe (x(t), F (t) − mx¨(t)) pour t ∈ [T − 2/3π, T ] : mise en évidence du cycle
d’hystéresis.
77.5 78 78.5 79 79.5 80
−3
−2
−1
0
1
2
3
temps t
Fo
rc
es
 g
i
g1
g2
g3
FIG. 4 – Tracé du graphe (t, gj(t)) pour t ∈ [ti, tf ] et j ∈ {1, 2, 3} : caractérisation du changement de
signe propre au modèle géphyroïde.
5
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Références
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[10] Frédéric Bernardin, Michelle Schatzman, and Claude-Henri Lamarque. A Stochastic diffe-
rential equation from friction mechanics. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 338(11) :837–842,
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by a maximal monotone differential inclusion. Soumis au Archive of Applied Mechanics,
2006.
[13] Haïm Brezis. Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les
espaces de Hilbert. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1973. North-Holland
Mathematics Studies, No. 5. Notas de Matemática (50).
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