La Tomographie par Emissions de Positons (TEP) est une modalité d'imagerie nucléaire: on injecte au patient un traceur radioactif qui se fixe sur des constituants de l'organisme jouant un rôle important dans un processus physiologique dont on désire acquérir des images. En TEP, le radiotraceur est un émetteur β+ ou positron. Après avoir perdu son énergie cinétique au terme d'un parcours de l'ordre d'un millimètre, le positron s'annihile avec un électron pour donner deux photons γ, émis dans des directions opposées. La détection se fait à l'aide de plusieurs couronnes de détecteurs qui enregistrent en coincidence l'arrivée des deux photons. La trajectoire linéaire formé par le trajet des deux photons dans le cas idéal, appelée LOR (Line Of Response) constitue la donnée principale qu'acquiert le système. Le programme de reconstruction d'images s'intéresse au problème inverse: à partir des données de toutes les LOR issues des différentes émissions, il localise le lieu d'émission et ainsi fournit la distribution spatiale du radiotraceur dans le corps du patient. Le but de ce travail est de définir un schéma de compression de données, i.e. réduire le nombre de LOR, en étudiant le système d'échantillonnage des LOR dans le but d'accélerer le temps de reconstruction des images. On se limite à l'acquisition en mode 2D ( ou 3D à coupes parallèles): uniquement les LOR orthogonales à l'axe du scanner, dont les extrémités appartiennent à une même couronne, sont prises en compte. Pour cela, on s'appuie sur les travaux [1] et [2] qui, dans une géométrie similaire en tomographie X, ont établi les conditions d'échantillonnage efficaces en utilisant la paramétrisation fan beam. Dans ce travail, on utilise une autre paramétrisation plus adaptée à la TEP et on en déduit des schémas d'échantillonnage. Cependant, le schéma efficace n'étant pas compatible avec la géométrie des détecteurs, nous le mettons à profit dans un schéma de compression du nombre de LOR, appelé mashing

DEFRISE, Michel

DESBAT, Laurent

DESVIGNES, Michel

GRONDIN, Yannick

MANCINI, Stéphane

I-Revues

Etude de l’acquisition des donne´es en TEP 2D
Yannick Grondin1, Laurent Desbat1, Michel Desvignes2, Ste´phane Mancini2, Michel Defrise3
1TIMC-IMAG, e´quipe GMCAO
Institut d’Inge´nierie de l’Information de Sante´ (In3S) Faculte´ de Me´decine, 38706 La Tronche cedex, France
2GIPSA-DIS
Domaine Universitaire, 961 rue de Houille Blanche - BP 46, 38402 Saint Martin d’He`res cedex -France
2Universite´ Libre de Bruxelles
CP217-boulevard du Triomphe, 1050 Bruxelles, Belgique
yannick.grondin@imag.fr, laurent.desbat@imag.fr
michel.desvignes@lis.inpg.fr,stephane.mancini@lis.inpg.fr
Michel.Defrise@vub.ac.be
Re´sume´ – La Tomographie par Emissions de Positons (TEP) est une modalite´ d’imagerie nucle´aire: on injecte au patient un
traceur radioactif qui se ﬁxe sur des constituants de l’organisme jouant un roˆle important dans un processus physiologique dont
on de´sire acque´rir des images. En TEP, le radiotraceur est un e´metteur β+ ou positron. Apre`s avoir perdu son e´nergie cine´tique
au terme d’un parcours de l’ordre d’un millime`tre, le positron s’annihile avec un e´lectron pour donner deux photons γ, e´mis dans
des directions oppose´es. La de´tection se fait a` l’aide de plusieurs couronnes de de´tecteurs qui enregistrent en coincidence l’arrive´e
des deux photons. La trajectoire line´aire forme´ par le trajet des deux photons dans le cas ide´al, appele´e LOR (Line Of Response)
constitue la donne´e principale qu’acquiert le syste`me. Le programme de reconstruction d’images s’inte´resse au proble`me inverse:
a` partir des donne´es de toutes les LOR issues des diﬀe´rentes e´missions, il localise le lieu d’e´mission et ainsi fournit la distribution
spatiale du radiotraceur dans le corps du patient. Le but de ce travail est de de´ﬁnir un sche´ma de compression de donne´es, i.e.
re´duire le nombre de LOR, en e´tudiant le syste`me d’e´chantillonnage des LOR dans le but d’acce´lerer le temps de reconstruction
des images. On se limite a` l’acquisition en mode 2D ( ou 3D a` coupes paralle`les): uniquement les LOR orthogonales a` l’axe du
scanner, dont les extre´mite´s appartiennent a` une meˆme couronne, sont prises en compte. Pour cela, on s’appuie sur les travaux
[1] et [2] qui, dans une ge´ome´trie similaire en tomographie X, ont e´tabli les conditions d’e´chantillonnage eﬃcaces en utilisant la
parame´trisation fan beam. Dans ce travail, on utilise une autre parame´trisation plus adapte´e a` la TEP et on en de´duit des sche´mas
d’e´chantillonnage. Cependant, le sche´ma eﬃcace n’e´tant pas compatible avec la ge´ome´trie des de´tecteurs, nous le mettons a` proﬁt
dans un sche´ma de compression du nombre de LOR, appele´ mashing.
Abstract – Positron Emission Tomography (PET) is a modality of nuclear imaging. The patient is injected with a radiotracer
designed to target speciﬁc physiological processes which we want to acquire images. In PET, the radiotracer is a β+ or positon
emitter. Once the positon is emitted, he loses its kinetic energy within around 1 millimeter path length and annihilates with an
electron. It results in the back-to-back emission of two γ photons detected in coincidence by several rings of detectors. The linear
path formed by the travel of the two photons in the ideal case is called a Line Of Response (LOR) and are the recorded data.
The aim of the image reconstruction program is to localize the annihilation place in order to estimate the spatial radiotracer
distribution inside the patient’s body. The aim of the current work is to deﬁne a data compression scheme that enables to reduce
the time of the reconstruction step. To do that, we study the sampling schemes of the LOR’s. This study is focussed on the 2D
acquisition mode where only the LOR’s orthogonal to the scanner axis are taken into account. Previous work ([1] and [2]) have
derived sampling schemes in x-ray tomography using the fan beam parameterisation. For PET, we introduce a more natural
parameterisation and derive sampling schemes. However, the most eﬃcient sampling scheme being inadequate with the detectors
geometry, a data compression scheme (”mashing”) based on the eﬃcient sampling points is derived.
1 Parame´trisation naturelle de la
TEP 2D
En tomographie X he´licoidale, une source de rayon X
irradie successivement des sections paralle`les du patient.
Le faisceau de rayons X a` une forme d’e´ventail, d’ou` l’ap-
pellation de ge´ome´trie fan beam. Les de´tecteurs sont dans
ce cas conside´re´s line´aires et situe´s a` l’oppose´ de la source,
l’ensemble e´tant en rotation autour du patient. Soit f la
fonction d’atte´nuation 3D du patient. Supposons que f a
une fre´quence de coupure Ω, et qu’elle est contenue dans
un support cylindrique de rayon ρ, lui meˆme compris dans
un scanner de rayon r. On peut ainsi de´ﬁnir la transfor-
me´e en rayon X 3D de f dans la parame´trisation fan beam
(3DFBXRT) [2] par :
Xf(β, α, t) =
∫
Lβ,α,t
f(x)dx (1)
Xf(β, α, t) de´ﬁnit l’inte´grale de f suivant les droites
Lβ,α,t qui appartiennent a` des plans orthogonaux a` l’axe
du scanner localise´es a` la coordonne´e axiale t. Dans un
plan transversal,Lβ,α,t relie la source localise´ a` r(cosβ, sinβ)
avec β ∈ [0, 2π[, et le de´tecteur a` la position angulaire
Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 921
α ∈ [−π2 ,
π
2 [ (Fig 1.a ). En Tomographie par Emission de
Positons (TEP), une ligne de re´ponse (LOR) relie les deux
de´tecteurs qui ont re´pondu en coincidence a` l’interaction
d’un photon. On peut donc les localiser par deux coor-
donne´es angulaires par rapport a` l’origine de la couronne,
φ et ψ (Fig 1.b). Soit g la 3DFBXRT exprime´e avec la
variable z = (φ, ψ, t)T ∈ [0, 2π[×[0, 2π[×R ( ou` T signiﬁe
la transpose´e) et soit eπ = (0, π, 0)
T . g peut eˆtre exprime´
en fonction de Xf par la relation :
g(z) = Xf(A(z − eπ)) avec A =


1 0 0
− 1
2
1
2 0
0 0 1


(2)
A est la matrice qui permet d’exprimer les coordonne´es
(β, α, t) en fonction des variables (φ, ψ, t) mais il faut tenir
compte du de´phasage introduit par eπ.
r
Ο
β
ρ
source
x2
x1
α
f
detecteur
Lβ,α,t
(a)
Ο
x1
x2
φψ
f
ρ
detecteur 1
detecteur 2
LOR(φ, ψ, t)
(b)
Fig. 1 – Parame´trisation de la 3DFBXRT en tomographie X
(a) et celle propose´e en TEP 2D (b) dans un plan transversal
de coordonne´e axiale t
2 Echantillonnage de g(φ, ψ, t)
2.1 Support essentiel de la transforme´e de
Fourier de g(φ, ψ, t) et sche´mas d’e´chan-
tillonnage
La transforme´e de Fourier de g peut eˆtre e´galement ex-
primer en fonction de la transforme´e de Fourier de Xf et
se de´duit de la fac¸on suivante :
ĝ(ξ) =
∫
[0;2π[
∫
[0;2π[
∫
R
g(z)e−i<z,ξ>dz (3)
=
∫
[0;2π[
∫
[0;2π[
∫
R
Xf(A(z − eπ))e
−i<z,ξ>dz
=
e−imπ
| detA|
∫
[0;2π[
∫
[0;2π[
∫
R
Xf(z)e−i<A
−1z,ξ>dz
=
e−imπ
| detA|
∫
[0;2π[
∫
[0;2π[
∫
R
Xf(z)e−i<z,A
−Tξ>dz
=
e−imπ
| detA|
X̂f(A−T(ξ))
ou` ξ = (k,m, τ)T ∈ Z2 × R et < z, ξ >= kφ+mψ + τt,
de´ﬁnit un produit scalaire. On en de´duit que |ĝ(ξ)| est ne´-
gligeable si et seulement si |X̂f(A−T(ξ))| est ne´gligeable,
c’est a` dire, si et seulement si A−T(ξ) appartient au sup-
port essentiel de X̂f . L’expression analytique du support
essentiel de X̂f est connue et donne´e dans [2]. Ainsi, par
un changement de variables, on de´termine le support es-
sentiel de gˆ(k,m, τ), note´ K (Fig 2.a) :
K = {(k,m, τ) ∈ Z2 × R, |k −m|2 + r2τ2 < Ω2r2; (4)
r|k + m| < ρ|k −m|}
Des simulations utilisant le programme Monte Carlo
d’imagerie nucle´aire GATE ([3]) nous a permis de ve´ri-
ﬁer le support de la transforme´e de Fourier de g (Fig 2.b).
Dans l’e´tude des sche´mas d’e´chantillonnage, nous allons
conside´rer le cas ou` ρ = r, sachant que pour le cas re´el ou` ρ
est de l’ordre de 2
3r, ils se ge´ne´ralisent facilement. L’e´tude
des sche´mas d’e´chantillonnage fait appel aux conditions
de non recouvrement de Shannon : le re´seau d’e´chantillon-
nage (dans l’espace direct) ge´ne´re´ par la matrice W, doit
eˆtre choisi de manie`re que dans l’espace re´ciproque (Fou-
rier), les translate´s de K suivant les vecteurs du re´seau
dual ne se recouvrent pas, i.e. K + 2πW−T l, l ∈ Z3 sont
deux a` deux disjoints. Le sche´ma standard le plus compact
est ge´ne´re´ par la matrice diagonale suivante :
2πWS
−T = Ω


r 0 0
0 r 0
0 0 2


soit en inversant et en prenant la transpose´ :
WS =
2π
Ωr


1 0 0
0 1 0
0 0 r
2


(5)
On a dans ce cas : | detWS| =
(
2π
Ωr
)3 r
2 .
Un autre sche´ma d’e´chantillonnage possible est ge´ne´re´
par la matrice hexagonale :
922
2πWH
−T = Ω


r 0 r2
0 r r2
0 0
√
3


soit :
WH =
2π
Ωr


1 0 0
0 1 0
− r
2
√
3
− r
2
√
3
r√
3


(6)
On a dans ce cas : | detWH| =
(
2π
Ωr
)3 r√
3
, ce qui signiﬁe
que le sche´ma hexagonal est 2√
3
plus eﬃcace que le sche´ma
standard. Les ﬁgures 3.a et 3.b illustrent les conditions
de non-recouvrement des ensembles K + 2πW−T l, l ∈ Z3
dans le domaine de Fourier pour les deux cas. Le re´seau
d’e´chantillonnage dans le plan (k,m) est une grille carre´e
dans le sche´ma standard comme dans le sche´ma hexago-
nal. C’est une conse´quence du lien entre les deux variables
angulaires (φ, ψ) qui sont e´chantillonne´es de la meˆme fa-
c¸on ((φ, ψ) de´signe une paire de de´tecteurs) . La diﬀe´rence
entre les deux re´seaux WSZ
3 et WHZ
3 provient de l’em-
pilement vertical des grilles carre´es qui sont simplement
superpose´es dans le sche´ma standard, alors qu’elles suivent
un sche´ma hexagonal dans le plan (v, τ) dans le deuxie`me
cas, pavant de manie`re plus compact l’espace de Fourier.
Une description plus de´taille´e est propose´e dans [2]. Dans
l’espace direct, les deux sche´mas sugge`rent l’e´chantillon-
nage suivant :
– sche´ma standard : le pas axial entre chaque plan trans-
versal est de πΩ pour un pas angulaire a` l’inte´rieur du
plan transversal de 2πΩr .
– sche´ma hexagonal : par souci de simplication du rai-
sonnement, prenons r = 1, ce qui ne nuit pas a` la
ge´ne´ralite´. Soit l = (l1, l2, l3)
T ∈ Z3 :
WHl =
2π
Ω
(l1, l2,−
l1 + l2
2
√
3
+
l3
√
3
)T (7)
– pour l1 + l2 pair, i.e. l1 + l2 = 2p, p ∈ Z, on obtient
pour la coordonne´e verticale de WHl :
2π
Ω
p+l3√
3
=
2π
Ω
p′√
3
, p′ ∈ Z
– pour l1 + l2 impair, i.e. l1 + l2 = 2p + 1, p ∈ Z,
on obtient pour la coordonne´e verticale de WHl :
2π
Ω (
p+l3√
3
+ 1
2
√
3
) = 2πΩ (
p′√
3
+ 1
2
√
3
), p′ ∈ Z
ainsi, pour chaque plan transversal se´pare´ d’un pas
axial de 2πΩ
1
2
√
3
= π
Ω
√
3
, seulement la moitite´ des LOR
est ne´cessaire. Pour les anneaux de positions axiales
jπ
Ω
√
3
, j ∈ Z, uniquement les e´ve`nements enregistre´s
par deux de´tecteurs de positions de parite´ identique
sont pris en compte. Pour les anneaux voisins d’in-
dices j+1 et j−1, ce sont les e´ve`nements coincidents
entre deux de´tecteurs de parite´ diﬀe´rente qui sont pris
en compte. En re´sume´, dans le cas hexagonal, le pas
axial entre couronne est de π
Ω
√
3
et le pas angulaire est
toujours de 2πΩr , mais avec un entrelacement des LOR
qui sont prises en compte. Tous les de´tecteurs e´tant
ne´anmoins indispensables, il y a donc sure´chantillon-
nage dans les plans transversaux : on retrouve ainsi un
re´sultat de´montre´ dans [4]. Par ailleurs, nous de´mon-
trons e´galement que la fre´quence de l’e´chantillonnage
axial doit presque doubler pour eˆtre eﬃcace, re´sultat
demeure´ au stade empirique jusqu’a` pre´sent [5].
v
m
k
−Ω
2
(r − ρ)
−Ω
2
(r + ρ)
Ω
2
(r − ρ) Ω
2
(r + ρ)
√
2
2
Ωr
τ
v
Ω
(a)
(b)
Fig. 2 – (a) Support essentiel de la transforme´e de Fourier de
g(φ,ψ, t) dans les plans (k,m) et (v, τ ) . (b) Support provenant
de donne´es simule´es repre´sente´ en 3D
2.2 Sche´ma de mashing 2D
L’e´tude des conditions d’e´chantillonnage ame`ne natu-
rellement a` l’utilisation de de´tecteurs rectangulaires pour
rendre l’acquisition des donne´es eﬃcace. Cependant, en
pratique, ce sont des de´tecteurs de forme carre´e qui e´quipent
le plus souvent les scanners. Pour mettre le sche´ma hexa-
gonal a` proﬁt, on peut utiliser les donne´es sure´chantillon-
ne´es dans les plans transversaux en les regroupant dans
des mailles centre´es sur les points d’e´chantillonnage du
re´seau WHZ
3 [6]. Nous proposons un sche´ma de mashing
2D qui compresse le nombre de LOR d’un facteur envi-
ron 24, mais au prix d’une de´gradation the´orique de la
re´solution de l’ordre de
√
3 (Fig 4).
3 Conclusion
Nous avons e´tablis les conditions d’e´chantillonnage dans
le mode d’acquisition 2D du scanner TEP en introduisant
une parame´trisation plus naturelle. Le sche´ma d’e´chan-
tillonnage qui s’ave`re le plus eﬃcace est de nature hexa-
gonale mais n’est pas compatible avec la ge´ome´trie des de´-
tecteurs des scanners courants. Nous proposons alors un
sche´ma de mashing 2D permettant de compresser les don-
ne´es en assemblant les LOR contenues dans des mailles
centre´es sur le re´seau hexagonal. Des simulations nume´-
riques et Monte Carlo introduisant le bruit poissonien vont
Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 923
vk
v
m
0
−Ωr
−Ωr
2Ω
Ωr
Ωr
-
√
2
2
rΩ
-
√
2rΩ
√
2
2
rΩ
τ
(a)
v
k
v
m
−Ωr
0
-
√
2rΩ
Ωr
Ωr
−Ωr
τ
√
2
2
rΩ
K (r = ρ)
-
√
2
2
rΩ
Copies de K
√
3Ω
(b)
Fig. 3 – Sche´ma d’e´chantillonnage carre´ (a) et sche´ma hexa-
gonal entrelace´ (b) dans le cas ou` r = ρ. Les deux copies de K
en pointille´ et colore´e repre´sente´es dans le plan (k,m) dans (b),
sont situe´es a` la position τ =
√
3Ω, comme on peut le voir dans
le plan(v,τ ). Pour ve´riﬁer les conditions de non-recouvrement
de Shannon, il faut ve´riﬁer que K ne posse`de aucune intersec-
tion avec ses copies translate´es suivant le re´seau d’e´chantillon-
nage. Le cas le moins trivial a` montrer est celui de la copie
colore´e qui semble intersecte´ sur les coins avec K d’a`pre`s la re-
pre´sentation dans le plan (k,m). Cependant, dans le plan (v,τ ),
l’intersection semble avoir lieu au niveau du centre de l’ellipse.
L’intersection e´tant a` deux endroits diﬀe´rents, ces ensembles
sont donc disjoints.
eˆtre entrepris pour ve´riﬁer la qualite´ du mashing sur des
donne´es qui seront ensuite reconstruites.
π√
3Ω
7π
2
√
3Ω
7π√
3Ω
φ
7π√
3Ω
∼ 4πΩ
7π
2
√
3Ω
∼ 2πΩ
ψ
Fig. 4 – Sche´ma de mashing centre´ sur les points du re´seau
hexagonal. Les LOR sont mesure´es dans des plans transver-
saux aux positions t = jπ
Ω
√
3
, j ∈ Z. Les points blancs repre´-
sentent les LOR sure´chantillonne´es avec des de´tecteurs carre´s.
Les points noirs et les croix sont les centres des mailles de
mashing, respectivement pour les plans indexe´s j pairs et j
impairs. En moyenne, 24.5 LOR peuvent eˆtre regroupe´es dans
une maille.
Re´fe´rences
[1] F. Natterer, Sampling in fan-beam tomography,
SIAM J.Appl.Math. 53 :358–380, 1993
[2] L. Desbat, S. Roux, P. Grangeat and A. Koenig,
Sampling conditions of 3D parallel and fan-beam
x-ray CT with application to helical tomography,
Phys.Med.Biol. 49 :2377–2390, 2004
[3] S. Jan et al,GATE : a simulation toolkit for PET and
SPECT, Phys.Med.Biol. 49 :4543–4561, 2004
[4] F. Natterer, The Mathematics of Computerized To-
mography, Nex York :Wiley, 1986
[5] D. Witherspoon et G. Muehllelner, Treatment of
axial data in three-dimensional PET, J.Nucl.Med.
28 :1717–1724, 1987
[6] T Rodet et al : A study of data sampling in PET using
planar detectors. 2003 IEEE MIC, Portland, Oregon,
USA
924


Etude de l'acquisition des données en TEP 2D

National audienceLa Tomographie par Emissions de Positons (TEP) est une modalité d'imagerie nucléaire: on injecte au patient un traceur radioactif qui se fixe sur des constituants de l'organisme jouant un rôle important dans un processus physiologique dont on désire acquérir des images. En TEP, le radiotraceur est un émetteur β+ ou positron. Après avoir perdu son énergie cinétique au terme d'un parcours de l'ordre d'un millimètre, le positron s'annihile avec un électron pour donner deux photons γ, émis dans des directions opposées. La détection se fait à l'aide de plusieurs couronnes de détecteurs qui enregistrent en coincidence l'arrivée des deux photons. La trajectoire linéaire formé par le trajet des deux photons dans le cas idéal, appelée LOR (Line Of Response) constitue la donnée principale qu'acquiert le système. Le programme de reconstruction d'images s'intéresse au problème inverse: à partir des données de toutes les LOR issues des différentes émissions, il localise le lieu d'émission et ainsi fournit la distribution spatiale du radiotraceur dans le corps du patient. Le but de ce travail est de définir un schéma de compression de données, i.e. réduire le nombre de LOR, en étudiant le système d'échantillonnage des LOR dans le but d'accélerer le temps de reconstruction des images. On se limite à l'acquisition en mode 2D ( ou 3D à coupes parallèles): uniquement les LOR orthogonales à l'axe du scanner, dont les extrémités appartiennent à une même couronne, sont prises en compte. Pour cela, on s'appuie sur les travaux [1] et [2] qui, dans une géométrie similaire en tomographie X, ont établi les conditions d'échantillonnage efficaces en utilisant la paramétrisation fan beam. Dans ce travail, on utilise une autre paramétrisation plus adaptée à la TEP et on en déduit des schémas d'échantillonnage. Cependant, le schéma efficace n'étant pas compatible avec la géométrie des détecteurs, nous le mettons à profit dans un schéma de compression du nombre de LOR, appelé mashing

Etude de l'acquisition des données en TEP 2D

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