Cette étude vise à l'extension en 3D de la méthode proposée par Portilla et Simoncelli en analyse-synthèse de textures. L'article présente une méthode fondée sur une décomposition 3D multi-résolution dans le domaine de Fourier pour la caractérisation des textures. Le but de ce travail est d'établir un lien entre les textures 3D et les paramètres extraits lors de la phase d'analyse. Les paramètres, validés par une étape de synthèse, sont alors exploitables à des fins de classification ou de segmentation

BERTHOUMIEU, Yannick

JOUINI, Soufiane

KESKES, Noomane

I-Revues

Chaîne d’analyse et de synthèse de textures 3D basée sur 
une décomposition en pyramides orientées  
 
 Soufiane Jouini (1), Yannick Berthoumieu (2), Noomane Keskes (3) 
(1) TOTAL CSTJF  
Avenue Larribau 64018 Pau tél : 05.59.83.53.18 soufiane.jouini@total.com 
(2) Laboratoire IMS, UMR 5218, Groupe Signal, Université Bordeaux, ENSEIRB, ENSCPB 
351 cours de la Libération 33405 TALENCE cedex FRANCE 
tél : 05.40.00.36.23 yannick.berthoumieu@ims-bordeaux.fr  
(3)  TOTAL CSTJF Avenue Larribau 64018 
 Pau tél : 05.59.83.48.58 noomane.keskes@total.com 
 
 
Résumé – Cette étude vise à l’extension en 3D de la méthode proposée par Portilla et Simoncelli en analyse-synthèse de textures. 
L’article présente une méthode fondée sur une décomposition 3D multi-résolution dans le domaine de Fourier pour la caractérisation des 
textures. Le but de ce travail est d’établir un lien entre les textures 3D et les paramètres extraits lors de la phase d’analyse. Les 
paramètres, validés par une étape de synthèse, sont alors exploitables à des fins de classification ou de segmentation. 
 
Abstract –    This study deals with the extension of texture Analysis Synthesis method proposed by Portilla and Simoncelli to the 3D 
domain. The method is based on textures decomposition of textures, in  Fourier Domain, in order to extract descriptors. The main idea is 
based on building a link between 3D textures and these descriptors. The goal is to use these parameters in classification and 
segmentation processes. The synthesis process is used to validate the analysis process.  
 
 
1. Modélisation des textures 
1.1 Introduction 
 
La texture est l’une des principales caractéristiques 
visuelles utilisées par notre système central pour interpréter 
le contenu d’une image. En vision artificielle à l’instar du 
système visuel, la texture joue un rôle prépondérant dans 
de nombreuses applications en analyse, en classification et 
en compression des images. Si de nombreux travaux 
s’attachent à caractériser les textures 2D, peu ont abordé la 
problématique des textures 3D. Or, le thème de la 
modélisation et de l’analyse des textures 3D est 
aujourd’hui central à de nombreux domaines comme les 
géosciences, les sciences des matériaux et du vivant. Dans 
cet article, l’application visée concerne l’analyse des 
textures d’images à rayons X volumique issues 
d’échantillons de carottage du sous-sol. Il s’agit de carottes 
extraites lors du forage d’un puits pour l’exploration 
pétrolière FIG. 1. La nature des textures observées 
renseigne sur les caractéristiques pétrophysiques du sous-
sol et à ce titre relève d’un contexte applicatif  stratégique 
pour la mise en production d’un champ pétrolier. 
L’objectif du travail présenté consiste en la validation de 
descripteurs de textures permettant de discriminer 
différents profils géologiques. Une fois, l’ensemble de ces 
descripteurs constitué, le modèle ainsi construit, peut être 
utilisé dans une approche de classification automatique 
pour l’analyse structurelle des nouveaux échantillons. 
En ce qui concerne les images 2D, les méthodes 
consacrées à la modélisation de textures peuvent être 
classées en trois grandes familles selon qu’elles visent 
l’analyse, la synthèse, ou l’analyse-synthèse. Nous y 
trouvons :  
− Les modèles statistiques : où l’on extrait un 
ensemble de paramètres liés aux contraste, corrélation, 
directivité, uniformité et entropie. Certains de ces 
descripteurs sont obtenus à partir des matrices de 
cooccurrences «  R. Haralick, 1979 » [1] . Ce type de 
descripteurs permet de caractériser les textures mais 
n’offre pas l’avantage de  recréer une texture synthétique 
semblable à l'originale. 
− Les modèles structurels : il suppose qu’une 
texture est un agencement de primitives, ou de textons, qui 
se répètent,  « De Bonnet [2]  ». Ces méthodes ont pour 
objectif unique de réaliser une synthèse de textures à partir 
des primitives extraites à partir d’un voisinage limité 
spatialement. 
−  Les modèles stochastiques : où l’on suppose 
qu'une texture est la réalisation d'un processus stochastique 
régi par un ensemble de paramètres. MA et Gagalowicizc 
1984 [Ref], Portilla et Simoncelli 2000 [3], ainsi que 
d’autres auteurs ont proposé différents modèles 
Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 785
paramétriques fondés sur des moments statistiques 
permettant de régénérer la texture. De même, d’autres 
auteurs ont construit des modèles tels que ceux non-
causaux de Chelappa [4] ou les modèles du type champs de 
Markov paramétriques proposés par Besag [5]. 
Dans cet article, une extension au cas 3D d’une méthode 
d’analyse-synthèse est proposée. L’importance de la 
synthèse tient à la possibilité de valider visuellement la 
pertinence des paramètres mesurés. Une telle validation est 
primordiale pour permettre aux experts géologues 
d’accepter la procédure et notamment les différents 
modèles constituant le corpus. L’approche proposée 
s’appuie sur les travaux de Portilla et de Simoncelli [3]. Il 
s’agit d’une méthode fondée, pour l’étape d’analyse, sur 
une décomposition multi-échelle directionnelle suivie 
d’une étape d’extraction des paramètres. L’étape de 
synthèse, quant à elle, utilise une méthode de projection, 
type descente de gradient, à partir des paramètres calculés 
lors de l’étape d’analyse. L’extension de l’approche 2D au 
cas 3D nécessite un certain nombre d’aménagements que 
nous étudions dans cet article. Cela se traduit d’une part 
par l’élaboration d’une décomposition multi-échelle dans 
l’espace des orientations 3D et d’autre part par l’adaptation 
polaire de la méthode de synthèse. Contrairement à 
l’approche proposée par Portilla se basant sur l’utilisation 
d’un même gabarit de filtre sur lequel est effectuée une 
rotation, une approche utilisant des fonctions 
d’interpolation angulaire est proposée. L’intérêt de cette 
approche est de limiter l’augmentation du coût de calcul 
introduit par le passage du 2D au 3D.  
 
 
1.2 Analyse des textures et extraction des 
paramètres 
1.2.1 Analyse des texture 
 
Le modèle proposé met en œuvre une décomposition 
pyramidale 3D directionnelle. L’approche multi-échelle 
utilisée consiste en une décomposition multi-résolution 
implémentée dans le domaine de Fourier sur la base de 
filtres séparables. La construction des filtres proposés 
s’appuie sur les travaux de Konstantinos G. Derpanis [6] et 
de W.T Freeman et al [7]. Il s’agit de l’extension au cas 3D 
des filtres directionnels obtenus par interpolation sur une 
base polynomiale. L’obtention du filtre pour chacune des 
orientations est réalisée par combinaison linéaire d’une 
base de filtres de dimension finie (FIG. 2). Une fois le 
nombre d’échelles et le nombre d’orientations fixés, le 
modèle de texture est alors déduit des différents blocs 
filtrés. Le modèle est composé de plusieurs descripteurs 
correspondant à des mesures statistiques inter et intra 
échelles. La dynamique intra-échelle est traduite par les 
moments d’ordre un et deux. De même, les fonctions 
d’auto et d’inter corrélation sont prises en comptes. Ces 
dernières permettent de rendre compte des informations 
relatives à la structure de la texture homogène. L’ensemble 
des descripteurs mesurés sera alors utilisé dans la phase de 
synthèse. Cette analyse en ondelettes, permet de capter le 
modèle des textures pour différentes orientations et 
échelles. La figure (FIG. 3) présente quelques exemples de 
réponse d’un bloc de texture (a) en entrée de la pyramide 
orientée. Les figures (b1) et (b2) représentent les réponses 
aux filtres à 2 orientations différentes au premier étage de 
la pyramide. Pour chaque réponse, il y a 2 composantes, 
signal analytique, du filtrage par G2 et par sa transformée 
de Hilbert H2. Les figures (c1) et (c2) présentent les mêmes 
types de réponse mais pour l’échelle suivante. Les 
différents filtres orientés de la pyramide donnent une 
information importante par rapport aux tendances 
directionnelles présentes. Dans le contexte de cette étude, 
les textures peuvent être à caractère hétérogène dans le 
sens où elles se rapprochent plus des macro-textures que 
celles des micro-textures. Des modèles paramétriques plus 
simples tels que les champs de Markov ou la méthode 
proposée par MA et Gagalowicz  n’ont pas permis de 
représenter fidèlement ce type de textures.   
 
1.2.2 Classifications basée sur les paramètres 
extraits 
 
L’objectif de cette modélisation est de caractériser les 
grandes zones d’homogénéité dans les carottes scannées de 
carottes de façon automatique. Ne disposant pas de bases 
de données des textures qui sont présentes dans les puits 
carottés, une classification non supervisée semble plus 
judicieuse pour  la caractérisation des différentes 
zones géologiques ; A cette fin cela les réseaux de 
neurones de Kohonen [9] semblent le meilleur outil 
d’apprentissage et de classification de ces textures. En 
effet, cette méthode établit sa propre carte à partir des 
éléments analysés. Les classes font alors apparaître les 
textures les représentatives et la méthode fournit une 
classification basée sur le calcul d’une distance entre les 
descripteurs.  
 
Dans la suite, la taille de la fenêtre d’analyse des 
autocorrélations est notée Na, le nombre total de directions 
de filtrage est noté Nor et le nombre d’échelles est noté est 
Nsc.  Le modèle est constitué de statistiques du premier 
ordre (moyenne, variance, minimum etc.…) ainsi que des 
éléments du second ordre tels que les autocorrélations des 
sous bandes orientées ainsi que celle du dernier niveau 
passe bas de la pyramide. 
 
1.3 Synthèse à partir des paramètres 
extraits 
La problématique de synthèse dans cet article a pour but 
de prouver visuellement la validité du modèle en cherchant 
à régénérer des textures proches de celles analysées à 
travers un processus itératif de synthèse. Ce processus se 
786
base sur la méthode de projection du gradient. L’idée est 
de décomposer, à l’aide de la pyramide, un bloc de bruit 
blanc  et d’imposer les paramètres (FIG. 4), extraits lors de 
la phase d’analyse. Pour ce faire, la projection du gradient 
présente un avantage qui est celui d’imposer chaque 
paramètre extrait en une itération sous contrainte de 
variation minimale de la texture synthétisée. Si In 
représente le bloc courant à l’itération n et Φ(In) la valeur 
de l’une des statistiques de In, le problème se pose alors 
ainsi : il faut chercher le pas de variation λn, calculer le 
gradient de la statistique et calculer le nouveau bloc à 
l’itération n+1.  
         λn=argmin || Φ(In) + λ gradΦ(In)) - ck ||              (4) 
                         In+1 = In  + λn  gradΦ(In))                      (5) 
Les aménagements principaux sur la synthèse résident 
dans la façon d’imposer les autocorrélations et cross 
corrélations entre sous bandes. Pour l’ajustement de 
l’autocorrélation, par exemple, il s’agit de retrouver le 
gradient de la statistique ainsi que le pas λn . Si S 
représente une grille 3D, I un bloc texture et MBA || + est 
la somme de A et B modulo M ainsi l’autocorrélation est 
estimée par (6) .  
                                         
)||,||,|(|),,(),,( OMN okmjniIkjiIomnA +++=    (6)                                        
L’équation (5) donne alors :  
∑ −−−++++
+=
Vmn
nm okmjniIokmjniI
S
kjiIkjiI
ε
λ
)0,,(
0 |)||,||,(||)||,||,(|.(
.
||
1),,(),,('
   (7) 
|S| étant le volume du cube étudié. 
V représente le voisinage 3D, (n,m,o) sont les 
coordonnées dans ce voisinage,d’un pixel pour une fenêtre 
d’estimation de l’autocorrélation, V=(Na3+1)/2 ceci se peut 
se traduire par une convolution circulaire comme suit : 
            ),,(*),,(),,(' kjihkjiIkjiI →= λ           (8)                                                                         
 La solution du problème suivant, dont les inconnues 
sont les composantes du filtre de convolution, est obtenue 
en imposant l’autocorrélation souhaitée c'est-à-dire : 
         ),,(*),,(),,( omnAomnAomnA ht =        (9)                                                                     
  
L’équation obtenue peut se résoudre en la réécrivant 
comme le résultat d’une convolution où l’on connaît deux 
de ses termes A et At  on doit alors résoudre  Ah . En 
écrivant les éléments de At  et les inconnues Ah sous forme 
de vecteurs et ceux de A sous la forme d’une matrice 
circulante ceci se ramène alors à un système à N équations 
et N inconnues. Lorsque Ah est définie positive, la solution 
hλ(i,j,k) peut être approximée comme la racine cubique de 
Ah  . Dans le cas général cas, on peut l’approximer de la 
manière suivante : 
       )|)),,((|(),,( 1 kjiATFTFkjih h
−≈→λ       (10)                      
Concernant les autres statistiques, notamment celles du 
premier ordre, elles sont imposées de la manière suivante : 
Pour imposer une moyenne 1+nm à l’itération n+1 et 
une variance 1+nv à nm et nv  de In, on utilise la méthode 
suivante : 
                ( ) 111 +++ +−= nnnnnn mvvmII               (11) 
Pour imposer le skewness par exemple, cela se fait 
comme dans (4) et (5) en calculant le gradient de ces 
statistiques et en cherchant le pas de variation entre les 2 
itérations. Si on note Sk le skewness défini par  
2
3
2
3Sk
µ
µ=  
avec  
            [ ]22 )(|| 1 ∑ −= i nn miISµ                        (12)  
           [ ]33 )(|| 1 ∑ −= i nn miISµ                         (13) 
Le gradient s’obtient alors par l’équation suivante : 
  
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
∂
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
−∂
∂=∂
∂
nnn III
Sk
2
3
2
3
2
3
2
3
3
2
1 µµµµµ              (14) 
Il reste à trouver le pas minimum de variation, ceci peut 
se résoudre en supposant que le skewness obtenu à 
l’itération suivante est égal à celui souhaité (c'est-à-dire 
celui du bloc original). Le système se traduit alors par une 
résolution d’un polynôme et le pas retenu correspondra à la 
solution réelle qui a le plus petit module pour éviter les 
changements brusques entre deux itérations successives.  
 
Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 787
1.4 Conclusion 
Le principal point fort de cette étude par rapport aux 
précédentes est qu’elle permet de caractériser les textures 
en tenant compte des variations des textures en 3D et 
propose une validation de la modélisation par un processus 
de synthèse. Néanmoins, ceci ne représente pas une preuve 
mais juste une validation. L’inconvénient de cette méthode 
est le grand nombre de paramètres extraits pour cette 
validation d’une part et l’absence de méthodes objectives 
permettant de fixer ce nombre de descripteurs. Cependant, 
cette méthode donne des résultats très satisfaisants pour la 
classification non supervisée de Kohonen ce qui montre 
que l’on capte bien le modèle et que l’on discrimine bien 
les différentes zones de textures sur les blocs étudiés.  
 
 
 
 
FIG. 1 : Exemples de textures dans les carottes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L0 L0 B1
0 
B20 
BN0 
 
L1 ↓2 L1 ↑2 
H0 H0 
B10
B20
BN0
 
Imposer 
parameters 
 
 
Références 
[1]  R. Haralick Statistical and structural approaches to 
textures, 1979. 
[2]  J. S. De Bonet. Multiresolution sampling procedure 
for analysis and synthesis of texture images. In 
SIGGRAPH ’97 : Proceedings of the 24th annual 
conference on Computer graphics and interactive 
techniques, pages 361–368. ACM Press/Addison-Wesley 
Publishing Co., 1997. 
[3] J Portilla and E P Simoncelli A Parametric Texture 
Model based on Joint Statistics of Complex Wavelet 
Coefficients Int'l Journal of Computer Vision. October, 
2000. 
[4] S. Krishnamachari and R. Chellappa, Multiresolution 
Gauss-Markov random field models for texture 
segmentation. IEEE Transactions on Image Processing, 
vol. 6, Feb. 1997. 
[5] J. E. Besag, Spatial interaction and the statistical 
analysis of lattice systems, Journal of the Royal Statistical 
Society, series B, 1974. 
[6] R. Paget and I. D. Longstaff. Texture synthesis via a 
noncausal nonparametric multiscale markov random field. 
IEEE Transactions on Image Processing,7(6) :925–931, 
June 1998. 
[7] Konstantinos G. Derpanis Three-Dimensional nth 
Derivative of Gaussian Separable Steerable Filters, 2004. 
[8] W.T. Freeman and E.H. Adelson. The design and use 
of steerable filters. IEEE Transactions on Pattern Analysis 
and Machine Intelligence, 13(9):891–906, September 
1991. 
[9] Kohonen (Teuvo) : Self Organization and Associative 
Memory, Springer, Heidelberg 1984 
  (a) 
  (b1)   (b2)
(c1)   (c2) 
 
FIG. 3 : Quelques Réponses aux filtres 3D de la pyramide 
orientée  
FIG. 4 : Schéma de reconstruction du bloc 
synthétique à partir des paramètres et un bloc 
de bruit blanc 
FIG. 2 : Schéma de filtres orientés en 3D pour 
une décomposition en six directions. 
788


Chaîne d'analyse et de synthèse de textures 3D basée sur une décomposition en pyramides orientées

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/17623/1/GRETSI_2007_785.pdf

Chaîne d'analyse et de synthèse de textures 3D basée sur une décomposition en pyramides orientées

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