Nous nous intéressons à l'influence des ondes acoustiques sur les transitions d'écoulement dans une cavité parallélépipédique chauffée latéralement et contenant un fluide de nombre de Prandtl Pr=0.01. Nous avons tout d'abord déterminé les diagrammes de bifurcation relatifs à l'écoulement généré par le chauffage latéral de la cavité, d'une part sans l'influence d'ondes acoustiques et d'autre part lorsque la cavité est soumise à un faisceau acoustique de section carrée et de taille adimensionnée Hb=0.62. Les solutions sont déterminées à l'aide d'une méthode de continuation et l'étude de leur stabilité, obtenue par une méthode d'Arnoldi, permet de cerner l'existence de points de bifurcation. Le tracé de ces diagrammes a montré une forte influence des ondes acoustiques sur les seuils de transition stationnaire et oscillatoire qui caractérisent cette situation. Nous avons ensuite suivi la variation de ces points de bifurcation stationnaire et oscillatoire. Les résultats ont montré que ces seuils de transition augmentent assez fortement avec l'intensité des ondes acoustiques, indiquant une bonne stabilisation de l'écoulement convectif par les ondes acoustiques

BEN HADID, Hamda

DRIDI, Walid

HENRY, Daniel

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Action des ondes acoustiques sur la stabilité des écoulements en cavité 3D
chauffée latéralement
Walid DRIDI, Daniel HENRY & Hamda BENHADID
Ecole Centrale de Lyon/Université Lyon 1/INSA de Lyon
Laboratoire de Mécanique des Fluides et d’Acoustique, UMR CNRS 5509
ECL, 36 avenue Guy de Collongue, 69134 Ecully Cedex, France
dridiwalid@gmail.com
Résumé :
Nous nous intéressons à l’influence des ondes acoustiques sur les transitions d’écoulement dans une cavité pa-
rallélépipédique, de dimensions (ramenées à la hauteur) longitudinale Ax = 4 et transverse Ay = 1, chauffée
latéralement et contenant un fluide de nombre de Prandtl Pr = 0:01. Nous avons tout d’abord déterminé les
diagrammes de bifurcation relatifs à l’écoulement généré par le chauffage latéral de la cavité, d’une part sans
l’influence d’ondes acoustiques et d’autre part lorsque la cavité est soumise à un faisceau acoustique de section
carrée et de taille adimensionnée H
b
= 0:62. Les solutions sont déterminées à l’aide d’une méthode de conti-
nuation et l’étude de leur stabilité, obtenue par une méthode d’Arnoldi, permet de cerner l’existence de points
de bifurcation. Le tracé de ces diagrammes a montré une forte influence des ondes acoustiques sur les seuils de
transition stationnaire et oscillatoire qui caractérisent cette situation. Nous avons ensuite suivi la variation de ces
points de bifurcation stationnaire et oscillatoire. Les résultats ont montré que ces seuils de transition augmentent
assez fortement avec l’intensité des ondes acoustiques, indiquant une bonne stabilisation de l’écoulement convectif
par les ondes acoustiques.
Abstract :
We are interested in the influence of acoustic streaming on the stability of convective flows generated in low-Prandtl
number fluids (Pr = 0:01) inside a laterally heated parallelepiped cavity. We determined the bifurcation diagrams
related to the flow generated by the lateral heating of the cavity, with and without the influence of acoustic stream-
ing, generated by a square section acoustic beam with a size H
b
= 0:62. The flow solutions were determined with
a continuation method, and some of the leading eigenvalues were occasionally computed by Arnoldi’s method in
order to locate changes of stability. The bifurcation diagrams showed a strong influence of the acoustic stream-
ing on the stationary and oscillatory thresholds which characterize this situation. We then followed the variation
of these stationary and oscillatory bifurcation points. The results showed that these transition thresholds quite
strongly increase with the intensity of the acoustic waves, indicating a good stabilization of the convective flows by
the acoustic streaming.
Mots-clefs :
Eckart streaming ; Ecoulements convectifs ; Stabilité
1 Introduction
Il est connu depuis déjà fort longtemps (Eckart (1948), Lighthill (1978)) que par l’appli-
cation d’ondes acoustiques dans un milieu fluide, on peut générer un écoulement stationnaire
connu sous le nom d’Eckart streaming ou de Quartz wind. Cette mise en mouvement du fluide,
due à des effets non-linéaires et liée à la dissipation de l’énergie acoustique, s’effectue au coeur
du volume fluide dans la zone de passage de l’onde acoustique. Ces écoulements d’origine
acoustique sont utilisés dans de nombreux domaines d’application. Ils servent par exemple à
faire circuler les fluides dans des systèmes micro-fluidiques (Kenneth et al. (2003)), à créer un
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
mélange chaotique dans des enceintes fermées (Suri et al. (2002)) ou à améliorer la qualité des
alliages métalliques obtenus par solidification dirigée à partir de leur phase fluide (Kozhemya-
kin et al. (1995)). C’est cette dernière application qui est à l’origine de notre travail. Les solides
obtenus par solidification dirigée présentent généralement des défauts de composition qui ont
pour origine le comportement oscillatoire des écoulements convectifs générés au sein du bain
fondu, et la maîtrise de ces défauts passe par la compréhension et le contrôle de ces écoulements
convectifs.
Dans cet article, nous étudions l’effet des ondes acoustiques sur les écoulements convectifs
générés au sein d’un fluide par l’application d’un gradient horizontal de température. L’intérêt
de l’utilisation des ondes acoustiques provient du fait que les ondes acoustiques peuvent pro-
voquer des modifications importantes dans la nature des mouvements convectifs. Dans le cadre
de notre étude, nous considérons les écoulements convectifs générés dans une cavité parallé-
lépipédique chauffée latéralement, et nous montrons comment ces écoulements sont modifiés
et stabilisés lorsqu’ils sont soumis à une onde acoustique produite par une source ultrason de
section carrée et positionnée au centre de la face gauche de la cavité.
2 Modélisation et méthodes numériques
On considère une cavité parallélépipédique (figure 1), de dimensions (ramenées à la hau-
teur) longitudinale Ax = l=h = 4 et transverse Ay = w=h = 1 (l est la longueur de la
cavité (direction x), w sa largeur (direction y) et h sa hauteur (direction z)), contenant un fluide
de faible nombre de Prandtl (Pr = 0:01). Cette cavité est soumise à une différence de tem-
pérature entre ses deux extrémités (température chaude T
h
à droite et température froide T

à gauche) tandis que les parois latérales sont considérées comme adiabatiques. La cavité est
aussi soumise à un faisceau ultrason supposé de section carrée (dimension caractéristique adi-
mensionnée H
b
) généré par un transducteur ultrason placé au centre de la section gauche de la
cavité. L’onde acoustique considérée est une onde plane qui se propage en s’atténuant dans la
direction x. Sur la section droite de la cavité, on place un matériau absorbant (par exemple du
Polyuréthane type F28) pour éviter la réflexion de l’onde acoustique et la formation d’ondes
stationnaires. L’atténuation de l’onde acoustique dans le milieu fluide visqueux, dû à la dis-
sipation d’énergie acoustique dans le fluide, génère une force volumique F de composantes
F
j
=  (
0
V
0
i
V
0
j
)=x
i
(Lighthill (1978)) où les V 0
i
sont les vitesses de fluctuation des parti-
cules fluides au passage de l’onde acoustique et le trait de surlignement désigne la moyenne
temporelle. Dans le cas d’une onde plane se propageant dans la direction x, la force acous-
tique F , orientée selon x, se simplifie en donnant F = 
0
u
a
2
e
 2x
, où  est le coefficient
d’atténuation de l’onde acoustique et u
a
est l’amplitude des fluctuations de vitesse. On consi-
dère enfin que l’atténuation de l’onde reste faible et que la force peut s’écrire F = 
0
 u
a
2
.
Cette force constante s’excerce à l’intérieur du faisceau acoustique et est caractérisée dans les
équations de Navier-Stokes adimensionnées par le paramètre A.
En utilisant h, h2=, =h, 
0

2
=h
2 et  = ( T
h
 

T

)=A
x
comme quantités de référence pour
respectivement les longueurs, le temps, la vitesse, la pression et la température, les équations
adimensionnées qui gouvernent l’écoulement s’écrivent :
r:U = 0; (1)
U
t
+ (U :r)U =  rp+r
2
U + GrT e
z
+ AÆ
b
e
x
; (2)
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
g
PSfrag replaements
V
l
plane
V
t
plane
H
l
plane

T
h

T

x
z
y
O
l
w
h
FIG. 1 – Configuration étudiée
T
t
+ (U :rT ) =
1
Pr
r
2
T; (3)
avec U = (U; V;W ). Les paramètres du problème sont le nombre de Grashof Gr = gh3=2,
le nombre de Prandtl Pr = = et le paramètre acoustique A =  u
a
2
h
3
=
2
. Æ
b
est une fonction
des coordonnées horizontale et verticale y et z et vaut 1 à l’intérieur du faisceau acoustique et 0
en dehors. Les conditions aux limites sont des conditions d’adhérence pour la vitesse (U = 0)
et des conditions d’adiabaticité pour la température en dehors des deux extrémités où la tem-
pérature est imposée. Les équations sont discrétisées en espace par la méthode des éléments
spectraux et en temps par un schéma splitting semi-implicite proposé par Karniadakis et al.
(1991). Une méthode de continuation est utilisée pour déterminer les solutions stationnaires
ainsi que les points de bifurcation stationnaire et oscillatoire. A chaque pas de continuation, la
solution stationnaire (ainsi que le vecteur propre critique dans le cas du calcul d’un point de
bifurcation) est obtenue par la méthode de Newton, avec à chaque pas de Newton une résolu-
tion itérative des systèmes d’équations linéaires obtenus (algorithme GMRES). Les valeurs et
vecteurs propres utiles au démarrage du calcul d’un point de bifurcation sont obtenus par la
méthode d’Arnoldi (bibliothèque ARPACK). Ce type de méthode de continuation développé
à partir d’un code de simulation avec évolution temporelle est décrit en détails par Mamun et
Tuckerman (1995).
3 Résultats
Sans champ acoustique, la structure de l’écoulement convectif généré par le chauffage la-
téral de la cavité pour Gr = 4 104 est présentée sur la figure 2. Cet écoulement correspond
à une seule cellule de convection. Le fluide monte du côté chaud, à droite et descend du côté
froid, à gauche. La solution stationnaire présente une symétrie par rapport au plan V
l
ainsi que
par rapport à l’axe y. En appliquant un champ acoustique dans la direction x, sans chauffage,
l’écoulement généré est dans le sens des x positifs au centre et retourne le long des parois. A
cause de la section carrée de la cavité et de la source acoustique, l’écoulement présente une
symétrie de type D
4
(figure 3). Enfin, en combinant les effets du chauffage et du champ acous-
tique, on obtient un écoulement plus complexe qui ne présente plus que la symétrie par rapport
au plan V
l
(figure 4). On a étudié par la suite les premières bifurcations qui affectent ces écou-
lements. La branche des solutions de base est déterminée par la méthode de continuation et
la stabilité de ces solutions est régulièrement analysée afin de détecter la présence d’un seuil
de transition. La figure 5(a) présente le diagramme de bifurcation pour le cas thermique pur
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
(A = 0). Sur la branche de base les solutions présentent les symétries par rapport au plan V
l
et par rapport à l’axe transverse y. La solution pert sa stabilité pour Gr

= 61530 en un point
de bifurcation stationnaire (bifurcation fourche supercritique). Sur la branche bifurquée, la so-
lution obtenue ne présente plus que la symétrie par rapport au point central de la cavité. Sur
cette branche bifurquée, on détecte enfin un point de bifurcation de Hopf (Gr

= 92696) au
delà duquel la solution devient oscillatoire. Pour A = 4 104, cas où l’écoulement généré par le
chauffage de la cavité est modifié par l’Eckart streaming, on a obtenu le diagramme de bifurca-
tion présenté sur la figure 5(b). Sur la branche de base, la solution qui présente une symétrie par
rapport au plan V
l
est stable jusqu’à un point de bifurcation stationnaire à Gr

= 81540. Sur la
branche bifurquée, la solution ne présente plus aucune symétrie et elle reste stable jusqu’à un
point de bifurcation oscillatoire (Hopf) pour Gr

= 141119. D’après ces deux diagrammes, on
peut dire que l’application d’un champ acoustique permet d’augmenter les seuils de transition.
Pour mieux comprendre l’effet du champ acoustique sur l’évolution des seuils de transition,
nous avons ensuite utilisé la méthode de suivi des seuils de bifurcation. Les résultats obtenus
sont illustrés sur la figure 6. Nous voyons que les seuils de bifurcation stationnaire et oscil-
latoire augmentent assez fortement avec l’intensité de l’onde acoustique, indiquant une bonne
stabilisation de l’écoulement convectif.
FIG. 2 – Structure de l’écoulement dû au chauffage seul pour Gr = 4 104 (A = 0). Vues de la vitesse
horizontale dans les plans principaux (V
t
, H
l
et V
l
), puis des vecteurs vitesses dans le plan V
l
.
FIG. 3 – Structure de l’écoulement dû à l’acoustic streaming seul pour A = 4 104 (Gr = 0). Vues de la
vitesse horizontale dans les plans principaux (V
t
, H
l
et V
l
), puis des vecteurs vitesses dans le plan V
l
.
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 4 – Structure de l’écoulement dû conjointement au chauffage (Gr = 4 104) et à l’application
d’ondes acoustiques (A = 4 104). Vues de la vitesse horizontale dans les plans principaux (V
t
, H
l
et V
l
),
puis des vecteurs vitesses dans le plan V
l
.
 140
 160
 180
 200
 220
 240
 260
 280
 300
 40  50  60  70  80  90  100
Gr(/103)
U
 260
 280
 300
 320
 340
 360
 380
 400
 420
 440
 60  80  100  120  140  160
Gr(/103)
U
(a)
(b)
Gr

= 92696 en (b)
Gr

= 61530 en (a)
(a’)
(b’)
Gr

= 141119 en (b’)
Gr

= 81540 en (a’)
FIG. 5 – Diagrammes de bifurcation pour une cavité chauffée (Ax = 4, Pr = 0:01), sans acoustique
(A = 0) (a), puis avec l’influence d’un faisceau acoustique de taille H
b
= 0:62 pour A = 4 104 (b).
 60
 80
 100
 120
 140
 0  10  20  30  40  50
G
r c(
/10
3 )
A(/103)
FIG. 6 – Variation des seuils stationnaires sur la branche de base et des seuils oscillatoires sur la branche
bifurquée en fonction du paramètre acoustique A pour une cavité chauffée soumise à un faisceau acous-
tique de taille H
b
= 0:62 (Pr = 0:01, Ax = 4).
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
4 Conclusions
Par l’utilisation d’une méthode de continuation performante développée pour le calcul des
écoulements dans des cavités tridimensionnelles, nous avons pu obtenir des diagrammes de bi-
furcation et suivre les points de transitions détectés pour une cavité chauffée latéralement et sou-
mise à l’influence d’un faisceau acoustique. Les résultats obtenus montrent que pour la cavité
étudiée deux types de transition affectent l’écoulement de base, l’une stationnaire conduisant
à l’existence d’une branche bifurquée stationnaire, l’autre oscillatoire affectant cette branche
bifurquée et conduisant à l’apparition d’un régime oscillatoire. Différentes symétries sont ren-
contrées suivant la présence ou non du faisceau acoustique, et certaines de ces symétries sont
brisées au point de bifurcation stationnaire. L’étude de l’influence du paramètre acoustique A
sur les seuils de transition a mis en évidence l’effet stabilisant des ondes acoustiques sur les
écoulements convectifs avec en particulier une forte augmentation des seuils oscillatoires sur
une large plage de valeurs de A.
Références
Eckart, C. 1948 Vortices and streams caused by sound waves. J. Phys. Rev. 73(1) 68-76.
Kenneth, D., Frampton, M., Shawn, E.M. and Keith, M. 2003 The scaling of acoustic streaming
for application in micro-fluidic devices. Applied Acoustics 64 681-692.
Karniadakis, G.E., Israeli, M. and Orszag, S.A. 1991 High-order splitting method for the in-
compressible Navier-Stokes equations. J. Comput. Phys. 97 414-443.
Kozhemyakin, G.N. and Kolodyazhnaya, L.G. 1995 Growth striations in Bi-Sb alloy single
crystals pulled in the presence of ultrasonic vibrations. J. Crystal Growth 147 200-206.
Lighthill J. 1978 Acoustic streaming. J. Sound Vibration 61(3) 391-418.
Mamun, C.K. and Tuckerman, L.S. 1995 Asymmetry and Hopf bifurcation in spherical Couette
flow. Phys. Fluids 7 80-91.
Suri, C., Takenaka, K., Yanagida, H., Kojima, Y. and Koyama, K. 2002 Chaotic mixing genera-
ted by acoustic streaming. Ultrasonics 40 393-396.
6


Action des ondes acoustiques sur la stabilité des écoulements en cavité 3D chauffée latéralement

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