Les logiciels de trajectographie constituent un outil indispensable pour la détermination des zones soumises à un risque de chute de bloc en zones montagneuses. Une amélioration fondamentale à apporter à ces codes de calcul est la caractérisation fine du rebond du bloc sur le sol. Dans cette optique, une modélisation numérique de l'interaction entre le bloc et le sol par la Méthode des Elements Discrets est développée de façon à étudier l'impact d'un bloc rocheux sur un éboulis. Le traitement statistique des résultats issus des simulations numériques permet de définir une loi d'impact stochastique valable quels que soient le point d'impact et les conditions cinématiques initiales du bloc

BOURRIER, Franck

DARVE, Félix

NICOT, François

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Caractérisation numérique d’une loi stochastique d’impact d’un bloc 
rocheux sur un éboulis 
 
Franck Bourrier (1), François Nicot (1) & Félix Darve (2) 
 
(1) Cemagref - UR ETNA - 2, rue de la Papeterie - BP 76 - 38 402 Saint Martin d’Hères Cedex - France 
(2) L3SR - INPG, UJF, CNRS - Domaine Universitaire – BP 53 -38 041 Grenoble  Cedex 9 - France    
E-mail : franck.bourrier@cemagref.fr 
 
 
Résumé : 
 
Les logiciels de trajectographie constituent un outil indispensable pour la détermination des zones  
soumises à un risque de chute de bloc en zones montagneuses. Une amélioration fondamentale à apporter 
à ces codes de calcul est la caractérisation fine du rebond du bloc  sur le sol.  
Dans cette optique, une modélisation numérique de l’interaction entre le bloc et le sol par la Méthode des 
Elements Discrets est développée de façon à étudier l’impact d’un  bloc rocheux sur  un éboulis.  
Le traitement statistique des résultats issus des simulations numériques permet de définir une loi d’impact 
stochastique valable quels que soient le point d’impact et les conditions cinématiques initiales du bloc.  
 
Abstract : 
 
Trajectory analysis softwares are essential for rockfall hazard zoning in mountainous areas. A refined 
modelling of boulder bouncing constitutes a real improvement of theses codes. 
For this purpose, a numerical model of soil/boulder interaction using the Discrete Element Method is 
held so as to study the impact of the boulder on a slope. 
Statistical treatment of the results of numerical simulations leads to the definition of a stochastic impact 
law valid whatever the impact point and the incident kinematics conditions are. 
 
Mots-clefs :  
 
Chute de blocs, Impact, Méthode des Eléments Discrets 
 
1 Introduction 
 
La protection par rapport à l’aléa chute de blocs en zones montagneuses conduit à l’utilisation 
de logiciels de trajectographie pour la prédiction des zones à risque.  
Les utilisateurs de ce type d’outil s’accordent à dire qu’une des principales améliorations à 
apporter est la mise en place d’une modélisation fine de l’interaction entre le sol et le bloc 
tenant compte de la variabilité des configurations réelles. 
En réponse à cette demande, l’objectif principal de ce travail est l’étude numérique de l’impact 
d’un bloc rocheux sur un terrain naturel de façon à définir une loi stochastique d’impact.  
Il est envisagé de se limiter au cas très fréquent où le sol est un éboulis. Dans ce cas, il a été 
montré que le phénomène d’interaction entre le milieu et l’impactant est fortement lié au rapport 
entre le diamètre Rb du bloc et le diamètre moyen Rm des éléments composant le sol. 
Si Rm/Rb<<1, le sol peut être considéré comme un milieu continu (Calvetti 1998). Par contre, 
lorsque Rm/Rb>>1, l’étude de l’impact est similaire à celle de l’interaction d’un bloc avec une 
dalle (Berthet-Rambaud 2004). Ces deux configurations semblent bien maîtrisées et des outils 
permettant de caractériser correctement l’impact dans ces cas de figure existent déjà. 
Par contre, le cas où Rm/Rb~1 n’a encore été que très peu étudié (Laouafa & Nicot 2004).  
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De façon à traiter ce cas de figure, l’impact du bloc sur l’éboulis est modélisé par la Méthode 
des Eléments Discrets. Les résultats obtenus sont traités statistiquement de façon à construire 
une loi d’impact stochastique. 
 
2 Modélisation numérique du milieu 
 
2.1 Méthode des Eléments discrets (M.E.D.) 
 
L’éboulis étant un milieu granulaire non cohésif, la modélisation numérique de l’impact a été 
développée en utilisant la Méthode des Eléments Discrets  (logiciel : PFC2D – Itasca 1999).  
La M.E.D. (Cundall & Strack 1979) permet de décrire de manière aisée la cinématique d’une 
collection d’objets, pouvant interagir les uns avec les autres au droit des zones de contact.  
Les interactions entre particules sont régies par une loi de contact non linéaire et hypo-élastique 
de Hertz-Mindlin (Mindlin & Deresiewicz 1953). Et, une loi de frottement de Coulomb est 
également implémentée de façon à prendre en compte les dissipations frictionnelles selon la 
direction tangentielle des contacts.  
Par conséquent, les équations régissant les contacts (FIG. 1) sont : 
 2/3nnn UKF =   avec ),,,( 21 RRGKK nn ν=   (1) 
))tan(,min( , ϕnelt
t
t
t FFU
UF ∆
∆−=  avec tteltelt URRGKFF ∆−← ),,,( 21,, ν  (2) 
Avec Fn = force normale de contact ; Kn = Kn(G,ν,Rm) = raideur normale de contact ; Ft = force 
tangentielle de contact ; Kt = Kt(G,ν,Rm, Fn) = raideur tangentielle de contact ; G = module de 
cisaillement ; ν = coefficient de Poisson ; Rm = diamètre moyen ; Un = interpénétration normale 
; ∆Ut = déplacement dans la directrion tangentielle au contact entre les temps t et t-∆t. 
 
FIG. 1 – Loi de contact  
 
A chaque pas de temps, les forces de contact sont calculées à partir de la position des particules. 
Puis, le déplacement de chaque particule est déterminé par résolution de la seconde loi de 
Newton par l’intermédiaire d’un algorithme explicite. Enfin, le déplacement calculé est appliqué 
à chaque particule de façon à définir leurs positions au pas de temps suivant. 
 
2.2 Génération du milieu 
 
Le diamètre moyen des particules du milieu est de l’ordre du diamètre Rb du bloc. Ce paramètre 
est fixé à Rb = 0.40 m. Cela correspond à la taille moyenne des blocs relevée lors d’événements 
réels (Azzoni et al. 1991). Par ailleurs, pour tenir compte de la poly-dispersité des éboulis 
naturels, la répartition volumique des particules suit une loi Normale centrée sur la valeur 
moyenne définie précédemment et bornée de façon à ce que le rapport entre le volume de la plus 
grosse particule et celui de la plus petite soit de 10 (Kirkby & Statham 1975).  
La forme des particules est vraisemblablement un paramètre important. Toutefois, en première 
approximation, le sol est modélisé comme un assemblage de particules sphériques de façon à 
limiter le nombre de paramètres de l’étude.  
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Les paramètres locaux de la loi de Hertz-Mindlin sont définis à partir de données issues de la 
littérature existante (Goodman 1980) :  
- module de cisaillement : G = 40 GPa 
- coefficient de Poisson : ν=.25 
- angle de frottement local : φ=30° 
L’échantillon est construit par génération aléatoire de particules puis par dépôt sous gravité des 
particules jusqu’à atteinte d’un état d’équilibre. 
 
2.3 Simulation d’un impact 
 
La simulation d’un impact débute par la génération du milieu décrit précédemment. Puis, 
l’impactant est placé en contact avec l’échantillon de manière à définir précisément le point 
d’impact initial. Enfin, les conditions cinématiques initiales (vitesse Vi, vitesse de rotation αi et  
angle d’incidence ωi) sont appliquées au bloc.  
Le début de l’impact est défini comme étant l’instant de la première interaction entre le milieu et 
le projectile. Et, la fin de l’impact est le moment où la composante normale de la vitesse du bloc 
atteint sa valeur maximale. Cet instant correspond dans la majorité des cas à la dernière 
interaction entre le milieu et l’impactant. Les vitesses incidentes et restituées du bloc sont 
relevées au début et à la fin de l’impact. 
 
 
FIG. 2 – conditions initiales d’impact du bloc  
 
2.4 Campagne d’essais numériques 
 
La définition d’une loi statistique d’impact pour un type de bloc et un milieu donnés nécessite la 
réalisation de nombreuses simulations d’impact.  
Une série de simulations est réalisée pour un type de bloc et un milieu donnés en faisant varier 
les conditions initiales cinématiques du bloc ainsi que le point d’impact. Les conditions initiales 
cinématiques sont totalement définies par la vitesse incidente, l’angle incident et la vitesse de 
rotation incidente. L’analyse de cas réels de chutes de blocs permet de définir le domaine de 
variation de chacune de ces grandeurs : 
- 5 m/s < Vi <  30 m/s 
- 0° < αi <  90° 
- - 6 rad/s < ωi <  6 rad/s 
Une campagne d’essais numériques d’impact a été menée sur divers milieux types composés de 
particules sphériques. La variabilité du phénomène d’impact augmente significativement  le 
nombre de simulations nécessaires : pour chaque milieu, 100 points d’impact et, en chaque 
point, 150 conditions cinématiques initiales différentes (5 vitesses,  5 vitesses de rotation et 6 
angles incidents différents) sont considérées. 
 
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3 Définition d’une loi d’impact stochastique 
 
3.1 Formulation de la loi d’impact 
 
Les résultats des simulations sont traités de façon à définir une loi d’impact stochastique entre 
les vitesses incidentes et restituées du bloc. La formulation générale de cette loi est :  
)(
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
Ω
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
Ω i
yi
xi
r
yr
xr
V
V
fV
V
 (3) 
Avec f = opérateur stochastique; Vxr = vitesse tangentielle réfléchie; Vyr = vitesse normale 
réfléchie; Ωr= vitesse de rotation réfléchie; Vxi = vitesse tangentielle incidente; Vyi = vitesse 
normale incidente; Ωr  = vitesse de rotation incidente. 
 
En admettant que l’opérateur stochastique est suffisamment régulier, il peut être approximé par 
son développement en série entière. Par ailleurs, comme les phénomènes en jeu sont en 
moyenne les mêmes en chaque point d’impact, un modèle statistique hiérarchique est 
développé. Cela permet de déterminer les coefficients du développement en série de f en chacun 
des M points d’impact et de définir une loi statistique reliant ces coefficients.  
Des algorithmes de simulation basés sur l’inférence bayésienne (Gilks and al. 2001) sont utilisés 
pour caractériser ce modèle. Dans ce cadre, l’expression du modèle statistique hiérarchique est : 
i
N
j
jiji eInpa += ∑
=1
)(Re      ]3,1[∈i      ],1[ Mp∈  (4) 
Avec Rei = iè composante du vecteur des quantités réfléchies; Inj = jè composante du vecteur des 
quantités incidentes; ei = différence entre les valeurs simulées et les valeurs estimées. 
 
Les coefficients aij(p) sont constants pour un point d’impact p donné et leur variabilité d’un 
point à un autre est décrite par une loi normale N(mij,σij) de moyenne mij et d’écart type σij.  
Ces paramètres sont déterminés en utilisant le logiciel de traitement de données statistiques 
Winbugs® (Spiegelhalter and al. 2000).  
La qualité des différents modèles stochastiques est évaluée par le rapport entre la variabilité 
expliquée par le modèle et la variabilité totale des résultats issus des simulations.  
Plusieurs modèles statistiques d’impact sont comparés afin de déterminer le nombre minimal de 
termes du développement en série de l’opérateur f nécessaires pour définir une loi satisfaisante.  
Les résultats montrent que le modèle d’impact stochastique correspondant à un développement 
limité d’ordre 1 fournit des résultats satisfaisants (84% de variabilité expliquée en moyenne) 
pour un nombre de paramètres réduit. 
Cela conduit à la définition de la loi d’impact stochastique suivante : 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
Ω⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
Ω ib
yi
xi
rb
yr
xr
R
V
V
aaa
aaa
aaa
R
V
V
333231
232221
131211
 (5) 
Les paramètres de cette loi d’impact sont calculés pour 4 milieux différents (sol 1, sol 2, sol 3 et 
sol 4). Ces milieux vérifient l’ensemble des caractéristiques mécaniques et géométriques 
décrites précédemment. La seule différence entre eux est l’arrangement spatial des particules.  
Les résultats de ce calcul montrent une faible variabilité des paramètres due à divers 
phénomènes locaux comme, par exemple, la ségrégation locale de particules de petite taille au 
dessus d’un lit de particules de grosse taille. Ces effets locaux sont identifiés et les simulations 
correspondantes sont écartées lors de la définition des coefficients de la loi stochastique. 
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5 
 
 
 
FIG. 3 – Fonction de répartition des paramètres de la loi d’impact d’ordre 1 
 
3.2 Discussion  
 
L’analyse de la loi d’impact obtenue dans des configurations simples permet d’étudier l’accord 
de celle-ci avec les résultats classiques observés. 
Tout d’abord, dans le cas d’un impact normal (Vxi=0 and ωi=0), la moyenne de la vitesse 
tangentielle restituée est nulle. Cela signifie que l’impact d’un bloc à incidence normale est en 
moyenne réfléchi normalement au sol conformément aux résultats classiques.  
En outre, la vitesse tangentielle restituée est, en grande partie, due à la vitesse tangentielle 
incidente ainsi qu’à la vitesse de rotation incidente car m11> m12 et m13> m12. Et, les valeurs 
élevées des coefficients m13 et m31 mettent en évidence les échanges entre énergie cinétique de 
rotation et énergie cinétique de translation au cours de l’impact. Cela correspond là aussi aux 
résultats classiques obtenus lors d’essais de terrain (Pfeiffer & Bowen 1989). 
Le modèle construit peut également être comparé aux modèles issus de travaux antérieurs. La 
plupart des modèles utilisés dans les logiciels de trajectographie utilisent un ou deux 
coefficients pour traduire le phénomène d’impact. Dans ces modèles, la vitesse de rotation est 
généralement calculée à partir de la vitesse réfléchie. Comme les modèles classiques sont 
définis pour une gamme de sol très vaste, les coefficients de restitution  sont constants quels que 
soient la granulométrie et la profondeur du milieu. Et, une pondération aléatoire est également 
apportée pour traduire le caractère stochastique du phénomène d’impact (Azimi et al. 1982). 
Contrairement aux modèles classiques, la loi d’impact stochastique prend directement en 
compte le caractère statistique du phénomène d’impact ainsi que l’influence du type de sol et de 
la vitesse incidente du bloc durant le calcul des coefficients aij. 
Néanmoins, on peut comparer les coefficients classiques à ceux de la loi stochastique. 
Les coefficients utilisés usuellement sont (Guzzetti and al. 2002) :  
xi
xr
x V
V
R =det et 
yi
yr
y V
V
R =det     (6) 
Des coefficients similaires peuvent être définis dans le cadre de la loi d’impact stochastique : 
Rst  = 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
Ω+
Ω+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
yi
ib
yi
xi
xi
ib
xi
yi
st
y
st
V
Ra
V
Va
V
Ra
V
V
a
a
a
R
R
x
2321
1312
22
11  =  A + B (7) 
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6 
Rst se compose de deux termes : 
− un terme principal A comparable aux coefficients classiques et fournissant une information 
statistique supplémentaire par rapport à eux.  
− un terme B prenant en compte la nature stochastique du couplage entre les différentes 
composantes de la vitesse généralisée.  
 
4 Conclusion 
 
L’utilisation de la Méthode des Eléments Discrets a permis une compréhension satisfaisante des 
phénomènes en jeu lors de l’impact d’un bloc sur un éboulis. L’étude statistique complète des 
résultats a par ailleurs permis la définition d’une loi d’impact stochastique.  
La comparaison des résultats issus de cette loi avec les données provenant de la littérature 
montre son adéquation avec la réalité dans le cadre de l’étude. Par ailleurs, l’étude comparative 
de la loi obtenue avec les lois classiques utilisées en trajectographie met en évidence les 
relations directes entre les coefficients de restitution classiques et ceux de la loi. Contrairement 
aux modèles classiques, la loi définie inclut directement les effets simples et couplés des divers 
paramètres. De plus, la nature stochastique de l’impact est directement prise en compte. 
La possibilité de construction d’une loi d’impact stochastique dans ce cadre ayant été 
démontrée, une phase de simulation numérique intensive peut être amorcée de façon à étudier 
l’influence de paramètres identifiés lors d’essais préliminaires (taille relative du bloc par rapport 
aux pierres de l’éboulis, forme des particules, profondeur du sol…) sur la loi d’impact. 
 
5 Références 
 
Azimi, C.; Desvareux, P.; Giraud, A. ; Martin-Cochet J.; Rochet, L. 1982. Méthode de calcul de 
la dynamique des chutes de blocs, application à l’étude du versant de la montagne de la Pale 
(Vercors). Bull. Liaison de Ponts-et-Chaussées   122: 93-102. 
Azzoni, A.; Rossi P.P.; Drigo E. ; Giani G.P.; Zaninetti A. 1991. In situ observations of 
rockfalls analysis parameters. In Bell (ed.), Landslides: 307-314. Rotterdam: Balkema.  
Berthet-Rambaud, P. 2004. Structures rigides soumises aux avalanches et chutes de blocs: 
modélisation du comportement mécanique et caractérisation de l’interaction « phénomène-
ouvrage », Thèse de Doctorat, Cemagref – Groupement de Grenoble : 
Cundall, P.A. & Strack, O.D.L. 1979. A discrete numerical model for granular assemblies. 
Geotechnique 29: 47-65.  
Calvetti, F. 1998. Distinct Element evaluation of the rock-fall design load for shelters. Rivista 
Italiana di geotecnica 32-3: 63-83. 
Gilks, W.R.; Richardson, S.; Spiegelhalter, D.J. 2001. Markov Chain Monte Carlo in Practice. 
New-York: Chapman & Hall. 
Goodman, R.E. 1980. Introduction to rocks mechanics. Boston: PWS Publishing Company. 
Guzzetti, F.; Crosta, G.; Detti, R.; Agliardi F. 2002. STONE: a computer program for the three 
dimensional simulation of rock-falls. Computer & Geosciences  28: 1079-1093. 
Itasca Consulting Group. 1999. PFC2D User’s manual. Minneapolis: 1999 
Kirkby, M.J. & Statham I. 1975. Surface movement and scree formation. Journal of geology 83: 
349-362. 
Laouafa, S. & Nicot, F. 2003. Modélisation numérique de l’impact d’un bloc rocheux sur un sol 
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Mindlin, R.D. & Deresiewicz, H. 1953. Elastic spheres in contact under varying oblique forces. 
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Pfeiffer, T.J. & Bowen, T.D. 1989. Computer simulations of rockfalls. Bulletin of the 
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Spiegelhalter, D.J.; Thomas, A.; Best, N. 2000. WinBUGS Version 1.3 User Manual. 


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