L'effet mémoire des AMF est obtenu sous un chargement thermomécanique. Ceci peut être exploité et être à l'origine du développement d'actionneurs de nouvelle génération. Le point fort de ces actionneurs est la simplification du mécanisme mais le comportement complexe de ces matériaux rend la commande de l'actionneur plus difficile. Dans ce papier nous avons développé un modèle thermomécanique simplifié de ces matériaux pour établir un schéma de commande en prenant en compte la physique du système. Ce modèle permet la description du comportement non linéaire des AMF sous chargements thermomécaniques pour des structures simples telles que les ressorts. Nous nous intéressons aux actionneurs intégrant des ressorts à base d'AMF. Deux types d'actionneurs seront étudiés : un actionneur simple qui comporte un ressort sous une charge constante et un actionneur antagoniste comportant un ressort en AMF et un ressort élastique de rappel

ARBAB CHIRANI, Shabnam

BOURGEOT, Jean-Matthieu

CALLOCH S.

GEDOUIN, Pierre-Antoine

PINO L.

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Actionneur à architecture antagoniste à base d’alliages à mémoire de 
forme : Modèle thermomécanique simplifié pour la commande 
 
J.-M. Bourgeot
1
, P.A. Gédouin
1
, S. Arbab Chirani
1
, L. Pino
1
 & S. Calloch
2
 
 
1
ENIB, LRM, Pôle de Mécanqiue Brestois 
CS 73862 – 29238 Brest Cedex 3 
2 
ENSIETA, MSN, Pôle de Mécanqiue Brestois, 
2, rue François Verny – 29806 Brest Cedex 9  
e-mail : bourgeot@enib.fr  
 
 
 
 
 
Résumé : 
 
L’effet mémoire des AMF est obtenu sous un chargement thermomécanique. Ceci peut être exploité et 
être à l’origine du développement d’actionneurs de nouvelle génération. Le point fort de ces actionneurs 
est la simplification du mécanisme mais le comportement complexe de ces matériaux rend la commande 
de l’actionneur plus difficile. Dans ce papier nous avons développé un modèle thermomécanique simplifié 
de ces matériaux pour établir un schéma de commande en prenant en compte la physique du système. Ce 
modèle permet la description du comportement non linéaire des AMF sous chargements 
thermomécaniques pour des structures simples telles que les ressorts. Nous nous intéressons aux 
actionneurs intégrant des ressorts à base d’AMF. Deux types d’actionneurs seront étudiés : un 
actionneur simple qui comporte un ressort sous une charge constante et un actionneur antagoniste 
comportant un ressort en AMF et un ressort élastique de rappel. 
 
Abstract : 
 
Memory effect of shape memory alloys (SMA) is obtained under a thermomechanical loading. This can be 
used and be at the origin of the development of new generation of actuators. The positive point of these 
actuators is the mechanism simplification but the complex behaviour of these materials makes their 
control difficult. In this paper a simplified thermomechanical model has been developed to define a 
scheme of control taking into account the physique of the system. This model permits the description of 
the non linearity of SMA behaviour under thermomechanical loadings pour simple structures like springs. 
Two type of actuators have been studied: a simple actuator based on a SMA spring under a constant 
loading and an antagonist actuator based on the combination of a SMA spring and an elastic one. 
 
Mots-clefs :  
 
Actionneurs ; alliage à mémoire de forme ; commande 
 
1 Introduction 
 
Les alliages à mémoire de forme (AMF) ont la capacité de se déformer de manière 
spectaculaire et de retrouver leur forme initiale suite à un trajet de chargement 
thermomécanique. Cet effet mémoire est basé sur une transformation de phase solide-solide de 
type martensitique. Cette variation de forme, contrôlée par une variation de température, peut 
être exploitée dans le développement d’actionneurs. De plus en plus d’applications intègrent les 
actionneurs à base d’AMF (Kim et al. (2006) et De Sars. (2005)) et en particulier les systèmes 
de faible dimension (e.g. les MEMS) (Kohl et al. (2002)). Plusieurs facteurs jouent en faveur 
des AMF : la production de mouvement sans frottement, la réduction de la masse et  des 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
dimensions du système développé. Mais leur comportement hystérétique fortement non linéaire, 
le temps de réponse long et également la fatigue de ces matériaux restent des problèmes à 
résoudre afin d’améliorer leurs performances. 
Pour décrire le comportement de ces matériaux, des modèles de comportement 
tridimensionnel existent dans la littérature (Patoor et al. (1994)). Ces modèles sont capables de 
reproduire les particularités de leurs comportements mais ils sont numériquement très lourds et 
leur utilisation dans la construction d’un schéma de commande reste difficile. C’est la raison 
pour laquelle il est nécessaire de posséder des modèles de comportement fiables mais simples 
pour pouvoir les utiliser en commande. 
Très souvent des actionneurs à base des AMF intègrent des structures simples tels que des 
fils et des ressorts. Dans cette étude nous nous intéressons à deux types d’actionneur à base de 
ressorts. Il s’agit d’un actionneur simple travaillant sous une charge constante et un actionneur 
antagoniste à base d’un ressort en AMF et d’un ressort de rappel élastique. Dans le cas des deux 
actionneurs le moyen de chauffage du ressort est l’effet Joule obtenu par le passage d’un 
courant électrique au travers de l’actionneur. Un modèle thermomécanique simple permettant de 
décrire le comportement thermomécanique d’un ressort en AMF a été développé. Ce modèle 
permet de connaître la déflexion du ressort sous chargement purement mécanique ou sous un 
chargement thermomécanique. Après la résolution de l’équation de la chaleur, il est donc 
possible de déterminer le déplacement de l’actionneur. Dans la suite, les équations mises en jeu 
dans le cas des deux actionneurs seront détaillées. Finalement un schéma de contrôle basé sur 
une commande linéarisante est proposé pour l’actionneur simple travaillant sous une charge 
constante. 
 
2 Actionneur simple à base d’un ressort en AMF 
 
2.1 Principe de fonctionnement 
 
Cet actionneur intègre un ressort en AMF qui est relié à une masse constante. Les 
températures de transformation sont notées :
0
sM pour la température de martensite start,
0
fM  
pour la température de martensite finish,
0
sA pour la température d’austénite start et 
0
fA pour la 
température d’austénite finish à contrainte nulle. Il est bien connu que ces températures 
augmentent avec le niveau de contrainte. A basse température le ressort martensitique, sous 
l’effet de la masse, subi une déformation pseudoplastique. Durant la phase de chauffage qui est 
assuré par l’effet Joule cette déformation diminue jusqu’à la disparition complète si la 
température dépasse la température
τ
fA . Durant cette phase de variation de température, 
l’actionneur crée un mouvement vertical qui se traduit par le déplacement de la masse vers le 
haut. Une fois le chauffage terminé, le refroidissement s’effectue par l’échange de chaleur avec 
l’environnement et la masse va descendre pour gagner sa position initiale (figure 1).  
 
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
3 
FIG. 1 – Principe de fonctionnement d’un actionneur simple 
2.2 Modèle thermomécanique associé 
 
Il s’agit de modéliser le comportement d’un ressort en AMF sous une charge constante. 
Dans ce cadre l’hypothèse de base est qu’un ressort hélicoïdal est soumis localement à de la 
torsion pure. Dans la suite nous utiliserons les relations de base de la résistance des matériaux 
(Timoshenko (1947)) afin d’établir une relation entre la déflexion du ressort et la température. 
On s’intéresse premièrement à modéliser le comportement pseudoplastique du ressort. Ce 
comportement est obtenu de manière isotherme dans le domaine martensitique (température 
inférieure à
0
sA ) sous un chargement mécanique. Dans cette phase de comportement nous allons 
adopter la démarche suivante. Premièrement on se donne un comportement pseudoplastique 
parfait ensuite ce comportement est étudié au niveau d’un élément de fil en torsion pure. Nous 
procédons à une intégration sur la longueur globale du ressort afin de déterminer une relation 
entre la déflexion du ressort et la charge. 
Nous rappelons le comportement d’un ressort hélicoïdal élastique : 
0t IGM θ=   (1) 
Avec G module de cisaillement, θ angle unitaire de torsion et 0I moment quadratique 
polaire. 
La relation de Bresse permet d’obtenir la déflexion en fonction de la charge 
appliquée (dans le cas d’un ressort élastique) : 
4
3n2
0 0
3
Gd
nPD8
d
GI
PR
f =ϕ= ∫
pi
 (2) 
Avec f la déflexion du ressort, P la charge appliquée, D le diamètre du ressort, d le 
diamètre du fil du ressort et n le nombre de spires. 
Dans le cas d’un ressort en AMF pseudoplastique (chargement isotherme), nous obtenons : 
n2
G4
D
PD3r4
f
m
2
3/1
3
c
4
c pi





−piτ
piτ
=  (3) 
Avec cτ la limite du début de réorientation de la martensite en cisaillement (début du 
comportement non liénaire), mG module de cisaillement de la phase martensitique et r le rayon 
du fil du ressort. La fin du comportement linéaire est caractérisée par une déflexion notée fc et 
une charge notée Pc : 
D8
d
P;
dG
nD
f
3
c
c
m
2
c
c
piτ
=
piτ
=  (4) 
Dans le cas d’un ressort en AMF qui subit une variation de température sous une charge 
constante, nous adoptons une relation linéaire entre la température et la déformation. On peut 
donc écrire l’évolution de la déflexion du ressort en fonction de la température de la façon 
suivante (ceci est valable sur une intervalle de température ]A,A[ fs
ττ ) : 
ciniini
fs
s ffff
AA
AT
ff −=∆+
−
−∆= ;
ττ
τ
 (5) 
Avec T la température, 
τ
sA la température de l’austénite start à une contrainte τ ,
τ
fA  la 
température de l’austénite finish à une contrainte τ . fini et fc sont définies respectivement par les 
relation (3) et (4). 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
4 
L’évolution de la température, durant la phase de chauffage, en fonction du temps et du 
niveau de courant électrique est obtenue en résolvant l’équation de chaleur qui la forme 
suivante : 
)(2 ep TThSRi
dt
dT
VC −−=ρ  (6) 
Avec ρ la densité, pC la chaleur spécifique, V le volume du ressort, T la température, t le 
temps, R la résistance du ressort, i le courant électrique, h le coefficient du convection, S la 
surface extérieure du ressort et Te la température extérieur. 
 
3 Actionneur antagoniste à base d’un ressort en AMF et un ressort élastique 
 
3.1 Principe de fonctionnement 
 
Cet actionneur intègre un ressort en AMF et un ressort de rappel élastique. A la mise en 
place des ressorts à une température inférieure à sA , le ressort élastique déforme le ressort 
pseudo plastique en AMF (figure 2-1a). La variation de température entre 
τ
sA et 
τ
fA va entraîner 
une variation de longueur du ressort en AMF et donc va générer le mouvement du point A 
(figure 2-1b). Le déplacement maximal de ce point est obtenu par un chauffage supérieur à 
τ
fA (figure 2-1c) et est conditionné par la déformation initiale du ressort dans sa phase 
martensitique lors de la phase de la mise en place des ressorts. A noter sur cet actionneur que 
durant la phase de chauffage, le niveau d’effort exercé sur le ressort en AMF n’est pas constant.  
 
 
FIG. 2 – Principe du fonctionnement et de la mise en équation de l’actionneur antagoniste. 
 
3.2 Modèle thermomécanique associé 
 
Durant la phase de mise en place des ressorts. En se basant sur l’équation (3) et le 
comportement d’un ressort élastique, nous avons la possibilité d’évaluer le niveau de P0 (la 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
5 
charge de précontrainte du ressort AMF) en résolvant l’équation (7). Une fois P0 déterminée, il 
est donc possible d’évaluer la déflexion des deux ressorts. 
3
2
m
3
2
0
0
3
c
4
c
nD
G2
k
P
e
DP3r4






pi






−=
−piτ
piτ
 (7) 
Avec k2 la raideur du ressort élastique, e est définie sur la figure 2-1a.  
Durant la phase de chauffage, le niveau d’effort exercé sur le ressort AMF est variable. On 
est alors à une température entre 
τ
sA  et
τ
fA  (figure 2-2a). Pour surmonter cette difficulté, nous 
ajoutons une étape virtuelle de détachement des deux ressorts (figure 2-2b). Dans cette 
configuration en fonction de la température, sous une charge constante sur le ressort AMF la 
déflexion est calculée en utilisant l’équation (5). A nouveau les deux ressorts seront attachés à 
une température constante (figure 2-2c) et on se retrouve dans une configuration similaire à la 
mise en place des ressorts au départ. L’équation (7) est à nouveau utilisée avec le paramètre e 
qui a varié durant la phase de chauffage.  
La détermination de l’évolution de température reste similaire par rapport au cas précédent. 
 
4 Schéma de commande 
 
Dans ce paragraphe nous nous intéressons à la commande de l’actionneur simple modélisé 
par les équations (5) et (6). L’objectif de cette commande est d’atteindre une position 
souhaitée ];[ cinides fff ∈ . Le système dispose d’un capteur de la températureT . L’entrée de 
commande est la puissance fournie à l’AMF par effet Joule
2RiPcom = , c’est-à-dire que l’on 
suppose que la tension et le courant fournis à l’AMF sont contrôlés par le dispositif 
d’alimentation de l’AMF. D’après l’équation (5), et en supposant que l’on ne fait que chauffer 
l’AMF, le problème d’atteindre la position desf  est équivalent au problème d’atteindre une 
température donnée desT , avec
τττ
sfsinidesdes AfAAffT +∆−−= /))(( . 
Le schéma de commande le plus simple, pour réguler la température, serait d’utiliser un 
simple correcteur proportionnel de la forme )(1 despcom TTKP −−= . Le bouclage de cette loi de 
commande avec la dynamique définie par l’équation (6) fait apparaître une erreur statique 
si edes TT ≠ . Un moyen classique pour annuler cette erreur statique serait d’utiliser un terme 
intégral dans le correcteur. L’utilisation d’un terme intégral introduit obligatoirement un 
dépassement de la consigne durant le régime transitoire. Or on ne souhaite pas avoir de 
dépassement pour que l’équation (5) reste valide. On propose donc de régler le problème de 
l’erreur statique, sans avoir de dépassement, en utilisant une boucle de contrôle linéarisante sur 
la dynamique d’évolution de la température. De sorte que l’on ait une dynamique, de la forme   
udtdT =/  , entre la température de l’AMF et notre nouvelle commande auxiliaireu . La 
dynamique udtdT =/  peut cette fois être régulée sans erreur statique et sans dépassement 
avec un simple correcteur proportionnel : )(2 desp TTKu −−= . Soit le schéma de commande de 
la figure 3, on choisit la commande linéarisante suivante : 
)(),( epcom TThSVuCuTLP −+== ρ  (8) 
En insérant l’équation (8) dans l’équation (6) on obtient la dynamique en boucle fermée 
souhaitée :  
)(
)()(
2 desp
p
e
p
ep
TTKu
VC
TThS
VC
TThSVuC
dt
dT
−−==
−
−
−+
=
ρρ
ρ
 (9) 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
6 
fT
de consigne
Ge´ne´rateur
Kp2
fdes Tdes
Bouclage interne de line´arisation dT
dt
= u
Boucle re´gulation de tempe´rature
Pcom = L(T, u) T˙ =
1
ρCpV
[Pcom − hS(T − Te)]
Pcom
u
 
FIG. 3 – Schéma de commande. 
 
La figure 4 montre les réponses du correcteur proportionnel sans linéarisation et du 
correcteur avec linéarisation pour une consigne 2=desf mm. Les gains 1pK et 2pK sont choisis 
pour que la puissance apportée par effet Joule soit comparable dans les deux cas. 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
−0
Erreur en temperature
t (s)
T−
Td
es
 (Â
°C
)
P
P + lin.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
Position
t (s)
f (
mm
)
P
P + lin.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
10
20
30
40
50
60
Puissance
t (s)
P
co
m
 (W
)
P
P + lin. ρCpV = 1.87J/K
hS = 4.9 10−2W/K
fini = 6.4mm
fc = 1.4mm
Aτs = 75 deg C
Aτf = 85 degC
fdes = 2mm
Te = 20 deg C
Kp1 = 1
Kp2 = 0.5
 
FIG. 4 – Simulation. 
 
4 Conclusions 
 
Dans ce papier nous avons proposé un modèle thermomécanique simplifié pour deux 
structures d’actionneur à base de ressorts en AMF. Un schéma de commande a été proposé pour 
l’actionneur relié à une masse constante, puis testé en simulation. En ce qui concerne les 
perspectives, il serait intéressant d’étendre le modèle simplifié pour un actionneur basé sur deux 
ressorts AMF antagonistes, de généraliser le schéma de commande aux différentes structures 
d’actionneur et enfin de tester ce schéma de commande sur un prototype d’actionneur. 
 
Références 
 
De Sars, V. 2005 Conception et commande d’une micro-structure active à haute mobilité. 
Application à la chirurgie mini invasive. Thèse de Doctorat, Université Paris VI 
 
Kim, B., Lee, M.G., Lee, Y.P., Kim, Y. and Lee G. 2006 An earthworm-like micro robot using 
shape memory alloy actuator. Sensors and Actuators A: Physical, 125, 429-437 
 
Kohl, M., Krevet, B. and Just, E 2002 SMA microgripper system , Sensors and Actuators A: 
Physical, 97-98, 646-652 
 
Patoor, E., Eberhardt, A., Berveiller, M., 1994. Micromechanical modelling of the shape 
memory behavior. In: Brinson, L.C., Moran, B. (Eds.), Mechanics of phase transformation and 
shape memory alloys, AMD-Vol. 189, PVP-Vol. 292. ASME, pp. 23-37. 
 
Timoshenko, S. 1947 Résistance des matériaux, édité par BERANGER 
 


Actionneur à architecture antagoniste à base d'alliages à mémoire de forme : Modèle thermomécanique simplifié pour la commande

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