En focalisant une onde acoustique sur l'interface entre deux fluides, on déforme cette interface par pression de radiation. Si l'interface est totalement transparente, la déformation de l'interface croît linéairement avec l'énergie acoustique incidente. Si l'interface est totalement réfléchissante, l'onde acoustique est confinée dans la cavité limitée par la surface de l'émetteur et l'interface fluide, impliquant un comportement bistable de cette interface. Ceci se traduit par une hystérésis de la hauteur de la déformation en fonction de la fréquence ou de l'amplitude de l'onde incidente. Un modèle à une dimension d'un résonateur de Fabry-Pérot déformable permet de reproduire fidèlement ce comportement. Ce phénomène ouvre d'intéressantes perspectives en terme de contrôle d'interfaces, comme l'atténuation d'ondes capillaires par la cavité acoustique

DELVILLE, Jean-Pierre

ISSENMANN, Bruno

MANNEVILLE, Sébastien

WUNENBURGER, Régis

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Bistabilité d’une surface liquide induite par la pression de radiation
acoustique et application à l’atténuation d’ondes capillaires
Bruno Issenmann, Régis Wunenburger, Sébastien Manneville & Jean-Pierre Delville
CNRS, Université Bordeaux I
Centre de Physique Moléculaire Optique et Hertzienne, UMR CNRS 5798, Université Bordeaux I
351 cours de la Libération 33405 Talence CEDEX
Centre de Recherche Paul Pascal, UPR CNRS 8641
Avenue Albert Schweitzer, 33600 PESSAC
b.issenmann@cpmoh.u-bordeaux1.fr
Résumé :
En focalisant une onde acoustique sur l’interface entre deux fluides, on déforme cette interface par pression de
radiation. Si l’interface est totalement transparente, la déformation de l’interface croît linéairement avec l’énergie
acoustique incidente. Si l’interface est totalement réfléchissante, l’onde acoustique est confinée dans la cavité
limitée par la surface de l’émetteur et l’interface fluide, impliquant un comportement bistable de cette interface.
Ceci se traduit par une hystérésis de la hauteur de la déformation en fonction de la fréquence ou de l’amplitude
de l’onde incidente. Un modèle à une dimension d’un résonateur de Fabry-Pérot déformable permet de reproduire
fidèlement ce comportement. Ce phénomène ouvre d’intéressantes perspectives en terme de contrôle d’interfaces,
comme l’atténuation d’ondes capillaires par la cavité acoustique.
Abstract :
The interface between two fluids is deformed by radiation pressure when an acoustic wave in focalized on the
interface. If the interface is totally transparent, the deformation grows linearly with the incident acoustic energy.
If it is totally reflecting, the acoustic wave is confined in the cavity limited by the surface of the transducer and the
fluid interface, triggering a bistable behavior of this interface. This appears as an hysteresis of the height of the
deformation with the frequency or the amplitude of the incident wave. A one-dimensional model of a Fabry-Pérot
deformable resonator allows this behavior to be well reproduced. This phenomenon has interesting applications
in controlling interfaces, like attenuating capillary waves by the acoustic cavity.
Mots-clefs :
acoustique ; pression de radiation ; bistabilité
1 Introduction
Le couplage entre le chemin optique d’un résonateur de Fabry-Pérot et l’intensité de la lu-
mière qui se propage dans la cavité peut conduire à de nombreux phénomènes non linéaires
statiques ou dynamiques, comme de la bistabilité, des oscillations régénératives, du chaos, etc
(Gibbs (1985)). On peut réaliser ce couplage soit en plaçant entre les deux miroirs un matériau
dont l’indice de réfraction dépend de l’intensité lumineuse (non-linéarités de volume), soit en
faisant varier la longueur physique de la cavité grâce à l’interaction des deux miroirs avec la lu-
mière (non-linéarités associées aux conditions aux limites). La pression de radiation permet de
réaliser cette deuxième option. Ces phénomènes non linéaires ont été étudiés surtout en utilisant
des ondes électromagnétiques, mais le couplage entre une onde et un résonateur a aussi été ob-
servé avec des ondes mécaniques : autoadaptation à résonance d’un système corde-masselotte
mobile forcé (Boudaoud et al. (1999)), hystérésis de la résonance de cavités acoustiques fer-
mées rigides dans des régimes d’ondes de choc (Lawrenson et al. (1998)), due à la dépendance
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de la vitesse de l’onde avec l’amplitude (Ilinsky et al. (2001)). Nous étudions ces phénomènes
non linéaires en utilisant des ondes acoustiques. Elles présentent en effet plusieurs avantages :
– des fréquences relativement faibles et des longueurs d’onde relativement grandes, ce qui
permet une mesure directe de la phase des ondes et du chemin acoustique
– une intensité de la pression de radiation acoustique qui rend ses effets mécaniques no-
tables à l’échelle macroscopique, même avec une onde d’intensité modérée.
Par ailleurs, étudier ces phénomènes en acoustique pose la question de l’universalité des effets
mécaniques de la pression de radiation, c’est-à-dire leur dépendance ou non vis-à-vis de la
nature de l’onde excitatrice.
Nous présenterons l’hystérésis de forme d’une interface liquide déformée par la pression
de radiation acoustique (Issenmann et al. (2006)), et son application à l’atténuation d’ondes
capillaires.
2 Dispositif expérimental et observation de l’hystérésis
L’expérience est menée sur une interface eau-air, totalement réfléchissante aux ondes acous-
tiques (le coefficient de transmission en intensité vaut 10−3 en incidence normale). L’eau déga-
zée est placée dans un réservoir transparent. Nous utilisons un transducteur ultrasonore sphé-
rique de marque Imasonic (distance focale F = 38 mm, ouverture 1, fréquence centrale f valant
2, 25 MHz, bande passante 600 kHz, profondeur de champ 4 mm, temps d’utilisation maximal
5 s), son axe étant vertical (cf Fig. 1). La surface de l’eau se trouve au point focal du trans-
ducteur ultrasonore immergé. Le transducteur est alimenté par un amplificateur de puissance
eau
caméra CCD
faisceau parallèle 
de lumière blanche 
air
oscilloscope
générateur
de signal
amplificateur de 
puissance
extracteur
damplitude / 
fréquence
PC
Trigger
G
P
IB
L
h
FIG. 1 – Dispositif expérimental.
−2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 20
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
r (mm)
P 0
(r)
/P
(b)
FIG. 2 – (a) Photo de la déformation stationnaire de la surface libre et de sa réflexion sur l’interface eau-
air, observée pour une amplitude de pression incidentePi = 0, 93MPa au point focal et f = 2, 46MHz.
La ligne blanche continue représente la forme prédite par l’équation 4. (b) Amplitude renormalisée du
champ de pression du faisceau entrant mesuré dans le plan focal. Les points sont les points expérimen-
taux. La ligne continue est la courbe théorique prédite par Kino (1987). La ligne pointillée représente
l’approximation par une gaussienne.
Amplifier Research 75A250, lui-même alimenté par un générateur de signaux piloté par ordi-
2
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nateur. L’amplitude instantanée du signal de sortie du générateur de signaux est extraite grâce à
un démodulateur d’amplitude et envoyée vers un oscilloscope numérique. Des mesures de pres-
sion indépendantes réalisées dans un grand réservoir d’eau en émettant des trains d’ondes ont
montré que dans le plan focal du transducteur, l’amplitude P0(r) du champ de pression p0(r, t)
du faisceau émis par le transducteur (que nous appelons dans la suite le faisceau entrant) est
bien décrite par l’expression usuelle pour les transducteurs sphériques (Kino (1987)), comme
le montre la figure 2b :
P0(r) = P
∣∣∣∣∣J1(
pir
λ
)
pir
2λ
∣∣∣∣∣ (1)
Ji est la fonction de Bessel d’ordre i, r le rayon en coordonnées cylindriques, et λ = 660µm
est la longueur d’onde acoustique à la fréquence centrale de fonctionnement du transducteur.
Typiquement, l’amplitude de pression acoustique au point focal vaut P = 0, 04 à 1, 4 MPa. La
surface libre de l’eau, située au foyer du transducteur (L ≈ F ), réfléchit totalement le faisceau
acoustique incident et est déformée par la pression de radiation, qui vaut (Chu et al. (1982))
Π(r) =
2〈p2i (r, t)〉t
ρc2
(2)
où pi(r, t) = Pi(r)cos(2pift) est le champ de pression du faisceau incident au point focal (c’est-
à-dire de la superposition du faisceau entrant p0(r, t) et de ses réflexions multiples incidentes à
la surface), ρ est la masse volumique de l’eau et c est la vitesse du son dans l’eau. La surface
est éclairée en incidence rasante par un faisceau parallèle de lumière blanche, et les images de
la déformation de la surface sont filmées grâce à une caméra rapide CCD déclenchée par le
générateur de signaux. Lorsque l’intensité de l’onde acoustique est continue et modérée, les
déformations de la surface liquide sont stationnaires, en forme de cloche, et leur diamètre à mi-
hauteur est comparable au diamètre du faisceau acoustique à la moitié du maximum d’énergie
(650µm), cf Fig. 2a. Si par contre h dépasse environ 1, 4 mm, on observe une fontaine acous-
tique, c’est-à-dire un jet d’eau instationnaire éventuellement accompagné d’un brouillard de
gouttelettes induit par la cavitation (Wood et al. (1927)). Pour mettre en évidence la bistabilité
acoustique, nous faisons croître puis décroître linéairement P 2 ∝ Π(0) pendant 5 s et nous me-
surons simultanément les variations de la hauteur h de la déformation, définie sur la figure 1, en
fonction du temps. Comme le montre la figure 3a, h(P 2) présente plusieurs cycles d’hystérésis.
3 Modélisation
Pour modéliser l’hystérésis observée, nous considérons uniquement le couplage entre la
déformation de la surface et l’onde acoustique induite par la pression de radiation, c’est-à-
dire que nous négligeons l’effet des non-linéarités de volume (nous avons vérifié qu’au point
focal, l’amplitude de la première harmonique de pression ne dépassait pas 6 % de celle du
fondamental dans le régime étudié) et des écoulements redressés (Hamilton et al. (1998)). Le
volume compris entre la surface libre et le transducteur constitue une cavité résonante.
Modélisons d’abord la déformation de cette cavité par la pression de radiation. Le temps
caractéristique de relaxation de la déformation étant d’une dizaine de millisecondes, la défor-
mation évolue adiabatiquement pendant les rampes de pression de radiation. Par conséquent, sa
forme axisymmétrique h(r) résulte de la compétition entre la pression de radiation d’une part
et la gravité g et la tension superficielle σ d’autre part. h(r) vérifie donc
ρgh(r)− σκ(r) = Π(r) (3)
3
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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
1
2
3
4
h (mm)
(P
i /
 P
)2 P1 P2 P3A
(b)
0 0.5 1 1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
h (mm)
R
eff / R
0 0.5 1 1.5
0
0.5
1
P2 (MPa2)
h 
(m
m)
→
←
→
←
→
←
(a)
FIG. 3 – (a) Hauteur h de la déformation en fonction du carré l’amplitude de pression P 2 du faisceau
entrant (f = 2, 5MHz). Symboles : données expérimentales. Ligne continue : prédiction théorique
du modèle représenté en (b). (b) Modélisation de l’hystérésis acoustique. La courbe est la courbe de
résonance de la cavité. Les droites représentent la relation linéaire entre h et la pression de radiation
(cf Eq. 5) pour des pressions entrantes P1 < P2 < P3. Les points noirs, blancs et gris représentent
respectivement les points d’équilibre stable, instable et marginal de la surface libre. L’encart représente
la variation en fonction de h du coefficient de réflection effectif Reff sur le transducteur.
où κ(r) est la courbure de la surface. En supposant que les déformations sont petites, c’est-
à-dire que |h′(r)| ¿ 1, et en supposant que Pi(r) = Pi exp(−r2/ω20), où ω0 = 0, 86λ, est
l’amplitude de pression du faisceau incident (cf Fig. 2b), la forme de la surface s’écrit (Casner
et al. (2001))
h(r) =
P 2i ω
2
0
4ρc2
∫ ∞
0
J0(kr)
exp
(
−k2ω20
8
)
ρg + σk2
kdk (4)
et la hauteur de la déformation sur l’axe du transducteur vaut
h = h(r = 0) =
P 2i ω
2
0
8σρc2
exp
(
ρgω20
8σ
)
E1
(
ρgω20
8σ
)
(5)
où E1(x) =
∫∞
x
exp(−u)
u
du. La figure 2a démontre la précision de ce modèle.
Modélisons d’autre part la cavité acoustique limitée par le transducteur et la surface libre
de l’eau comme un résonateur de Fabry-Pérot à une dimension. En considérant que l’énergie
acoustique incidente est totalement réfléchie par la partie plane de la déformation proche de
l’axe du faisceau et que l’onde réfléchie reste plane, on s’attend à ce qu’il y ait résonance
lorsque 2(L+ h) = nλ avec n entier (cf Fig. 1). Plus précisément,
Pi =
∣∣∣∣∣1−RR′ exp
(
i
4pi(L+ h)
λ
)∣∣∣∣∣
−1
P (6)
où R = −0, 38± 0, 05 et R′ = −1 sont les coefficients de réflexion en pression respectivement
de la surface du transducteur et de l’interface eau-air mesurés indépendamment. Cependant, le
fait que la surface libre de l’eau soit courbée entraîne une défocalisation du faisceau et donc
une réduction de l’amplitude des échos à l’intérieur de la cavité. Cette perte d’énergie peut être
estimée grâce à l’acoustique géométrique, et est prise en compte par un coefficient de réflexion
effectif décroissant avec h (voir l’insert de la Fig. 3b).
4
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Finalement, comme le montre la figure 3b, la hauteur de la déformation est donnée graphi-
quement par l’intersection de la courbe de résonance réduite (Pi/P )2(h) définie par l’équation 6
avec la droite (Pi/P )2 ∝ h/P 2 déduite de l’équation 5. La multistabilité qui en résulte conduit
à une hystérésis à mesure que la pente de la ligne droite varie avec P . Le comportement doué
d’hystérésis prédit de h en fonction de P 2 (cf. Fig. 3a) est en bon accord avec les mesures.
4 Atténuation d’ondes capillaires
Cet effet de cavité modifie aussi la dynamique de la surface libre. Considérons le point de
fonctionnement A représenté sur la figure 3b, qui constitue un point d’équilibre stable pour la
déformation, et considérons qu’une perturbation δh de la hauteur de la déformation se produit.
Lorsque δh > 0, la cavité se désaccorde, comme d(Pi/P )
2
dh
|A < 0, l’intensité acoustique diminue
dans la cavité, donc la pression de radiation s’exerçant sur la surface libre diminue, en consé-
quence, la fluctuation de hauteur doit être atténuée. Un raisonnement similaire avec δh < 0
conduit bien sûr à la même conclusion. L’effet de cavité couplé à la pression de radiation acous-
tique procure à l’interface une ”raideur” dynamique qui s’ajoute à sa raideur intrinsèque due à
la gravité et à la tension de surface. Pour mettre en évidence ce phénomène, nous utilisons une
lame horizontale partiellement immergée oscillant verticalement sinusoïdalement. Celle-ci crée
une onde progressive plane harmonique à la surface de l’eau qui se propage jusqu’à la défor-
mation. Son amplitude H , mesurée au sommet de la déformation, a bien été trouvée inférieure
à son amplitude H0 à l’endroit de la déformation en absence de déformation, comme le montre
la Figure 4, qui représente la variation du rapport d’amplitude H/H0 en fonction de la pente de
la fonction d’Airy du résonateur de Pérot-Fabry déterminée expérimentalement.
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
x 1015
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(dPi
2/dh)P
0
 (Pa2/m)
H
 / 
H
0
FIG. 4 – Atténuation des ondes de surface par la déformation. H : amplitude de l’onde au sommet
de la déformation. H0 : amplitude de l’onde à l’endroit de la déformation en absence de déformation.
L’abscisse est la valeur de la pente de la fonction d’Airy du résonateur de Pérot-Fabry.
Ce phénomène est par ailleurs exploité en utilisant la pression de radiation optique pour
contrôler la position, la raideur effective, ainsi que l’agitation thermique des pointes de micro-
scopes à force atomique (Vogel et al. (2003))
5
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Conclusion
Nous avons présenté l’hystérésis de forme d’une cavité acoustique établie entre un transduc-
teur ultrasonore sphérique immergé et la surface libre de l’eau située en son point focal. Cette
hystérésis peut être décrite précisément en utilisant un modèle de résonateur de Fabry-Pérot à
une dimension, en supposant que la pression de radiation acoustique est le seul couplage méca-
nique entre la longueur de la cavité et le champ acoustique. Cette étude démontre que, au moins
dans une situation stationnaire et à une dimension, le couplage entre une onde et un résonateur
par la pression de radiation peut-être décrit de manière universelle pour les ondes électromagné-
tiques et les ondes acoustiques. Ces phénomènes originaux mettent en évidence la richesse du
couplage non linéaire entre la propagation de l’onde qui déforme une interface et la déformation
de l’interface qui modifie en retour la propagation de l’onde (Casner et al. (2003)).
Nous remercions Alice Nicolas et Olivier Misère pour leurs expériences préliminaires, ainsi
que Joël Plantard et Sébastien Cassagnere pour leur assistance technique. Ce travail a été financé
par le CNRS, l’Université Bordeaux I et la région Aquitaine (contrat numéro 2005 - 1101010A).
Références
Boudaoud A., Couder Y., Ben Amar M. 1999, A self-adaptive oscillator, Eur. Phys. J. B 9 159
Casner A., Delville J.-P. 2001, Giant Deformations of a Liquid-Liquid Interface Induced by the
Optical Radiation Pressure, Phys. Rev. Lett. 87 054503
Casner A., Delville J.-P. 2003, Laser-Induced Hydrodynamic Instability of Fluid Interfaces,
Phys. Rev. Lett. 90, 144503
Chu B., Apfel R. E. 1982, Acoustic radiation pressure produced by a beam of sound, J. Acoust.
Soc. Am. 72(6), 1673
Gibbs H. M. 1985, Optical bistability : controlling light with light, Academic
Hamilton M. F., Blackstock D. T. 1998, Nonlinear acoustics, eds. Academic Press
Hertz G., Mende H. 1939, Der Schallstrahlungsdruck in Flüssigkeiten, Z. Physik 114, 354
Ilinskii Y. A., Lipkens B., Zabolotskaya E. A. 2001, Energy losses in an acoustical resonator, J.
Acoust. Soc. Am. 109(5), 1859
Issenmann B., Wunenburger R., Manneville S., Delville J.-P. 2006, Bistability of a Compliant
Cavity Induced by Acoustic Radiation Pressure, Phys. Rev. Lett. 97, 074502
Kino G. S. 1987, Acoustic waves, devices, imaging and analog signal processing, Prentice-Hall
Lawrenson C. C., Lipkens B., Lucas T. S., Perkins D. K., Van Doren T. W. 1998, Measurements
of macroscopic standing waves in oscillating closed cavities, J. Acoust. Soc. Am. 104(2), 623
Vogel M., Mooser C., Karrai K., Warburton R. J. 2003, Optically tunable mechanics of micro-
levers, Appl. Phys. Lett. 83(7), 1337
R. W. Wood et A. L. Loomis 1927, Effects of High-frequency Sound-waves of Great Intensity,
Phil. Mag. S. 7 4(22), 417
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Bistabilité d'une surface liquide induite par la pression de radiation acoustique et application à l'atténuation d'ondes capillaires

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