Dans cet article, nous présentons une nouvelle méthode de segmentation d'images par analyse d'histogramme et seuillage par maximisation de l'entropie à deux dimensions. Pour remédier au défaut des algorithmes classiques, qui peuvent s'arrêter au premier maximum d'entropie rencontré, nous mettons en œuvre une métaheuristique robuste et facile à programmer, basée sur le recuit microcanonique. Dans l'espace exploré, la recherche des seuils de segmentation optimums s'effectue par paliers d'énergie décroissante en gravitant autour des meilleures solutions candidates. Les temps de convergence s'en trouvent améliorés et la reproductibilité des résultats est mieux garantie. L'algorithme est testé sur des images microscopiques biomédicales. Les résultats obtenus sont comparés à ceux de la méthode de Canny

NAKIB, A.

OULHADJ, H.

SIARRY, P.

I-Revues

Segmentation d’images par maximisation de l’entropie à deux 
dimensions basée sur le recuit microcanonique 
 
H. OULHADJ, A. NAKIB et P. SIARRY 
Université de Paris XII, Laboratoire Images, Signaux et Systèmes Intelligents, (LISSI, E. A. 3956), 61 avenue du Général De Gaulle, 
94010 Créteil, FRANCE   
oulhadj@univ-paris12.fr 
 
Résumé - Dans cet article, nous présentons une nouvelle méthode de segmentation d’images par analyse d’histogramme et 
seuillage par maximisation de l’entropie à deux dimensions. Pour remédier au défaut des algorithmes classiques, qui 
peuvent s’arrêter au premier maximum d’entropie rencontré, nous mettons en œuvre une métaheuristique robuste et facile 
à programmer, basée sur le recuit microcanonique. Dans l’espace exploré, la recherche des seuils de segmentation 
optimums s’effectue par paliers d’énergie décroissante en gravitant  autour des meilleures solutions candidates. Les temps 
de convergence s’en trouvent  améliorés et la reproductibilité des résultats est mieux garantie.  L’algorithme est testé sur 
des images microscopiques biomédicales. Les résultats obtenus sont comparés à ceux de la méthode de Canny. 
 
Abstract - In this paper, a new image segmentation method based on two-dimensional histogram analysis through entropy 
maximization is presented. To compensate for the weakness of the classical methods, that may be trapped into the first entropy local 
maximum met, a robust metaheuristic based on microcanonical annealing (MA) is introduced. The optimal segmentation thresholds are 
searched by looking only around the best configurations at different energy stages. Therefore the convergence is improved and the 
reproducibility of the optimal solutions is better guaranteed. The performance of the proposed method is illustrated through the 
segmentation of four biomedical  images, and compared to the results obtained through Canny method. 
 
1. Introduction 
Le processus de segmentation d’image est défini comme 
une opération d’extraction des éléments qui composent une 
image. Un recueil des méthodes les plus répandues peut 
être trouvé dans [1]. En raison de la simplicité de son 
implantation, le seuillage d’image par analyse 
d’histogramme est certainement  l’approche la plus 
utilisée. Dans le cas d’un histogramme à N classes, le 
seuillage consiste à  déterminer N-1 seuils de façon à ce 
que chaque classe soit associée à un intervalle de niveaux 
de gris. Les seuils de segmentation potentiels  
correspondent, en général, aux minima des vallées 
présentes dans l’histogramme.  Malheureusement, ce type 
d’approche ne fournit pas systématiquement de bons 
résultats. Une raison à cette situation est certainement que 
l’on peut rencontrer des images dont l’histogramme est 
unimodal  ou comportant des vallées à plusieurs minima de 
segmentation potentiels, en raison du bruit. Dans ce cas,  
en effet, la segmentation peut être très complexe et 
coûteuse en temps de calcul, car l’espace de recherche des 
solutions peut s’avérer trop vaste pour être exploré de 
manière exhaustive, notamment lorsque N croît. Dans cet 
article, nous proposons une méthode de seuillage 
entropique basée sur un histogramme à deux dimensions 
(2D) [2] qui permet de mieux appréhender le bruit de 
l’image à segmenter. Pour assurer la sélection des seuils 
optimums de segmentation et réduire la complexité des 
calculs, nous mettons en œuvre une métaheuristique 
robuste et facile à programmer, basée sur le recuit 
microcanonique [3]. La suite de l’article est organisée 
autour de cinq parties. Dans la partie 2, nous présentons la 
méthode de seuillage proposée. Les parties 3 et 4 
présentent le recuit microcanonique et l’algorithme de 
segmentation proposé. Enfin, les parties 4 et 5 sont 
consacrées respectivement à la discussion des résultats 
obtenus et à la conclusion. 
 
2. Seuillage entropique à deux 
dimensions 
La motivation de l’application du seuillage entropique 
pour résoudre le problème de la sélection des seuils réside 
dans le succès rencontré par cette méthode dans de 
nombreux cas d’applications, telles que la restauration 
d’images ou la reconnaissance de cible [4-7]. Le principe 
du maximum d’entropie repose sur la distribution de 
probabilités qui maximise l’entropie de Shannon.  Dans cet 
article, nous étudions le principe de l’entropie 2D basée sur 
des histogrammes à deux dimensions. Plusieurs exemples 
d’applications ont montré l’efficacité de l’entropie 2D par 
rapport à l’entropie classique de Shannon (entropie à une 
dimension). Le calcul de l’histogramme 2D s’effectue en 
trois temps. Tout d’abord, nous calculons la moyenne des 
niveaux de gris au voisinage de chaque pixel (x, y). Soit 
g(x,y) cette valeur moyenne. Pour un voisinage 3x3, g(x, y) 
s’écrit : 
1 1
1 1
1( , ) ( , )
9 i j
g x y f x i y j
=− =−
= + +∑∑  (1) 
où f(x,y) représente l’image originale en niveaux de gris. 
Afin d’éviter le problème des bords, nous excluons des 
calculs les premières et dernières lignes et colonnes de 
l’image. Dans un deuxième temps, un histogramme h(i, j) 
est calculé à partir de  f(x,y) et g(x,y)  : 
    { }( , ) ( , ) ( , )h i j Card f x y i g x y j= = ∩ =              (2) 
où { }255,...,2,1,0, ∈ji . Enfin, dans un troisième temps, 
un histogramme normalisé à deux dimensions est défini : 
Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 773
( , )
'
ij
h i jp
nombre de pixels dans l image
=   (3) 
Le seuil de segmentation est un vecteur (t,s), où t est le 
seuil pour l’image originale f(x,y) et s le seuil pour l’image 
g(x,y) des voisinages moyennés. A partir de l’histogramme 
2D normalisé, une surface à deux pics peut être dessinée. 
L’objet et le fond correspondent aux deux pics et peuvent 
être séparés par le vecteur (t,s) qui maximise la somme de 
deux classes d’entropies. Le vecteur (t,s) nous permet de 
diviser l’histogramme en quatre quadrants ou classes de 
pixels (Figure 1). Le premier représente le fond de l’image, 
le deuxième les objets. Les quadrants 3 et 4 correspondent 
respectivement au bruit et aux contours, ils seront ignorés 
dans nos calculs des seuils optimaux. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figure 1 : Les classes de pixels de l’histogramme à deux 
dimensions. 1 : fond, 2 : objets, 3 : bruit, 4 : 
contours. 255≤L  
 
Les densités de probabilités des quadrants 1 et 2 sont 
notées P1 et P2. Pour un vecteur (t,s) donné,  P1 et P2 sont 
définies comme suit: 
1 1
1 2
0 0
,
s t L L
ij ij
i j i s j t
P p P p
− −
= = = =
= =∑∑ ∑∑    (4) 
Compte tenu de la définition de l’entropie 2D : 
log( )ij ij
i j
H p p= −∑∑     (5) 
les entropies  des quadrants 1 et 2 s’écrivent : 
1 1
1
1 10 0
( , ) log
s t
ij i j
i j
p p
H s t
P P
− −
= =
= −∑∑    (6) 
2
2 2
( , ) log
L L
ij i j
i s j t
p p
H s t
P P
= =
= −∑∑    (7) 
L’entropie totale est alors calculée comme suit : 
1 2( , ) ( , ) ( , )TH s t H s t H s t= +    (8) 
D’après le principe du maximum d’entropie, le vecteur de 
seuillage optimal ( )* *,s t est celui qui maximise l’entropie 
totale :  
{ }* *( , ) max ( , )T TH s t H s t=    (9) 
Le principe de l’entropie 2D, décrit ci-dessus, peut 
facilement être généralisé à la segmentation multiniveau, 
compte tenu de l’expression de l’entropie totale pour un 
ensemble de seuils : 
[ ] ∑
=
−=
n
i
iinn
T
stHstststH
1
2211 ),(),(),...,,(),,(  (10) 
Où : 
1 11 1
1 1
( , ) log
n n
n n
s t
ij i j
n n
i s j t
p p
H s t
P P
+ +− −
= =
= − ∑ ∑   (11) 
Sachant que l’échelle des niveaux de gris s’étale de 0 à 
255, nous posons (s0, t0) = (0, 0) et (sn+1, tn+1) = (255, 255) 
afin de tenir compte de toutes les frontières des classes de 
l’histogramme. De plus, nous rappelons que le vecteur des 
seuils de segmentation potentiels est une suite ordonnée 
croissante: 0 1 1... nt t t +< < < . Pour résumer,  le problème de 
la segmentation revient à chercher dans l’espace des 
vecteurs de segmentation potentiels celui qui optimise 
l’entropie totale donnée par l’équation (10). Bien que les 
entropies partielles (H(sn,tn)) soient par définition 
positives, l’équation 10 impose une entropie globale (HT) 
négative. Cette contradiction s’explique par un souci de 
conformité avec l’objectif classique du recuit 
microcanonique. Ce dernier, en effet, vise à minimiser une 
fonction d’énergie alors que dans notre cas nous 
poursuivons un but contraire, c’est-à-dire maximiser  
l’entropie globale dans sa forme réelle positive. 
 
3. Le recuit microcanonique 
Le recuit microcanonique exploite des principes proches de 
ceux du recuit simulé [8, 9]. Leur différence majeure réside 
dans la manière de converger vers la solution optimale. Le 
recuit simulé met en œuvre l’algorithme de Metropolis [9], 
alors que le recuit microcanonique fait appel à l’algorithme 
de Creutz [3]. Ainsi, le premier s’appuie sur des paliers de 
température décroissante, le second sur des paliers 
d’énergie totale décroissante, liée à la réduction de 
l’énergie cinétique à chaque palier franchi. Le choix du 
recuit microcanonique pour notre application réside dans 
sa simplicité, sa rapidité, et son nul besoin d’une grande 
précision numérique dans les calculs. D’autre part, 
comparé au recuit simulé classique, il garantit une 
meilleure reproductibilité des résultats, ce qui est essentiel 
pour un algorithme de segmentation d’images, en 
particulier dans les applications biomédicales. 
 
Algorithme de Creutz 
Pour une énergie totale Et (voir Algorithme 1), un 
algorithme itératif permet de converger vers l’équilibre 
thermodynamique. Il consiste à itérer un grand nombre de 
fois les deux étapes suivantes :  
− évaluation de la variation d’énergie associée à une 
transition élémentaire aléatoire de l’état courant i, 
d’énergie potentielle Ei, vers un nouvel état j, 
d’énergie Ej : ij j iE E E∆ = −  ; 
− acceptation de cette transition vers ce nouvel état 
si ij t iE E E∆ ≤ − ; le terme t iE E− peut être 
interprété comme l’énergie cinétique du système à 
l’état i. 
Les transitions vers des états d’énergie potentielle plus 
élevée sont autorisées, à condition qu’il y ait suffisamment 
d’énergie cinétique pour compenser l’augmentation 
d’énergie potentielle, et donc pour rester à énergie 
constante. Le recuit microcanonique consiste à réduire 
l’énergie totale par paliers, à partir d’une énergie totale 
initiale élevée, au sein de l’algorithme de Creutz. Plusieurs 
   L s 
L 
t 
0 
4 1 
2 3 
774
lois de décroissance de l’énergie totale peuvent être 
utilisées. 
 
4. Algorithme proposé  
Notre algorithme est basé sur le recuit microcanonique, 
en raison du succès rencontré par ce dernier dans la 
résolution des problèmes de grande taille. Ceci justifie 
notre choix de l’appliquer à la segmentation par seuillage 
multiniveau, du fait de l’étendue de l’espace des solutions, 
notamment lorsque le nombre de classes croît. Comme 
l’algorithme ne comporte pas de règles stochastiques [3, 5, 
6, 8 et 9], la reproductibilité des résultats est assurée. La 
recherche de la solution optimale est basée sur la 
maximisation de l’entropie à deux dimensions, définie 
dans (10). L’algorithme 1 décrit le processus général de 
segmentation basé sur le recuit microcanonique 
maximisant l’entropie 2D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algorithme 1 : Algorithme de segmentation proposé 
 
Le problème de la segmentation se résume à un problème 
d’optimisation sous contraintes : 
1 1 2 2Max ( , ), ( , ),..., ( , )T n nH t s t s t s     
 s.c : 1 21 .... 255nt t t< < < < < et 
1 21 .... 255ns s s< < < < <  
 
5. Résultats et discussion 
Notre algorithme est testé sur des images microscopiques 
(images de bactéries, sang, cellules et vaisseau). Les 
résultats obtenus sont comparés à ceux de la méthode 
robuste et très générale de Canny [10]. Les tests présentés 
ici sont limités au cas de la segmentation en deux classes. 
De plus, pour faciliter l’évaluation visuelle de la 
segmentation, nous n’avons gardé que le périmètre des 
zones segmentées. Les algorithmes sont codés dans la 
version Matlab 7 et sont exécutés sous Microsoft Windows 
XP pro sur un PC à base de Pentium 4 à  2.26 GHz. 
 
La figure 2 illustre les différentes images test utilisées. Les 
résultats obtenus par notre algorithme (RM) et la méthode 
de segmentation de Canny (MC) sont présentés 
respectivement sur les figures 3 et 4. Les valeurs des 
paramètres de notre algorithme ont été fixées de façon 
empirique, et de manière à avoir le meilleur compromis 
entre la vitesse de convergence et la qualité de la 
segmentation (p=70%, α=0.9). Les tailles des images, en 
terme de nombre de pixels, sont indiquées dans le tableau 
1. 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
(d) 
 
FIG. 2. Images test originales : (a) bactéries, (b) sang, (c) 
cellules, (d) vaisseau 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
(d) 
 
FIG. 3. Résultats obtenus par notre méthode RM: (a) 
bactéries, (b) sang, (c) cellules, (d) vaisseau 
 
Pour la première image test (figure 2 (a)), les figures 3 (a) 
et 4 (a) illustrent les résultats obtenus respectivement par 
notre algorithme (RM) et la méthode de segmentation de 
Canny (MC). En comparant ces résultats, on peut constater 
que quelques bactéries sont mal détectées par la méthode 
MC. En revanche, la méthode RM a détecté toutes les 
bactéries. 
 
1. Initialisation, 
1.1. Définir le pourcentage minimal p de transitions 
acceptées dans le premier palier. 
1.2. Fixer Et initial tel que les transformations testées 
soient acceptées dans la proportion p 
1.3. Générer aléatoirement une solution acceptable et 
calculer son énergie E. 
1.4. Choisir le nombre maximal de transitions testées à 
chaque palier de l’énergie totale.  
2. Tant que le nombre de solutions acceptées est non nul. 
2.1. Répéter pour un nombre d’itérations donné, 
2.1.1. générer aléatoirement une transition et 
calculer la variation d’énergie associée ∆E. 
2.1.2. accepter la transition si tE E E∆ ≤ −  
2.1.3. si 0E∆ ≤ , comparer le nouvel état au 
meilleur état trouvé depuis le début de la 
recherche, et le mémoriser s’il est meilleur. 
2.2. Décroître Et : tt EE α=  
3. Retourner le meilleur état rencontré au cours de la 
recherche. 
  
Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 775
 (a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
(d) 
 
FIG. 4. Résultats obtenus par la méthode MC: (a) bactéries, 
(b) sang, (c) cellules, (d) vaisseau 
 
TAB. 1 : Résultats expérimentaux de notre algorithme RM 
 
Image test Taille 
(pixels)  
Seuils de segmentation (S,T) 
(a) 178x178  90; 98 
(b) 272x265 197; 131 
(c) 178x178 118; 141 
(d) 2048x1536 171; 70 
 
Pour la deuxième image test (figure 2 (b)), les résultats de 
la segmentation de notre méthode RM (figure 3 (b)) sont à 
nouveau meilleurs que ceux de la méthode MC (figure 4 
(b)). En effet, avec la méthode MC, il y a une double 
détection de chaque cellule de sang : la cellule elle-même 
et une autre région autour. Ce phénomène est dû à une 
variation de luminance relativement importante au 
voisinage de chaque cellule de sang. 
 
Avec le troisième exemple (figure 2 (c)), il est difficile de 
départager les deux méthodes de segmentation.  Les 
résultats obtenus (figures 3 (c) et 4 (c)) sont pratiquement 
identiques. 
 
Dans la quatrième image test (figure 2 (d)), l’objectif est de 
localiser dans l'image analysée la zone représentant un 
vaisseau et de suivre l’évolution de celui-ci. On peut 
remarquer qu’il y a des variations importantes de contraste 
dans l'image originale. Dans ce cas, les résultats de la 
méthode MC sont complètement ininterprétables (figure 4 
(d)). Au contraire, notre méthode RM permet de détecter 
efficacement les contours du vaisseau (figure 3 (d)). 
 
6. Conclusion 
Nous avons exposé une nouvelle méthode de segmentation 
par analyse d’histogramme et seuillage entropique. 
L’histogramme classique 1D est remplacé par un 
histogramme 2D permettant de mieux caractériser l’image 
à segmenter, notamment lorsque celle-ci est bruitée. En 
réduisant l’effet du bruit, on réduit par ricochet le nombre 
de fausses vallées dans l’histogramme de l’image analysée, 
et par suite le nombre d’hypothèses de segmentation à 
considérer. L’espace de recherche des solutions s’en trouve 
réduit et la segmentation multiniveau est relativement plus 
aisée. Afin de remédier au défaut des algorithmes 
classiques, qui peuvent s’arrêter au premier maximum 
d’entropie rencontré,  une métaheuristique robuste, basée 
sur le recuit microcanonique, est mise en œuvre dans le 
processus de segmentation. Celle-ci garantit un meilleur 
temps de convergence et une assez bonne reproductibilité 
des résultats. Enfin, en comparaison de la méthode robuste 
et très générale de Canny, notre méthode produit des 
résultats tout à fait satisfaisants. Une confrontation plus 
systématique est en cours avec les méthodes concurrentes, 
notamment avec des techniques de morphologie 
mathématique qui donnent également de bons résultats sur 
des images de type cellulaire [11]. 
 
Références  
[1] M. Sezgin, B. Sankur, “Survey over image 
thresholding techniques and quantitative performance 
evaluation,” Journal of Electronic Imaging, vol. 13, 
no. 1, pp. 146-165, 2004. 
[2] A. S. Abutaleb, “Automatic Thresholding of Gray-
Level Pictures Using Two-Dimensional Entropy,” 
Computer Vision, Graphics, and Image Processing, 
vol. 47, pp. 22-32, 1989. 
[3] M. Creutz, “Microcanonical Monte Carlo simulation”, 
Phy. Rev. Letters, 50 (19), pp. 1411-1414, 1983. 
[4] W. Tao, J. Tian, J. Liu, “Image segmentation by three 
level thresholding based on maximum fuzzy entropy 
and genetic algorithm”, Pattern Recognition Letters, 
24, pp. 3069-3078, 2004. 
[5] Y. Peng-Yeng, “Multilevel minimum cross entropy 
threshold selection based on particle swarm 
optimization”, Applied Mathematics and 
Computation, vol. 184 (2), pp. 503-513, 2007. 
[6] E. Zahara, S. S. Fan, D. Tsai, “Optimal multi-
thresholding using a hybrid optimisation approach”, 
Pattern Recognition Letters, 26, pp. 1082-1095, 2004. 
[7] L. L. Campbell, “A coding theorem and Rény’s 
entropy”, Inform. Contr., vol. 29, pp. 423-429, 1965. 
[8] L. Hérault, R. Horaud, “Figure-Ground 
Discrimination: A Combinatorial Optimization 
Approach”, IEEE Trans. on Patt. Analys. and Machine 
Intelligence, vol. 15, No. 9, pp. 899-914, 1993. 
[9] R. W. Eglese, “Simulated annealing: a tool for 
operational research”, Euro. J. of Op. Research, vol. 
46, pp. 271-281, 1990.  
[10] J. Canny, “A Computational Approach to Edge 
Detection”, IEEE Trans. on Pattern Analysis and 
Machine Intelligence, vol. PAMI-8, No. 6, pp. 679-
698, 1986. 
[11] O. Lezoray, A. Elmoataz, H. Cardot, M. Revenu, 
“Segmentation d’images couleur: : applications en 
microscopie cellulaire”, Traitement du signal, Vol. 17, 
No. 1, pp. 33-45, 2000. 
776


Segmentation d'images par maximisation de l'entropie à deux dimensions basée sur le recuit microcanonique

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/17620/1/GRETSI_2007_773.pdf

Segmentation d'images par maximisation de l'entropie à deux dimensions basée sur le recuit microcanonique

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