Dans cette contribution, nous présentons le calcul de la Borne de Cramér-Rao Bayésienne (BCRB) relative au cas de l'estimation d'un vecteur de phase. Le scénario étudié est celui d'une transmission de type MDP2 non-codée dont l'erreur de phase suit un modèle de Wiener. Deux stratégies d'estimation sont envisagées : la première est basée sur un traitement "hors-ligne" alors que la seconde utilise un traitement "en-ligne". Une expression analytique de la BCRB "hors-ligne" et "en-ligne" est fournie. Tirant profit de cette expression, nous en étudierons les propriétés asymptotiques en termes de RSB et de nombre d'observation

BARBOT, J. P.

BAY, S.

BROSSIER, J. M.

GELLER, B.

HERZET, C.

RENAUX, A.

National audienceDans cette contribution, nous présentons le calcul de la Borne de Cramér-Rao Bayésienne (BCRB) relative au cas de l'estimation d'un vecteur de phase. Le scénario étudié est celui d'une transmission de type MDP2 non-codée dont l'erreur de phase suit un modèle de Wiener. Deux stratégies d'estimation sont envisagées : la première est basée sur un traitement "hors-ligne" alors que la seconde utilise un traitement "en-ligne". Une expression analytique de la BCRB "hors-ligne" et "en-ligne" est fournie. Tirant prot de cette expression, nous en étudierons les propriétés asymptotiques en termes de RSB et de nombre d'observation

Bay, Stéphanie

Herzet, Cédric

Brossier, Jean-Marc

Barbot, Jean-Pierre

Renaux, Alexandre

Geller, Benoit

Hal - Université Grenoble Alpes

Bornes bayésiennes pour l'estimation dynamique de phase

I-Revues

HAL-Rennes 1

Bornes baye´siennes pour l’estimation dynamique dephaseSte´phanie Bay, Ce´dric Herzet, Jean-Marc Brossier, Jean-Pierre Barbot,Alexandre Renaux, Benoit GellerTo cite this version:Ste´phanie Bay, Ce´dric Herzet, Jean-Marc Brossier, Jean-Pierre Barbot, Alexandre Renaux, etal.. Bornes baye´siennes pour l’estimation dynamique de phase. XXIe`me colloque GRETSI(GRETSI 2007), Sep 2007, Troyes, France. pp.413-416, 2007. <hal-00384715>HAL Id: hal-00384715https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00384715Submitted on 15 May 2009HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.Bornes baye´siennes pour l’estimationdynamique de phaseS. Bay1, C. Herzet2, J.M. Brossier3, J.P. Barbot1, A. Renaux4, B. Geller11SATIE, ENS Cachan, UniverSud,61 Avenue du Pre´sident Wilson, F-94230 Cachan, France2UC Berkeley, Dept. of EECS, Berkeley, Wireless Foundations,273 Cory Hall, Berkeley, CA 94720, USA3LIS, ENSIEG,961 Av. de la houille blanche, Domaine Universitaire BP 46, 38402 Saint Martin d’He`res, France4Washington University in St. Louis,Campus Box 1127, One Brookings Drive, St. Louis, Missouri 63130, USA.{bay,barbot,geller}@satie.ens-cachan.fr,herzet@eecs.berkeley.edu, jean-marc.brossier@lis.inpg.fr, renaux@ese.wustl.eduRe´sume´ – Dans cette contribution, nous pre´sentons le calcul de la Borne de Crame´r-Rao Baye´sienne (BCRB) relative au cas del’estimation d’un vecteur de phase. Le sce´nario e´tudie´ est celui d’une transmission de type MDP2 non-code´e dont l’erreur de phasesuit un mode`le de Wiener. Deux strate´gies d’estimation sont envisage´es : la premie`re est base´e sur un traitement “hors-ligne”alors que la seconde utilise un traitement “en-ligne”. Une expression analytique de la BCRB “hors-ligne” et “en-ligne” est fournie.Tirant profit de cette expression, nous en e´tudierons les proprie´te´s asymptotiques en termes de RSB et de nombre d’observation.Abstract – In this paper, we derive a closed-form expression of a Bayesian Crame´r-Rao Bound (BCRB) for the estimation ofa phase offset vector. We consider the scenario of an uncoded AWGN BPSK transmission and a Wiener phase-offset model. Weprovide an analytical expression of this bound in both the so-called off-line and on-line contexts. Taking benefit from the derivedBCRB expression, we study its asymptotic behavior in terms of SNR and number of observations.1 IntroductionLes performances des syste`mes de communications nu-me´riques sont fortement lie´es a` la qualite´ de la synchroni-sation effectue´e en teˆte de re´ception. Les performances op-timales qu’atteindrait un estimateur efficace peuvent eˆtredonne´es par la famille des bornes de Crame´r-Rao. Dans lecadre d’une poursuite de phase, les parame`tres a` estimerne sont plus de´terministes, et une approche Baye´sienne estne´cessaire. La borne de Crame´r-Rao Baye´sienne est alorsadapte´e a` ce proble`me. Des BCRBs associe´es a` des pro-ble`mes d’estimation de la phase d’une porteuse e´voluantau cours du temps ont de´ja` fait l’objet de travaux, voir enparticulier Brossier et al. [1] et Dauwels et al. [3].Dans cette contribution, nous e´tudions le cas d’une trans-mission en Modulation De Phase binaire (MDP2) non-code´e subissant un de´calage de phase mode´lise´ par un mo-de`le de Wiener. Nous pre´sentons dans un premier tempsles calculs permettant d’obtenir la BCRB dans le cadred’une estimation de type“hors-ligne”. Une expression ana-lytique de la BCRB est alors fournie. Il est a` noter quedans ce contexte, les re´sultats pre´sente´s par [3] e´taientnume´riques. Les proprie´te´s asymptotiques de l’expressionanalytique de la BCRB sont ensuite e´tudie´es dans le casde faibles et forts Rapports Signal a` Bruit (RSB). Uneestimation de type “en-ligne” e´tant un cas particulier del’estimation “hors-ligne”, les re´sultats de la BCRB obte-nus pour un sce´nario “hors-ligne”seront transpose´s au cas“en-ligne”, comple´tant ainsi les re´sultats obtenus par [1].Enfin, les proprie´te´s de la BCRB dans le cas d’un nombreinfini d’observations sont e´tudie´es.2 Mode`lesLe syste`me de transmission nume´rique conside´re´ e´metune se´quence de symboles module´s en phase MDP2 a =[a0a1 · · · aK−1]T . Cette se´quence est affecte´e par une er-reur de phase e´voluant dans le temps et est perturbe´e parun Bruit Additif Blanc Gaussien (BABG). En supposantque le signal rec¸u ait e´te´ ide´alement filtre´ et e´chantillonne´a` l’instant optimal, le signal a` temps discret en bande debase re´sultant peut s’e´crire :yk = akejθk + nk avec k = 1, 2, . . . , K (1)ou` θk est l’erreur de phase affectant yk et nk est un bruitblanc Gaussien circulaire a` moyenne nulle et de varianceconnue σ2n, de telle sorte que le RSB est lie´ au rapportEb/N0 parEbN0= 1σ2n. La transmission est suppose´e sanscodage, a` symboles inde´pendants et identiquement distri-bue´s (i.i.d) avec Pr (ak = ±1) =12. Le de´phasage est de´-crit par un mode`le de Wiener, i.e.,Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 413θk = θk−1 + ωk, (2)avec ωk un bruit Gaussien a` moyenne nulle i.i.d. et devariance connue σ2ω.Par la suite, les e´carts de phase aux diffe´rents instantsd’e´chantillonnage seront regroupe´s dans le vecteur θ =[θ1θ2 · · · θK ]T et les observations dans le vecteur y = [y1y2· · · yK ]T.Deux strate´gies d’estimation sont traditionnellement en-visage´es. La premie`re, que nous appellerons “hors-ligne,”attend l’acquisition d’un bloc complet de K observationspour estimer θk, avec k = 1, 2, . . . , K. La strate´gie “en-ligne” garde quant a` elle en me´moire le vecteur d’obser-vations passe´es [y1y2 · · · yK−1]Tet attend l’acquisition del’observation courante yK pour re´aliser l’estimation de θK .3 Expression de la BCRB “hors-ligne”Van Trees [5] a montre´ que l’EQM globale de tout esti-mateur θˆ(y) e´tait borne´ par l’inverse de la Matrice d’In-formation Baye´sienne (MIB), note´e ici B, de la manie`resuivante :Ey,θ[(θˆ (y) − θ) (θˆ (y)− θ)T]≥ B−1. (3)La MIB peut eˆtre e´crite comme une fonction de la Matriced’Information de Fisher F(θ) comme suitB = Eθ [F(θ)] + Eθ[−∆θθlog p(θ)], (4)F(θ) = Ey|θ[−∆θθlog p(y | θ)], (5)avec ∆µψl’ope´rateur de de´rive´e partielle du second ordre,c’est a` dire[∆µψ]k,l= ∂2∂ψk∂µl.Le premier terme de (4) peut eˆtre interpre´te´ commel’information fournie par les observations y moyenne´e parrapport a` θ, et le dernier terme comme l’information dis-ponible fournie par la connaissance a priori sur θ, i.e.p (θ). Ce terme tient compte de la de´pendance en tempsdes e´carts de phase a` diffe´rents instants.A partir du mode`le d’observation (1) et du mode`le dubruit de phase (2), la MIB peut s’e´crire [2] :BK = bA + 1 11 A 1. . .. . .. . .1 A 11 A + 1 , (6)avec A et b donne´s par A∆= −σ2ωJD − 2, b∆= −1/σ2ω,JD∆= Ey,θ[−∂2 log p (yk | θk)∂θ2k], (7)et si, comme dans [2], nous fixons Eθ1[∂2 log p(θ1)∂θ21]= 0,ce qui correspond au cas ou` il n’y a pas d’information apriori sur θ1.La matrice BK ainsi obtenue e´tant une matrice creusetridiagonale, posse´dant des syme´tries, le kie`me e´le´ment dia-gonal de BK peut s’exprimer sous la forme :[B−1K]k,k= 1|BK |[ρ21 (b + r1)2rK−31 + ρ22 (b + r2)2rK−32− b2A−2(rk−21 rK−k−12 + rK−k−11 rk−22)](8)avec les notations suivantes :r1 =b2(A +√A2 − 4), r2 =b2(A−√A2 − 4), (9)ρ1 =√A2 − 4 + A2√A2 − 4, ρ2 =√A2−4−A2√A2−4. (10)Le de´tail des calculs de r1, r2, ρ1, ρ2 et |BK | sont donne´sen annexe, voir (section A).4 Evaluation de JD et cas asymp-totiquesDans cette section, la mise en oeuvre pratique du calculde la BCRB est de´crite. Les approximations a` faible etfort RSB de la BCRB sont e´galement introduites, offrantune alternative inte´ressante a` l’e´valuation de (8).4.1 Evaluation de la BCRBD’apre`s (8), le calcul de la BCRB ne´cessite l’e´valua-tion de JD. Du fait de la nature Gaussienne du bruit etde l’e´quiprobabilite´ des symboles ak, le terme intervenantdans l’expression de JD se re´e´crit :∂2 log p(yk|θk)∂θ2k= − 2σ2n< (xk) tanh(2σ2n< (xk))+ 4σ4n=2 (xk)[1− tanh2(2σ2n< (xk))],(11)avec xk = yke−jθk . Malheureusement, dans le cas ge´ne´ral,l’espe´rance de (11), par rapport a` p(y, θ) n’a pas de so-lution analytique e´vidente. JD peut toutefois eˆtre e´value´epar des me´thodes d’inte´gration nume´rique.4.2 Asymptote a` fort RSBA fort RSB, la fonction tanh(.) intervenant dans (11)peut eˆtre approxime´e par tanh(2σ2n< (xk))≈ sign (< (xk)),d’ou` :JD ≈2σn√pie−1σ2n +2σ2nerf(1σn), (12)et ainsi, limσ2n→0JD = 2/σ2n. En remplac¸ant JD par sa limitedans (8), l’asymptote a` fort RSB de la BCRB est obtenue.4.3 Asymptote a` faible RSBPar un de´veloppement de Taylor au premier ordre detanh(z) autour de z = 0, l’e´quation (11) devient :∂2 log p (yk | θk)∂θ2k≈ −(2σ2n< (xk))2+(2σ2n= (xk))2,(13)4141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.030.040.050.060.070.080.090.10.110.120.13Numero d’observationEQMBCRBs en ligne et hors ligneBCRB en ligneAsymptote en ligneBCRB hors ligneK=12 K=9 K=6 K=3 Fig. 1 – BCRBs “hors-ligne” et “en-ligne” pour σ2ω = 0.04rad2, σ2n = 0.25 et pour diffe´rentes longueurs de blocsd’observation K (105 tirages de Monte-Carlo)d’ou` JD : JD ≈4σ4n. En inse´rant ce re´sultat dans l’e´qua-tion (8), nous obtenons l’asymptote a` faible RSB de laBCRB. Il est inte´ressant de remarquer que JD ne de´pendque du bruit d’observation et est inde´pendant du mode`lede phase.5 BCRB pour une estimation “enligne”Dans le cas d’une estimation“en-ligne”, le re´cepteur uti-lise les e´chantillons pre´ce´demment acquis et l’observationcourante yK pour estimer θK . Une borne de Crame´r-Raoa posteriori (“en ligne”) a e´te´ obtenue par Tichavsky et al.dans [4]. Ces auteurs ont propose´ une me´thode permettantla mise a` jour de la MIB de l’indice temporel k a` l’indicek + 1. Cette technique a e´galement e´te´ applique´e dans [1]pour le mode`le d’observations de´crit par les e´quations (1)et (2). Partant des re´sultats des sections pre´ce´dentes, uneexpression alternative de la BCRB “en ligne” peut eˆtreobtenue. En effet, la BCRB “en ligne” associe´e au vecteurd’observation y = [y1y2 · · · yK ]T est simplement e´gale a`l’e´le´ment (K, K) de l’inverse de la MIB, i.e.,[B−1K]K,K= 1|BK |[ρ21 (b + r1)2rK−31 + ρ22 (b + r2)2rK−32− b2A−2(rK−21 r−12 + r−11 rK−22)].(14)L’asymptote de la BCRB “en ligne” quand le nombred’observations tend vers l’infini, voir en annexe (sectionB), s’e´crit alors :limK→∞[B−1K]K,K=−σ2ω +√σ4ω + 4σ2ωJD2(15)−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−30−25−20−15−10−505101520RSB(dB)EQM (dB)Borne de Cramer−Rao Baysienne Versus RSB BCRB En−LigneBCRB Hors−LigneFort RSB: Asymptote Hors−LigneFaible RSB: Asymptote Hors−LigneFig. 2 – BCRBs “hors-ligne” et “en-ligne” pour σ2ω = 0.04rad2, σ2n = 0.25 et pour K = 50 (JD e´value´ graˆce a` 105tirages de Monte-Carlo)6 SimulationsLes diffe´rentes bornes d’estimation obtenues sont pre´-sente´es en fonction du RSB et du nombre d’observations.Le premier cas e´tudie´ est celui d’une transmission per-turbe´e par un BABG avec σ2n = 0.25 et un bruit dephase σ2ω = 0.04 rad2. Sur la Figure 1 sont repre´sente´es,en fonction de l’indice temporel, les BCRBs “en-ligne” et“hors-ligne” pour plusieurs longueurs de bloc d’observa-tions. Dans un contexte “hors-ligne”, les meilleures per-formances d’estimation pouvant eˆtre atteintes se situenten milieu de bloc (ce re´sultat peut-eˆtre prouve´ en e´tu-diant (8)). Dans le cas d’une estimation a` l’indice⌊K+12,l’estimateur tire parti de fac¸on e´gale des demi-blocs d’ob-servations pre´ce´dant et suivant. Concernant maintenantl’estimation “en-ligne”, au de´but du processus et lorsquele nume´ro d’observation augmente, l’estimateur prend encompte plus d’informations et de ce fait les performancesd’estimation s’ame´liorent. Ainsi la borne de´croˆıt et convergevers son asymptote a` fort nombre d’observation (15) : lesperformances de cette strate´gie d’estimation se trouventdonc limite´es par le bruit de phase et d’observation, inde´-pendamment du nume´ro d’observation.Conside´rons maintenant un bloc de K = 50 symbolesMDP2, perturbe´s par un bruit de phase σ2ω = 0.04 rad2.La Figure 2 repre´sente les BCRBs obtenues d’une partpour K = 50 dans le cas “en-ligne” et pour une estimationen milieu de bloc (k = 25) dans le cas “hors-ligne”. Dansce dernier cas, les asymptotes de la BCRB a` faible et fortRSB sont e´galement repre´sente´es. Notons que ces asymp-totes, bien plus simples a` calculer, fournissent de bonnesapproximations de la BCRB dans leur domaine de vali-dite´ respectif. Notons enfin que la BCRB “hors-ligne” estge´ne´ralement infe´rieure a` la BCRB “en-ligne”. Dans le casd’un fort RSB, les deux bornes sont proches : l’informationfournie par l’observation courante est suffisamment pre´ciseet devient pre´ponde´rante sur la connaissance a priori deθ. Les bornes “en-ligne” et “hors-ligne” deviennent donce´quivalentes.Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 4157 ConclusionDans cette contribution, nous avons obtenu, pour unetransmission MDP2 non-code´e et un mode`le de perturba-tion de phase de type Wiener, une expression analytiquede la BCRB pour les strate´gies d’estimation“hors-ligne”et“en-ligne”. Tirant profit de ces calculs, nous avons fourniles asymptotes a` faible et fort RSB pour la BCRB “hors-ligne”, ainsi que l’asymptote relative au nombre d’obser-vations d’une strate´gie d’estimation “en-ligne”. A partirde ces re´sultats, nous avons pu comparer les performancesultimes et les proprie´te´s des strate´gies d’estimation “en-ligne” et “hors-ligne”.A Ele´ments Diagonaux de la BCRBDans cette annexe, nous de´taillons le calcul des e´le´mentsdiagonaux (8) de l’inverse de la MIB (6). Pour cela nousutilisons la technique classique d’inversion de matrice[B−1K ]k,k = Ck,k |BK |−1, (16)avec Ck,k le cofacteur de l’e´le´ment [BK ]k,k et |BK | le de´-terminant de BK . Il convient donc de calculer ce cofacteuret |BK |.– Calcul pre´liminaire. Soit dk, le de´terminant de la ma-trice suivante k × kDk = bA 11 A 1. . .. . .. . .1 A 11 A .En de´veloppant dk suivant la premie`re et la secondecolonne, il vient dk = bAdk−1− b2dk−2 avec d0 = 1 etd1 = bA. {dk} est ainsi une re´currence. En utilisantle terme initial, une expression analytique de dk estdonne´e pardk = ρ1 (r1)k + ρ2 (r2)k for k ∈ N, (17)avec ρ1, ρ2, r1 et r2 de´finis par (9) et (10).– De´terminant |BK |. Dans un premier temps, en de´ve-loppant |BK | suivant la premie`re colonne, nous obte-nons la somme de deux cofacteurs qui sont alors de´ve-loppe´s suivant la dernie`re colonne.En agissant ainsi,nous obtenons que |BK | = b (A + 2) dK−1.– Cofacteur Ck,k. Le cofacteur Ck,k correspond au de´-terminant de la matrice Bk dans laquelle la ligne ket la colonne k ont e´te´ suprime´es. La matrice ainsiobtenue est bloc diagonale. Le bloc supe´rieur (res-pectivement infe´rieur) est note´ UBK (respectivementLBK ). Le cofacteur est ainsi le produit de deux de´-terminants :Ck,k = |UBK | |LBK |= (bdk−1 + dk) (bdK−k−2 + dK−k−1) . (18)– Ele´ments diagonaux. En re´-e´crivant (16) et en utili-sant (17) et (18), il vient[B−1K]k,k=1|BK |[ρ21 (b + r1)2rK−31 + ρ22(b + r2)2rK−32−b2A− 2(rk−11 rK−k−22 + rK−k−21 rk−12 )].B Comportement de la BCRB“en ligne”En utilisant (16) et (18),[B−1K]K−1,K−1peut s’e´criresous la forme[B−1K]K−1,K−1=A + 1b (A + 2)−1b (A + 2)uK , (19)ou` un ,dnbdn−1= Aun−1−1un−1avec u1 = A. Il est clair quecette se´quence est strictement croissante et convergevers u∞= 12(A−√A2 − 4). En combinant ce re´sul-tat avec (19), nous obtenons que[B−1K]K−1,K−1estune se´quence strictement de´croissante ayant pour li-mite :limK→∞[B−1K]K−1,K−1=−σ2w +√σ4w + 4σ2wJD2. (20)Re´fe´rences[1] P.O. Amblard, J.M. Brossier, and E. Moisan. Phasetracking : what do we gain from optimality ? Particlefiltering versus phase-locked loops. Elsevier SignalProcessing, 83 :151–167, October 2003.[2] S. Bay, C. Herzet, JM. Brossier, JP. Barbot, andB. Geller. Analytic and asymptotic analysis of baye-sian Crame´r-Rao bound for dynamical phase offsetestimation. Accepted for publication in IEEE Trans.Signal Processing, available at http ://www.satie.ens-cachan.fr/ts/fanny/BCRB.pdf, January 2007.[3] J. Dauwels and S. Korl. A numerical method to com-pute Crame´r-Rao-type bounds for challenging estima-tion problems. In Proc. IEEE Int. Conf. Acoust.,Speech, Signal Processing, pages 717–720, Toulouse,Fr, May 2006.[4] P. Tichavsky, C. H. Muravchik, and A. Nehorai. Pos-terior Crame´r-Rao bounds for discrete-time nonlinearfiltering. IEEE Trans. Signal Processing, 46 :1386–1396, May 1998.[5] H. L. Van Trees. Detection, Estimation and Modula-tion Theory, volume 1. Wiley, New York, 1968.416

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XXIème colloque GRETSI (GRETSI2007), Sep 2007, Troyes, France. pp.413-416. ￿hal-00384715￿Bornes bayésiennes pour l’estimationdynamique de phaseS. Bay1, C. Herzet2, J.M. Brossier3, J.P. Barbot1, A. Renaux4, B. Geller11SATIE, ENS Cachan, UniverSud,61 Avenue du Président Wilson, F-94230 Cachan, France2UC Berkeley, Dept. of EECS, Berkeley, Wireless Foundations,273 Cory Hall, Berkeley, CA 94720, USA3LIS, ENSIEG,961 Av. de la houille blanche, Domaine Universitaire BP 46, 38402 Saint Martin d’Hères, France4Washington University in St. Louis,Campus Box 1127, One Brookings Drive, St. Louis, Missouri 63130, USA.{bay,barbot,geller}@satie.ens-cachan.fr,herzet@eecs.berkeley.edu, jean-marc.brossier@lis.inpg.fr, renaux@ese.wustl.eduRésumé – Dans cette contribution, nous présentons le calcul de la Borne de Cramér-Rao Bayésienne (BCRB) relative au cas del’estimation d’un vecteur de phase. Le scénario étudié est celui d’une transmission de type MDP2 non-codée dont l’erreur de phasesuit un modèle de Wiener. Deux stratégies d’estimation sont envisagées : la première est basée sur un traitement “hors-ligne”alors que la seconde utilise un traitement “en-ligne”. Une expression analytique de la BCRB “hors-ligne” et “en-ligne” est fournie.Tirant profit de cette expression, nous en étudierons les propriétés asymptotiques en termes de RSB et de nombre d’observation.Abstract – In this paper, we derive a closed-form expression of a Bayesian Cramér-Rao Bound (BCRB) for the estimation ofa phase offset vector. We consider the scenario of an uncoded AWGN BPSK transmission and a Wiener phase-offset model. Weprovide an analytical expression of this bound in both the so-called off-line and on-line contexts. Taking benefit from the derivedBCRB expression, we study its asymptotic behavior in terms of SNR and number of observations.1 IntroductionLes performances des systèmes de communications nu-mériques sont fortement liées à la qualité de la synchroni-sation effectuée en tête de réception. Les performances op-timales qu’atteindrait un estimateur efficace peuvent êtredonnées par la famille des bornes de Cramér-Rao. Dans lecadre d’une poursuite de phase, les paramètres à estimerne sont plus déterministes, et une approche Bayésienne estnécessaire. La borne de Cramér-Rao Bayésienne est alorsadaptée à ce problème. Des BCRBs associées à des pro-blèmes d’estimation de la phase d’une porteuse évoluantau cours du temps ont déjà fait l’objet de travaux, voir enparticulier Brossier et al. [1] et Dauwels et al. [3].Dans cette contribution, nous étudions le cas d’une trans-mission en Modulation De Phase binaire (MDP2) non-codée subissant un décalage de phase modélisé par un mo-dèle de Wiener. Nous présentons dans un premier tempsles calculs permettant d’obtenir la BCRB dans le cadred’une estimation de type“hors-ligne”. Une expression ana-lytique de la BCRB est alors fournie. Il est à noter quedans ce contexte, les résultats présentés par [3] étaientnumériques. Les propriétés asymptotiques de l’expressionanalytique de la BCRB sont ensuite étudiées dans le casde faibles et forts Rapports Signal à Bruit (RSB). Uneestimation de type “en-ligne” étant un cas particulier del’estimation “hors-ligne”, les résultats de la BCRB obte-nus pour un scénario “hors-ligne”seront transposés au cas“en-ligne”, complétant ainsi les résultats obtenus par [1].Enfin, les propriétés de la BCRB dans le cas d’un nombreinfini d’observations sont étudiées.2 ModèlesLe système de transmission numérique considéré émetune séquence de symboles modulés en phase MDP2 a =[a0a1 · · · aK−1]T . Cette séquence est affectée par une er-reur de phase évoluant dans le temps et est perturbée parun Bruit Additif Blanc Gaussien (BABG). En supposantque le signal reçu ait été idéalement filtré et échantillonnéà l’instant optimal, le signal à temps discret en bande debase résultant peut s’écrire :yk = akejθk + nk avec k = 1, 2, . . . , K (1)où θk est l’erreur de phase affectant yk et nk est un bruitblanc Gaussien circulaire à moyenne nulle et de varianceconnue σ2n, de telle sorte que le RSB est lié au rapportEb/N0 parEbN0= 1σ2n. La transmission est supposée sanscodage, à symboles indépendants et identiquement distri-bués (i.i.d) avec Pr (ak = ±1) =12. Le déphasage est dé-crit par un modèle de Wiener, i.e.,Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 413θk = θk−1 + ωk, (2)avec ωk un bruit Gaussien à moyenne nulle i.i.d. et devariance connue σ2ω.Par la suite, les écarts de phase aux différents instantsd’échantillonnage seront regroupés dans le vecteur θ =[θ1θ2 · · · θK ]T et les observations dans le vecteur y = [y1y2· · · yK ]T.Deux stratégies d’estimation sont traditionnellement en-visagées. La première, que nous appellerons “hors-ligne,”attend l’acquisition d’un bloc complet de K observationspour estimer θk, avec k = 1, 2, . . . , K. La stratégie “en-ligne” garde quant à elle en mémoire le vecteur d’obser-vations passées [y1y2 · · · yK−1]Tet attend l’acquisition del’observation courante yK pour réaliser l’estimation de θK .3 Expression de la BCRB “hors-ligne”Van Trees [5] a montré que l’EQM globale de tout esti-mateur θ̂(y) était borné par l’inverse de la Matrice d’In-formation Bayésienne (MIB), notée ici B, de la manièresuivante :Ey,θ[(θ̂ (y) − θ) (θ̂ (y)− θ)T]≥ B−1. (3)La MIB peut être écrite comme une fonction de la Matriced’Information de Fisher F(θ) comme suitB = Eθ [F(θ)] + Eθ[−∆θθlog p(θ)], (4)F(θ) = Ey|θ[−∆θθlog p(y | θ)], (5)avec ∆µψl’opérateur de dérivée partielle du second ordre,c’est à dire[∆µψ]k,l= ∂2∂ψk∂µl.Le premier terme de (4) peut être interprété commel’information fournie par les observations y moyennée parrapport à θ, et le dernier terme comme l’information dis-ponible fournie par la connaissance a priori sur θ, i.e.p (θ). Ce terme tient compte de la dépendance en tempsdes écarts de phase à différents instants.A partir du modèle d’observation (1) et du modèle dubruit de phase (2), la MIB peut s’écrire [2] :BK = bA + 1 11 A 1. . .. . .. . .1 A 11 A + 1 , (6)avec A et b donnés par A∆= −σ2ωJD − 2, b∆= −1/σ2ω,JD∆= Ey,θ[−∂2 log p (yk | θk)∂θ2k], (7)et si, comme dans [2], nous fixons Eθ1[∂2 log p(θ1)∂θ21]= 0,ce qui correspond au cas où il n’y a pas d’information apriori sur θ1.La matrice BK ainsi obtenue étant une matrice creusetridiagonale, possédant des symétries, le kième élément dia-gonal de BK peut s’exprimer sous la forme :[B−1K]k,k= 1|BK |[ρ21 (b + r1)2rK−31 + ρ22 (b + r2)2rK−32− b2A−2(rk−21 rK−k−12 + rK−k−11 rk−22)](8)avec les notations suivantes :r1 =b2(A +√A2 − 4), r2 =b2(A−√A2 − 4), (9)ρ1 =√A2 − 4 + A2√A2 − 4, ρ2 =√A2−4−A2√A2−4. (10)Le détail des calculs de r1, r2, ρ1, ρ2 et |BK | sont donnésen annexe, voir (section A).4 Evaluation de JD et cas asymp-totiquesDans cette section, la mise en oeuvre pratique du calculde la BCRB est décrite. Les approximations à faible etfort RSB de la BCRB sont également introduites, offrantune alternative intéressante à l’évaluation de (8).4.1 Evaluation de la BCRBD’après (8), le calcul de la BCRB nécessite l’évalua-tion de JD. Du fait de la nature Gaussienne du bruit etde l’équiprobabilité des symboles ak, le terme intervenantdans l’expression de JD se réécrit :∂2 log p(yk|θk)∂θ2k= − 2σ2n< (xk) tanh(2σ2n< (xk))+ 4σ4n=2 (xk)[1− tanh2(2σ2n< (xk))],(11)avec xk = yke−jθk . Malheureusement, dans le cas général,l’espérance de (11), par rapport à p(y, θ) n’a pas de so-lution analytique évidente. JD peut toutefois être évaluéepar des méthodes d’intégration numérique.4.2 Asymptote à fort RSBA fort RSB, la fonction tanh(.) intervenant dans (11)peut être approximée par tanh(2σ2n< (xk))≈ sign (< (xk)),d’où :JD ≈2σn√πe−1σ2n +2σ2nerf(1σn), (12)et ainsi, limσ2n→0JD = 2/σ2n. En remplaçant JD par sa limitedans (8), l’asymptote à fort RSB de la BCRB est obtenue.4.3 Asymptote à faible RSBPar un développement de Taylor au premier ordre detanh(z) autour de z = 0, l’équation (11) devient :∂2 log p (yk | θk)∂θ2k≈ −(2σ2n< (xk))2+(2σ2n= (xk))2,(13)4141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.030.040.050.060.070.080.090.10.110.120.13Numero d’observationEQMBCRBs en ligne et hors ligneBCRB en ligneAsymptote en ligneBCRB hors ligneK=12 K=9 K=6 K=3 Fig. 1 – BCRBs “hors-ligne” et “en-ligne” pour σ2ω = 0.04rad2, σ2n = 0.25 et pour différentes longueurs de blocsd’observation K (105 tirages de Monte-Carlo)d’où JD : JD ≈4σ4n. En insérant ce résultat dans l’équa-tion (8), nous obtenons l’asymptote à faible RSB de laBCRB. Il est intéressant de remarquer que JD ne dépendque du bruit d’observation et est indépendant du modèlede phase.5 BCRB pour une estimation “enligne”Dans le cas d’une estimation“en-ligne”, le récepteur uti-lise les échantillons précédemment acquis et l’observationcourante yK pour estimer θK . Une borne de Cramér-Raoa posteriori (“en ligne”) a été obtenue par Tichavsky et al.dans [4]. Ces auteurs ont proposé une méthode permettantla mise à jour de la MIB de l’indice temporel k à l’indicek + 1. Cette technique a également été appliquée dans [1]pour le modèle d’observations décrit par les équations (1)et (2). Partant des résultats des sections précédentes, uneexpression alternative de la BCRB “en ligne” peut êtreobtenue. En effet, la BCRB “en ligne” associée au vecteurd’observation y = [y1y2 · · · yK ]T est simplement égale àl’élément (K, K) de l’inverse de la MIB, i.e.,[B−1K]K,K= 1|BK |[ρ21 (b + r1)2rK−31 + ρ22 (b + r2)2rK−32− b2A−2(rK−21 r−12 + r−11 rK−22)].(14)L’asymptote de la BCRB “en ligne” quand le nombred’observations tend vers l’infini, voir en annexe (sectionB), s’écrit alors :limK→∞[B−1K]K,K=−σ2ω +√σ4ω + 4σ2ωJD2(15)−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−30−25−20−15−10−505101520RSB(dB)EQM (dB)Borne de Cramer−Rao Baysienne Versus RSB BCRB En−LigneBCRB Hors−LigneFort RSB: Asymptote Hors−LigneFaible RSB: Asymptote Hors−LigneFig. 2 – BCRBs “hors-ligne” et “en-ligne” pour σ2ω = 0.04rad2, σ2n = 0.25 et pour K = 50 (JD évalué grâce à 105tirages de Monte-Carlo)6 SimulationsLes différentes bornes d’estimation obtenues sont pré-sentées en fonction du RSB et du nombre d’observations.Le premier cas étudié est celui d’une transmission per-turbée par un BABG avec σ2n = 0.25 et un bruit dephase σ2ω = 0.04 rad2. Sur la Figure 1 sont représentées,en fonction de l’indice temporel, les BCRBs “en-ligne” et“hors-ligne” pour plusieurs longueurs de bloc d’observa-tions. Dans un contexte “hors-ligne”, les meilleures per-formances d’estimation pouvant être atteintes se situenten milieu de bloc (ce résultat peut-être prouvé en étu-diant (8)). Dans le cas d’une estimation à l’indice⌊K+12,l’estimateur tire parti de façon égale des demi-blocs d’ob-servations précédant et suivant. Concernant maintenantl’estimation “en-ligne”, au début du processus et lorsquele numéro d’observation augmente, l’estimateur prend encompte plus d’informations et de ce fait les performancesd’estimation s’améliorent. Ainsi la borne décrôıt et convergevers son asymptote à fort nombre d’observation (15) : lesperformances de cette stratégie d’estimation se trouventdonc limitées par le bruit de phase et d’observation, indé-pendamment du numéro d’observation.Considérons maintenant un bloc de K = 50 symbolesMDP2, perturbés par un bruit de phase σ2ω = 0.04 rad2.La Figure 2 représente les BCRBs obtenues d’une partpour K = 50 dans le cas “en-ligne” et pour une estimationen milieu de bloc (k = 25) dans le cas “hors-ligne”. Dansce dernier cas, les asymptotes de la BCRB à faible et fortRSB sont également représentées. Notons que ces asymp-totes, bien plus simples à calculer, fournissent de bonnesapproximations de la BCRB dans leur domaine de vali-dité respectif. Notons enfin que la BCRB “hors-ligne” estgénéralement inférieure à la BCRB “en-ligne”. Dans le casd’un fort RSB, les deux bornes sont proches : l’informationfournie par l’observation courante est suffisamment préciseet devient prépondérante sur la connaissance a priori deθ. Les bornes “en-ligne” et “hors-ligne” deviennent doncéquivalentes.Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 4157 ConclusionDans cette contribution, nous avons obtenu, pour unetransmission MDP2 non-codée et un modèle de perturba-tion de phase de type Wiener, une expression analytiquede la BCRB pour les stratégies d’estimation“hors-ligne”et“en-ligne”. Tirant profit de ces calculs, nous avons fourniles asymptotes à faible et fort RSB pour la BCRB “hors-ligne”, ainsi que l’asymptote relative au nombre d’obser-vations d’une stratégie d’estimation “en-ligne”. A partirde ces résultats, nous avons pu comparer les performancesultimes et les propriétés des stratégies d’estimation “en-ligne” et “hors-ligne”.A Eléments Diagonaux de la BCRBDans cette annexe, nous détaillons le calcul des élémentsdiagonaux (8) de l’inverse de la MIB (6). Pour cela nousutilisons la technique classique d’inversion de matrice[B−1K ]k,k = Ck,k |BK |−1, (16)avec Ck,k le cofacteur de l’élément [BK ]k,k et |BK | le dé-terminant de BK . Il convient donc de calculer ce cofacteuret |BK |.– Calcul préliminaire. Soit dk, le déterminant de la ma-trice suivante k × kDk = bA 11 A 1. . .. . .. . .1 A 11 A .En développant dk suivant la première et la secondecolonne, il vient dk = bAdk−1− b2dk−2 avec d0 = 1 etd1 = bA. {dk} est ainsi une récurrence. En utilisantle terme initial, une expression analytique de dk estdonnée pardk = ρ1 (r1)k + ρ2 (r2)k for k ∈ N, (17)avec ρ1, ρ2, r1 et r2 définis par (9) et (10).– Déterminant |BK |. Dans un premier temps, en déve-loppant |BK | suivant la première colonne, nous obte-nons la somme de deux cofacteurs qui sont alors déve-loppés suivant la dernière colonne.En agissant ainsi,nous obtenons que |BK | = b (A + 2) dK−1.– Cofacteur Ck,k. Le cofacteur Ck,k correspond au dé-terminant de la matrice Bk dans laquelle la ligne ket la colonne k ont été suprimées. La matrice ainsiobtenue est bloc diagonale. Le bloc supérieur (res-pectivement inférieur) est noté UBK (respectivementLBK ). Le cofacteur est ainsi le produit de deux dé-terminants :Ck,k = |UBK | |LBK |= (bdk−1 + dk) (bdK−k−2 + dK−k−1) . (18)– Eléments diagonaux. En ré-écrivant (16) et en utili-sant (17) et (18), il vient[B−1K]k,k=1|BK |[ρ21 (b + r1)2rK−31 + ρ22(b + r2)2rK−32−b2A− 2(rk−11 rK−k−22 + rK−k−21 rk−12 )].B Comportement de la BCRB“en ligne”En utilisant (16) et (18),[B−1K]K−1,K−1peut s’écriresous la forme[B−1K]K−1,K−1=A + 1b (A + 2)−1b (A + 2)uK , (19)où un ,dnbdn−1= Aun−1−1un−1avec u1 = A. Il est clair quecette séquence est strictement croissante et convergevers u∞= 12(A−√A2 − 4). En combinant ce résul-tat avec (19), nous obtenons que[B−1K]K−1,K−1estune séquence strictement décroissante ayant pour li-mite :limK→∞[B−1K]K−1,K−1=−σ2w +√σ4w + 4σ2wJD2. (20)Références[1] P.O. Amblard, J.M. Brossier, and E. Moisan. Phasetracking : what do we gain from optimality ? Particlefiltering versus phase-locked loops. Elsevier SignalProcessing, 83 :151–167, October 2003.[2] S. Bay, C. Herzet, JM. Brossier, JP. Barbot, andB. Geller. Analytic and asymptotic analysis of baye-sian Cramér-Rao bound for dynamical phase offsetestimation. Accepted for publication in IEEE Trans.Signal Processing, available at http ://www.satie.ens-cachan.fr/ts/fanny/BCRB.pdf, January 2007.[3] J. Dauwels and S. Korl. A numerical method to com-pute Cramér-Rao-type bounds for challenging estima-tion problems. In Proc. IEEE Int. Conf. Acoust.,Speech, Signal Processing, pages 717–720, Toulouse,Fr, May 2006.[4] P. Tichavsky, C. H. Muravchik, and A. Nehorai. Pos-terior Cramér-Rao bounds for discrete-time nonlinearfiltering. IEEE Trans. Signal Processing, 46 :1386–1396, May 1998.[5] H. L. Van Trees. Detection, Estimation and Modula-tion Theory, volume 1. Wiley, New York, 1968.416

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Bornes bayésiennes pour l'estimation dynamique de phase

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