Le caractère aléatoire des imperfections géométriques initiales est souvent à l'origine des fortes dispersions obtenues expérimentalement sur les charges de flambement des coques minces et il est ainsi naturel de considérer ce problème mécanique sous l'angle probabiliste. Le travail présenté constitue une contribution en ce sens et aborde l'analyse de la stabilité des coques minces cylindriques sous pression externe avec imperfections géométriques aléatoires. Le problème mécanique fait appel à une résolution numérique par éléments finis et la probabilité de défaillance de la coque sous pression donnée est calculée à l'aide d'une méthode de simulation par subsets. Cette approche fiabiliste nécessite le choix d'un modèle stochastique pour la représentation du défaut. Pour ce faire, l'amplitude du défaut est décomposée en série de Fourier et les coefficients sont considérés comme variables aléatoires, les paramètres de ces variables étant identifiés à partir de données expérimentales

BOURINET, Jean-Marc

COCHELIN, Bruno

FOGLI, Michel

NOIRFALISE, Claudine

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
 
1 
Approche fiabiliste de la stabilité des coques minces  
avec imperfections géométriques aléatoires 
 
Claudine Noirfalise*, Jean-Marc Bourinet*, Michel Fogli* & Bruno Cochelin** 
 
* Laboratoire de Mécanique et Ingénieries, IFMA & Université Blaise Pascal  
Campus de Clermont-Ferrand - Les Cézeaux - BP 265 - 63175 AUBIÈRE Cedex  
Claudine.Noirfalise@ifma.fr 
 
** Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique, Université d’Aix Marseille, UPR 7051 
31 chemin Joseph-Aiguier - 13402 Marseille cedex 20 
 
 
 
 
Résumé : 
 
Le caractère aléatoire des imperfections géométriques initiales est souvent à l’origine des fortes 
dispersions obtenues expérimentalement sur les charges de flambement des coques minces et il est ainsi 
naturel de considérer ce problème mécanique sous l’angle probabiliste. Le travail présenté constitue  une 
contribution en ce sens et aborde l’analyse de la stabilité des coques minces cylindriques sous pression 
externe avec imperfections géométriques aléatoires. Le problème mécanique fait appel à une résolution 
numérique par éléments finis et la probabilité de défaillance de la coque sous pression donnée est 
calculée à l’aide d’une méthode de simulation par subsets. Cette approche fiabiliste nécessite le choix 
d’un modèle stochastique pour la représentation du défaut. Pour ce faire, l’amplitude du défaut est 
décomposée en série de Fourier et les coefficients sont considérés comme variables aléatoires, les 
paramètres de ces variables étant identifiés à partir de données expérimentales. 
 
Abstract : 
 
Discreprencies observed in experimental buckling loads related to thin shells are mostly due to the 
random nature of the initial geometric imperfections. It is therefore necessary to consider this problem 
from a probabilistic point of view. This paper represents a contribution to this area and addresses the 
stability of cylindrical thin shells with random initial shape imperfections under an external given 
pressure. In order to solve this problem, a subset simulation method is applied based on numerical results 
obtained from a finite element model. This approach requires the choice of a stochastic model for 
representing the initial imperfections. A Fourier decomposition method has been used and the coefficients 
are considered as random variables whose parameters are identified from experimental data.  
 
Mots-clefs :  
 
Coques minces ; Méthode Asymptotique Numérique ; Simulation par subsets 
 
1 Introduction 
 
Les grandes dispersions sur les charges critiques de flambement obtenues 
expérimentalement ont, depuis de nombreuses années déjà, conduit chercheurs et ingénieurs à 
considérer explicitement les imperfections des coques dans le calcul de ces charges. Le 
caractère aléatoire de ce phénomène a également conduit de nombreux auteurs à orienter leurs 
travaux vers des approches prenant en compte une description probabiliste de ces imperfections. 
Partant de mesures expérimentales sur des coques, Arbocz a été l’un des premiers à réaliser des 
études fiabilistes prenant en compte le caractère aléatoire des imperfections et basées sur une 
solution pseudo-analytique du problème de flambement. Ces travaux ont d’ailleurs conduit ce 
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même auteur à constituer une base de données regroupant des mesures sur des coques 
cylindriques imparfaites [Arbocz et al. (1995)]. Diverses approches probabilistes peuvent être 
recensées dans la littérature. Les travaux développés dans [Bourinet et al. (2001)] proposent une 
approche fiabiliste du problème de flambage des coques imparfaites et abordent le problème 
mécanique par une approche éléments finis (EF). Le défaut est un cumul d’au plus 2 modes 
considérés comme les plus critiques, les amplitudes affectées à ces modes étant modélisées par 
des variables aléatoires. Des approches probabilistes basées sur une représentation spectrale du 
champ du défaut ont également été menées par Schenk et al. (2005), avec comme objectif de 
déterminer un histogramme des pressions critiques. Une étude similaire a été menée plus 
récemment par Papadopoulos et al. (2005), basée elle aussi sur une représentation spectrale du 
défaut et s’appuyant sur une méthode aux éléments finis stochastiques. 
 
Les travaux proposés reprennent l’idée d’Arbocz qui consiste à développer l’amplitude de 
l’imperfection en série de Fourier à coefficients variables aléatoires. Les paramètres de ces 
variables aléatoires sont identifiés à partir de la base de données précédemment citée [Arbocz et 
al. (1999)]. La démarche utilisée s’appuie sur une méthode de simulation par subsets [Au et al. 
(2001)] couplée à une résolution numérique par éléments finis du problème de flambement, 
basée sur la méthode asymptotique numérique par éléments finis et mise en œuvre au sein du 
code EVE [Baguet (2001)]. Elle est techniquement possible grâce aux performances réunies de 
ces deux méthodes. 
 
2 Modèle stochastique pour les imperfections 
 
La modélisation stochastique des imperfections initiales est réalisée par analyse statistique 
de mesures des défauts relevées sur un échantillon significatif de structures réelles. Les 
paramètres du modèle étudié ont été identifiés à partir des mesures d’imperfections de coques 
réalisées par Arbocz et al. (1999). Une analyse harmonique de l’amplitude radiale de 
l’imperfection permet d’approcher cette dernière par le développement en série de Fourier 
tronqué suivant : 
 
( ) ( )( )14 14 140
0 0 1
( , ) cos cos cos sini jk jk
i j k
i x k x
w x t A t A k B k
L L
pi pi
θ θ θ
= = =
   
= + +   
   
∑ ∑ ∑  
 
où w désigne l’imperfection suivant l’axe radial du cylindre, (x,θ) sont les coordonnées axiale et 
circonférentielle du point considéré, t est l’épaisseur du cylindre, L sa longueur et Ail, Bkl, 
[ ] [ ] [ ]0,...,14 , 0,...,14 , 1,...,14i l k∈ ∈ ∈  sont les 435 coefficients du développement de Fourier. 
Les 27 coques utilisées pour l’étude comportent toutes une découpe circulaire ou rectangulaire, 
14 ont un rayon de 220 mm et 13 un rayon de 84 mm. Les découpes n’ont pas été prises en 
compte dans cette étude. Seules les données relatives aux 14 coques cylindriques de rayon 220 
mm ont été exploitées. Ces coques ont une épaisseur de 0.5 mm et une longueur de 1000 mm. 
L’étude statistique a donc été réalisée sur un échantillon comportant 14 réalisations de chacun 
des 435 coefficients de Fourier décrivant les défauts. Une sélection a été opérée parmi ces 
coefficients et au final, seuls 35 ont été conservés : les 35 ayant les plus grandes moyennes (en 
valeur absolue) pondérées additivement par 2 écarts-types (Figure 1). 
 
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3 
 
 
FIG. 1 – Coefficients Ail et Bkl conservés. 
 
Un test de Kolmogorov à 5% a conduit à retenir l’hypothèse de normalité pour ces 35 
variables aléatoires (v.a.). Tout comme leurs moyennes, la matrice de corrélation de ces v.a. a 
été estimée statistiquement. Pour les couples de v.a. dont le coefficient de corrélation était, en 
valeur absolue, supérieur à 3 2  (i.e. cos(Π/6)), il a été considéré que ces variables étaient liées 
linéairement. Pour les autres, la corrélation a été considérée comme nulle et par suite les v.a. 
concernées supposées indépendantes. Au final, 14 relations linéaires ont été déterminées et 21 
coefficients de Fourier aléatoires retenus pour modéliser la distribution du défaut. 
 
3 Modèle mécanique EF 
 
Le modèle mécanique utilisé permet de prendre en compte les non-linéarités géométriques 
et s’appuie sur une méthode originale et performante : la Méthode Asymptotique Numérique 
(MAN). L’idée consiste à ramener le problème non linéaire de départ à une suite de problèmes 
linéaires, les inconnues de base étant exprimées sous forme polynomiale. Ce système de 
problèmes linéaires est ensuite résolu par une méthode aux éléments finis classique. Cette 
méthode est intégrée dans le code de calcul EVE développé au LMA de Marseille. La 
détermination de la pression critique de flambement est réalisée avec ce code. Les dimensions 
du cylindre étudié sont celles des 14 cylindres exploités dans l’étude statistique, à savoir un 
rayon de 220 mm, une épaisseur de 0.5 mm et une longueur de 1000 mm. Le modèle numérique 
est discrétisé en 1000 éléments finis de coque de type Büchter et Ramm, permettant de prendre  
en compte le cisaillement transverse et les grandes rotations. Les déplacements des nœuds 
appartenant aux deux extrémités du cylindre sont bloqués dans la direction radiale dans le repère 
local (conditions de type SS-3). Le matériau est considéré comme linéaire élastique (coque 
suffisamment mince), de module d’Young 53260 MPa et de coefficient de Poisson 0,3. Un 
algorithme de détection des points singuliers basé sur une perturbation en déplacement [Baguet 
(2001)] permet de déterminer la pression critique. Des travaux complémentaires ont été 
effectués sur le code EVE afin de prendre en compte les conditions aux limites dans le repère 
local et l’effet des forces suiveuses. 
 
4 Calcul fiabiliste  
 
Les calculs fiabilistes ont été menés à l’aide du code FERUM (Finite Element Reliability 
Using Matlab), initialement créé à l’Université de Berkeley et intégrant depuis de nouvelles 
fonctionnalités issues des travaux réalisés au LaMI. La mise en oeuvre pratique de calculs 
fiabilistes basés sur un modèle mécanique EF requiert une puissance de calcul importante. Pour 
cette raison, les calculs ont été effectués sur un cluster de 28 PC bi-processeurs, avec adaptation 
des algorithmes de fiabilité pour utiliser au mieux la distribution des calculs. La probabilité de 
défaillance Pf  de la coque soumise à une pression donnée a été évaluée à l’aide d’une méthode 
de simulation par subsets [Au et al. (2001)]. L’idée de base de cette méthode est d’exprimer la 
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probabilité de défaillance Pf comme un produit de probabilités conditionnelles de valeurs plus 
élevées que celle qui est cherchée et dont l’évaluation nécessitera de ce fait un nombre de 
calculs beaucoup moins important. Le principe est décrit brièvement ci-après. Soit 
2 1  mF F F⊂ ⊂ ⊂…  m événements inclusivement ordonnés tels que, { }1, ,i m∀ ∈  , 
{ }( ) 0i iF g ξ= ≤ , où 1( , , )nξ ξ ξ= …  est le vecteur n-dimensionnel des v.a. de base du 
problème, gi est une fonction mesurable de n  dans   et Fm - l’événement le plus improbable 
de la famille { }1, , mF F… , car 1 1P( ) P( ) P( )m mF F F−≤ ≤ ≤  - est choisi pour coïncider avec 
l’événement de défaillance F du problème, i.e. Fm=F. On a : 1m iiF F== ∩  et de la formule des 
probabilités conditionnelles il résulte que :  
1
1 1
1
P( ) P( )mf i i
i
P F F F
−
+
=
∏=  
 
La probabilité P(F1) - la plus grande de toutes les probabilités P(Fi) - est calculée en utilisant 
une procédure de Monte-Carlo standard. Par exemple, avec la procédure la plus classique, elle 
s’obtient par : 
1 11 D D
1
1P( ) IE ( ) ( )1 1
N
k
k
F y
N
ξ
=
∑=      
où IE désigne l’espérance mathématique, D1 est le sous-ensemble de n  tel que : 
{ }1 1: ( ) 0nD y g y= ∈ ≤ , 1D1 est son indicatrice (telle que 1D ( ) 11 y =  si 1y D∈  et 1D ( ) 01 y =  si 
1y D∉ ) et { }1, , Ny y…  est un N-échantillon de réalisations simulées du vecteur aléatoire ξ . 
Quant aux probabilités conditionnelles { }1P( ) ; 1, , 1i iF F i m+ = −… , elles sont estimées en 
utilisant une méthode basée sur un principe MCMC (Monte-Carlo Markov Chain) : l’algorithme 
de Metropolis-Hastings. Cet algorithme, qui repose sur la construction d’une chaîne de Markov 
ergodique dont la distribution invariante est adaptée au problème à résoudre, n’est pas détaillé 
ici et le lecteur intéressé est renvoyé aux références [Metropolis et al. (1953), Hastings (1970), 
Bartoli et al. (2001)] pour plus de détails.  
On notera que, comme la probabilité P(F1), toutes les probabilités conditionnelles 1P( )i iF F+  
sont beaucoup plus grandes que la probabilité cible P(F). 
 
5 Résultats 
 
La pression critique de flambement du cylindre parfait a été déterminée numériquement et 
vaut 2900 Pa. Le mode de flambement obtenu pour la coque parfaite est le mode 6. Ce mode 
peut être différent pour la coque avec imperfection, suivant les réalisations des v.a. de base (cf. 
Figure 2). 
 
 
FIG. 2 – Déformées d’une coque cylindrique avec (droite) et sans défauts (gauche). 
 
Pour l’étude fiabiliste, la probabilité de défaillance considérée est telle que : 
 
( ) ( ) ( ) 0P ( ) 0   ;  fP g g p pξ ξ ξ= ≤ = −  
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5 
 
où le vecteur aléatoire d’état ξ regroupe les 21 v.a. de base modélisant les imperfections, p est la 
pression critique fournie par EVE pour le cylindre sous pression externe avec imperfections 
initiales et 0p  est une pression critique de référence. 
Le tableau 1 ci-dessous fournit les résultats obtenus pour 4 valeurs de la pression de référence : 
1900, 1950, 2100 et 2200 Pa, ainsi que les résultats intermédiaires pour chaque pas de subsets. 
Les résultats sont fournis en termes de probabilité de défaillance (Pf) et d’indice de fiabilité 
généralisé (β). 
 
 p0 = 2200 Pa p0 = 2100 Pa p0 = 1950 Pa p0 = 1900 Pa 
Nombre total de calcul 2000 6189 8369 10000 
Nombre de pas de subsets 2 3 4 5 
Probabilité pas 1 (Coeff. Var.) 1.10-1 (~ 9,5 %) 1.10-1  (~ 7 %) 1.10-1 (~ 6,7 %) 1.10-1 (~ 7 % ) 
Probabilité pas 2 (Coeff. Var.) 2.04.10-1 (~ 10 %) 9,95.10-2 (~ 11 %) 9,95.10-2 (~ 10 %) 1.10-1 (~ 11 %) 
Probabilité pas 3 (Coeff. Var.)  4,64.10-1(~ 5 %) 9,96.10-2 (~ 13 %) 1.10-1 (~ 13 %) 
Probabilité pas 4 (Coeff. Var.)   1,83.10-1 (~ 10 %) 1.10-1 (~ 14 %) 
Probabilité pas 5 (Coeff. Var.)    9,78.10-1 (~ 0.9%) 
Probabilité de défaillance Pf 2,04.10-2 4,62.10-3 1,8182.10-4 9,78.10-5 
Coefficient de variation ~ 14 % ~ 14 % ~ 20 % ~ 22 % 
β 2,05 2,60 3,57 3,72 
 
TAB. 1 – Résultats des simulations par subsets. 
 
Les performances réunies de la méthode EF (MAN) et de la procédure de simulation 
(subsets) utilisées pour cette application ont permis de mener à bien les calculs malgré la 
complexité du problème, et ce avec une efficacité d’autant plus grande que la probabilité cible 
est faible. Le modèle probabiliste des imperfections géométriques a été calé sur les données 
expérimentales. Une méthode de type FORM (First Order Reliability Method), qui 
généralement ne requiert qu’un faible nombre de calculs, a également été appliquée mais 
malheureusement sans succès ici (défaut de convergence), peut-être en raison du nombre 
important de v.a. de base. 
 
6 Conclusion 
 
A l’issue de cette étude, de nombreuses perspectives sont envisagées. Concernant la 
modélisation stochastique du défaut, un modèle par champs bornés et une représentation 
spectrale de type Karhunen-Loève tronquée seront testés. Il est également projeté de mener 
l’étude fiabiliste en se basant sur une nouvelle méthode combinant le principe des simulations 
par subsets et un remplacement des états limites intermédiaires par un séparateur SVM (Support 
Vector Machine). Cette méthode présente l’avantage de diminuer le nombre d’appels au modèle 
EF, et probablement de conduire à une réduction de la variance de l’estimation de Pf. Enfin, il 
est possible d’envisager l’application de cette étude à des structures plus complexes, sous 
réserve de disposer d’un nombre suffisant de données. L’originalité des travaux présentés réside 
dans la réalisation de calculs fiabilistes (et non de simples études de sensibilités) basés sur une 
méthode EF performante et précise appliquée à un problème 3D de type coque, et intégrant une 
description suffisamment générale de l’aléa sur l’amplitude de l’imperfection, avec un coût de 
calcul acceptable. 
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Références 
 
Au, S.K. & Beck, J.L. 2001 Estimation of small failure probabilities in high dimensions by 
subset simulation. Probabilistic Engineering Mechanics 16(4), 263-277 
 
Arbocz, J. & Hol, J.M.A.N. 1995 Collapse of axially compressed cylindrical Shells with 
random Imperfections. Thin-Walled Structures 23, 131-158 
 
Arbocz, J. & Abramovich, H. 1999 The initial imperfection data bank at the Delft University of 
Technology – Part VI, Memorandum M-867, Delft University of Technology. 
 
Baguet, S. 2001 Stabilité des structures minces et sensibilité aux imperfections par la méthode 
asymptotique numérique. Thèse de doctorat, Université de Aix-Marseille II. 
 
Bourinet, J.M., Gayton, N., Lemaire, M. & Combescure, A. 2001 Plastic collapse of imperfect 
submarine pressure hulls: a probabilistic approach. ICOSSAR 2001, USA. (ed. Corotis et al.). 
Swets & Zeitinger. 
 
Bartoli, N. & Del Moral, P. 2001 Simulation et algorithmes stochastiques. Cépaduès Editions. 
 
Hastings, W.K. 1970 Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their 
applications. Biometrika 57, 97-109 
 
Metropolis, N., Rosenbluth, A.W., Rosenbluth, M.N., Teller, A.H. & Teller, E. 1953 Equation 
of State Calculations by Fast Computing Machines. J. Chem. Phys. 21, 1087-1092. 
 
Papadopoulos, V. & Papadrakakis, M. 2005 The effect of material and thickness variability on 
the buckling load of shells with random initial imperfections. Computer Methods in Applied 
Mechanics and Engineering 194, 1405-1426. 
 
Schenk, C.A. & Schuëller, G.I 2005 Uncertainty Assessment of Large Finite Element Systems. 
Berlin New York, Springer. 
 
 
 
 


Approche fiabiliste de la stabilité des coques minces avec imperfections géométriques aléatoires

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