L'essentiel des propriétés de résistance mécanique de l'os trabéculaire est donné par celles de sa matrice solide. À l'échelle macroscopique, l'os est assimilé à un milieu continu dont le comportement local, caractérisé par le tenseur de rigidité K, est linéairement élastique, orthotrope et qui évolue, en fonction des sollicitations subies, afin de tendre vers des caractéristiques fonctionnelles optimales. Le critère retenu consiste, en fonction des contraintes imposées, à faire évoluer le tenseur de rigidité en rapprochant les axes d'orthotropie des directions principales de déformation et modifiant les coefficients d'élasticité afin de faire tendre les déformations principales vers une zone admissible. Dans le cas tridimensionnel, la rotation des axes d'orthotropie utilise un seul angle. L'évolution des coefficients d'élasticité dans le sens d'un comportement optimal est ensuite obtenue par minimisation d'une fonctionnelle assurant que K a la forme souhaitée

LARRAT, Jean

NAÏLI, Salah

WATZKY, Alexandre

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
1
Remodelage orthotrope de l'os
Résultats numériques pour le cas tridimensionnel
Alexandre Watzky*, Jean Larrat** & Salah Naïli*
* B2OA – UMR 7052 CNRS
* / ** Faculté des Sciences & Technologie — Université Paris 12 – Val-de-Marne
61 avenue du Général de Gaulle, 94010 CRÉTEIL Cedex
watzky@univ-paris12.fr
Résumé :
L'essentiel des propriétés de résistance mécanique de l'os trabéculaire est donné par celles de sa matrice
solide. À l'échelle macroscopique, l'os est assimilé à un milieu continu dont le comportement local,
caractérisé par le tenseur de rigidité K, est linéairement élastique, orthotrope et qui évolue, en fonction
des sollicitations subies, afin de tendre vers des caractéristiques fonctionnelles optimales.
Le critère retenu consiste, en fonction des contraintes imposées, à faire évoluer le tenseur de rigidité en
rapprochant les axes d'orthotropie des directions principales de déformation et modifiant les coefficients
d'élasticité afin de faire tendre les déformations principales vers une zone admissible.
Dans le cas tridimensionnel, la rotation des axes d'orthotropie utilise un seul angle. L'évolution des
coefficients d'élasticité dans le sens d'un comportement optimal est ensuite obtenue par minimisation
d'une fonctionnelle assurant que K a la forme souhaitée.
Abstract :
The mechanical strength properties of trabecular bone are mostly given by its solid matrix. At a
macroscopic scale, bone can be considered homogeneous, linearly elastic and orthotropic, and
charachterized by its rigidity tensor K which, depending on external sollicitations, evolves toward
optimal functional characteristics.
In our model, the rigidity tensor evolves such that, for imposed stresses, the orthotropy directions rotate
towards the principal strains directions, and the strains tend to fall within an admissible domain.
The rotation in the tridimensional case needs a single angle parametrization. The modification of the
elasticity parameters towards an optimal behavior is then obtained by minimizing a functional which
ensures an appropriate form for K.
Mots-clefs :
Os ; remodelage ; anisotropie
1 Introduction
L'os trabéculaire est constitué d'une matrice solide présentant une microstructure, qui lui
confère l'essentiel de ses propriétés de résistance mécanique, remplie d'un fluide intersticiel.
Le remodelage est l'évolution de cette microstructure par apposition ou résorption de
matière. Comme la plupart des milieux vivants, l'os tend vers des caractéristiques
fonctionnelles optimales. Pour l'os, dont le rôle structurel est majeur, l'idée directrice a été
formulée par Wolff (1892) en "les contraintes mécaniques sont responsables de
l'architecture de l'os" et "l'os a une résistance mécanique maximale pour une masse
minimale".
On se place dans le cadre de la mécanique des milieux continus à l'échelle mésoscopique
(particules de quelques mm [Harrigan et al. (1988)]) où l'os peut être considéré homogène.
Les caractéristiques de la microstructure sont alors données par le tenseur de rigidité K, qui
évolue en fonction des contraintes imposées (stimulus).
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
2
2 Comportement de l'os trabéculaire
Le comportement de l'os en petites déformations étant linéairement élastique
orthotrope, il est caractérisé par le tenseur de compliance C = K  –1  tel que  ' = C '  '  et
qui, exprimé dans la base des directions d'orhotropie notée par un "prime", prend la forme :
C ' = 
1 E1  – 2 1 E2  – 31 E3 0 0 0
 – 12 E1 1 E2 – 32 E3 0 0 0
– 13 E1 – 23 E2 1 E3 0 0 0
0 0 0 1 2G23 0 0
0 0 0 0 1 2G31 0
0 0 0 0 0 1 2G12
 (1)
où nous avons adopté la notation tensorielle de Kelvin, indiquée par un "tilde". Les tenseurs
des contraintes ou des déformations s'écrivent sous la forme vectorielle
S = s1, s2, s3, s4, s5, s6 T = S11, S22, S33, 2  S23, 2  S31, 2  S12 T  (S = ,  ).
3 Le modèle de remodelage
L'optimisation de la microstructure, donc l'évolution de C , doit satisfaire aux trois
conditions suivantes [Watzky & Naïli (2004)] :
  (i) le matériau reste orthotrope ;
 (ii) les directions d'orthotropie se rapprochent des directions principales de déformation ;
(iii) les déformations principales tendent vers des valeurs "admissibles".
3.1 Rotations
Nous avons à considérer trois bases (orthonormées directes) respectivement associées
au matériau (base matérielle fixe constituée des ei , i = 1, 2, 3), aux directions d'orthotropie
(trièdre des ei' ) et aux déformations principales (trièdre des ei  ).
La base dans laquelle seront exprimées les différentes grandeurs sera indiquée par
l'exposant correspondant.
Notant Q  le tenseur de rotation dans l'espace euclidien à trois dimensions, les rotations
sont effectuées dans l'espace à six dimensions avec le tenseur Q  dont les composantes en
fonctions de celles de Q , sont données par [Mehrabadi & Cowin (1990)] :
Q = 
Q112 Q122 Q132 2 Q12Q13 2 Q13Q11 2 Q11Q12
Q212 Q222 Q232 2 Q22Q23 2 Q23Q21 2 Q21Q22
Q312 Q322 Q332 2 Q32Q33 2 Q33Q31 2 Q31Q32
2 Q21Q31  2 Q22Q32 2 Q23Q33  Q22Q33 + Q32Q23 Q21Q33 + Q31Q23  Q21Q32 + Q31Q22
2 Q31Q11 2 Q32Q12 2 Q33Q13 Q12Q33 + Q32Q13 Q11Q33 + Q31Q13 Q11Q32 + Q31Q12
2 Q11Q21 2 Q12Q22 2 Q13Q23 Q12Q23 + Q22Q13 Q11Q23 + Q21Q13  Q11Q22 + Q21Q12 
 (2)
Si dans le cas des contraintes planes [Watzky & Naïli (2003)], les rotations se faisaient
aussi dans le plan, dans le cas général tridimensionnel, il convient de se doter d'un
paramétrage simple où la rotation est caractérisée par le vecteur  k  où   est l'angle de
rotation et k  unitaire [Watzky (1991)] (voir fig. 1).
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
3
FIG. 1 – Rotation d'un trièdre.
Deux trièdres étant donnés, la détermination du
tenseur de rotation exprimé en fonction des trois
paramètres choisis est donnée dans [Watzky & Naïli
(2005)] à partir des produits scalaires entre les vecteurs des
deux trièdres, les indéterminations étant levées en ayant
choisi l'ordre des ei   afin que le trièdre qu'ils constituent
soit le plus proche de celui des ei' .
3.2 Déformations principales
Les domaines de déformations principales
"admissibles" D± = [ si
±  ; ss±  ]  et les valeurs moyennes
correspondantes m±  = 12  si
±  + ss±  , où + et – correspondent au signe de la déformation
principale considérée, définissent les seuils à partir desquels les coefficients du tenseur de
compliance sont modifiés et sont représentés fig. 2.
+si–si +ss–ss +m–m 0
appositionrésorptionapposition
compression traction
FIG. 2 – Les seuils de remodelage.
4 La procédure itérative
Le problème est discrétisé en temps où, partant du tenseur des contraintes  (N)  et du
tenseur de compliance C ' (N) , on calcule le tenseur des déformations  (N)  pour déduire la
nouvelle expression C ' (N+1)  en deux étapes.
4.1 Rotation des axes d'orthotropie
La première étape consiste à faire tourner les directions d'orthotropie de sorte que les
ei' (N+1)  se retrouvent compris entre les ei' (N)  et les ei  (N)  (le tenseur de compliance,
alors noté C ' (N+) , a la même expression que C ' (N)  mais exprimé dans la base des
ei' (N+1) ).
Pour ce faire, on détermine la rotation DO kDO  permettant de passer des ei  (N)  aux
ei' (N+1)  et on applique aux axes d'orthotropie la rotation  DO kDO  où 0   < 1 .
4.2 Modification des coefficients d'élasticité
Les déformations principales sont ensuite recalculées avec  (N)  et C ' (N+) . C ' (N+1) 
est obtenu en modifiant les composantes de C ' (N+)  de sorte que le tenseur reste orthotrope
(forme (1) dans la base des ei' (N+1) ) et que les déformations principales se rapprochent des
domaines D±  donnés.
Les trois premiers termes diagonaux de C ' (N+1)  sont donc calculés suivant les
relations (i = 1 à 3) :
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
4
1
Cii (N+1)
 – 1
Cii (N+)
 = ± a   i  (N+) – m±     si    
i  (N+) > ss+  ou
i  (N+) < ss–  
 
(3)
1
Cii (N+1)
 – 1
Cii (N+)
 = ± r   i  (N+) – m±     si   si
–  < i  (N+) < si+  
D'autre part, afin d'assurer l'admissibilité thermodynamique et l'orthotropie du matériau,
les coefficients de Poisson sont construits suivant la relation :
ij (N+1) = ij (N) ji (N) Ei (N+1)Ej (N+1)
    i, j = 1 à 3 (4)
et les modules de cisaillement recalculés de sorte que :
Ckk' = 14  Cii' + Cjj'    avec i, j, k = 4 à 6 (5)
Afin d'extraire les modules d'Young des Cii (N+1)  (i = 1 à 3) donnés par (3), on
construit la fonction de coût S = S (E1, E2, E3) :
S =  Cii(+) – Cii (N+1) 
i = 1
3
 (6)
que l'on minimise pour un jeu de Ei (+)  initialement quelconque et les valeurs Cii(+) 
correspondantes où les coefficients de Poisson ij (+)  vérifient (4).
5 Résultats et discussions
Les coefficients d'élasticité initiaux (donc le tenseur K = C  –1 ) sont choisis avec des
valeurs typiques pour l'os trabéculaire [Katz & Meunier (1987)] : E1 = E3 = 14 GPa ,
E2 = 22 GPa  ;  12 = 32 = 0,23 ,  13 = 31 = 0,4 ,  21 = 23 = 0,36  e t
G12 = G23 = G31 = 0,161 GPa , les axes d'orthotropie coïncidant avec les directions
matérielles.
Les paramètres de remodelage sont  = 0,1  et a = r = 1012 Pa–1 .
Nous avons représenté figures 3 et 4 les évolutions des déformations principales, des
modules d'Young et des angles que font les trois trièdres entre eux pour une compression
constante où o = 106 Pa  :
• uniaxiale faisant un angle de 30° avec e1  dans le plan (e1 , e2)  (fig. 3, rotation d'axe e3 ) ;
• biaxiale, somme du cas précédent et d'une compression uniaxiale faisant un angle de 30°
avec e1  dans le plan (e1 , e3) , donnée par le tenseur des contraintes  = o4  
6 3 3
3 1 0
3 0 1
 
exprimé dans la base matérielle (fig. 4).
Les itérations correspondent au temps, la vitesse de remodelage pouvant être ajustée
via les paramètres   et  , dont les valeurs relatives permettent respectivement de rendre
compte du réalignement de la microstucture (rotations) et de sa consolidation ou
fragilisation (évolution des modules d'Young).
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
5
Les contraintes appliquées, ici constantes, font converger le tenseur d'élasticité vers ce
qu'il est convenu d'appeler le "remodeling equilibrium". La valeur importante de   choisie
conduit à un alignement rapide des axes d'orthotropie avec les directions de déformations
principales ( OD  0 , DM  et OM  tendant vers les mêmes valeurs) alors que l'évolution des
modules d'Young n'est pas totalement achevée (sauf pour E3 ). On pourra d'ailleurs noter que
la rotation initialement importante se traduit ici par une augmentation, en valeur absolue,
des déformations principales au début.
L'exposé mettra justement l'accent sur l'influence des valeurs relatives des paramètres
de remodelage.
FIG. 3 – Evolution des déformations principales, des angles (en degrés) et des modules
d'Young pour une contrainte dans le plan (e1', e2') .
FIG. 4 – Evolution des déformations principales, des angles (en degrés) et des modules
d'Young.
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
6
6 Conclusion
Nous avons un modèle de remodelage permettant de caractériser localement (à l'échelle
mésoscopique) l'évolution des caractéristiques mécaniques de l'os trabéculaire en fonction de
la contrainte subie et qui peut être variable. Les principales difficultés sont dans la valeur à
attribuer au pas de temps (itérations) ainsi que dans la définition des seuils. Il convient par
ailleurs de bien choisir les valeurs relatives des paramètres de remodelage qui permettent
respectivement de rendre compte du réalignement de la microstucture et de sa consolidation
ou fragilisation.
Références
Harrigan, T. P., Jasty, M., Mann, R. W. & Harris, W. H. 1988 Limitations of the
continuum assumption in cancellous bone. J. Biomech. 21, 269-275.
Katz, J. L. & Meunier, A. 1987 The elastic anisotropy of bone. J. Biomech. 32, 1063-
1070.
Mehrabadi, M. M. & Cowin, S. C. 1990 Eigentensors of linear anisotropic elastic materials.
Q. J. Mech. Appl. Math. 43, 15-41.
Wolff, J. 1892. Das Gesetz der Transformation der Knochen. A. Hirschwald, Berlin.
Watzky, A. 1991 Displacement of slender axisymmetric bodies: A convenient change of
basis. J. Applied Math. Phys. (ZAMP) 42, 623-627.
Watzky, A. & Naïli, S. 2003. Un modèle de remodelage orthotrope de l'os. 16ème Congrès
Français de Mécanique, communication n° 2-264, Nice.
Watzky, A. & Naïli, S. 2004. Orthotropic bone remodeling: case of plane stresses. Mech.
Research Com. 31, 617-625.
Watzky, A. & Naïli, S. 2005. Remodelage orthotrope de l'os - Cas tridimensionnel. 17ème
Congrès Français de Mécanique, communication n° 1206, Troyes.
____________________
Ce travail a bénéficié du soutien financier du Programme National de Recherche sur les
maladies Ostéo-Articulaires - 2005 INSERM, projet PRO-A 0508.


Remodelage orthotrope de l'os – Résultats numériques pour le cas tridimensionnel

Watzky, A.

Larrat, J.

Naili, S.

HAL - UPEC / UPEM

Remodelage orthotrope de l'os - Résultats numériques pour le cas tridimensionnel.

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceL'essentiel des propriétés de résistance mécanique de l'os trabéculaire est donné par celles de sa matrice solide. À l'échelle macroscopique, l'os est assimilé à un milieu continu dont le comportement local, caractérisé par le tenseur de rigidité K, est linéairement élastique, orthotrope et qui évolue, en fonction des sollicitations subies, afin de tendre vers des caractéristiques fonctionnelles optimales. Le critère retenu consiste, en fonction des contraintes imposées, à faire évoluer le tenseur de rigidité en rapprochant les axes d'orthotropie des directions principales de déformation et modifiant les coefficients d'élasticité afin de faire tendre les déformations principales vers une zone admissible. Dans le cas tridimensionnel, la rotation des axes d'orthotropie utilise un seul angle. L'évolution des coefficients d'élasticité dans le sens d'un comportement optimal est ensuite obtenue par minimisation d'une fonctionnelle assurant que K a la forme souhaitée

Remodelage orthotrope de l'os – Résultats numériques pour le cas tridimensionnel

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues

HAL - UPEC / UPEM

HAL Descartes