L'estimation de la Fréquence Instantanée (FI) et de l'Amplitude Instantanée (AI) d'un signal AM-FM est un problème largement abordé en traitement du signal. Dans le cas de signal mono-composante, la transformée d'Hilbert ou l'ESA (Energy Separation Algorithm), basé sur l'opérateur de Teager-Kaiser TKEO (Teager-Kaiser Energy operator), permettent en générale, une bonne estimation de la FI du signal. Par contre, pour un signal multi-composante, un filtrage passe bande est nécessaire avant de procéder à l'estimation. En combinant l'EMD (Empirical Mode Decomposition) et le TKEO, nous avons montré comment on peut estimer la FI et l'AI d'un signal multi-composante [1-2], où les trois premières dérivées ont été évaluées numériquement. Cependant cette procédure est non seulement une approximation des dérivées mais, elle est aussi très sensible au bruit. Dans ce travail, nous proposons d'utiliser les formes B-spline des IMF (Intrinsic Mode Functions) issues de l'EMD pour calculer les dérivées analytiques; puis nous les utilisons pour estimer les FI et AI à l'aide de l'algorithme ESA sous sa forme continue . Cette approche est appelée l'EMD-ESA-BS. Les résultats montrent que cette dernière permet une bonne estimation de la FI comparé à l'approche discrète, EMD-ESA

BOUCHIKHI, Abdelkhalek

BOUDRAA, Abdel-Ouahab

I-Revues

Estimation de la FI d’un signal multi-composante par
De´composition Modale Empirique et une Version B-splines
de l’Ope´rateur d’Energie de Teager-Kaiser
Abdelkhalek Bouchikhi(1,2), Abdel-Ouahab Boudraa(1,2)
1IRENav, Ecole Navale
Ecole Navale, Lanve´oc Poulmic, BP600, 29240 Brest-Arme´es, France.
2E3I2-EA3876, ENSIETA
2, rue Franc¸ois Verny, 29806 BREST Cedex 9, France
(bouchikhi,boudra)@ecole-navale.fr
Re´sume´ – L’estimation de la Fre´quence Instantane´e (FI) et de l’Amplitude Instantane´e (AI) d’un signal AM-FM est un proble`me
largement aborde´ en traitement du signal. Dans le cas de signal mono-composante, la transforme´e d’Hilbert ou l’ESA (Energy
Separation Algorithm), base´ sur l’ope´rateur de Teager-Kaiser TKEO (Teager-Kaiser Energy operator), permettent en ge´ne´rale,
une bonne estimation de la FI du signal. Par contre, pour un signal multi-composante, un ﬁltrage passe bande est ne´cessaire avant
de proce´der a` l’estimation. En combinant l’EMD (Empirical Mode Decomposition) et le TKEO, nous avons montre´ comment on
peut estimer la FI et l’AI d’un signal multi-composante [1-2], ou` les trois premie`res de´rive´es ont e´te´ e´value´es nume´riquement.
Cependant cette proce´dure est non seulement une approximation des de´rive´es mais, elle est aussi tre`s sensible au bruit. Dans
ce travail, nous proposons d’utiliser les formes B-spline des IMF (Intrinsic Mode Functions) issues de l’EMD pour calculer les
de´rive´es analytiques; puis nous les utilisons pour estimer les FI et AI a` l’aide de l’algorithme ESA sous sa forme continue . Cette
approche est appele´e l’EMD-ESA-BS. Les re´sultats montrent que cette dernie`re permet une bonne estimation de la FI compare´
a` l’approche discre`te, EMD-ESA.
Abstract – Instantaneous Frequency (IF) and Instantaneous Amplitude (IA) estimation of an AM-FM signal is well known
problem in signal processing. Generally, for monocomponent signal, Hilbert transform or Energy Separation Algorithm (ESA),
which is based on Teager-Kaiser Energy Operator (TKEO), allow a good estimation of the IF of a nonstationary signal. Otherwise
a pass-band ﬁlter is required before estimation. In previous works [1-2], we have shown how to estimate the IF of a multicomponent
signal by Combining Empirical Mode Decomposition (EMD) and the TKEO. In [1-2] the ﬁrst,the second and the third derivatives
were numerically evaluated. However, this operation is just an approximation of derivatives and is highly sensitive to noise. In
this work we propose to use the B-spline forms of the Intrinsic Mode Functions (IMFs) extracted by the EMD, to calculate the
analytic derivatives. Then, these ones are incorporating into the ESA to estimate the IF and the IA. The present approach is
called EMD-ESA-BS. Preliminary results show that this new approach performs better than the EMD-ESA one.
1 Introduction
La proble`matique de la de´modulation d’un signal AM-
FM re´side dans l’estimation de l’information contenue dans
les signaux de la FI et de l’AI. Dans le cas d’un signal
mono-composante, il existe plusieurs approches qui per-
mettent, en ge´ne´rale, une bonne estimation de ces signaux.
La plus classique est celle base´e sur le calcul du signal
analytique via la transforme´ de Hilbert. Re´cemment, l’ap-
proche ESA [7-8] utilisant le TKEO qui est un ope´rateur
diﬀe´rentiel non line´aire [6]. Pour un signal s(t), le TKEO
est de´ﬁni par :
Ψ [s(t)] =
[.
s (t)
]2
− s(t) ..s (t) (1)
ou`
.
s (t) = ∂s(t)∂t . Cet ope´rateur estime l’e´nergie d’une
source produisant le signal AM-FM s(t). Cette e´nergie
permet aussi d’estimer les composantes AM et FM du si-
gnal s(t)[7].
Les approches d’Hilbert et d’ESA supposent que le si-
gnal s(t) est mono-composante. Ainsi, pour des signaux
multi- composante, un ﬁltrage passe bande est ne´cessaire
avant la de´modulation [2],[7-8]. Nous avons montre´ com-
ment estimer les FI et les AI de tels signaux en combi-
nant l’EMD et le TKEO [1-2] ou` les de´rive´es premie`res
(jusqu’a` l’ordre trois) sont estime´es nume´riquement. Pour
e´viter l’estimation nume´rique, qui est sensible au bruit,
nous proposons une version continue de l’ESA utilisant les
B-splines [3], appele´e ESA-BS, ce qui permet une meilleure
estimation des FI et des AI. Pour un signal multi-composante,
l’EMD va permettre tout d’abord la de´composition du si-
gnal en composantes AM-FM [5]. Puis la de´modulation
des ces composantes est obtenue par l’ESA-BS. L’ensemble
de l’approche est appele´e EMD-ESA-BS. Cette nouvelle
approche donne de meilleurs re´sultats d’estimation et plus
robuste vis a` vis du bruit que l’EMD-ESA.
Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 817
2 Principe de l’EMD
L’EMD est un processus ite´ratif qui consiste a` repre´-
senter un signal sous forme d’oscillations de type AM-FM,
appele´es IMF. En eﬀet, les IMF sont des oscillation locales
introduites par Huang, dont le but est d’estimer la FI [5].
Soit s(t) un signal a` de´composer. La proce´dure de de´com-
position de s(t), ou bien le tamisage (Sifting), consiste a`
interpoler les maxima et les minima locaux du signal par
des splines cubiques ou B-splines [3] et construire ainsi
les enveloppes supe´rieures et infe´rieures. La moyenne des
deux enveloppes est calcule´e puis soustraite au signal ori-
ginal s(t). Cette diﬀe´rence est qualiﬁe´e d’IMF (note´e imf1)
si elle ve´riﬁe les conditions suivantes :
(1) Le nombre d’extre´ma locaux et de passages a` ze´ros
diﬀe´rent au plus de un,
(2) de moyenne nulle.
La premie`re condition est e´quivalente a` celle impose´e dans
le cas d’un processus Gaussien stationnaire : a` bande e´troite,
tandis que la deuxie`me condition est ne´cessaire dans la
mesure ou` elle assure une bonne estimation de la FI : en
e´vitant les perturbations introduites par les formes asyme´-
triques. La diﬀe´rence entre s(t) et imf1 est donc conside´re´e
comme e´tant le nouveau signal a` de´composer par la meˆme
proce´dure. La de´composition continue jusqu’a` obtenir un
re´sidu correspondant a` la tendance globale du signal. Fi-
nalement, le signal de de´part s(t) est repre´sente´ comme
e´tant la somme des IMF plus le re´sidu ﬁnal :
s(t) =
M∑
k=1
IMFk(t) + rM (t), (2)
ou` rM (t) est le re´sidu de la de´composition et M est le
nombre de modes.
3 L’approche EMD-ESA-BS
L’EMD est de´ﬁnie par le tamisage, un processus per-
mettant de de´composer localement le signal en IMF [5].
La de´composition conside`re le signal a` l’e´chelle de ses os-
cillations locales, sans que celles-ci soient ne´cessairement
harmoniques au sens de Fourier. En plus et a` l’inverse
des ondelettes, aucun noyau de de´composition n’est im-
pose´ aux donne´es. La de´composition est entie`rement pilo-
te´e par les donne´es [5]. Pendant le tamisage les IMF sont
approche´es par des B-splines [3]. Cela, permet tout natu-
rellement, de les re´-e´crire sous la forme :
IMF
ν(k)
k (t) =
∑
n∈Z
Ck [n]βν(k)(t− n) (3)
ou` IMF ν(k)k (t) est le k
ieme mode approxime´ par la B-
splines d’ordre ν(k) ou` ν(k) est l’ordre qu’on donnera a`
la B-splines au niveau k et βν(k)(t) est la B-spline d’ordre
ν(k). Ck [n] est le nieme coeﬃcient de la B-spline d’ap-
proximation du kieme mode IMF ν(k)k . Le calcul des coef-
ﬁcients Ck [n] peut eˆtre obtenu soit par la re´solution d’un
syste`me line´aire, approche matricielle [4], soit par ﬁltres
re´cursifs [9]. Une IMF est un signal mono-composante et
en supposant que sa FI ne varie pas trop rapidement par
rapport a` la porteuse [7], l’algorithme ESA peut s’appli-
quer. Par soucis de simpliﬁcations, dans la suite on pose
IMF
v(k)
k = s
v(k)(t). Les sorties du TKEO pour sv(k)(t) et
∂sν(k)(t)
∂t sont donne´es par :
Ψ
[
sν(k)(t)
]
=
[
∂sν(k)(t)
∂t
]2
− sν(k)(t)∂
2sν(k)(t)
∂t2
(4)
Ψ
[
∂sν(k)(t)
∂t
]
=
[
∂2sν(k)(t)
∂t2
]2
− ∂s
ν(k)(t)
∂t
∂3sν(k)(t)
∂t3
La FI, fk(t), l’AI, ak(t), d’une IMF s’e´crivent comme suit
[4] :
ak(t) =
Ψ
[
sν(k)(t)
]
√
Ψ
[∇sν(k)(t)]
(5)
fk(t) =
1
2π
√
Ψ
[∇sν(k)(t)]
Ψ
[
sν(k)(t)
]
ou`, ∇(.) ≡ ∂(.)∂t . Pour formuler l’approche ESA-SB, les de´-
rive´es premie`res de l’IMF sont calcule´es.
sachant que :
∂βν(k)(t)
∂t
= βν(k)−1(t +
1
2
)− βν(k)−1(t− 1
2
)
Connaissant les coeﬃcients de la B-splines d’approxima-
tion (3), il est facile de montrer les relations suivantes :
∂sν(k)(t)
∂t
=
∑
n∈Z
(Ck [n]−Ck [n− 1])βν(k)−1(t−n+12) (6)
∂2sν(k)(t)
∂t2
=
∑
n∈Z
[Ck [n + 1]− 2Ck [n] + Ck [n− 1]]βν(k)−2(t−n)
(7)
∂3sν(k)(t)
∂t3
=
∑
n∈Z
(Ck [n + 1]−3Ck [n]+3Ck [n− 1]−Ck [n− 2])
.βν(k)−3(t− n + 1
2
) (8)
En remplac¸ant les de´rive´es de l’e´quation (5), par les re-
lations (6)-(8) on obtient l’EMD-ESA-BS. Nous illustrons
nos re´sultats de l’EMD-ESA-BS avec des splines cubiques
”comme pour l’EMD”. Soit la se´quence {ti}i=0,1,...,M−1 de
noeuds (ou points d’arreˆt) de la spline d’approximation
alors, sur chaque intervalle [ti, ti+1] le signal s(t) est ap-
proxime´ par une fonction spline de degre´ 3, c.a`.d :
s(t) = C1t3 + C2t2 + C3t + C4
818
Approche s1(t) s2(t)
EMD-ESA(version discre`te) 0.002200 0.000103
EMD-ESA-BS(version continue) 0.000301 0.000070
Tab. 1 – Erreur Quadratique Moyenne entre les FI esti-
me´es et the´oriques du signal non bruite´.
Donc sur [ti, ti+1] L’ESA-BS s’e´crit :
ak(t) =
A(t) + B(t)√
C(t)
(9)
fk(t) =
1
2π
√
C(t)
A(t) + B(t)
ou`,
A(t) = 3C21 t
4 + 4C1C2t3 + 2C22 t
2,
B(t) = (2C2C3 − 6C1C4)t + C23 − 2C2C4,
C(t) = 18C21 t
2 + 12C1C2t + 4C22 t− 6C1C3.
4 Re´sultats
Deux signaux s1(t), s2(t) sont additionne´s a` un bruit
blanc Gaussien centre´ pour former un signal multi-composante
s(t) = s1(t) + s2(t) + b(t) ou`, si(t) = a(t)cos[φi(t)] avec,
a(t) = 1+κcos(ωat), φi(t) = ωcit+(ωmi/ωci)sin(ωcit), i =
{1, 2}. Les parame`tres du signal s1(t) sont : κ = 0.6 indice
de modulation, ωa = 0.01π, ωc1 = 0.6π, ωm1/ωc1 = 0.1
est la profondeur de modulation. Pour s2(t), ωc2 = 0.3π,
ωc2 = 0.3π, ωm2/ωc2 = 0.1. Le signal s(t) ainsi forme´ est
de´compose´ en IMF par l’EMD (Fig. 1) et s1(t) et s2(t)
identiﬁe´es aux deux premie`res IMF. Pour valider la me´-
thode nous l’avons teste´ d’abord sur le signal non bruite´,
s(t) = s1(t) + s2(t). On trouve que l’erreur quadratique
moyenne de l’estimation de la FI, pour EMD-ESA-BS,
est dix fois plus petite que celle par l’approche discre`te
EMD-ESA (Tab. 1). En eﬀet plus on augmente le pas
d’e´chantillonnage de la B-Splines, plus l’approximation est
meilleure. Pour des RSB e´leve´s on a une tre`s bonne estima-
tion de la FI avec une erreur quadratique tendant vers ze´ro
(Fig. 2). En bruitant les signaux (RSB=15dB), l’approche
donne encore de bons re´sultats (Fig. 4) par rapport a` l’ap-
proche ESA discre`te (Fig. 3). Pour des valeurs de RSB ten-
dant vers ze´ro les re´sultats sont un petit peu satisfaisants
mais restent meilleurs que celles de l’ESA classique. Dans
ce cas les re´sultats peuvent eˆtre ame´liore´s en choisissant
une approximation avec un certain degre´ de liberte´. Au
lieu de choisir des B-Splines d’approximation qui passent
par touts les points du signal, on peut envisager une re´-
gularisation du proble`me avec des Smooth Splines.
Fig. 1 – Decomposition du signal s(t) bruite´ par L’EMD
Fig. 2 – Estimation, par EMD-ESA-BS, des FI du signal
s(t) non bruite´.
5 Conclusion et perspectives
L’originalite´ de ce travail est l’exploite´ des formes conti-
nues (B-spline) des IMF, pour estimer analytiquement les
fre´quences instantane´es d’un signal multi-composante. L’es-
timation est obtenue par l’interme`diaire de l’algorithme
ESA (Energy Separation Algorithm). Meˆme si la me´thode
propose´e reste encore sensible aux fortes intensite´s du bruit,
elle est -du point de vue mathe´matique- consistante. Aﬁn
de pallier ce proble`me existentiel ”bruit”, nous proposons
d’introduire un lissage sur les B-splines d’approximations
des IMF pendant le tamissage, un pre´-de´bruitage du si-
gnal qui limitera les fortes oscillations dus au bruit sans
pour autant, e´liminer les hautes fre´quences du signal utile.
Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 819
Fig. 3 – Estimation, par EMD-ESA, des FI du signal
s(t), RSB = 15dB.
Fig. 4 – Estimation, par EMD-ESA-BS, des FI du signal
s(t), RSB = 15dB.
Remerciements
Nous tenons a` remercier M. Eric Saux et M. Frikha
Sobhi pour leurs pre´cieux conseils.
Re´fe´rences
[1] A.O. Boudraa et al, ”IF estimation using empirical
mode decomposition and nonlinear Teager energy opera-
tor”, Proc. IEEE ISCCSP, pp. 45-48, Hammamet, Tunisia,
2004.
[2] J.C. Cexus and A.O. Boudraa, ”Nonstationary signals
analysis by Teager-Hunag Transform (THT)”, Proc. EU-
SIPCO, 5 pages, Florence, Italy, 2006.
[3] Q. Chen et al, ”A B-spline approche for empirical mode
decomposition”, Advances in Computational Mathematics,
vol. 24, no. 1-4, pp. 171-195, 2006.
[4] C. De Boor, A pratical guide to splines, Sringer-Verlag,
New York, 1978.
[5] N.E. Huang et al., ”The empirical mode decomposition
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time series analysis”, Proc. Royal Society, vol. 454, no.
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[6] J.F. Kaiser, ”Some useful properties of Teager’s energy
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Sig. Proc., no. 41, pp. 3024-3051, 1993.
[8] A. Potamianos and P. Maragos, ”A comparison of the
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gnal and speech demodulation”, Sig. Process., vol. 37, pp.
95-120, 1994.
[9] M. Unser et al., ”B-spline signal processing : Part I-
Theory. Part II Eﬃcient design and applications”, IEEE
Trans. Sig. Process., vol.41, pp.821-848, 1993.
820


Estimation de la FI d'un signal multi-composante par Décomposition Modale Empirique et une Version B-splines de l'Opérateur d'Energie de Teager-Kaiser

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/17631/1/GRETSI_2007_817.pdf

Estimation de la FI d'un signal multi-composante par Décomposition Modale Empirique et une Version B-splines de l'Opérateur d'Energie de Teager-Kaiser

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