Ce papier décrit une stratégie pour coupler une méthode éléments discrets avec une méthode éléments finis. Notre objectif est le développement d'une formulation basée sur une partition de l'unité en énergie des champs discrets et continus sur un sous-domaine de raccord. Sur le bord de ce sous-domaine de raccord, la continuité du champs cinématique est assurée au moyen de multiplicateurs de Lagrange. La stratégie développée est appliquée au Benchmark de Lamb. Le résultat numérique obtenu est comparé à la solution analytique afin d'évaluer l'efficacité de la méthode

DELAPLACE, Arnaud

GAVOILLE, Sylvain

MARIOTTI, Christian

REY, Christian

I-Revues

18 Łme CongrŁs Français de MØcanique Grenoble, 27-31 aoßt 2007
StratØgie de rØsolution en dynamique
combinant des champs discrets et continus
Gavoille Sylvain∗†, Rey Christian†, Mariotti Christian∗ & Delaplace Arnaud †
∗Laboratoire de Détection et Géophysique
CEA DAM Ile de France
BP 12, 91680 Bruyères-les-Châtel, FRANCE
e-mail : christian.mariotti@cea.fr
†Laboratoire de Mécanique et Technologie
ENS Cachan, 61 avenue du Président Wilson
94235 Cachan, FRANCE
e-mail : {gavoille,rey,delaplace}@lmt.ens-cachan.fr
Résumé :
Ce papier décrit une stratégie pour coupler une méthode éléments discrets avec une méthode éléments finis. Notre
objectif est le développement d’une formulation basée sur une partition de l’unité en énergie des champs discrets
et continus sur un sous-domaine de raccord. Sur le bord de ce sous-domaine de raccord, la continuité du champ
cinématique est assurée au moyen de multiplicateurs de Lagrange.
La stratégie développée est appliquée au Benchmark de Lamb. Le résultat numérique obtenu est comparé à la
solution analytique afin d’évaluer l’efficacité de la méthode.
Abstract :
This paper describes a strategy for coupling finite and discrete element methods. Our objective was the develop-
ment of a partition of unity in energy of discrete and continuum fields over a bridging subdomain. On the boundary
of this bridging subdomain, the continuity of the kinematic fields is ensured by means of Lagrange multipliers.
First numerical results were provided by Lamb’s benchmark. Numerical errors were estimated using the analytical
solution of this benchmark to evaluate this method.
Mots-clefs :
Approche multi-échelle, méthode éléments discrets, méthode éléments spectraux
1 Introduction
L’enjeu de cette Øtude est la modØlisation d’un sØisme à l’Øchelle rØgionale. Une des dif-
cultØs majeure dans ce type de problŁme est la prise en compte de la fragmentation au niveau
de la faille. Parmi l’ensemble des mØthodes prØsentes dans la littØrature pour traiter la fragmen-
tation, nous avons choisi d’utiliser la mØthode des ØlØments discrets (DEM) car elle permet de
traiter de façon naturelle la rupture pour les matØriaux fragiles. Mais le coßt numØrique impor-
tant engendrØ par ce type d’approche rØduit considØrablement son utilisation pour l’ensemble
du problŁme.
En considØrant que le milieu se rompt seulement au niveau de la faille, une solution naturelle
consiste à coupler la DEM avec la mØthode des ØlØment spectraux (SEM) pour la partie linØaire
du problŁme. La mØthode des ØlØments spectraux est effectivement bien adaptØe pour traiter
les problŁmes d’Ølastodynamique, en raison de ses bonnes propriØtØs de convergence et de son
faible coßt numØrique.
1
18 Łme CongrŁs Français de MØcanique Grenoble, 27-31 aoßt 2007
L’enjeu consiste ainsi en le dØveloppement d’une stratØgie de couplage DEM-SEM, avec
notamment le traitement de l’incompatibilitØ des maillages. Cette problØmatique est aussi ren-
contrØe dans les mØthodes de dØcomposition de domaine avec recouvrement (Schwarz 1870)
et les mØthodes de partition de modŁle (Ben Dhia 1998; Belytschko 2004). S’inspirant de ces
travaux, nous proposons une dØmarche de couplage basØe sur une partition de l’unitØ en Ønergie
des champs discrets et continus sur un sous-domaine de raccord. Sur le bord de ce sous-domaine
de raccord, la continuitØ du champ cinØmatique est assurØe au moyen de multiplicateurs de La-
grange.
Dans une premiŁre partie, on dØcrira briŁvement les mØthodes des ØlØments discrets et des
ØlØments spectraux. Dans une seconde partie, nous expliquerons au moyen d’une formulation
faible notre stratØgie de couplage. Enn, un exemple numØrique avec couplage DEM-SEM
illustrera la mØthode.
2 Description des méthodes
2.1 La méthode des éléments discrets
(i)
(j)(j)
(i)
FIG. 1 – Représentation du modèle discret
Les mØthodes ØlØments discrets sont un ensemble de techniques numØriques dØveloppØes au
cours des trente derniŁres annØes pour modØliser les matØriaux granulaires, les roches, et autres
discontinuitØs à l’Øchelle du grain. Dans notre mØthode ØlØments discrets (Delaplace 2003), le
matØriau est reprØsentØ à l’aide de particules de Voronoi interagissant entre elles au moyen de
lois non linØaires (Figure 1). La modØlisation de la fracture est assez simple, puisqu’elle est
gØnØrØe par la perte de cohØsion entre les particules.
2.2 La méthode des éléments spectraux
La mØthode des ØlØments spectraux est une mØthode ØlØments nis d’ordre ØlevØ qui com-
bine à la fois la exibilitØ gØomØtrique des ØlØments nis avec un taux de convergence important
(Komatitsch 1999). Celle-ci comporte plusieurs propriØtØs numØriques intØressantes, telles que
des matrices de masse diagonale et une aptitude particuliŁre pour la rØsolution dans une archi-
tecture parallŁle.
2
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3 La stratégie de couplage
3.1 Position du problème
Le modŁle utilisØ pour le couplage est montrØ Figure 2. Le domaine est divisØ en deux sous-
domaines : le sous-domaine SEM est notØ par Ω1 et le sous-domaine DEM est notØ par Ω2. Le
recouvrement de ces deux sous-domaines est notØ Ωc. L’intersection du bord de Ω1 avec Ω2 est
notØe Γ1, l’intersection du bord de Ω2 avec Ω1 est notØe Γ2, la rØunion de Γ1 et Γ2 est notØe Γ.
FIG. 2 – Domaine d’étude
Par la suite, on notera u¨i le champ d’accØlØration dans Ωi, ui le champ de dØplacement dans
Ωi, ρ la densitØ, C la loi de comportement et F le chargement extØrieur sur ΓF .
Dans un premier temps, posons notre problŁme :
 Equation cinØmatique :
u¨1 = u¨2 sur Γ (1)
 Equations d’Øquilibre :
divσ1 = ρu¨1 dans Ω1 \ Ωc (2)
divσ2 = ρu¨2 dans Ω2 \ Ωc (3)
α1(divσ1 = ρu¨1) dans Ωc (4)
α2(divσ2 = ρu¨2) dans Ωc (5)
σ1n = 0 sur ∂Ω1 \ {ΓF ∪ Γ2} (6)
σ2n = 0 sur ∂Ω2 \ Γ1 (7)
 Chargement extØrieur :
σ1n = F sur ΓF (8)
 CompatibilitØ du champ de contrainte :
σ1n = σ2n sur Γ (9)
3
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 Relations de comportement :
σ1 = A1 : ∇u1 dans Ω1 (10)
σ2 = A2 : ∇u2 dans Ω2 (11)
A1 = A2 = A dans Ωc
 Conditions initiales :
u˙1 = u˙2 = u1 = u2 = 0 à t = 0 (12)
3.2 Mise en place de la stratégie
A partir d’un affaiblissement des Øquations (1, 2, 3, 4, 5 et 12), on arrive à la formula-
tion faible suivante. On cherche les champs cinØmatiques (u¨1, u¨2, u1, u2, λ3) ∈ H tels que
∀(v1, v2, v3) ∈ H
∗ :
∑
i=1,2
[∫
Ωi\Ωc
ρu¨ividΩ +
∫
Ωi\Ωc
∇ui : Ai : ∇vidΩ +
∫
Ωc
αiρu¨ividΩ + (13)
∫
Ωc
αi∇ui : A : ∇vidΩ
]
+
∫
Γ
[(u¨2 − u¨1)v3 + λ3(v1 − v2)]dΓ =
∫
ΓF
Fv1dΓ
oø : α1 > 0 , α2 > 0 et α1 + α2 = 1.
λ3 est le multiplicateur de Lagrange au niveau de l’interface Γ.
La discrØtisation des champs 1 et 2 s’obtient de façon standard. Pour ce faire, on pourra
se rØferer à (Komatitsch 1999) et (Delaplace 2003). PrØcisons tout de mŒme que dans le cas
du champ discret, la formulation faible est un moyen gØnØrique. En ce qui concerne le champ
d’interface 3 (Γ), on utilisera une distribution de Dirac centrØe sur les particules discrŁtes. Une
fois la discrØtisation effectuØe, on arrive au systŁme d’Øquations suivant :


M1U¨1 + K1U1 + C
T
1 Λ3 = F
M2U¨2 + K2U2 + C
T
2 Λ3 = 0
C1U¨1 + C2U¨2 = 0
(14)
oø Mi dØsigne la matrice de masse, Ki la matrice de raideur, Ci la matrice de projection
et F l’effort extØrieur qui peuvent Œtre identiØs facilement dans la formulation variationnelle
(13).
La condensation du problŁme se fait uniquement sur l’interface 3 (Γ), ce qui permet de rØduire
le coßt numØrique. Le problŁme condensØ s’Øcrit :
HΛ3 = S (15)
avec : H = C1M
−1
1 C
T
1 + C2M
−1
2 C
T
2
S = C1M
−1
1 (F −K1U1) + C2M
−1
2 (−K2U2)
AprŁs avoir rØsolu ce systŁme, on peut injecter Λ3 dans le systŁme prØcØdent (14) et nir la
rØsolution de façon purement explicite puisque l’on utilise un schØma aux diffØrences centrØes
pour la rØsolution temporelle. On notera que ce type d’approche est adaptØ pour la rØsolution
dans une architecture parallŁle.
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4 Exemple numérique
Le benchmark de Lamb est un test appropriØ pour Øvaluer la performance numØrique d’une
mØthode en dynamique du fait de l’existence d’une solution analytique (Lamb 1903). Celui-ci
reprØsente la propagation d’ondes mØcaniques dans un milieu semi-inni Ølastique et homo-
gŁne, sous l’hypothŁse de dØformation plane. La source utilisØe ici est un effort ponctuel appli-
quØ sur la surface libre du milieu. Une fonction de Rickers (16) est choisie pour ce chargement
an d’obtenir un spectre bornØ, ce qui nous permet par la suite d’observer les phØnomŁnes de
couplage plutôt que les phØnomŁnes de dispersion.
F (t) = −A[(pifc(t− t0))
2 − 0.5]e−(pifc(t−t0))
2 (16)
avec A = 2.0 ∗ 105 N, fc = 14.5 Hz et t0 = 0.1 s.
Les propriØtØs du matØriau sont les suivantes :
 densitØ : ρ = 2200 kg/m3
 module d’Young : E = 18.8 GPa
 coefcient de Poisson : ν = 0.25
FIG. 3 – Problème de Lamb
FIG. 4 – a/ Déplacement au capteur b/ Transfert énergétique
La gure 4a montre les ondes au capteur aprŁs leurs passages dans la zone de couplage.
AprŁs comparaison avec la solution analytique, la solution numØrique semble corrØler. La -
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gure 4b montre qu’il n’y a pas de perte ØnergØtique durant le transfert.
5 Conclusions
Dans ce papier, nous prØsentons une stratØgie adaptØe pour le couplage entre une mØthode
ØlØment ni et une mØthode ØlØment discret. Cette stratØgie est basØe sur une partition de l’unitØ
en Ønergie sur la zone de recouvrement. La mØthode des multiplicateurs de Lagrange est utilisØe
pour raccorder le champ au niveau du bord de ce sous-domaine. En procØdant ainsi, cela nous
permet de coupler des maillages incompatibles tout en ayant un coßt numØrique moindre pour
le raccord. PrØcisons tout de mŒme que cette stratØgie permet de garder le caractŁre explicite
des mØthodes et est adaptØe à la rØsolution dans une architecture parallŁle.
Références
[Schwarz 1870] Schwarz H.A., Gesammelte Mathematische Abhandlungen, Vierteljahrsschrift
der Naturforschenden Gesellschaft, 15, pp. 272-286, 1870.
[Ben Dhia 1998] Ben Dhia H., Multiscale mechnical problems : the arlequin method, Compu-
tational Solid Mechanics, 326, pp. 899-904, 1998.
[Delaplace 2003] Ibrahimbegovic A., Delaplace A. , Microscale and mesoscale discrete models
for dynamic fracture of structures built of brittle material, Computers and Structures, 81, pp.
1255-1265, 2003.
[Komatitsch 1999] Komatitsch D., Vilotte J.P., Vai R. Castillo-Covarrubias J.M., Sanchez-
Sesma F.J., The spectral element method for elastic wave equations - application to 2-D
and 3-D seismic problems, Int. J. Numer. Methods Eng., 25, pp. 1139-1164, 1999.
[Belytschko 2004] Xiao S.P., Belytschko T., A bridging domain decomposition for coupling
continua with molecular dynamics, Comput. Methods Appl. Mech Engrg., 193, pp. 1645-
1669, 2004.
[Lamb 1903] Lamb H., On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid,
Proceedings of the Royal Society of London, 72, pp. 128-130, 1903.
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Stratégie de résolution en dynamique combinant des champs discret et continu

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceCe papier décrit une stratégie pour coupler une méthode éléments discrets avec une méthode éléments finis. Notre objectif est le développement d'une formulation basée sur une partition de l'unité en énergie des champs discrets et continus sur un sous-domaine de raccord. Sur le bord de ce sous-domaine de raccord, la continuité du champs cinématique est assurée au moyen de multiplicateurs de Lagrange. La stratégie développée est appliquée au Benchmark de Lamb. Le résultat numérique obtenu est comparé à la solution analytique afin d'évaluer l'efficacité de la méthode

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