La qualité d'une transmission multiporteuses dépend directement des formes d'onde modulantes utilisées. Dans cet article, la Wavelet Packet Modulation (WPM) est appliquée aux communications sans fil et une nouvelle modulation est proposée qui utilise les ondelettes complexes. Nous montrons que, pour une transmission à travers un canal multi-trajets, l'utilisation des ondelettes complexes permet d'améliorer l'utilisation des ondelettes réelles. Nous montrons également que l'utilisation des ondelettes permet de réduire considérablement les fluctuations d'enveloppe du signal transmis. Les performances de la WPM sont comparées à celle de la modulation OFDM

ARNDT, Marylin

GAUTIER, Matthieu

LIENARD, Joël

I-Revues

Nouvelles formes d’ondes par paquets d’ondelettes pour les
modulations multiporteuses
Matthieu Gautier1, Marylin Arndt1, Joe¨l Lienard2
1France Telecom R&D
28 chemin du vieux cheˆne, 38243 Meylan, France
2GIPSA-Lab
961 rue de la Houille Blanche, 38402 Saint Martin d’He`res, France
matthieu.gautier@orange-ftgroup.com, marylin.arndt@orange-ftgroup.com
joel.lienard@lis.inpg.fr
Re´sume´ – La qualite´ d’une transmission multiporteuses de´pend directement des formes d’onde modulantes utilise´es. Dans cet
article, la Wavelet Packet Modulation (WPM) est applique´e aux communications sans fil et une nouvelle modulation est propose´e
qui utilise les ondelettes complexes. Nous montrons que, pour une transmission a` travers un canal multi-trajets, l’utilisation
des ondelettes complexes permet d’ame´liorer l’utilisation des ondelettes re´elles. Nous montrons e´galement que l’utilisation des
ondelettes permet de re´duire conside´rablement les fluctuations d’enveloppe du signal transmis. Les performances de la WPM sont
compare´es a` celle de la modulation OFDM.
Abstract – The quality of a multicarrier transmission depends directly on the modulating pulse shaping used. In this paper,
the Wavelet Packet Modulation (WPM) is applied to wireless communications and a new wavelet based multicarrier modulation
is proposed which used complex wavelets. We show that, for a multipath channel transmission, the use of complex wavelet
outperforms the use of the real one. We also show that multicarrier systems using the wavelet approach significantly reduces the
Peak-to-Average Power Ratio of the transmitted signal. The performances of the WPM are compared with OFDM modulation.
1 Introduction
Cet article porte sur l’ame´lioration de la technique de
modulation multiporteuses OFDM (Orthogonal Frequency
Division Multiplexing) [1] classiquement utilise´e. Cette mo-
dulation est associe´e a` un pre´fixe cyclique afin de suppri-
mer les interfe´rences inhe´rentes a` la transmission a` tra-
vers les canaux dispersifs en temps. Cette me´thode offre
une grande robustesse aux multitrajets au de´triment d’une
perte d’efficacite´ spectrale.
La limitation de cette re´duction de l’efficacite´ spectrale
constitue un de´fi pour les communications nume´riques.
Afin d’essayer d’apporter une re´ponse, l’ide´e directrice de
cet article est base´e sur ces deux approches conjointes [2] :
• l’utilisation d’une forme d’onde modulante ψ(t) bien
localise´e en temps et en fre´quence pour limiter les
interfe´rences ;
• l’application des bancs de filtres aux modulations mul-
tiporteuses permettant de nouvelles formes de modu-
lations multiporteuses plus ge´ne´rales.
Ces deux pistes d’e´tude sous-tendent l’ide´e de l’ame´liora-
tion d’une modulation multiporteuses base´e sur la the´o-
rie des ondelettes. Ainsi, par le biais du formalisme des
ondelettes, nous avons montre´ [3] qu’il est possible de
construire une base de fonctions orthogonales permettant
de mettre au point un syste`me de communication mul-
tiporteuses re´duisant la sensibilite´ aux interfe´rences in-
troduites par le canal de propagation. Cette modulation
multiporteuses est appele´e WPM (Wavelet Packet Modu-
lation) et a e´te´ introduite par A.R. Lindsey [4]. Le concept
de la modulation multiporteuses base´e sur les ondelettes
est pre´sente´ dans la partie 2.
Des e´tudes [3] sur le choix de l’onde ψ(t) sont associe´es a`
l’e´valuation de la WPM. Dans cette article, ce choix est
discute´ pour la transmission a` travers un canal radioe´lec-
trique (partie 3) et pour son influence sur les fluctuations
d’enveloppe du signal transmis (partie 4).
2 Descrition du syste`me
Le concept de la transforme´e en ondelettes a e´te´ e´tendu
par la cre´ation de bases orthogonales qui sont obtenues par
une structure en arbre comme le montre la figure 1. Cette
de´composition [5] permet une analyse spectrale uniforme
dont la pre´cision de´pend de la profondeur de l’arbre.
Les fonctions ainsi obtenues sont des paquets d’ondelettes
qui sont de´termine´s re´cursivement par :
ψ2k(t) =
√
2
∑
n
hnψ
k(2t− n), (1)
ψ2k+1(t) =
√
2
∑
n
gnψ
k(2t− n). (2)
ψ0 repre´sente la fonction d’e´chelle me`re et ψ1 la fonction
d’ondelette associe´e.
Les filtres hn et gn sont des Filtres Miroirs en Quadrature
(FMQ). hn est un filtre passe-bas et gn est un filtre passe-
haut. Ils sont relie´s par la relation gn = (−1)
nh1−n.
Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 1113
Fig. 1 – Emetteur et re´cepteur multiporteuses utilisant la
modulation WPM
De´finition : Une base de paquet d’ondelettes de L2(R) est
toute base orthonorme´e se´lectionne´e parmi les fonctions :
{ψkl,n(t) = 2
l
2ψk(2lt− n), (l, n) ∈ (Z,Z), k ∈ N}. (3)
Ainsi, toute fonction s(t) de L2(R) peut eˆtre de´compose´e
sur la base de fonctions {ψkl,n(t), (l, n) ∈ (Z,Z)} :
s(t) =
∑
n,k
xlk[n]ψ
k
l,n(t). (4)
Les coefficients xlk[n] a` une e´chelle donne´e l s’expriment
comme un produit scalaire :
xlk[n] =< s, ψ
k
l,n >=
∫ +∞
−∞
f(t)ψkl,n(t)dt. (5)
L’ensemble des coefficients xlk[n] constitue l’analyse en pa-
quets d’ondelettes discre`tes (DWPT - Discrete Wave-
let Packet Transform) de s(t) et sa de´composition in-
verse est note´e IDWPT - Inverse DWPT.
On peut ainsi de´finir le principe de la modulation mul-
tiporteuses utilisant les paquets d’ondelettes. Il s’agit a`
l’e´mission de transformer les symboles du domaine des
ondelettes au domaine temporel par une IDWPT et a` la
re´ception de transformer le signal rec¸u du domaine tem-
porel a` celui des ondelettes par une DWPT. La modu-
lation multiporteuses utilisant la transforme´e en paquets
d’ondelettes s’appelle la Wavelet Packet Modulation
(WPM) [4].
L’imple´mentation de l’e´metteur et du re´cepteur WPM est
effectue´e par la de´termination d’un banc de filtres uni-
forme (voir la figure 1). La de´composition en paquets d’on-
delettes peut eˆtre calcule´e par une structure de filtres en
arbre dont la profondeur de´termine le nombre de porteuses
du modulateur WPM. Le signal WPM est ensuite carac-
te´rise´ par le choix de l’ondelette et son arbre de filtres
associe´. Ce choix de´termine les formes d’onde modulantes
et la complexite´ du syste`me. Les ondelettes sont caracte´-
rise´es par la taille L des filtres h et g associe´s.
3 Sensibilite´ aux canaux dispersif
en temps et en fre´quence
3.1 Contexte
La transmission a` travers un canal multi-trajets est le
sce´nario le plus important a` traiter dans l’e´tude d’un sys-
te`me de communication. Le mode`le WSSUS (Wide Sense
Stationnary Uncorrelated Scatterers) [6] permet de de´crire
pre´cise´ment un grand nombre d’environnements de trans-
mission sans fil. Le retard maximal τL produit par le ca-
nal est appele´ l’e´talement temporel du canal et le de´calage
Doppler maximal fd est appele´ l’e´talement fre´quentiel du
canal. L’effet de la dispersion temporelle du canal est ca-
racte´rise´ dans le domaine fre´quentiel par la bande de cohe´-
rence Bc (Bc ≈
1
τL
), la dispersion fre´quentielle est caracte´-
rise´e dans le domaine temporel par le temps de cohe´rence
Tc (Tc ≈
1
2fd
) .
3.2 Choix de la forme d’onde
La qualite´ d’une transmission multiporteuses de´pend di-
rectement des formes d’onde modulantes utilise´es. Ainsi,
les interfe´rences introduites par les multi-trajets sont d’au-
tant plus faibles que la localisation fre´quentielle des formes
d’onde sera bonne [2]. C’est l’une des raisons qui motive
le choix des ondelettes comme formes d’onde modulantes
dans un syste`me multiporteuses. Au prix d’une certaine
complexite´, nous avons vu que les ondelettes de Daube-
chies ou de Meyer ont une localisation fre´quentielle plus
faible que l’exponentielle feneˆtre´e utilise´e comme forme
d’onde par la modulation OFDM.
Le proble`me rencontre´ dans cette e´tude est la sensibilite´ de
la modulation WPM aux de´calages temporels induit par le
canal. Cette sensibilite´ est illustre´e par la figure 2. Contrai-
rement a` la DFT ou` un de´calage temporel engendre un
de´phasage dans le domaine fre´quentiel, la transforme´e en
paquets d’ondelette ne rend pas stationnaire l’information
par sous-bande, la figure 2 montre qu’un retard de pro-
pagation distribue l’e´nergie du signal sur plusieurs sous-
bandes et instants voisins. Les interfe´rences ainsi ge´ne´-
re´es vont limiter les performances du syste`me en de´pit des
bonnes proprie´te´s des formes d’onde utilise´es.
Fig. 2 – Sensibilite´ de la modulation WPM (Daubechies
L=12) au de´calage temporel.
La contribution majeure de cette e´tude est donc de re´-
duire la sensibilite´ de la de´composition en paquets d’on-
delettes par l’utilisation de formes d’onde complexes. Des
travaux [7] ont e´te´ effectue´s pour synthe´tiser des versions
complexes des ondelettes de Daubechies, la transforme´e
re´sultante utilisant des paquets d’ondelettes complexes est
moins sensible aux de´calages temporels que celle utilisant
des paquets d’ondelettes re´els. Applique´es aux modula-
1114
tions multiporteuses, ces ondelettes complexes permettent
de re´duire l’effet des multi-trajets en sortie du de´modu-
lateur. Introduite dans [8], nous avons appele´ l’applica-
tion des ondelettes complexes aux modulations multipor-
teuses : la modulationCWPM (Complex Wavelet Pa-
cket Modulation).
3.3 Performances de la WPM en pre´sence
d’un canal multi-trajets
Les performances de la modulation WPM sont compa-
re´es a` la modulation OFDM utilisant un pre´fixe cyclique
d’une dure´e e´gale a` ∆CP=0, 2xTs, les syste`mes utilisent
M=128 sous-porteuses. Deux syste`mes utilisant les onde-
lettes sont teste´s : la modulation WPM utilisant des on-
delettes de Daubechies re´elles et la modulation CWPM
utilisant des ondelettes de Daubechies complexes. Tous les
syste`mes utilisent une e´galisation a` un coefficient multipli-
catif par sous-canal. La qualite´ de la transmission de´pend
de l’e´talement temporel τL du canal. Afin d’e´valuer l’in-
fluence de τL sur les performances, un canal compose´ de
2 trajets est utilise´. Le signal rec¸u s’exprime :
r[n] = s[n] + α[n− τL] + b[n], (6)
avec b un bruit blanc additif gaussien.
Les re´sultats en TEB en fonction de τL sont donne´s pour
une valeur de α de −3dB et un rapport signal sur bruit
Eb
N0
de 20dB et sont pre´sente´s sur la figure 3.
0 10 20 30 40 50 60
10−4
10−3
10−2
10−1
τL
Ta
ux
 d
’E
rre
ur
 B
in
ai
re
Eb/N0=20dB α=−3dB
 
 
OFDM − ∆CP=0.2Ts
OFDM − ∆CP=0
WPM − Daubechies L=40
CWPM − Daubechies L=38
Fig. 3 – Taux d’Erreur Binaire (TEB) en fonction de τ .
Les re´sultats montrent que les TEB sont infe´rieurs pour
la modulation CWPM utilisant des ondelettes de Dau-
bechies complexes en comparaison a` ceux obtenus par la
modulation WPM utilisant les ondelettes de Daubechies
re´elles.
En comparaison avec les re´sultats obtenus par la modula-
tion OFDM, les TEB obtenus par la modulation CWPM
sont encore supe´rieurs. Par contre, les re´sultats sont su-
pe´rieurs a` ceux de la modulation OFDM sans pre´fixe cy-
clique. Effet, c’est essentiellement l’utilisation d’un pre´fixe
cyclique qui donne a` la modulation OFDM des re´sultats
inte´ressants en termes de TEB. Les performances de la mo-
dulation CWPM sont donc inte´ressantes seulement quand
le pre´fixe cyclique n’est pas une solution utilise´e, ceci cor-
respond au cas ou` la re´ponse impulsionnelle du canal serait
trop longue pour permettre une efficacite´ spectrale raison-
nable avec un nombre de sous-canaux faible.
3.4 Performances de la WPM en fonction
de l’effet Doppler
L’e´tude est re´duite au canal dispersif en fre´quence et
non dispersif en temps. Le canal est donc compose´ d’un
seul trajet d’amplitude variable en temps α[n]. La varia-
tion du coefficient est parame´tre´e par la fre´quence Doppler
maximale fd. En discret, le signal rec¸u s’exprime donc :
r[n] = α[n]s[n]. (7)
Les re´sultats en EQM en fonction de fd sont pre´sente´s sur
la figure 4.
0 20 40 60 80 100
10−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
fdTs
Er
re
ur
 Q
ua
dr
at
iqu
e 
M
oy
en
ne
 
 
OFDM
CWPM − Daubechies L=10
WPM − Daubechies L=12
WPM − Daubechies L=40
Fig. 4 – Erreur Quadratique Moyenne (EQM) en fonction
de fd.
Les re´sultats obtenus en pre´sence d’un canal dispersif
en fre´quence vont dans le sens de la the´orie [2]. En effet,
les erreurs quadratiques des modulations WPM sont supe´-
rieures a` celles de la modulation OFDM. Plus la dispersion
fre´quentielle de la forme d’onde utilise´e est importante,
plus la modulation est sensible a` l’effet Doppler. Ainsi,
l’ondelette de Daubechies re´elle a` L=40 coefficients est
plus sensible que l’ondelette de Daubechies a` L=12 coeffi-
cients, elle-meˆme plus sensible que la feneˆtre rectangulaire
utilise´e par la modulation OFDM. Nous remarquons e´ga-
lement que, pour une complexite´ e´quivalente, l’ondelette
de Daubechies complexe est plus robuste aux variations
temporelles du canal que l’ondelette de Daubechies re´elle.
4 Sensibilite´ aux non-line´arite´s de
l’amplificateur de puissance
4.1 Contexte
Un inconve´nient majeur [9] des modulations multipor-
teuses est la dynamique importante de l’enveloppe du si-
Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 1115
gnal temporel, caracte´rise´e par la me´trique PAPR (Peak-
to-Average Power Ratio), exigeant a` l’e´mission un amplifi-
cateur line´aire et donc peu efficace (rendement me´diocre).
Le PAPR est de´fini par :
PAPR =
max |s(t)|
2
Es
, (8)
avec Es = E
{
|s(t)|
2
}
ou` E {.} est l’ope´rateur de moyenne
statistique.
Afin de diminuer les contrainte de line´arite´ de l’amplifica-
teur, le PAPR peut eˆtre re´duit par un choix approprie´ de
la forme d’onde modulante.
4.2 Choix de la forme d’onde
Pour une modulation multiporteuses utilisant des formes
d’ondes ψ(t), nous montrons que le PAPR du signal trans-
mis est borne´ par :
PAPR ≤M max
0≤t≤Ts
|ψ(t)|
2
, (9)
avec PAPR ≤ M lorsque ψ(t) est l’enveloppe rectangu-
laire utilise´e par la modulation OFDM.
Afin de limiter le PAPR, une solution est d’utiliser des
formes d’onde qui re´duisent max |ψ(t)|
2
sans diminuer Es.
Les paquets d’ondelettes permettent de limiter les fluctua-
tions d’enveloppe du signal e´mis.
4.3 Performances de la WPM
Afin d’e´valuer le PAPR de la modulation WPM, nous
utilisons la Complementary Cumulative Density Function
(CCDF) du PAPR. Cette fonction est de´finie par :
CCDF (PAPR0) = Prob [PAPR > PAPR0] . (10)
La figure 5 donne les fonctions CCDF des signaux OFDM
et WPM pour diffe´rentes ondelettes de Daubechies.
Fig. 5 – CCDF en fonction du PAPR.
Les re´sultats montrent que le signal OFDM a un PAPR
qui exce`de 11.2 dB pour moins de 0.1% de la taille des
donne´es OFDM. Le PAPR a` 0.1% de la modulation WPM
est de 10.7 dB lorsque l’ondelette de Daubechies d’ordre 2
est employe´e et de 8.6 dB pour l’ondelette de Daubechies
d’ordre 6, re´sultant une re´duction du PAPR de 0.5 dB et
2.6 dB respectivement. Une re´duction de 7.7 dB peut eˆtre
atteinte avec l’ondelette de Daubechies d’ordre 20, ce re´-
sultat est tre`s inte´ressant mais la complexite´ de ce syste`me
est nettement plus importante que celle de la modulation
OFDM.
5 Conclusion
Afin de re´duire les interfe´rences d’une transmission sans-
fil, une solution est d’utiliser de nouvelles formes d’ondes
pour moduler l’information. Les travaux pre´sente´s dans
cet article proposent l’utilisation des formes d’ondes par
paquets d’ondelettes. Nous avons notamment de´fini des
crite`res de choix de l’ondelette en fonction du contexte de
transmission.
La modulation CWPM est la majeure contribution de
cette e´tude, elle permet de limiter les interfe´rences du ca-
nal multi-trajets. Cette e´tude permet e´galement de mettre
en valeur une caracte´ristique inte´ressante de la modulation
WPM : la re´duction significative du PAPR.
Nous avons ainsi re´alise´ une modulation multiporteuses
reconfigurable efficace. En effet, les ondelettes offrent une
flexibilite´ dans la conception du syste`me et leur choix de´-
pend de l’environnement de transmission.
Re´fe´rences
[1] S. Weinstein et P. Ebert. Data Transmission by
Frequency-Division Multiplexing Using the Discrete
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[8] M. Gautier et J. Lienard. Performances of com-
plex wavelet packet based multicarrier transmission
through double dispersive channel. NORSIG 06 IEEE
Nordic Signal Processing Symposium (Iceland), June
2006.
[9] R. van Nee et R. Prasad. OFDM for Wireless Multi-
media Communications. Artech House edition, 2000.
1116


Nouvelles formes d'ondes par paquets d'ondelettes pour les modulations multiporteuses

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/17703/1/GRETSI_2007_1113.pdf

Nouvelles formes d'ondes par paquets d'ondelettes pour les modulations multiporteuses

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