Les phénomènes non linéaires présents dans les systèmes thermoacoustiques sont responsables de l'apparition des écoulements continus secondaires qui se superposent aux oscillations acoustiques dominantes, pénalisant l'efficacité des systèmes. L'objectif de cette étude est de caractériser le champ acoustique dans un résonateur contenant un générateur d'onde thermoacoustique et de mettre en évidence les écoulements secondaires. Nous avons mesuré le champ de vitesse par vélocimétrie par images de particules (PIV). Les premières mesures, désordonnées par rapport à la période acoustique, ont permis de reconstruire la composante acoustique sur une période, en réordonnant les vitesses suivant leur phase avec une technique de projection par décomposition en valeurs singulières (SVD) Le calcul du champ de vitesse moyenné en temps montre l'existence d'un écoulement continu. Le deuxième type de mesures, synchronisées aux mesures de pression, apportent une meilleure précision sur les écoulements secondaires. L'estimation de la vitesse acoustique est en accord avec la théorie linéaire

BALTEAN-CARLÈS, Diana

DEBESSE, Philippe

FRANÇOIS, Maurice-Xavier

LUSSEYRAN, François

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Analyse expérimentale des effets non linéaires dans les systèmes 
thermoacoustiques  
 
Philippe Debesse
1,2
, Diana Baltean Carlès
1,2
, François Lusseyran
2
, Maurice-Xavier François
1,2 
 
1
Université Pierre et Marie Curie (UPMC),  
2
Laboratoire d’Informatique pour la Mécanique et les Sciences de l’Ingénieur (LIMSI-CNRS) 
1
UPMC, 4 place Jussieu 75252 Paris cedex 05 
2
LIMSI-CNRS BP 133, F-91403 Orsay Cedex 
baltean@limsi.fr 
 
Résumé : 
 
Les phénomènes non linéaires présents dans les systèmes thermoacoustiques sont responsables de 
l’apparition des écoulements continus secondaires qui se superposent aux oscillations acoustiques 
dominantes, pénalisant l’efficacité des systèmes. L’objectif de cette étude est de caractériser le champ 
acoustique dans un résonateur contenant un générateur d’onde thermoacoustique et de mettre en 
évidence les écoulements secondaires. Nous avons mesuré le champ de vitesse par vélocimétrie par 
images de particules (PIV). Les premières mesures, désordonnées par rapport à la période acoustique, 
ont permis de reconstruire la composante acoustique sur une période, en réordonnant les vitesses suivant 
leur phase avec une technique de projection par décomposition en valeurs singulières (SVD). Le calcul 
du champ de vitesse moyenné en temps montre l’existence d’un écoulement continu. Le deuxième type de 
mesures, synchronisées aux mesures de pression, apporte une meilleure précision sur les écoulements 
secondaires. L’estimation de la vitesse acoustique est en accord avec la théorie linéaire. 
 
Abstract : 
 
The non-linear phenomena which appear in thermoacoustic systems generate continuous secondary 
flows, superposed on the dominant acoustic oscillations, reducing the systems efficiency. The aim of this 
study is to characterize the acoustic field created by a thermoacoustic wave generator and to highlight 
the secondary flows. We measured the velocity field with a Particle Image Velocimetry method (PIV). The 
first measurements, disordered with respect to the acoustic period, allowed the reconstruction of the 
acoustic field with a projection technique using singular values decomposition. The estimation of the 
mean velocity over the time period indicates the existence of a continuous flow. A second type of 
measurements, synchronized with the pressure signal, is performed, with a better precision of the mean 
velocity flow. Both measurements are in agreement with the linear theory of thermoacoustics. 
 
 
Mots-clefs :  thermoacoustique ; streaming ; PIV 
 
1 Introduction 
 
La thermoacoustique repose sur l’idée de conversion d’énergie acoustique/thermique. Les 
machines thermoacoustiques utilisent le mouvement oscillant du fluide comme moyen de 
transporter de la chaleur tout au long d’un empilement de plaques (réfrigérateur), ou au 
contraire, de créer ou amplifier une onde acoustique grâce à une instabilité thermoacoustique 
qui apparaît si les plaques sont soumises à un fort gradient de températures (moteur). L’intérêt 
principal des dispositifs thermoacoustique réside dans leur simplicité, fiabilité et l’utilisation des 
fluides non polluants. Le champ d’applications est très large : cryogénie, froid domestique, 
refroidissements des microcomposants électroniques, etc. La théorie linéaire de la 
thermoacoustique permet d’estimer les performances de ces systèmes, mais elle tombe en défaut 
dans le cas des systèmes de forte puissance, limitant ainsi les possibilités d’optimisation. Les 
phénomènes non linéaires présents dans les systèmes thermoacoustiques sont responsables de 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
l’apparition des écoulements continus de streaming (de second ordre) qui se superposent aux 
oscillations acoustiques dominantes (de premier ordre). Ces écoulements sont la source d’un 
transfert de chaleur convectif qui peut modifier le gradient de température aussi bien dans le 
générateur d’onde que dans le réfrigérateur, pénalisant ainsi l’efficacité des systèmes. La mise 
en évidence expérimentale de ces effets « non-linéaires », présente un certain nombre de 
difficultés métrologiques et d'analyse du signal. La métrologie classiquement utilisée dans ce 
cas est la vélocimétrie par images de particules (PIV) (Duffourd 2001), méthode qui nécessite 
une adaptation aux systèmes thermoacoustiques avec une forte pression moyenne et un 
générateur d’ondes thermoacoustique (Debesse et al, 2006). Nous utilisons une méthode 
originale de PIV, développée au LIMSI, fondée sur les techniques de flot optique (Quénot, 
1992). L’avantage de cette approche réside dans le fait qu’elle est bien adaptée aux écoulements 
à fort gradient de vitesse et fournit une mesure des champs de vitesse peu bruitée avec une 
bonne résolution (précision de 1/32 pixel, donc une précision sur le champ de vitesse de 0,31%).  
 
2 Dispositif expérimental 
 
Le système expérimental est constitué d’un générateur d’onde thermoacoustique quasi-
stationnaire créée dans un guide d’onde fermé à ses extrémités, et d’une zone de mesure adaptée 
pour l’application de la vélocimétrie par image de particule (PIV). Le résonateur est un cylindre 
en inox (Figure 1), de longueur L=7,88m et de diamètre intérieur de 56,3mm. Le générateur 
d’onde, constitué d’un empilement de plaques en inox, se trouve à 0.5 m du fond du résonateur. 
Les différents paramètres expérimentaux sont précisés dans le Tableau 1 pour deux séries de 
mesures. Le paramètre de contrôle est la pression acoustique, directement lié au gradient de 
température établi dans le générateur d’onde. La zone de mesure par PIV est située à x=1,16m 
de l’extrémité du résonateur opposée au moteur. Elle est constituée d’un module en verre, 
transparent sur 10cm de long, d’un laser pulsé mini-YAG Quantel cadencé à 20Hz et de 
longueur d’onde de 532nm, d’une caméra Marlin 1024x768 8/10bit 20Hz équipée d’un filtre 
passe-bande, et d’un système d’ensemencement Dantec. Les particules utilisées sont de l’oxyde 
de magnésium (MgO) dont le diamètre est de l’ordre de 1µm. Les mesures de pression 
acoustiques sont réalisées à proximité du moteur à l’aide d’un capteur piézoélectrique Kistler 
alimenté par un amplificateur de charge. 
 
 
 
FIG. 1 – Schéma du résonateur et de la zone de mesure 
 
Mesures Température 
moyenne (°C) 
Pression P0 
moyenne (Pa) 
Pression P1 
acoustique (Pa) 
Fréquence  
(Hz) 
Séries A1 15 7,25 x10
5 
0,125 x10
5
 21,9 
Séries A2 22 7,21 x10
5
 0,146 x10
5
 22,1 
Tableau 1 : Paramètres d’expérimentation et de contrôle  
 
y 
x 
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3 
3 Champs PIV sans référence de phase  
 
Les deux séries de mesures de champs de vitesse PIV sont réalisées au niveau du tube de verre 
dans une section passant par l’axe du tube. Après stabilisation du phénomène thermoacoustique, 
la poudre MgO est injectée au niveau d’une bride de maintien. Après homogénéisation par 
l’onde acoustique de l’ensemencement, les prises de vue PIV sont lancées sur ~110s. La 
cadence d’acquisition PIV est de 10Hz (100ms) et l’écart temporel entre deux images d’une 
paire est de 2ms pour un temps caractéristique des vitesses acoustiques de l’ordre de 45ms 
(~22Hz). Les champs de vitesse sont calculés par la méthode de flot optique utilisant une 
programmation dynamique orthogonale (Quénot, 1992). La géométrie étant cylindrique, nous 
avons corrigé les valeurs calculées, pour tenir compte des effets de dioptre (Faure et al., 2006). 
 
3.1 Reconstruction du cycle de vitesse acoustique  
 
Le sous-échantillonnage des champs PIV ne permet pas de vérifier directement le caractère 
sinusoïdal de l’évolution de la vitesse. On a besoin de reclasser les champs instantanés. Pour se 
faire, nous extrayons la composante de vitesse acoustique, en retranchant à chaque champ PIV 
la vitesse moyennée en temps : ( ) ( ) ( )yxvtyxvtyxv yxyxacyx ,,,,, ,,, −= . On construit ensuite la série 
temporelle ( ) ( )[ ]∫= D acxx dxdytyxvtv ,, , sur une zone de l’image D. Cette nouvelle série est réordonnée 
par un classement en phase (Debesse et al., 2006) à l’aide d’une méthode de projection par SVD 
(Broomhead et al., 1986). Les portraits de phase obtenus par SVD montrent le caractère 
déterministe et périodique (Figure 2a). On définit ainsi une phase ϕ  associée à chaque valeur de 
vitesse vx t( ). Il est maintenant possible de tracer ( )ϕxv  sur un cycle entier (Figure 2b). 
a)          b)  ϕ 
FIG. 2 – Série A1 : a) portrait de phase SVD, b) reconstruction du cycle acoustique de vitesse 
 
3.2 Comparaison avec l’acoustique linéaire 
 
Nous avons appliqué la méthode de reclassement par phase pour le signal de pression P1 
également. Sur la Figure 3 est représenté le cycle acoustique de vitesse et pression, reconstruit 
pour les deux séries A1 et A2. Le drive ratio (i.e. P1/P0) est de 1,7% (série A1), respectivement 
2% (série A2). Nous avons déterminé par identification avec une série de Fourier, les valeurs 
des amplitudes des modes et leurs déphasages respectifs (Tableau 2). Les champs de vitesse 
ainsi que le signal de pression présentent une oscillation périodique en temps, avec le 1
er
 
harmonique assez énergétique et le 2
ème 
harmonique négligeable. Pour la série A1, la sinusoïde 
présente une plus faible distorsion que celle de la série A2 pour laquelle la pression acoustique 
est plus importante Cette différence correspond à une augmentation de l’amplitude du 1
er
 
harmonique dans le cas de la série A2, tant pour la vitesse que pour la pression.  
ϕ 
m
/s
 
rad 
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4 
a)           b)  
FIG. 3 – Reconstruction du cycle acoustique sur une période [−pi,pi] de la vitesse axiale 
xv  
(bleu) et la pression acoustique (vert) pour : a) Série A1, b) Série A2 
Série A1 Série A2  
Vitesse  Pression  Vitesse  Pression  
Amplitude fondamental (F) 1,78 m/s 11008 Pa 2,17 m/s 13195 Pa 
Amplitude harmonique 1 (H1) 0,34 m/s 531 Pa 0,58 m/s 1282 Pa 
Déphasage H1/F 1.09pi 0.6pi 1.12pi 0.72pi 
Déphasage pression/vitesse  0,49pi 0,46pi 
Tableau 2: Amplitudes et déphasages des signaux reconstruits 
Le décalage en phase entre les modes fondamentaux des signaux de pression et vitesse, calculé à 
partir des courbes de la Figure 3, est très proche de pi/2 (caractéristique d’une onde stationnaire). 
La longueur d’onde calculée par une méthode d’ajustement sur tous les champs ( )tyxv aci ,,  est 
de 14,8m, l’estimation théorique étant de 15,8m. Il est remarquable qu’on puisse identifier la 
longueur d’onde sur 0,7% de sa longueur. L’amplitude de l’onde de vitesse est en bon accord 
avec le modèle d’onde stationnaire mono-fréquentielle, dans une géométrie cylindrique 
bidimensionnelle, en prenant en compte les dissipations visqueuses et thermiques pour un gaz 
parfait (Swift et al. 2003, Hamilton et al, 2003) : 1,87m/s (série A1), 2,23m/s (série A2). 
 
3.3 Calcul du champ moyen (non linéarités) 
 
L’objectif à terme reste de déterminer l’existence ou non d’écoulements secondaires de 
type streaming et tout autre phénomène non-linéaire.  
Sur la Figure 4 est présenté le champ 
moyen sur tous les cycles acoustiques, dans 
la fenêtre d’observation. La moyenne sur 
un cycle présente des fluctuations d’un 
cycle à l’autre, mais la moyenne 
incrémentée en augmentant le nombre de 
cycles converge vers le champ moyen sur 
tous les cycles. On observe des 
écoulements moyens globalement 
descendants. Les vitesses sont comprises 
entre 1cm/s et 8cm/s. Le streaming de 
Rayleigh est théoriquement stationnaire et 
la moyenne temporelle ( )yxv ,  des champs 
PIV devrait révéler un écoulement axial 
orienté vers le milieu du résonateur. 
 
FIG. 4 – Champ moyen ( )yxv ,  ; série A1 
ϕ (rad) ϕ (rad) 
m
/s
 
m
/s
 
b
ar 
b
ar 
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5 
L’écart par rapport à la théorie pourrait être du à l’imprécision de cette méthode de mesure 
du champ moyen, ou bien à l’existence d’un écoulement tridimensionnel. Pour tenter de 
répondre à cette question, nous avons effectué des mesures différentes, avec référence de phase. 
 
4 Champs PIV avec référence de phase 
 
Ces séries de mesures sont réalisées dans les mêmes conditions expérimentales que les 
précédentes. La différence réside dans les moments de prises de vue PIV : les paires d’images 
sont prises à la même phase du cycle acoustique en prenant comme référence le signal de 
pression, à l’aide d’une électronique de synchronisation. L’écart temporel entre deux images 
d’une paire est toujours de 2ms. L’intérêt de cette procédure est de permettre la réalisation de 
moyennes de phases sur les vitesses et d’extraire avec plus de précision les composantes 
moyennes, liées notamment aux écoulements dits de streaming de Rayleigh.  
Dans cette étude, nous présentons les résultats du traitement de N=847 champs instantanés, 
mesures effectuées à une seule phase (vérification effectuée par SVD). Un des objectifs est de 
trouver le nombre minimum de champs à calculer et donc d’images à acquérir pour avoir une 
bonne convergence de la moyenne sur tous les champs à la même phase. A chaque instant ti 
( Ni ≤≤1 , ti=iϕPIV avec ϕPIV phase d’acquisition PIV), la valeur moyenne spatiale <vx,y>(t) est 
extraite. La moyenne temporelle est ensuite calculée, ( ) ( )∫ ><=>< −
i
i
t
t
yxttiyx
dttvtv
1
1
,
1
, , pour tout 
Ni ,...,1= . On détermine imin tel que ( ) ( )<><−>< + min,1min, iyxiyx tvtv valeur seuil (≈10-3).  
 
                                      a)                                                                      b)                              
FIG. 5 – a) Moyennes incrémentées des composantes de vitesse, b) Moyennes des 
composantes axiales (<vx>) et radiales (<vy>) de vitesse en fonction de y, pour différents xk 
 
Sur la Figure 5a on a représenté les moyennes temporelles des deux composantes de 
vitesse en fonction du nombre d’acquisitions (nombre de champs moyennés) et du temps de 
mesures (tPIV). La convergence est plus lente sur la composante axiale de vitesse. Nous voyons 
qu’il faut un nombre important d’acquisitions pour obtenir des données représentatives pour une 
phase donnée du cycle acoustique. Le profil de vitesse moyenne axiale (Figure 5b) semble 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
6 
indiquer la présence des cellules de Rayleigh streaming, mais avec une importante distorsion 
Nous observons un écoulement globalement descendant (Figure 5a, seconde courbe et Figure 
5b) de faible amplitude. Ceci est le signe de l’existence d’un écoulement secondaire différent du 
Rayleigh streaming.  
Les champs de vitesse moyennés en temps, obtenus de manière asynchrone (Figure4), nous 
indiquent la même chose : existence des écoulements faiblement transverses. Ceci expliquerait 
qu’un certain nombre de particules visibles sur les prises de vue perdent en intensité d’une 
image PIV à l’autre. 
 
5 Conclusions 
 
Nous avons utilisé une métrologie de PIV adaptée aux mesures de champs de vitesse dans un 
système thermoacoustique réel. Une nouvelle méthode de post-traitement a été utilisée (Debesse 
et al., 2006) à partir de la décomposition en valeurs singulières (SVD) des champs de vitesses. Il 
est ainsi possible de réordonner les vitesses, capturées dans une ordre aléatoire, suivant leur 
phase à l’intérieur du cycle acoustique. A l’aide du signal ainsi reconstruit, nous avons identifié 
la longueur d’onde, le contenu fréquentiel de l’onde, amplitudes et phases des harmoniques du 
développement en série de Fourier temporelle du signal, déphasage entre champs de vitesse et 
pression. Les confrontations avec le modèle d’onde stationnaire mono-fréquentielle en guide 
d’onde cylindrique (Hamilton et al, 2003) sont bonnes. Une approche alternative a été envisagée 
par la suite pour obtenir des moyennes du champ de vitesse synchronisées avec le signal de 
pression à l’aide d’une électronique de synchronisation. Nous avons réalisé des mesures de 
moyenne de phase ayant comme référence le signal de pression, mesures qui permettent 
d’observer un écoulement moyen, du même ordre de grandeur que le Rayleigh streaming, mais 
avec un profil déformé par la présence d’un écoulement descendant. Cette déformation est en 
cours d’étude. Elle semble associée à des écoulements tridimensionnels. 
 
Références 
 
Broomhead, D.S. and King, G. P. 1986 Extracting qualitative dynamics from experimental data, 
Physica D: Nonlinear Phenomena, Volume 20, Issues 2-3, June-July 1986, pp.217-236 
 
Quénot, G. M. 1992 The Orthogonal Algorithm for Optical Flow Detection Using Dynamic 
Programming, Proc. IEEE ICASSP, vol. III, pp. 249-252  
 
Duffourd S, 2001, Réfrigérateur thermoacoustique : études analytiques et expérimentales en vue 
d’une miniaturisation, Thèse de doctorat Ecole Centrale de Lyon,  
 
Hamilton, M. F., Ilinskii, Y. A., Zabolotskaya, E. A. 2003 Thermal effects on acoustic 
streaming in standing waves», JASA 114 (6), Pt. 1  
 
Swift, G. W., Garrett, S. L .2003 Thermoacoustics: A Unifying Perspective for Some Engines 
and Refrigerators, Acoustical Society of America 
 
Faure, Th. M., Lusseyran, F., Gougat, P., Launay, F. 2006 Experimental investigation of the 
flow distribution inside a tubular heat exchanger, Journal of Fluids Engineering, Vol. 128, No 6, 
pp. 1218-1227 
 
Debesse Ph, Baltean-Carles D, Lusseyran F, François M.-X, 2006 Adaptation de la 
Vélocimétrie par Images de Particules à l’analyse des effets non linéaires en 
Thermoacoustique, Proc ; CFTL 2006, Toulouse 19-22 septembre 2006 


Analyse expérimentale des effets non linéaires dans les systèmes thermoacoustiques

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceLes phénomènes non linéaires présents dans les systèmes thermoacoustiques sont responsables de l'apparition des écoulements continus secondaires qui se superposent aux oscillations acoustiques dominantes, pénalisant l'efficacité des systèmes. L'objectif de cette étude est de caractériser le champ acoustique dans un résonateur contenant un générateur d'onde thermoacoustique et de mettre en évidence les écoulements secondaires. Nous avons mesuré le champ de vitesse par vélocimétrie par images de particules (PIV). Les premières mesures, désordonnées par rapport à la période acoustique, ont permis de reconstruire la composante acoustique sur une période, en réordonnant les vitesses suivant leur phase avec une technique de projection par décomposition en valeurs singulières (SVD) Le calcul du champ de vitesse moyenné en temps montre l'existence d'un écoulement continu. Le deuxième type de mesures, synchronisées aux mesures de pression, apportent une meilleure précision sur les écoulements secondaires. L'estimation de la vitesse acoustique est en accord avec la théorie linéaire

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