Ce travail présente un modèle d'atomisation primaire assistée par gaz dans un spray turbulent à fort nombre de Weber. L'atomisation primaire est simulée de façon stochastique : la diminution de l'épaisseur du coeur liquide dans la direction transverse à l'écoulement est gouvernée par la fragmentation avec hypothèse de symétrie d'échelle. A partir des statistiques du cœur liquide au voisinage de l'injecteur, des gouttes sont formées en utilisant une distribution présumée et en respectant la conservation de la masse. Les gouttes sont soumises à l'atomisation secondaire et à la coalescence. Ces phénomènes sont simulés de façon stochastique comme résultant des collisions entre gouttelettes. La modélisation du spray est couplée à la simulation des grandes échelles pour la phase gazeuse. Les résultats de calculs sont comparés aux travaux expérimentaux : pour la distribution de présence de liquide au voisinage de l'injecteur ; et loin de l'injecteur, pour le diamètre de Sauter moyen

CHTAB, Anna

GOROKHOVSKI, Mikhael

JOUANGUY, Julien

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Modélisation stochastique de l’atomisation primaire et secondaire couplée à 
la LES 
 
Julien Jouanguy
1
, Anna Chtab
1
 & Mikhael Gorokhovski
2
 
 
1
CORIA UMR 6614 CNRS University of Rouen, 
Site Universitaire du Madrillet BP 12, 76801 Saint Etienne du Rouvray, France 
2
LMFA UMR 5509 CNRS Ecole Centrale de Lyon, 
36 avenue Guy de Collongue, 69131 Ecully Cedex, France 
 email de l’auteur à contacter : juanguy@.coria.fr 
 
Résumé : 
 
Ce travail présente un modèle d’atomisation primaire assistée par gaz dans un spray turbulent à fort 
nombre de Weber. L’atomisation primaire est simulée de façon stochastique : la diminution de 
l’épaisseur du coeur liquide dans la direction transverse à l’écoulement est gouvernée par la 
fragmentation avec hypothèse de symétrie d’échelle. A partir des statistiques du cœur liquide au 
voisinage de l’injecteur, des gouttes sont formées en utilisant une distribution présumée et en respectant 
la conservation de la masse. Les gouttes sont soumises à l’atomisation secondaire et à la coalescence. 
Ces phénomènes sont simulés de façon stochastique comme résultant des collisions entre gouttelettes. La 
modélisation du spray est couplée à la simulation des grandes échelles pour la phase gazeuse. Les 
résultats de calculs sont comparés aux travaux expérimentaux : pour la distribution de présence de 
liquide au voisinage de l’injecteur ;  et loin de l’injecteur, pour le diamètre de Sauter moyen.    
 
Abstract : 
 
This work presents a model of primary air-blast atomization in a high Weber number turbulent spray. In 
this model, the primary atomization is simulated stochastically: the reducing of thickness of the liquid 
core in down-stream direction is governed by fragmentation under scaling symmetry. From statistics of 
liquid bulk in the vicinity of injector, the liquid drops are sampled using presumed distribution of size and 
conservation of the liquid mass. The drops are subjected to the secondary atomization and coalescence. 
These two phenomena are simulated stochastically as result issued from inter-drop collision. The spray 
modelling is coupled with LES computation in the gaseous flow. The results of computation are compared 
with measurements: for the distribution of liquid fraction in the vicinity of injector (at different inlet 
velocities of the gas and the liquid); and in the far-field of the spray, for the mean Sauter diameter. 
 
Mots-clefs : atomisation ; modélisation stochastique ; simulation des grandes échelles 
 
1 Introduction 
 
La fragmentation joue un rôle important dans de nombreux processus physiques, chimiques et 
géologiques. On peut citer par exemple l’atomisation dans les sprays, la fragmentation des 
roches, la dégradation des polymères, la cascade turbulente, etc …. Même si chacun des 
évènements de fragmentation est un processus très complexe, leur fréquence est élevée. Dans 
une telle situation, il est naturel de proposer un scénario effectif simplifié pour la fragmentation 
et de représenter ses caractéristiques essentielles, indépendamment du détail de chaque brisure 
élémentaire. Une approche possible est l’hypothèse de symétrie d’échelle pour la fragmentation. 
Ici, chaque processus de fragmentation réduit la taille typique des fragments d’un multiple 
aléatoire, qui est gouverné par le spectre d’intensité de fragmentation. Même si ce spectre est en 
principe une fonction inconnue, la fragmentation avec symétrie d’échelle est caractérisée par 
des universalités statistiques. Pour une forme initiale arbitraire du spectre de fragmentation, la 
distribution initiale d’échelle de longueur tend (mais ne devient jamais) vers une distribution 
finale de Dirac en passant par au moins deux état asymptotiques intermédiaires. Le premier est 
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la distribution log-normale de Kolmogorov 1941 (première universalité avec deux paramètres- 
les deux premiers moments logarithmiques du spectre d’intensité de fragmentation). La 
deuxième est la fonction puissance (universalité plus forte avec un paramètre qui est le rapport 
des deux moments logarithmiques du spectre de fragmentation). La première universalité 
permet de réduire l’équation d’évolution à une équation de Fokker-Planck de façon exacte. La 
seconde universalité implique le comportement fractal de la fragmentation à longue échéance. 
Ces universalités ont été identifiées par Gorokhovski et al (2003) et Saveliev et al. (2005). Dans 
cet article, nous formulons d’abord le processus stochastique associé à la fragmentation sous 
l’hypothèse de symétrie d’échelle sous la forme d’une équation log-Brownienne avec une force 
constante. Ensuite nous appliquons ce modèle à l’atomisation primaire assistée par air à fort 
nombre de Weber.         
 
2 Symétrie d’échelle et processus stochastique log-Brownien avec une force constante. 
 
Sous l’hypothèse de symétrie d’échelle, la fragmentation réduit l’échelle typique, rr α⇒ , par 
un multiplicatif aléatoire indépendant α , qui est gouverné par le spectre d’intensité de 
fragmentation ( )αq , ( ) 1
1
0
=∫ αα dq . Si la fréquence de fragmentation, ν , est indépendante de 
r ,  Gorokhovski et al (2003) ont montré que l’évolution de la fonction de distribution 
normalisée ( )rf  obéit à une équation de Fokker Planck. La résolution de cette équation 
nécessite la connaissance des deux premiers moments logarithmiques de ( )αq .  Leur rapport 
αα lnln 2  indique une échelle de longueur typique dans l’espace de rx ln=  Gorokhovski 
(2003):  






=
∗
r
rcrln
ln
ln 2
α
α
          (1) 
où crr  est l’échelle critique et ∗r  est l’échelle à partir de laquelle le phénomène de 
fragmentation doit être pris en compte . Pour la variable stochastique r , la forme générale de 
l’équation de  Langevin associée à la fragmentation avec symétrie d’échelle est (Risken (1989)): 
( )trrr Γ+=• 2lnln 2 αναν       (2) 
où ( )tΓ  est la force de Langevin supposée aléatoire distribuée de façon Gaussienne avec 
( ) 0=Γ t ; ( ) ( ) ( )tttt ′−=′ΓΓ δ2 . Cette équation stochastique correspond au mouvement 
Brownien classique avec une force constante dans l’espace des rx ln= et le détail de son 
obtention peut être trouvé dans Gorokhovski et al. 2006. 
 
3 Modèle d’atomisation primaire assisté par air à grand nombre de Weber. 
 
3.1 Particules stochastiques. 
 
Quand un jet liquide est injecté à faible vitesse dans un milieu gazeux en mouvement, la 
physique de la fragmentation est très complexe (cisaillement de la masse liquide et génération 
de vorticité, instabilités sur l’interface liquide/gaz, entraînement des filaments de liquide par 
l’écoulement de gaz avec instabilité, collisions, coalescence). Sur la Fig. 1, les différentes 
réalisations d’un jet liquide atomisé dans cette situation sont représentées schématiquement. 
Afin de formuler le modèle, nos hypothèses sont les suivantes: (i) A des instants différents, les 
configurations géométriques du coeur liquide représentent un ensemble de réalisations 
indépendantes ;(ii) l’épaisseur instantanée d’une réalisation dans la direction de l’écoulement est 
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3 
indépendante de sa valeur en amont (hypothèse de symétrie d’échelle) ;(iii) pour chaque 
réalisation, l’évolution stochastique du jet liquide est pilotée par l’instabilité de Kelvin 
Helmoltz ;(iv) la contribution des fragments détachés du cœur liquide est négligée. 
 
 Fig.1  Schéma des différentes réalisations géométriques dans l’atomisation assistée par air. 
 
Afin de réaliser (ii), on introduit une particule stochastique se déplaçant dans l’espace physique. 
Celle-ci est appelée “floating cutter”. Sa trajectoire représente une réalisation du coeur liquide. 
Son mouvement est gouverné par le processus stochastique associé à la fragmentation avec 
symétrie d’échelle. Il s’arrête quand le temps de vie défini par la compétition entre l’échange de 
quantité de mouvement et l’inertie du jet liquide de cette particule est écoulé :  
0
2
0
2
0 1
2 d
uu
l
llgg
life ρ
ρρ
τ
−
=         (3) 
Ici 220gguρ  et 220lluρ  sont les quantités de mouvement initiales dans les phases gazeuse et 
liquide, respectivement; lρ  est la masse volumique du liquide; 0d  est le diamètre de l’injecteur. 
Afin de satisfaire (i), on injecte à chaque pas de temps un “floating cutter”; chacune des 
trajectoires de ces particules représente une réalisation géométrique indépendante du cœur 
liquide. En accord avec (iv), les statistiques de ces géométries seront utilisées pour former des 
parcelles. Dans la direction radiale, la vitesse et la position de la particule ayant pour indice 
i sont définies par : 
( )trrV iiip Γ+= 2lnln 2 αναν     et   ipi V
dt
dr
=      (4)
         
dans la direction axiale, on suppose que l’accélération du “floating cutter” est contrôlée par le 
gradient d’énergie cinétique associée au mouvement relatif entre le liquide et le gaz. 
( )
i
ipgipg
l
gip
r
UuUu
dt
dU 1
2
1
−−=
ρ
ρ
    et    ip
ip
U
dt
dx
=      (5) 
où gu  et gρ  sont respectivement la vitesse locale résolue et la masse volumique dans 
l’écoulement de gaz. Les conditions initiales  pour (4)-(5) sont : 
0
)0( rtr ==  ; 0)0( ==tx
ip
 ; 0)0( ==tV
ip
 et 
0
)0(
lip
utU ==  où 0lu  est la vitesse initiale du 
jet liquide et 0r  est le rayon de l’injecteur. L’hypothèse (iii)  permet d’obtenir les paramètres du 
modèles. En effet, La longueur d’onde du mode le plus instable peut être déterminée en fonction 
de l’épaisseur de vorticité dans le gaz 
g
δ  (Marmottant 2001, Hong 2003) que nous associerons 
à la taille minimale des gouttes formées : 
g
g
l
KHKH
C δρ
ρλ ≈         (6) 
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oú 2=
KH
C  (Marmottant 2001). En utilisant l’Eq. (6), l’expression (1) s’écrit, avec const   
fixée  à 01.0 :     








=
><
><
l
g
KH
C ρ
ρ
α
α
1ln
ln
ln2
 et 








>=<
l
g
KH
C
const ρ
ρ
α 1lnln  (7)  
 
3.2 Simulation des grandes échelles de la phase gazeuse. 
 
L’écoulement de gaz est résolu par une approche LES en utilisant le code numérique 
CTR/Stanford décrit par Pierce 2001. Ce code résout les équations de Navier Stokes 
incompressibles filtrées en trois dimensions. Le terme de transport de quantité de mouvement de 
sous-maille a été modélisé par l’approche dynamique de Germano (Germano et al. 1991). Ce 
code a été validé avec des résultats de DNS et d’expériences dans des jets (Boersma et al. 1998, 
Panchepakesan et al. 1993). 
 
3.3 Statistiques de fraction de liquide au voisinage de l’injecteur coaxial. 
 
L’ expérience de Werquin 2001 permet d’obtenir la distribution moyenne de fraction de liquide 
près de l’injecteur. Pour deux valeurs différentes du paramètre 2
0
2
0 llgg
uuM ρρ= , la Fig.2 
montre cette distribution en comparaison avec la simulation stochastique selon les équations 
(5)-(10). On observe que qualitativement, le modèle reproduit les observations expérimentales.  
 
Fig.2. Distribution de fraction de liquide au voisinage de l’injecteur mesurée (à gauche) et 
simulée (à droite) (la vitesse initiale du coflow est sm60 ; la vitesse initiale du jet liquide est 
en haut de la figure; et sm36.1  en bas de la figure). 
 
3.4 Atomisation secondaire et coalescence. 
 
La distribution spatiale de liquide non fragmenté calculée est utilisée pour former des gouttes. 
Celles-ci sont tirées d’une distribution exponentielle dans les zones où la probabilité de trouver 
le cœur liquide est comprise entre 0.1 et 0.9. L’échelle typique associée est calculée à partir de 
l’équilibre entre l’énergie turbulente, et le travail des forces de tension de surface (Kolmogorov 
1949, Gorokhovski 2001). L’expression pour la dissipation visqueuse conditionnée par la 
présence du liquide (Lasheras et al. 1998) est utilisée pour définir l’échelle typique. La 
procédure de formation des gouttes est organisée de sorte que la masse de liquide injectée soit 
instantanément conservée. Les gouttes interagissent avec le champ de vitesse résolu du gaz gu
r
, 
conditionné par la présence du liquide non fragmenté ( ) lllglg PuPuu 01 +−=
r
 où lP  est la 
probabilité de trouver le cœur liquide. Les détails de la modélisation stochastique de 
l’atomisation secondaire et de la coalescence peuvent être trouvés dans Vinkokic et al. 2005. 
Dans ce modèle, la coalescence et la fragmentation sont liées aux collisions entre gouttes. La 
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fréquence de collision est calculée par l’approche de O’Rourke 1981. L’avenir d’une collision  
est déterminé par le nombre de Weber basé sur les caractéristiques des gouttes en collision. 
 
3.5 Procédure de simulation. 
 
La procédure numérique comprend plusieurs étapes: (a) Simulation LES de l’écoulement 
gazeux jusqu’à l’état statistiquement stationnaire; (b) Simulation de la fraction de liquide au 
voisinage de l’injecteur et conditionnement de la vitesse du gaz; (c) formation de gouttes; 
transport par le champ de vitesse du gaz conditionné, simulation de l’atomisation secondaire et 
de la coalescence; (d) vérification de l’état statistiquement stationnaire. 
 
3.6 Exemples de calculs et comparaison dans le champ lointain du spray. 
 
Les Figures 3 et 4 montrent des simulations de fragmentation dans les conditions des travaux 
expérimentaux de Lasheras et al. 1998. Pour différentes positions axiales, la Fig. 4 montre des 
comparaisons avec les résultats expérimentaux sur le diamètre de Sauter moyen. On peut voir 
que pour différentes vitesses d’injection, le diamètre est prédit de façon relativement bonne. La 
Figure 3 montre la distribution des fragments liquides ainsi que le champ de vitesse du gaz 
conditionné pour différentes valeurs du paramètre M . On remarque que le modèle ne peut pas 
reproduire la structure filamentaire du jet liquide; il représente statistiquement la distribution 
des échelles de liquide atomisées dans l’écoulement. Les distributions sur la Fig.3 sont en 
accord avec l’intuition physique: avec l’augmentation du paramètreM , le cœur liquide devient 
plus petit, la taille des fragments diminue. Ces fragments sont entraînés par l’écoulement de gaz, 
et le champ lointain est alimenté par des échelles de taille en accord relatif avec les mesures 
(Fig. 4). La distribution de fraction massique de liquide est donnée sur la Fig.5. L’angle du 
spray calculé correspond aux résultats de Villermaux 1998.  
 
Fig. 3. Jet liquide injecté dans un coflow de gaz à forte vitesse ( 0 140 /gu m s= ) pour différentes vitesses 
d’injection ( smu
l
/33.0
0
=  et smu
l
/8.2
0
= ). 
 
 
4 Conclusions Fig.4. Comparaisons  du D32 calculé avec les  
mesures de Lasheras et al. 1998 ug0 = 140 m/s). 
Fig. 5. Fraction de liquide calculée dans le spray 
assisté par air. 
 
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6 
 
Un modèle simple pour l’atomisation primaire assisté par air dans un spray turbulent 
caractérisé par un grand nombre de Weber est proposé. Dans ce modèle, la fragmentation du jet 
liquide est simulée de façon stochastique. Cette fragmentation est supposée assez rapide pour 
que l’évolution de l’épaisseur du cœur  liquide soit gouvernée par la fragmentation avec 
hypothèse de symétrie d’échelle. A partir des statistiques basées sur les réalisations 
géométriques du cœur liquide au voisinage de l’injecteur , des gouttes sont formées en utilisant 
une distribution présumée de tailles et la conservation du débit massique. Les gouttes sont 
soumises à l’atomisation secondaire et à la coalescence. Ces deux phénomènes sont simulés de 
façon stochastique comme le résultats des collisions entre gouttes. La modélisation stochastique 
du spray est couplée à la LES pour la phase gazeuse: à chaque pas de temps, le champ de vitesse 
du gaz calculé est conditionné par la fraction de liquide au voisinage de l’injecteur. Ce champ 
de vitesse conditionné contrôle la dynamique des gouttes produites. Les résultats de calcul pour 
différentes conditions initiales représentent qualitativement les résultats expérimentaux.  
Références 
 
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Modélisation stochastique de l'atomisation primaire et secondaire couplée à la LES

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