Une goutte conductrice posée sur la plaque inférieure d'un condensateur aux bornes duquel une tension est appliquée acquiert à son interface des charges électriques et subit ainsi l'action d'une force électrostatique normale aux électrodes. Si le champ électrique dépasse une valeur seuil, la force électrique exercée sur la goutte peut provoquer son détachement. Le Ny (1981) a donné les expressions nécessaires au calcul de la charge acquise et l'intensité de la force électrique mais celles-ci sont restreintes aux cas de gouttes indéformables ; il manque un modèle théorique qui tienne compte de la déformation de la goutte (Khayari et col., 2003). Dans la présente communication, nous présentons le calcul asymptotique de la déformation de l'interface sous l'action de la pression électrostatique, pour de petits nombres d'Eötvos et de Bond électrique. Un mécanisme est également proposé pour décrire le détachement d'une goutte posée. Les expériences menées illustrent le mécanisme proposé et confirment les modèles établis

ACHARD, Jean-Luc

FOUILLET, Yves

ROUX, Jean-Maxime

National audienceUne goutte conductrice posée sur la plaque inférieure d'un condensateur aux bornes duquel une tension est appliquée acquiert à son interface des charges électriques et subit ainsi l'action d'une force électrostatique normale aux électrodes. Si le champ électrique dépasse une valeur seuil, la force électrique exercée sur la goutte peut provoquer son détachement. Le Ny (1981) a donné les expressions nécessaires au calcul de la charge acquise et l'intensité de la force électrique mais celles ci sont restreintes aux cas de gouttes indéformables ; il manque un modèle théorique qui tienne compte de la déformation de la goutte (Khayari et col., 2003). Dans la présente communication, nous présentons le calcul asymptotique de la déformation de l'interface sous l'action de la pression électrostatique, pour de petits nombres d'Eötvos et de Bond électrique. Un mécanisme est également proposé pour décrire le détachement d'une goutte posée. Les expériences menées illustrent le mécanisme proposé et confirment les modèles établis

Roux, Jean-Maxime

Achard, Jean-Luc

Fouillet, Yves

HAL-CEA

Détachement d'une microgoutte légèrement déformable sous l'action d'une force électrique

Hal - Université Grenoble Alpes

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Détachement d’une microgoutte légèrement déformable sous l’action d’une 
force électrique 
 
Jean-Maxime Roux, Jean-Luc Achard & Yves Fouillet 
 
Commissariat à l’Energie Atomique 
Laboratoire de Conception Intégré pour le Vivant 
17 avenue des Martyrs, 38054 Grenoble Cedex 9 
rouxjm@cea.fr 
 
Laboratoire des Ecoulements Géophysiques et Industriels 
38041 Grenoble Cedex 9 
 
Résumé : 
 
Une goutte conductrice posée sur la plaque inférieure d’un condensateur aux bornes duquel une tension 
est appliquée acquiert à son interface des charges électriques et subit ainsi l’action d’une force 
électrostatique normale aux électrodes. Si le champ électrique dépasse une valeur seuil, la force 
électrique exercée sur la goutte peut provoquer son détachement. Le Ny (1981) a donné les expressions 
nécessaires au calcul de la charge acquise et l’intensité de la force électrique mais celles-ci sont 
restreintes aux cas de gouttes indéformables ; il manque un modèle théorique qui tienne compte de la 
déformation de la goutte (Khayari et col., 2003). Dans la présente communication, nous présentons le 
calcul asymptotique de la déformation de l’interface sous l’action de la pression électrostatique, pour de 
petits nombres d’Eötvos et de Bond électrique. Un mécanisme est également proposé pour décrire le 
détachement d’une goutte posée. Les expériences menées illustrent le mécanisme proposé et confirment 
les modèles établis. 
 
Abstract : 
 
A conducting droplet set on the lower plate of a condenser acquires an electrical charge when subjected 
to an electrical field. An electrical force, normal to the condenser electrodes, is then exerted on the 
droplet. Above a threshold value the electrical force can lift the droplet. Le Ny (1981) gave the charge 
and the force expressions but their validity is restricted to the case of non deformable droplets; a 
theoretical model which take the interface deformation into account is missing (Khayari et al., 2003). In 
the present paper we introduce the asymptotic calculation of the droplet deformation due to the 
electrostatic pressure, in the case of small Eötvos and electrical Bond numbers. A model is also given to 
describe the detachment of the droplet from the electrode. Some experimental results are shown to 
illustrate and confirm the theory. 
 
Mots-clefs :  
 
interface ; champ électrique ; déformation  
 
1 Introduction 
 
Nous étudions le comportement de gouttes conductrices plongées dans un fluide isolant, à 
partir de forces électroquasistatiques qui s’exercent aux interfaces fluide/fluide ; sont visés les 
microsystèmes fluidiques en général et les labopuces en particulier. Ces microsystèmes 
possèdent une structure planaire délimitée par deux substrats parallèles ; les déplacements de 
gouttes y sont donc d’abord envisagés sur la surface d’un des substrats. Un procédé de 
déplacement supplémentaire, favorable à certains protocoles, a été imaginé. Il permet de 
détacher et de transférer une microgoutte par l’action d’une force électrostatique d’un substrat 
conducteur à l’autre en regard (Roux et col., 2006). Un modèle physique de ce phénomène est 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
une goutte posée dans un condensateur aux bornes duquel une tension est appliquée ; cette 
goutte acquiert, à l’interface, des charges électriques et subit l’action d’une force électrostatique 
normale aux électrodes. Si le champ électrique dépasse une valeur seuil, la force électrique 
exercée sur la goutte peut provoquer son détachement. Les travaux de Lebedev et Skalskaya 
(1962) puis Le Ny (1981) permettent de calculer la quantité de charges acquises et l’intensité de 
la force électrique mais les expressions obtenues ne sont valables que dans le cas de gouttes 
indéformables. Dans le cas très particulier d’un mouillage nul, ces travaux donnent une très 
bonne description du décollage d’une goutte (Roux, 2006) mais le problème du détachement 
dans le cas d’une goutte en situation de mouillage partiel n’a pas encore été correctement décrit. 
Il manque pour ce faire un modèle théorique qui tienne compte de la déformation, aussi petite 
soit elle,  de la goutte (Khayari et col., 2003). 
Dans la présente communication, nous présentons, en adaptant les travaux de Smith et Van 
de Ven (1984), le calcul asymptotique de la déformation de l’interface sous l’action des 
pressions hydrostatique et électrostatique, pour de petits nombres d’Eötvos et de Bond 
électrique. Un mécanisme est également proposé pour décrire le détachement d’une goutte 
posée sur un support conducteur et hydrophobe sous l’action de la force électrique. Les calculs 
présentés permettent d’évaluer le champ électrique à imposer à la goutte pour provoquer son 
détachement. Pour confirmer le mécanisme proposé, des expériences sont conduites avec une 
avec une goutte d’eau posée sur une électrode rendue hydrophobe. 
 
2 Formulation du problème 
 
Soit une goutte conductrice de volume V , de masse volumique iρ , de permittivité iε  et 
de tension de surface γ . Elle est posée sur l’électrode inférieure d’un condensateur plan avec 
laquelle elle forme un angle sθ  (Figure 1). Une tension constante hEV ∞∞ =  est imposée aux 
bornes du condensateur dont le diélectrique est un milieu liquide homogène de masse 
volumique hρ , de permittivité hε  et dont l’écartement h des électrodes est grand devant le 
rayon a de la goutte. 
Les coordonnées polaires ( )φ,r  sont introduites pour décrire la forme de l’interface. 
Comme le montre la Figure 1, leur origine est choisie au centre de la calotte sphérique de sorte 
que la déformation, depuis la géométrie sphérique, soit caractérisée par ( )φh~ , la différence 
entre le rayon r de l’interface et le rayon a de la calotte sphérique. 
 
FIG. 1 – Description schématique d’une goutte posée légèrement étirée sous l’action de la 
pression électrostatique et d’une calotte sphérique de même volume. Les coordonnées polaires 
(r, f) sont introduites et leur origine est choisie au centre de la goutte non déformée. 
 
O 
( )0~h  
( )φh~
θs 
a 
c 
φ  
E• 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
3 
Les équations et conditions aux limites qui décrivent la forme de l’interface sont : 
 [ ][ ] [ ][ ] hehsh nTnnTn ⋅=⋅∇−⋅⋅ - γ   (1) 
 ( ) 0~ =sh θ           ;        0sin~
0
=∫
s
dh
θ
φφ  (2) 
tandis que le potentiel vérifie les équations: 
 0  h =∆ϕ  (3) 
 0
0
=
=zh
ϕ       ;     0=
iS
hϕ         ;      ( ) zzh E k∞∞→ −=∇ϕlim  (4) 
auxquelles il faut ajouter l’absence de singularité pour le potentiel électrique en tout point de 
l’espace et pour le paramètre de déformation ( )φh~  à l’apex. La forme adoptée par l’interface est 
décrite par le bilan normal de quantité de mouvement à l’interface (1) qui traduit la concurrence 
entre les forces capillaires qui tendent à maintenir l’interface sphérique, les forces 
hydrostatiques et les forces électriques. La pression électrostatique exercée par le champ 
électrique sur l’interface est obtenue après la résolution de l’équation de Laplace (3). Les 
conditions aux limites énoncées traduisent : l’immobilité de la ligne triple due à l’hystérésis de 
mouillage et la conservation du volume (2), les potentiels électriques imposés sur l’électrode qui 
supporte la goutte et la goutte dont l’interface est notée iS  et l’uniformité du champ électrique 
loin de la goutte (4). 
Le bilan normal de quantité de mouvement à l’interface (1) peut être réécrit en introduisant 
les grandeurs caractéristiques a , aγ et 
∞
aE  pour normaliser les longueurs, pressions, et 
potentiels électriques : 
 ( )2
2
1 ∗∗∗∗ ∇++−=⋅∇ hehs BzoE ϕλ&&n   (5) 
Les étoiles en exposant désignent des grandeurs adimensionnelles ; elles seront omises par 
la suite. Trois nombres adimensionnels apparaissent : le nombre d’Eötvos 
( ) γρρ 2gaoE hi −=&& , connu également comme le nombre de Bond (Sadhal, 1997), compare 
l’effet de la force gravitationnelle à celui de la force capillaire ; le nombre de Bond électrique 
γε aEB he 2∞=  est analogue au nombre d’Eötvos, la force électrique se substituant à la force 
gravitationnelle ; enfin ( ) ( )( ) γλ app hi 00 −=  est une différence de pression adimensionnelle 
(Concus, 1968).  
Dans le cas général, c'est-à-dire déformable, la relation (5) est une équation différentielle 
du second degré qui ne possède aucune solution générale. Pour la résoudre, nous supposons que 
la fonction forme adimensionnelle ( ) ahh ~=φ  qui décrit l’interface possède un développement 
selon Be et Eö : 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )eeeeg BoEOBOoEOhBhoErhr .11 22 &&&&&& +++−−−=−−   (6) 
où 
( ) ( )φgh  et ( ) ( )φeh  désignent respectivement les déformations aux ordres ( )oEO &&  et ( )eBO . 
La somme des principaux rayons de courbures prend alors la forme 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]eseegsghs hhBhhoE
aa
22
21
222
11 ∇+−∇+−=⋅∇=+ &&n   (7) 
à l’ordre 1 en Be et Eö. Un développement analogue peut être écrit pour toute grandeur évaluée 
sur l’interface de la goutte, comme le potentiel électrique par exemple. Dans le cadre des petites 
déformations où 1<<oE &&  et 1<<eB , la relation (7) montre que la courbure de l’interface est 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
4 
obtenue par superposition des effets de la pression hydrostatique et de la pression 
électrostatique. 
 
3 Modèle de déformation d’une goutte 
 
Une expression du rayon de courbure d’une interface liquide/liquide, dans le cas des 
petites déformations, 1<<h , a été donnée par Landau et Lifshitz (1959). L’équation (5) 
devient : 
( )( ) ( )2'''
2
1
cot22 heBzoEhhhoE ϕλφ ∇++−=++− &&&&  
 A l’ordre 1 en Be et Eö, les effets de la pression hydrostatique et la pression 
électrostatique sont traités séparément et il vient respectivement : 
 
( ) ( ) ( )( )( )ssgh θφφθφ cos1cos1lncos
3
1
cos2cos
6
1
3
1
+++−+−=   (8.1) 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫ 







∇+












+++=
s
duuud
BCAh
h
e
θ
φ
α
ϕα
αα
φ
φφφ
2
2
cossin
sin
1
cos
1
cos
2
1
2
tanlncos1cos
  (8.2) 
où les constantes A, B et C sont à déterminer à l’aide des conditions aux limites énoncées 
précédemment, compte tenu de la distribution du champ électrique hϕ∇  à l’interface. Les 
travaux de Le Ny (1981) fournissent ce champ électrique et ainsi permettent de prédire les 
petites déformations de l’interface. 
  
4     Mécanisme de détachement d’une goutte 
 
 Une goutte posée sur une électrode et soumise à un champ électrique subit l’action d’une 
force électrostatique qui l’étire (Figure 1) ; en raison de l’hystérésis de mouillage, l’angle de 
contact diminue et la ligne triple reste immobile. Quelle que soit l’origine physique de cette 
évolution, il est admis que lorsque l’angle de contact atteint une valeur limite appelée l’angle de 
reculée et notée rθ , la ligne triple se déplace. Dans notre cas, on fait l’hypothèse que le champ 
électrique correspondant à cette valeur rθ  constitue le seuil cE∞  marquant le déclenchement du 
processus de détachement de la goutte. En effet, les forces de mouillage ( )rc θγpi sin2  chutent 
avec la longueur cpi2  de la ligne triple : la goutte peut alors décoller sous l’effet de la force 
électrostatique qui ne compense alors plus que le poids corrigé de la poussée d’Archimède. 
Dans le cas non mouillant,  c’est l’équilibre de ces deux seules forces qui conduit a une valeur 
seuil, notée 
coE
∞
, qui, toutes choses étant égales par ailleurs, est à priori plus faible  que 
cE
∞
. 
  Le modèle de déformation, ci-dessus présenté, fournit que l’angle de contact : 
 








++=
ss
d
dh
oE
d
dh
B
ge
es
θθ φφ
θθ
)()(
arcsin &&   (9) 
En inversant la relation (6), le champ électrique à imposer pour obtenir l’angle θ s’écrit : 
  ( ) ( )
ss
d
dh
d
dh
ga
a
E
e
h
g
his
θθ φ
εφρρθθ
γ )()(
sin








−+−−=
∞
  (10) 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
5 
Le champ électrique à imposer pour provoquer le détachement d’une goutte, appelé champ 
électrique critique, est donné par la relation (10) dans laquelle rθθ = . 
 
5 Validation expérimentale 
 
Des gouttes d’eau mouillent partiellement une électrode en cuivre rendu hydrophobe par le 
dépôt d’une couche mince de Cytop
®
. Leur détachement sous l’action de la force électrique a 
été observé et analysé pour mettre en évidence le mécanisme de détachement.  
 
    
   
FIG. 2 – Détachement d'une goutte (2µl, Tween20 0,1%) soumise à l'action d'un champ 
électrique vertical et uniforme.  
 
La Figure 2 présente une séquence d’images obtenues lors du détachement d’une goutte 
(2µl, Tween20 0,1%) soumise à un champ électrique d’intensité croissante. Le contour initial est 
systématiquement rappelé par superposition pour mettre en évidence la déformation. Il apparaît 
que le mécanisme de détachement comporte deux étapes successives :  
- diminution de l’angle de contact θ à rayon de contact c quasi constant jusqu’à un angle de 
contact proche à moins de 1% de rθ  l’angle de reculée, mesuré par ailleurs. 
- à partir de cet angle, glissement brutal de la ligne triple jusqu’à disparition de la zone de 
contact. Ainsi sur la Figure 2 à 1,44 kV/cm, la goutte décolle. 
Plusieurs séquences, comme celle présentée sur la Figure 2, ont été étudiées aboutissant à 
une confirmation du mécanisme proposé. Nous avons également cherché à tester la formule 
(10). Cette dernière étant limitée à de petites déformations et donc à de faibles effets 
d’hystérésis contrairement au cas de la Figure 2, les expériences (Tableau 1) ont porté sur des 
gouttes d’eau pure avec du chlorure de sodium (0,5M). La solution résultante possède une forte 
tension interfaciale (64mN/m) induisant de très faibles déformations. L’angle de reculée pour 
ces conditions est d’environ 162° et le champ électrique critique 
cE
∞
 est d’environ 1,4kV/cm. 
 
(a) (b) 
(c) 
(d) 
E•=1,05 kV/m 
Eö = 0,068 
Be = 0,011 
θ = 156° 
E•= 0 kV/m 
Eö = 0,068 
Be = 0,000 
θ = 160° 
E•=1,39 kV/m 
Eö = 0,068 
Be = 0,020 
θ = 147° 
 
E•=1,44 kV/m 
Eö = 0,068 
Be = 0,022 
θ = 145° 
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
6 
 
( )0=
∞
Eθ (°) 164 
E
x
p
. 
cE
∞
(kV/cm) 1,44 
sθ (°) 162,5 
T
h
. 
cE
∞
(kV/cm) 1,71 
TAB. 1 – Résultats obtenus sur une goutte (NaCl 0,5M) de 1µl. 
 
Les couples de valeurs ( )( )rE θθ ,0=∞  mesurées permettent de tester la relation (10) qui 
prédit alors un champ électrique critique  de 1,71kV/cm. Ce résultat est très sensible à la 
précision des mesures, or les celles-ci sont délicates avec des angles de contact aussi élevés. La 
confrontation avec les résultats expérimentaux révèle une erreur de 16% sur
cE
∞
. En l’absence 
de mouillage, le champ électrique critique prédit coE∞  serait, théoriquement de 1,13kV/cm ; 
l’erreur commise si l’on adoptait cette valeur pour le cas mouillant serait alors de 27%. Le 
mouillage conduit, comme il était anticipé, à augmenter ce champ électrique.  
 
4 Conclusion 
 
Une goutte conductrice posée sur une électrode et soumise à un champ électrique s’étire 
sous l’action de la pression électrostatique. En raison de l’hystérésis de mouillage, la 
déformation s’effectue sans déplacement de la ligne triple et, par conséquent, se traduit par une 
diminution de l’angle de contact. Comme il l’a été montré dans cet article, le profil d’une goutte 
ainsi étirée peut être calculée analytiquement dans le cadre des petites déformations. Une 
prévision du champ électrique nécessaire pour atteindre l’angle de reculée et ainsi déclencher le 
décollage de la goutte de l’électrode qui la supporte est alors possible. Ainsi les résultats 
expérimentaux obtenus illustrent et confirment le mécanisme de détachement  proposé  et  
apportent un soutien prometteur au modèle théorique présenté. Ce dernier demanderait à être 
testé par des expériences supplémentaires avec des couples de valeurs ( )( )rE θθ ,0=∞   
différents.  
 
Références 
 
Concus, P. 1968 Static menisci in a vertical right circular cylinder, J. Fluid Mech. 34, part 3, 
481-495 
Khayari, A., Pérez, A.T., Garcia, F.J. & Castellanos, A. 2003 Dynamics and deformation of a 
drop in a DC electric field, IEEE Electrical Insulation and Dielectric Phenomena, 
Albuquerque, USA, 682-685. 
Landau, L.D., et Lifshitz, E.M. 1959 Fluid Mechanics, Pergamon, Elmsford, New York, 299 
Lebedev, N.N. & Skal'skaya, I.P. 1962 Force acting on a conducting sphere in the field of a 
parallel plate condenser, Soviet Phys.-Tech. Phys. 7, 268-270. 
Le Ny, R. 1981 The electrostatic problem of a portion of sphere protruding from a plane 
electrode in an electric field, J. Phys. A: Math. Gen. 14, 945-955. 
Roux, J-M., Fouillet, Y. & Achard, J-L. 2006 3D droplet displacement in microfluidic systems 
by electrostatic actuation, Sensors and Actuators A (sous presse) 
Sadhal, S. S., Ayyaswamy, P. S. et Chung, J. N. 1997 Transport phenomena with drops and 
bubbles, New York: Springer, 520. 
Smith, P.G. et Van de Ven, T.G.M. 1984 Profiles of Sligthly Deformed Axisymetric Drops, 
Journal of Colloid and Interface Science 97, n° 1 
 


https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00267659

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