On propose une extension du critère de Gologanu et Leblond initialement proposé pour les milieux plastiques rigides (régis par le critère de von Mises) et contenant des cavités sphéroïdales au cas d'une matrice anisotrope (régie par le critère quadratique de Hill (1948)). L'etude a été réalisée dans le cadre de l'analyse limite d'un sphéroïde creux contenant une cavité sphéroïdale confocale et en considérant comme champ test celui utilisé par Gologanu et Leblond. On montre que dans le cas des cavités de géométrie cylindrique et sphérique, le critère obtenu se réduit aux critères anisotropes existants. Dans le cas général d'une cavité non sphérique dans une matrice de Hill, la précision du critère approché obtenu est évaluée au travers de comparaisons avec des résultats numériques

CHARKALUK, Eric

KONDO D.

MONCHIET, Vincent

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Un critère macroscopique approché pour les milieux plastiques anisotropes
contenant des cavités sphéroïdales
V. Monchiet, E. Charkaluk, D. Kondo
Laboratoire de Mécanique de Lille (LML)
UMR 8107, 59655 Villeneuve d’Ascq, France
vmonchiet@hotmail.com
Résumé :
On propose une extension du critère de Gologanu et Leblond [2, 3] initialement proposé pour les milieux plastiques
rigides (régis par le critère de von Mises) et contenant des cavités sphéroïdales au cas d’une matrice anisotrope
(régie par le critère quadratique de Hill (1948)). L’etude a été réalisée dans le cadre de l’analyse limite d’un
sphéroïde creux contenant une cavité sphéroïdale confocale et en considérant comme champ test celui utilisé par
[2, 3]. On montre que dans le cas des cavités de géométrie cylindrique et sphérique, le critère obtenu se réduit
aux critères anisotropes existants. Dans le cas général d’une cavité non sphérique dans une matrice de Hill, la
précision du critère approché obtenu est évaluée au travers de comparaisons avec des résultats numériques.
Abstract :
We propose an extension of the Gologanu and Leblond [2, 3] criterion initially proposed for a rigid-plastic medium
(obeying von Mises criterion) containing spheroidal cavities to the case when the matrix is anisotropic (obeying
quadratic Hill’s (1948) anisotropic yield criterion). This study has been performed in the framework of the limit
analysis of an hollow spheroidal unit cell containing a confocal spheroidal cavity and by considering the trial
velocity fields used by [2, 3]. It is shown that for cylindrical and spherical void geometries, the obtained criterion
reduces to existing anisotropic Gurson-like yield criteria. The accuracy of the proposed approximate yield criterion
for plastic anisotropic containing non-spherical voids is assessed through comparison with numerical results.
Key-words :
Ductile porous metals, anisotropy, spheroidal cavities
1 Introduction
Depuis les travaux pionniers de Gurson qui a établi des expressions analytiques du critère de
plasticité pour les milieux rigides plastiques contenant des cavités sphériques ou cylindriques,
de nombreuses études ont permis des extensions de ce critère. Il s’agit d’une part de la prise
en compte de la forme des cavités [2, 3] en étendant l’approche classique par analyse limite
de la sphère creuse au cas d’un sphéroïde creux contenant une cavité sphéroïdale confocale
au bord extérieur. La plupart des alliages métalliques manifestant un caractère anisotrope, des
extensions du critère original de Gurson au contexte d’une matrice plastique anisotrope régie par
le critère quadratique de Hill ont par la suite été proposée dans le cas de cavités cylindrique [6] et
sphérique [1]. Le principal objectif de cette étude est d’étendre les résultats précédents à la prise
en compte simultanée de la forme des cavités et de l’anisotropie plastique. Dans la section 2,
on s’attachera d’abord à rappeler le cadre classique de l’analyse limite d’un sphéroïde creux tel
qu’étudié par [2, 3] puis à décrire la méthodologie adoptée pour son extension à l’anisotropie
plastique. Enfin, après avoir présenté le critère de plasticité macroscopique approché nous
considérons les cas particuliers de cavités sphérique et cylindrique. Une première validation du
critère sera effectuée dans le cas général de cavités non sphériques plongées dans une matrice
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
anisotrope en effectuant des comparaisons avec des résultats numériques pour les champ de
vitesses test considérés ici.
2 Concepts de base et méthodologie
2.1 La cellule élémentaire
Considérons une cellule élémentaire (Ω) de forme sphéroïdale, d’axe de révolution e3 , con-
tenant une cavité également sphéroïdale d’axe e3 et confocale au bord extérieur. Les sphéroïdes
extérieur et intérieur sont respectivement définis par les demi-axes a2 et a1 (suivant e3), et les
demi-axes b2 et b1 (suivant e1 et e2). a2 > b2 (ou a1 > b1) correspond à une cavité allongée
tandis que a2 < b2 (ou a1 < b1) est associé à une cavité aplatie. On note par c la distance focale
et par e1, e2, respectivement l’excentricité du bord extérieur et de la cavité intérieure. e1, e2 sont
définis par : c =
√
|a2
1
− b2
1
| et e1 = c/a1 pour des sphéroïdes allongés et e1 = c/b1 pour des
sphéroïdes aplatis. On désigne également par e2 l’excentricité de la cavité extérieure, définie
par e2 = c/a2 dans le cas d’un sphéroïde allongé et e2 = c/b2 dans le cas d’un sphéroïde aplati.
La porosité f est définie par : f = a1b
2
1
a2b22
.
x
a2
1
x3
x2
x1
x3
x2
b2
2a
b2
a1
b1
a1
b1
Figure 1: Schematic showing (a) prolate and (b) oblate spheroidal void embedded in a confocal spheroid
relative to a Cartesian coordinate system (x1, x2, x3).
Pour cette classe de géométrie il est judicieux d’introduire le système de coordonnées sphéroï-
dales λ, ϕ, θ défini, dans le système de coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) par :
ρ = b sin(ϕ) x3 = a cos(ϕ) (1)
Les iso-λ surfaces définissent des sphéroïdes confocaux, de demi-axes a = c cosh(λ) et b =
c sinh(λ) et d’excentricité e = c/a, pour une cavité allongée. Pour une cavité aplatie, les iso-λ
surfaces correspondent à des sphéroïdes confocaux, de demi-axes a = c sinh(λ), b = c cosh(λ)
et d’excentricité e = c/b. L’iso-surface λ = λ1 définit le bord de la cavité tandis que l’iso-
surface λ = λ2 correspond au bord extérieur de la cellule. Les vecteurs unitaires de la base
sphéroïdale sont :
eλ =
1
Lλ
{
a sin(ϕ) eρ + b cos(ϕ) e3
}
eϕ =
1
Lλ
{
b cos(ϕ) eρ − a sin(ϕ) e3
} (2)
avec Lλ =
√
a2 sin2(ϕ) + b2 cos2(ϕ), θ ∈ [0, 2pi], ϕ ∈ [0, pi] et eρ = cos(θ)e1 + sin(θ)e2.
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
2.2 Le champ de vitesse dans la matrice
Le champ de vitesse dans la matrice solide, noté v, est classiquement décomposé en une pre-
mière composante, A.x, correspondant à un taux de déformation uniforme A, et un champ
hétérogène décrivant l’expansion et le changement de forme de la cavité, noté vE :
v = A.x + BvE(λ, ϕ, θ) (3)
Lee et Mear [5] ont proposé, pour vE , une famille de champs axisymétriques adaptée à l’étude
de la croissance d’une cavité sphéroïdale. Cette classe de champs a par la suite été utilisée dans
le cadre de l’analyse limite pour la détermination de la surface de charge des milieux poreux
contenant des cavités sphéroïdales [2, 3]. Une critique peut être formulée quant à l’utilisation
des mêmes champs dans un contexte anisotrope; toutefois, compte tenu de la difficulté supplé-
mentaire introduite ici, c’est à dire la prise en compte de l’anisotropie plastique, on se restreint
au champ adopté par Gologanu et al. [2, 3] et qui s’écrit :
vE =
c3
bLλ
{
1 + (1− 3α)3 cos
2(ϕ)− 1
2
}
eλ −
3c3(a2 − b2)
4ab2Lλ
(1− α− β) sin(2ϕ)eϕ (4)
α et β sont deux fonctions de l’excentricité dont les expressions sont données en annexe.
Considérant des taux de déformation homogène au contour de la cellule élémentaire, v(λ2) =
D.x, on vérifie aisément que A et B s’écrivent :
A = D −DmT ; B = a2b
2
2
c3
Dm avec : T =
3
2
(1− α2)1− 3
2
(1− 3α2) e3 ⊗ e3 (5)
où 1 est le tenseur identité d’ordre deux et où on a noté α2 = α(e2).
2.3 Détermination du critère de plasticité macroscopique
On considère une cellule élémentaire décrite par des sphéroïdes confocaux tels que présentés
en section 2.1 et obéissant au critère quadratique de Hill :
F (σ) =
3
2
σ : M : σ − σ2
0
≤ 0 (6)
où σ est le champ de contraintes microscopique. M est un tenseur d’ordre 4 correspondant à
l’anisotropie plastique. Ce tenseur présente toutes les symétries (majeure et mineures) et satis-
fait la condition d’incompressibilité (Miikl = 0 pour k, l = 1, 2, 3)1. Ce tenseur est de nature
orthotrope, dans les axes du matériau, toutefois, l’orientation de la cavité sphéroïdale peut être
choisie de manière arbitraire par rapport aux axes d’orthotropie du matériau et dans ce cas
présente une anisotropie générale, le cas particulier M = K constitue celui d’une matrice de
von Mises.
Pour une matrice parfaitement plastique régie par le critère de Hill (6), La dissipation macro-
scopique, Π(D), est définie classiquement comme la moyenne sur cellule de la dissipation
microscopique :
Π(D) =
1
|Ω|
∫
Ω−ω
σ0deqdV (7)
où |Ω| = 4pi
3
a1b
2
1
représente le volume de la cellule élémentaire (matrice+vide) et Ω − ω le
domaine occupé par la matrice plastique. H est un tenseur d’ordre quatre, anisotrope, défini par
1la règle de sommation sur i est appliquée
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
H : M = K; outre les conditions de symétrie (majeure et mineures), H satisfait également la
condition d’incompressibilité de la matrice, Hiikl = 0 pour k, l = 1, 2, 3. De manière classique,
la surface de charge macroscopique est ensuite déduite de la dissipation macroscopique :
Σ =
∂Π
∂D
(8)
3 Une expression approchée de la surface de charge macroscopique
3.1 Expression générale du critère de plasticité
Le critère de plasticité macroscopique s’écrit alors sous la forme [7] :
Σ2eq
σ2
0
+
1
σ2
0
(1− h2ζ)
[
h2η
2Σ2p + ζΣ
2
q + 2ηΣpΣq
]
+2(1 + g)(f + g) cosh
{
κΣp
σ0
}
− (1 + g)2 − (f + g)2 = 0
(9)
où g = c
3
χa2b22
est une porosité fictive, Σq = 12(Σ11 + Σ22) − Σ33 et les paramètres η, ζ , κ
et χ sont donnés en annexe. La dépendance du critère (9) vis à vis de l’anisotropie plastique
de la matrice s’illustre d’une part par la définition de Σeq qui s’écrit Σ2eq =
3
2
Σ : M : Σ mais
également dans la définition de κ (14) qui dépend de h1, h2 et h3 (fonctions des composantes
du tenseur H) et par la présence de h2 dans (9) :
h1 =
1
4
(2H11 + 2H22 + 2H66 −H33); h2 = 3
2
H33; h3 =
1
2
(H44 + H55) (10)
3.2 Cas particuliers des cavités sphériques et cylindriques
Considérons le cas de la sphère creuse, constituant un cas particulier de la cavité allongée et de
la cavité aplatie, correspondant à e1 → 0 et e2 → 0. On a dans ce cas g = 0, α1 = α2 = 13 et
Σp = Σm. Le critère de plasticité (9) macroscopique s’écrit donc :(
Σeq
σ0
)2
+ 2f cosh
{
κ
Σm
σ0
}
− 1− f 2 = 0 avec : κ = 3
2
√
5
2h1 + h2 + 2h3
(11)
On retrouve ainsi le résultat déjà établi par Benzerga et al. [1].
Le cas de la cavité cylindrique est obtenu avec e1 → 1 et e2 → 1, et par conséquent η = ζ = 0.
Σp est donné par Σp = (Σ11+Σ22)/2. On vérifie alors que le critère de plasticité macroscopique
se réduit à : (
Σeq
σ0
)2
+ 2f cosh
{ √
3
2
√
h1
(Σ11 + Σ22)
σ0
}
− 1− f 2 = 0 (12)
qui coïncide parfaitement avec le critère établi par [6].
3.3 Applications dans le cas de cavités non sphéroïdales en milieu plastique anisotrope
On propose maintenant des comparaisons, dans le cas de cavités aplatie ou allongée, du critère
(9) avec des solutions exactes, obtenues numériquement. Ces dernières sont issues de la solution
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
numériques du problème d’analyse limite (7) avec les champs de vitesse considérés dans cette
étude (4). On considère un chargement axisymétrique dans les axes de la cavité sphéroïdale
Σ11 = Σ22 et Σ12 = Σ13 = Σ23 = 0 si bien que Σq = Σ11 − Σ33. Sur les figures 2 et 3 sont
respectivement tracés les critères macroscopiques de plasticité dans le cas d’une cavité allongée
(rapport d’aspect a1/b1 = 5) et d’une cavité aplatie (rapport d’aspect b1/a1 = 5); pour chacun
des cas étudiés, la porosité est choisie égale à f = 0.1 et f = 0.01. A titre de comparaison,
ont été représentés sur ces figures les critères dans le cas isotrope et anisotrope; les coefficients
d’anisotropie adoptés pour les applications numériques sont issus de [1]: M11 = 0.733, M22 =
0.57, M33 = 0.499, M44 = 3.669, M55 = 1.141, M66 = 2.2. On observe un effet significatif de
l’anisotropie plastique.
Σ  / σp 0
1
0.5
-0.5
-1
0
2 4
  / σ0(Σ33 Σ  )11   
	 	 pe
  
	 	
pe
Σ  / σp 0
1
0.5
-0.5
-1
0
2 4
  / σ0(Σ33 Σ  )11
  
pe
  
pe
Figure 2: Cavité allongée avec un rapport d’aspect a1/b1 = 5 et une porosité : a) porosité f = 0.01 b)
porosité f = 0.1. Comparaison du critère (9) dans le cas isotrope et anisotrope (en trait plein) avec les
solutions exactes obtenues numériquement (carrés pour l’anisotrope et cercles pour l’isotrope).
Σ  / σp 0
ﬀﬁﬂ ﬀ
ﬃ  ﬃ!#"
ﬀﬂ ﬀﬃ  ﬃ
!"
1
0.5
-0.5
-1
0
2 4
  / σ0(Σ33 Σ  )11
Σ  / σp 0
1
0.5
-0.5
-1
0
2 4
  / σ0(Σ33 Σ  )11
$%&%'( &)* +)
pe
$%&( &)* +)
pe
Figure 3: Cavité aplatie avec un rapport d’aspect b1/a1 = 5 et une porosité : a) porosité f = 0.01 b)
porosité f = 0.1. Comparaison du critère (9) dans le cas isotrope et anisotrope (en trait plein) avec les
solutions exactes obtenues numériquement (carrés pour l’anisotrope et cercles pour l’isotrope).
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
References
[1] A.A. Benzerga, J. Besson.
Plastic potentials for anisotropic porous solids. Eur. J. Mech. A/Solids, 20 : 397-434, 2001.
[2] M. Gologanu, J.B. Leblond.
Approximate models for ductile metals containing non-spherical voids - case of axisym-
metric prolate ellipsoidal cavities. J. Mech. Phys. Solids, 41(11) : 1723-1754, 1993.
[3] M. Gologanu, J.B. Leblond, G. Perrin, J. Devaux.
Approximate models for ductile metals containing non-spherical voids - case of axisym-
metric oblate ellipsoidal cavities. J. Engrg. Mat. Tech., 116 : 290-297, 1994.
[4] A.L. Gurson, Continuum theory of ductile rupture by void nucleation and growth: Part
I. - Yield criterion and flow rules for porous ductile media. J. Eng. Mat. Tech. 99, 2-15,
1977.
[5] B.J. Lee, M.E. Mear, Axisymmetric deformation of power-law solids containing a dilute
concentration of aligned spheroidal voids. J. Mech. Phys. Solids 40, 1805-1836, 1992.
[6] K. Liao, J. Pan, S. Tang, Approximate yield criteria for anisotropic porous ductile sheet
metals. Mech. Materials, 26 : 213-226, 1997.
[7] V. Monchiet and C. Gruescu and E. Charkaluk and D. Kondo, Approximate yield
criteria for anisotropic metals with prolate or oblate voids. C.R. Mécanique, 334 : 431-
439, 2006.
[8] V. Monchiet.
Contributions à la modélisation micromécanique de l’endommagement et de la fatigue des
métaux ductiles. Thèse de doctorat de l’université de Lille1, 2006.
Annexe
α et β sont définis par :
α(e) =
ab2
c3
arctanh
{ c
a
}
− b
2
c2
; β(e) = (1− 3α)a
2
c2
(prolate void)
α(e) = −ab
2
c3
arctan
{ c
a
}
+
b2
c2
β(e) = −(1− 3α)a
2
c2
; (oblate void)
(13)
les paramètres η, ζ , κ et χ qui interviennent dans l’expression du critère sont définis par :
η =
κ2(1 + g)(f + g)(α2 − α1)
(1− f) ; ζ =
κ2(1 + g)(f + g)(α2 − α1)2
(1− f)2
κ = 3
[
3
2
(1 + g)(f + g)
f(1− f)
[
(β1 − fβ2)(h1 + 3h2 − 4h3)
+6
{
α1(1− α1)− fα2(1− α2)
}
h2 +
{
1− α1 − f(1− α2)
}
(h1 − 3h2 + 4h3)
]]1/2
χ =
3
4
√
pi2 +
32
3
(14)
6


Un critère macroscopique approché pour les milieux plastiques anisotropes contenant des cavités sphéroïdales

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16552/1/CFM2007-0832.pdf

Un critère macroscopique approché pour les milieux plastiques anisotropes contenant des cavités sphéroïdales

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