L'objectif de ce travail est la génération de conditions aux limites amont pour les simulations d'écoulements turbulents compressibles instationnaires. La méthode repose sur une reconstruction des grandeurs fluctuantes résultant d'une décomposition aux valeurs propres (POD) d'un écoulement de référence. Les structures cohérentes ainsi générees en entrée du domaine permettent de minimiser la longueur caractéristique d'établissement de la turbulence. Dans cette étude, l'écoulement considéré est un canal plan turbulent bi-périodique. Cette configuration nous autorise à travailler dans l'espace spectral et permet ainsi de réduire le volume de données liées à la construction des générateurs. Nous présentons une étude de sensibilité entre plusieurs variantes de générateurs reposant sur la POD ainsi que la sensibilité de l'un d'entre eux à la variabilité des conditions d'écoulement (nombre de Mach). Les résultats sont en très bon accord avec l'écoulement de référence

ABÉGUILÉ, Florian

FRAIGNEAU, Yann

LORANG, Li

TENAUD, Christian

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Générateur de conditions aux limites amont pour les simulations de type
LES des écoulements de paroi
Florian Abéguilé, Yann Fraigneau, Li Lorang & Christian Tenaud
UPR CNRS 3251
Laboratoire d’Informatique pour la Mécanique et les Sciences de l’Ingénieur (LIMSI)
B.P. 133, 91403 Orsay Cedex
florian.abeguile@limsi.fr, yann.fraigneau@limsi.fr, li.vodinh@limsi.fr, christian.tenaud@limsi.fr
Résumé :
L’objectif de ce travail est la génération de conditions aux limites amont pour les simulations d’écoulements turbu-
lents compressibles instationnaires. La méthode repose sur une reconstruction des grandeurs fluctuantes résultant
d’une décomposition aux valeurs propres (POD) d’un écoulement de référence. Les structures cohérentes ainsi
générees en entrée du domaine permettent de minimiser la longueur caractéristique d’établissement de la turbu-
lence. Dans cette étude, l’écoulement considéré est un canal plan turbulent bi-périodique. Cette configuration nous
autorise à travailler dans l’espace spectral et permet ainsi de réduire le volume de données liées à la construction
des générateurs. Nous présentons une étude de sensibilité entre plusieurs variantes de générateurs reposant sur la
POD ainsi que la sensibilité de l’un d’entre eux à la variabilité des conditions d’écoulement (nombre de Mach).
Les résultats sont en très bon accord avec l’écoulement de référence.
Abstract :
The present study deals with the generation of inflow conditions for simulations of fully turbulent developed com-
pressible flows. The method is based on the generation of conservative quantity fluctuations that result from a
Proper Orthogonal Decomposition (POD) of a reference flow. The goal is to predict as correctly as possible the
coherent structures at the inlet of the domain, in order to minimize the characteristic length from which an equi-
librium turbulent boundary layer is recovered. We study a bi-periodic turbulent channel flow. We work in Fourier
space in order to reduce the data size linked to the generator set-up. We perform a sensitivity analysis of generators
based on different POD. In addition, the variability of flow conditions has been quantified for one of them. The
results obtained are in good agreement with the reference flow.
Mots-clefs :
LES ; POD ; conditions aux limites instationnaires
1 Introduction
La Simulation des Grandes Echelles (LES), de par sa capacité à prédire correctement des insta-
tionnarités à grande échelle, est une technique adéquate pour l’analyse d’écoulements turbulents
à hauts nombres de Reynolds. Une des difficultés majeures rencontrée dans le cadre des simula-
tions instationnaires réside dans le traitement des conditions aux limites du domaine de calcul et
particulièrement au niveau des conditions d’entrée. La conception d’un générateur de conditions
aux limites instationnaires a pour objectif de minimiser la longueur caractéristique d’établisse-
ment de la turbulence en engendrant des champs de fluctuations appropriés, i.e., possédant les
propriétés spectrales de la turbulence ainsi qu’une cohérence spatio-temporelle réaliste. Cette
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
problématique apparaît également dans le cadre des méthodes zonales (couplage RANS / LES).
Le principe de la méthode proposée par Fraigneau et Tenaud (2005) repose sur la superpo-
sition d’un champ de fluctuations représentatif de la turbulence de l’écoulement —obtenu via
une Décomposition Orthogonale aux Valeurs Propres (POD)— à un champ moyen connu (ob-
tenu par exemple à partir d’une simulation RANS). La POD a été choisie car elle assure une
décomposition modale optimale au sens de l’énergie. La configuration de canal plan étudiée,
bi-périodique, nous autorise à travailler dans l’espace spectral et permet ainsi de réduire le vo-
lume de données liées à la construction des générateurs. Plusieurs approches POD ont ainsi été
réalisées et comparées dans l’espace physique et dans l’espace spectral.
2 Principe de la méthode
La démarche, proche de celle présentée par Fraigneau et Tenaud (2005) est brièvement exposée
ici. Deux écoulements turbulents dans une configuration de canal plan infini (conditions pério-
diques dans les directions longitudinale et transverse (x, y)) à parois isothermes sont simulés
pour constituer la base de données permettant de construire les générateurs de conditions insta-
tionnaires. Les équations de Navier-Stokes sont discrétisées par un schéma couplé espace-temps
d’ordre élevé [Daru et Tenaud (2004)].
Pour générer, en entrée du domaine de calcul, des fluctuations possédant les caractéristiques
de la turbulence de l’écoulement considéré, une POD de chaque composante du vecteur des
fluctuations des variables conservatives ψ ′i (x, t) = (ρ ′, (ρu)′, (ρE)′)
T
est effectuée dans un
plan médian arbitraire (y, z) du canal. Dans la base POD, le champ fluctuant peut être es-
timé comme suit : (ψ ′)|est(x, t) = ∑NPODn=1 a(n)(t) ·Φ(n)(x), où Φ(n)(x) est le vecteur propre as-
socié à la nième valeur propre λ (n) du tenseur des corrélations en deux points Ri j(x, x′) =
1
T
∫
T ψi(x, t)′ ·ψ j(x′, t)′dt, NPOD est le nombre de modes conservés pour la reconstruction. Ce
nombre est choisi de telle sorte que les modes retenus participent à une certain pourcentage de
l’énergie fluctuante (par exemple : ∑n=NPODn=1 ∑ky λ (n)(ky)/∑n=NTOTn=1 ∑ky λ (n)(ky) ≥ 99,9%) . Les
coefficients temporels a(n)(t) , obtenus par projection sur la base orthogonale POD, sont donnés
par : a(n)(t) =
∫
D
ψ ′i (x, t)Φ(n)(x). Considérant ensuite, un canal plan en développement spatial,
de longueur finie, avec des conditions aux limites spécifiques pour l’entrée (champ moyen +
fluctuations reconstruites) et la sortie (condition de non-reflexion) traitées par la méthode des
caractéristiques, l’objectif est de reproduire l’écoulement en canal plan infini.
Dans les directions homogènes de l’écoulement, la décomposition orthogonale se réduit à une
décomposition harmonique [Lumley (1967)]. Ainsi, on applique une décomposition de Fourier
aux fluctuations des grandeurs conservatives dans la direction transverse. Le tenseur des corré-
lations en deux points Ri j(x, x′), les a(n)(t), les valeurs propres λ (n) et les vecteurs propres as-
sociés Φ(n)(x) sont transformés respectivement en Πi j(z,z′,ky), aˆ(n)(ky, t), λ (n)(ky), ˆΦ(n)(z,ky)
pour tous nombres d’onde ky.
L’avantage de l’approche spectrale sur l’approche physique réside essentiellement dans la ré-
duction du volume de données liées à la construction des générateurs. En effet, dans l’espace
physique la matrice d’autocorrélation associé à chaque variable est de dimension (Ny ×Nz)2
alors que dans l’espace spectral, Ny/2 systèmes indépendants de dimension (Nz)2 doivent être
résolus. Différents types d’approches POD ont ainsi été réalisées : une POD effectuée de façon
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
indépendante sur chacune des variables conservatives (scalaire), une POD effectuée sur l’en-
semble du vecteur des quantités conservatives (vectorielle) et une approche hybride résultant
d’une combinaison linéaire des tenseurs des correlations de la POD scalaire (pseudo-scalaire).
Les approches POD scalaire et pseudo-scalaire ont été effectuées dans les espaces physique
et spectral. En revanche, l’approche POD vectorielle a été réalisée uniquement dans l’espace
spectral, du fait de son coût en mémoire trop important dans l’espace physique.
Les deux configurations d’écoulements étudiées sont les suivantes : subsonique, Ma∞ = 0,5
et supersonique Ma∞ = 1,5. Le nombre de Reynolds, basé sur la demi-hauteur du canal, est
Reh = 3000 (Reτ ≈ 200). Les dimensions du domaine dans les directions longitudinale, trans-
verse et normale aux parois sont respectivement Lx = 2pi , Ly = 4pi/3 et Lz = 2.
3 Comparaison des différentes approches POD
Afin de confronter les différentes approches POD pour Ma = 1,5, l’erreur absolue (en norme
L1), commise lors de la reconstruction des champs fluctuants du plan arbitraire sélectionné pour
réaliser la POD a été mesurée. Le but étant de vérifier la qualité de chacune des approches. Le
nombre de modes POD retenu est choisi de telle sorte que ces modes participent à au moins
99,9% de l’énergie fluctuante. Les niveaux des erreurs sont relativement similaires. Cepen-
dant, en terme de rapport qualité de reconstruction—taux de compression, l’approche POD
pseudo-scalaire dans l’espace spectral est avantageuse (cf Table 3). Les résultats obtenus avec
type POD taux de compression ∆ρ ∆ρv ∆ρw ∆ρE
(1) 91 % 7,3 ·10−3 4,45 ·10−2 7,07 ·10−3 4,56 ·10−3
(2) 92 % 2,10 ·10−3 4,78 ·10−2 3,15 ·10−3 2,83 ·10−3
(3) 91 % 1,87 ·10−3 3,03 ·10−2 6,92 ·10−3 4,68 ·10−3
(4) 86 % 2,02 ·10−2 2,35 ·10−2 1,75 ·10−2 1,32 ·10−2
(5) 94 % 1,70 ·10−3 5,89 ·10−3 3,62 ·10−3 1,79 ·10−3
TAB. 1 – Erreur commise lors de la reconstruction en fonction du type d’approche considéré. Approche
physique : (1) POD scalaire, (2) POD pseudo-scalaire — taux de compression (T. C.) = N POD/(Ny×
Nz). Approche spectrale : (3) POD scalaire, (4) POD vectorielle, (5) POD pseudo-scalaire — (T. C.) =
NPOD/(2×Nz).
.
l’approche POD vectorielle ne répondent pas à nos attentes et demande de poursuivre nos in-
vestigations. Les calculs présentés dans la suite de cet article ont été effectués avec l’approche
POD pseudo-scalaire dans l’espace spectral.
4 Développement spatial d’un écoulement turbulent supersonique
Le calcul présenté dans Fraigneau et Tenaud (2005), correspondant à la simulation d’un écou-
lement dans une configuration de canal plan turbulent supersonique avec des génération de
conditions instationnaires dans le plan d’entrée, a été reproduit. Les résultats obtenus avec cette
approche POD pseudo-scalaire dans l’espace spectral sont très proches de ceux obtenus avec
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
l’approche POD scalaire dans l’espace physique. Malgré les perturbations engendrées par la
remontée d’information des zones subsoniques en proche paroi dans le plan d’entrée, les fluc-
tuations thermodynamiques et dynamiques sont en très bon accord avec les solutions de réfé-
rence et les longueurs d’établissement sont très courtes (inférieures à x = L/4, cf. fig. 4). Les
écarts-types des composantes sont légèrement sous-estimés dans la région centrale du canal,
tandis que les corrélations u′w′ présentent une tendance inverse.
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
R
ho
 rm
s>
 / 
<R
ho
>
z
x = 0
x = L/4
x = L/2
x = 3L/4
x = L
periodic case
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

 / 
u *
z
x = 0
x = L/4
x = L/2
x = 3L/4
x = L
periodic case
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 1.2
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
V
 rm
s>
 / 
u *
z
x = 0
x = L/4
x = L/2
x = 3L/4
x = L
periodic case
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
W
 rm
s>
 / 
u *
z
x = 0
x = L/4
x = L/2
x = 3L/4
x = L
periodic case
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
T 
rm
s>
 / 
<T
>
z
x = 0
x = L/4
x = L/2
x = 3L/4
x = L
periodic case
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
u’
w
’>
 / 

 <
W
rm
s>
z
x = 0
x = L/4
x = L/2
x = 3L/4
x = L
periodic case
FIG. 1 – Canal plan Ma∞ = 1,5 avec génération de conditions d’entrée par POD pseudo-scalaire, com-
paré au canal plan infini : profils verticaux en cinq positions (x = 0, L/4, L/2, 3L/4, L) de haut en bas et de
gauche à droite : < Rhorms > / < Rho >, < Urms > /u?, < Vrms > /u?, < Wrms > /u?, < Trms > / < T >,
< u′w′ > / < Urms >< Wrms >.
5 Simulation du canal turbulent supersonique à partir d’un générateur subsonique
L’objet de cette section est l’étude de la sensibilité du générateur à la variabilité des condi-
tions de l’écoulement, la variation portant sur le nombre de Mach. La simulation du canal plan
turbulent supersonique (Reh = 3000 et Ma∞ = 1,5) en développement spatial est effectuée en
imposant, dans le plan d’entrée, des fluctuations reconstruites à partir du générateur défini pour
le cas subsonique. Globalement, les caractéristiques dynamique de l’écoulement ne présentent
qu’une légère sensibilité à la variation du nombre de Mach sur le générateur de conditions ins-
tationnaires, contrairement aux grandeurs telles que la température et la densité. En effet, les
fluctuations de température évoluent en fonction du carré du nombre de Mach, or ces fluctua-
tions sont reconstruites à partir du générateur subsonique, elles sont donc beaucoup trop faibles
en regard de celles de l’écoulement. L’influence du nombre de Mach entraîne un découplage des
longueurs caractéristiques selon qu’il s’agit des grandeurs dynamiques ou thermodynamiques.
Cependant, même si ces fluctuations restent sous estimées dans le domaine de calcul, les profils
sont pratiquement convergés au delà de l’abscisse x = L/2.
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
R
ho
 rm
s>
 / 
<R
ho
>
z
x = 0
x = L/4
x = L/2
x = 3L/4
x = L
periodic case
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

 / 
u *
z
x = 0
x = L/4
x = L/2
x = 3L/4
x = L
periodic case
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 1.2
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
V
 rm
s>
 / 
u *
z
x = 0
x = L/4
x = L/2
x = 3L/4
x = L
periodic case
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
W
 rm
s>
 / 
u *
z
x = 0
x = L/4
x = L/2
x = 3L/4
x = L
periodic case
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
T 
rm
s>
 / 
<T
>
z
x = 0
x = L/4
x = L/2
x = 3L/4
x = L
periodic case
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
u’
w
’>
 / 

 <
W
rm
s>
z
x = 0
x = L/4
x = L/2
x = 3L/4
x = L
periodic case
FIG. 2 – Canal plan Ma∞ = 1,5 avec des conditions d’entrée définies par le générateur subsonique,
comparé au canal plan infini : profils verticaux en cinq positions (x = 0, L/4, L/2, 3L/4, L) de haut
en bas et de gauche à droite : < Rhorms > / < Rho >, < Urms > /u?, < Vrms > /u?, < Wrms > /u?,
< Trms > / < T >, < u′w′ > / < Urms >< Wrms >.
6 Influence de la réduction du nombre de modes de la base du générateur
Cette section est consacrée à l’étude de l’influence du nombre de modes définissant la base
du générateur de conditions instationnaires. De nouvelles simulations du développement spa-
tial de l’écoulement supersonique ont été réalisées en conservant 99% puis 90% de l’énergie,
correspondant respectivement à 14 et 10 modes conservés. L’écart entre les principales valeurs
caractéristiques de l’écoulement et les valeurs de référence augmente avec la diminution du
nombre de modes pris en compte (cf. Table 2). Pour les fluctuations, on observe les mêmes
tendances (cf. fig. 3). Pour un seuil énergétique de 90%, les longueurs d’établissement de la
turbulence deviennent de l’ordre de la taille du domaine.
Tc ρc ρpρ∞ Ret Uc
du
dz |p uτ .10
−2
periodic LES 1.368 0.978 0.731 223 1.170 12.30 5.62
LES + POD 99,9 % 1.370 0.979 0.728 220 1.171 11,99 5.45
LES + POD 99 % 1.371 0.979 0.727 220 1.171 11.97 5.44
LES + POD 90 % 1.372 0.990 0.725 210 1.172 10.81 5.14
TAB. 2 – Caractéristiques de l’écoulement turbulent dans un canal plan supersonique pour différents
degrés de réduction de la base POD
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
 0
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
R
ho
 rm
s>
 / 
<R
ho
>
z
POD 99,9 % 
POD 99 %
POD 90 %
periodic case
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

 / 
u *
z
POD 99,9 % 
POD 99 %
POD 90 %
periodic case
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 1.2
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
V
 rm
s>
 / 
u *
z
POD 99,9 % 
POD 99 %
POD 90 %
periodic case
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
W
 rm
s>
 / 
u *
z
POD 99,9 % 
POD 99 %
POD 90 %
periodic case
 0
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
T 
rm
s>
 / 
<T
>
z
POD 99,9 % 
POD 99 %
POD 90 %
periodic case
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
<
u’
w
’>
 / 

<w
 rm
s>
z
POD 99,9 % 
POD 99 %
POD 90 %
periodic case
FIG. 3 – Canal plan Ma∞ = 1,5 avec des conditions d’entrée générées par des bases réduites, comparé
au canal plan infini : profils verticaux en x = L/8 de haut en bas et de gauche à droite : < Rhorms > / <
Rho >, < Urms > /u?, < Vrms > /u?, < Wrms > /u?, < Trms > / < T >, < u′w′ > / < Urms >< Wrms >.
7 Conclusion
Différents types d’approches POD (POD scalaire, POD vectorielle et POD pseudo-scalaire) ont
été confrontés dans l’espace physique et spectral. L’approche spectrale a permis une compres-
sion du volume de données substantielles. En terme de rapport qualité de reconstruction—taux
de compression, l’approche POD pseudo-scalaire dans l’espace spectral s’est révélée être la
plus avantageuse, le générateur basé sur cette approche POD a donc été étudié plus en détail.
Lorsque le fonctionnement de ce générateur s’écarte de la situation optimale —nombre de Mach
identique pour le générateur et l’écoulement et prise en compte d’un nombre de modes POD
pour construire le générateur correspondant à 99,9% de l’énergie— les longueurs d’établisse-
ment augmentent mais restent néanmoins compatibles avec les enjeux fixés dans le cadre du
couplage de méthode.
Références
Daru V. & Tenaud C. High order one-step monocity-preserving schemes for unsteady compres-
sible flow calculations. Journal of Computational Physics 193 :563-594.
Fraigneau Y. & Tenaud C. Générateur de conditions aux limites amont pour les simulations
de type LES des écoulements en turbulence établie. 17ème Congrès Français de Mécanique
Troyes.
Lumley J.L. The structure of inhomogeneous turbulent flows. In A. M. Yagom and V. I. Tatarski,
editors. Atmospheric turbulence and Radio Wave Propagation, pp 166-178. Nauka : Moskow.
6

Génération de conditions aux limites amont pour les simulations de type LES des écoulements de paroi

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16506/1/CFM2007-0877.pdf

Génération de conditions aux limites amont pour les simulations de type LES des écoulements de paroi

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues