Dans cette étude, nous proposons l'évaluation d'un modèle d'homogénéisation non linéaire appliqué aux composites hyperélastiques à microstructure aléatoire. Cette modélisation repose sur une mise en oeuvre, dans un contexte 3D, de la méthode du second ordre introduite par Ponte Castañeda & Tiberio (2000). Nous rappelons d'abord les principes de base de la méthode. Puis, nous étudions le cas d'un composite biphasé, constitué d'une matrice hyperélastique renforcée par des particules sphériques déformables. L'implémentation numérique du modèle micromécanique est discutée et les résultats obtenus sont présentés afin de démontrer l'effet de renforcement des particules. Afin de fournir une évaluation rigoureuse du modèle proposé, des calculs par éléments finis sur une cellule de base sont réalisés pour être comparés aux prédictions du modèle d'homogénéisation. Enfin, une confrontation aux données expérimentales montre la nécessité d'une prise en compte de phénomènes d'endommagement dans les modélisations ultérieures

ABDELAZIZ, Moussa Naït

BOUCHART, Vanessa

BRIEU, Mathias

KONDO, Djimedo

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Comportement macroscopique d’un élastomère renforcé : modélisations
micro-macro et validation
Vanessa Bouchart, Mathias Brieu, Djimedo Kondo, Moussa Naït Abdelaziz
Laboratoire de Mécanique de Lille Boulevard Paul Langevin 59655 Villeneuve d’Ascq
vanessa.bouchart@ed.univ-lille1.fr
Résumé :
Dans cette étude, nous proposons l’évaluation d’un modèle d’homogénéisation non linéaire appliqué aux com-
posites hyperélastiques à microstructure aléatoire. Cette modélisation repose sur une mise en oeuvre, dans un
contexte 3D, de la méthode du second ordre introduite par Ponte Castañeda & Tiberio (2000). Nous rappelons
d’abord les principes de base de la méthode. Puis, nous étudions le cas d’un composite biphasé, constitué d’une
matrice hyperélastique renforcée par des particules sphériques déformables. L’implémentation numérique du mo-
dèle micromécanique est discutée et les résultats obtenus sont présentés afin de démontrer l’effet de renforcement
des particules. Afin de fournir une évaluation rigoureuse du modèle proposé, des calculs par éléments finis sur une
cellule de base sont réalisés pour être comparés aux prédictions du modèle d’homogénéisation. Enfin, une confron-
tation aux données expérimentales montre la nécessité d’une prise en compte de phénomènes d’endommagement
dans les modélisations ultérieures.
Abstract :
In this study, we propose an evaluation of a nonlinear homogenization model applied to the behavior of hyperelastic
composites with random microstructure. This modelling approach consists in 3D implementation of the second
order method introduced by Ponte Castañeda & Tiberio (2000). We first recall the basic principles of the method.
Then, we investigate the case of a two-phase composite made up of an hyperelastic matrix reinforced by spherical
deformable particles. Computational issues of the micromechanical model are discussed and some results are
presented in order to show the reinforcement effect of the particles. In order to provide a rigorous evaluation of
the proposed model, finite elements computations, on a unit cell, are performed and compared to the predictions
of the homogenization model. Then, a confrontation with the experimental data shows the need to incorporate in
future works damage phenomena wich occurs in the composite.
Mots-clefs :
Homogénéisation non linéaire ; hyperélasticité ; second order method
1 Introduction
Grâce à leurs propriétés remarquables de souplesse, de déformabilité et de résistance aux
forts niveaux de déformations, les matériaux hyperélastiques tels que les élastomères, le caou-
tchouc..., sont de plus en plus utilisés dans divers secteurs d’application dont principalement
l’industrie des pneumatiques. En raison de la présence des renforts, un des enjeux principaux
est de caractériser et modéliser le comportement mécanique macroscopique de ces matériaux.
Dans la présente étude, il s’agit en particulier de comprendre et de rendre compte du pouvoir
renforçant des particules en mettant en oeuvre un modèle micromécanique prédictif et des so-
lutions numériques de référence par calculs éléments finis.
2 Homogénéisation de composites hyperélastiques
La microstructure hétérogène aléatoire ainsi que le comportement hyperélastique des maté-
riaux étudiés nous a incité à mettre en oeuvre pour cette étude une méthode d’homogénéisation
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
non linéaire dite du second ordre développée par (Ponte Castañeda & Tiberio (2000). Cette
méthode a été par la suite appliquées à des composites périodiques par Lahellec et al. (2004).
2.1 Densité d’énergie macroscopique de déformation
Le composite est soumis à des conditions de déformation homogène (macroscopique) au
bord : F¯ = 〈F〉, le tenseur F étant le gradient de déformation et 〈.〉 représentant la moyenne
volumique sur V0. Considérons un volume élémentaire représentatif, occupant un volume V0
dans la configuration de référence Ω0, d’un matériau hyperélastique renforcé. Ce composite est
constitué de particules distribuées aléatoirement dans une matrice caoutchoutique. Les condi-
tions classiques de séparation d’échelle sont supposées vérifiées. Le comportement hyperélas-
tique de la matrice et des particules est à priori donné et modélisé par des densités d’énergie
W(r)(F).
Le comportement global du composite est obtenu à partir de la densité d’énergie macroscopique
de déformation W˜. Un résultat classique, dû à Hill (1972), est que la loi de comportement ma-
croscopique est une relation entre les contraintes macroscopiques de Piola-Kirchhoff 1 T¯ = 〈T〉
et le gradient de déformation macroscopique F¯ = 〈F〉 est donnée par T¯(F¯) = ∂W˜(F¯)
∂F¯
.
2.2 Brève description de la méthode du second ordre
La méthode d’homogénéisation du second ordre permet d’estimer la densité d’énergie du
matériau homogénéisé. Elle repose sur un développement de Taylor au second ordre de la den-
sité locale d’énergie de déformation autour de gradients de déformation de référence qui sont
supposés uniformes par phase et trouvés égaux à F¯(r) (les moyennes de F sur la phase (r) dans
le composite linéaire de comparaison introduit dans Ponte Castañeda (1996)).
Le résultat final issu de cette linéarisation est (cf Ponte Castañeda & Tiberio (2000)) :
W˜(F¯) =
N∑
r=1
cr
[
W(r)(F¯(r)) +
1
2
T(r)(F¯(r)) : (F¯− F¯(r))
]
avec T(r)(F¯(r)) =
∂W(r)
∂F
(F¯(r)).
D’où l’on déduit les contraintes macroscopiques :
T¯(F¯) =
N∑
r=1
cr
2
[
T(r)(F¯(r)) + [T(r)(F¯(r)) + L(r)(F¯(r)) : (F¯− F¯(r))] : ∂F¯
(r)
∂F¯
]
(1)
où L(r)(F¯(r)) = L(r)t (F¯(r)) =
∂2W(r)
∂F2
(F¯(r)) (2)
Dans (1), les seules inconnues sont les moyennes des gradients de déformation F¯(r) dans chaque
phase ; il est montré que ces inconnues peuvent être déterminées par la résolution d’un problème
de thermoélasticité lié au composite linéaire de comparaison explicité dans la section 3.1.
3 Application à une matrice hyperélastique renforcée par des particules sphériques
3.1 Problème de thermoélasticité à résoudre
Pour un composite biphasé, la résolution du problème de thermoélasticité associé à la mé-
thode du second ordre et nécessaire à la détermination des F¯(1) et F¯(2), est faite grâce au théo-
rème de Levin (1967) :
F¯(r) = A(r)(F¯(r)) : F¯+
(
A(r)(F¯(r))− I) : (∆L)−1 : (∆τ) ; r = 1, 2. (3)
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
où A(r) est le tenseur de localisation associé à la phase (r) dans le problème d’élasticité linéaire.
Les tenseurs 4L = L(1)(F¯(1)) − L(2)(F¯(2)), 4τ = τ (1)(F¯(1)) − τ (2)(F¯(2)). La polarisation τ r
vaut τ r = T(r)(F¯(r)) − Lr : F¯(r). Pour les biphasés L˜ = c(1)L(1)A(1) + c(2)L(2)A(2) pour un
schéma d’homogénéisation linéaire donné et dont dépend A(r), ce qui permet de générer les
estimations correspondantes pour W˜.
Un schéma de type Reuss pour le composite linéaire de comparaison conduit à L˜−1 = c(1)(L(1))
−1
+
c(2)(L(2))−1 tandis que le schéma d’Hashin-Shtrikman dans lequel L(1) est pris comme tenseur
des modules tangent de référence conduit à :
A(1) =
[
c(1)I+ c(2)[I− P : ∆L]−1]−1 ; A(2) = [I− c(1)P : ∆L]−1 où P est le tenseur de Hill.
Le calcul du tenseur P requiert la détermination de L(1). Ce dernier tenseur peut être obtenu
analytiquement à partir de (2) tandis que P est déterminé à l’aide d’une intégration numérique
sur la sphère unité, les particules sphériques étant supposées dispersées aléatoirement.
3.2 Détermination des gradients de déformation F¯(1) et F¯(2)
D’un point de vue pratique pour le calcul de T¯(F¯) (cf équation 3) , il est uniquement né-
cessaire de déterminer F¯(1), le tenseur F¯(2) pouvant être déterminer à partir de la relation de
moyenne : F¯ = c(1)F¯(1) + c(2)F¯(2). Le système d’équation (3) devant être résolu pour déter-
miner F¯(1) est un système de 9 équations non linéaires avec pour inconnues les 9 composantes
de F¯(1). Ainsi, une méthode de Newton-Raphson (cf Press & al. (1992)) adaptée aux systèmes
d’équations non linéaires a été utilisée. La matrice Jacobienne J introduite par cette méthode
est dans ce cas une matrice 9x9. L’absence d’expression analytique pour P, nous oblige à réa-
liser une dérivation numérique par différence finie pour le calcul de J. Pour avoir une bonne
précision à ce niveau, une méthode de Ridders-Richardson a été implémentée (cf Press & al.
(1992)).
4 Prédictions pour un essai de traction uniaxiale
Le gradient de la transformation macroscopique associé à la traction uniaxiale compressible
s’écrit sous la forme : F¯ = Diag (λ(t), α(t), α(t)), λ croissant à partir de 1.0. Le pilotage en
déformation du test de traction uniaxiale sur le composite implique, pour un λ donné, la dé-
termination de α de sorte à satisfaire la condition : T¯ = Diag (T11(t), 0, 0). En pratique, en
raison de la compressibilité de la matrice et du composite, de telles conditions ne peuvent être
obtenues qu’à l’aide d’un processus itératif. Un algorithme de dichotomie a été utilisé afin de
trouver la valeur appropriée de α pour λ donné.
Dans cette application, la matrice "1" et les particules "2" étant isotropes, leur densité d’énergie
W (1) et W (2) peuvent classiquement s’exprimer en fonction des 3 invariants, i1, i2 and i3 du
tenseur des dilatations C = FtF Ogden (1984) : W(X,F) = W(X, i1, i2, i3).
Nous considérons pour la matrice, la densité d’énergie associées aux matériaux hyperélas-
tiques de type Mooney-Rivlin : W(1)(F) = C10(i¯1 − 3) + C01(i¯2 − 3) + 1D1 (J − 1)2 où
J = det(F) =
√
i3, i¯1 = J
−2/3i1, i¯2 = J−4/3i2. Pour les particules, nous adoptons un mo-
dèle Néo hookeen : W(2)(F) = C10(i¯1 − 3) + 1D1 (J − 1)2. Les paramètres utilisés lors des
simulations sont pour la matrice C10 = C01 = 1 D1 = 2/3 et pour la particules C ′10 = 5
D′1 = 0.8.
La figure 1 montre les réponses macroscopiques en traction uniaxiale prédites par la méthode
d’homogénéisation du second ordre (contrainte nominale T11 en fonction de F¯11) pour 2 frac-
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
tions volumiques de particules (10% and 25%). On reporte également la réponse du matériau
non renforcé sur la figure.
De ces résultats, on note que la présence des particules déformables a un effet significatif sur
le comportement global du matériau. Une différence notable est observée entre les prédictions
des 2 schémas d’homogénéisation considérés. En effet, le modéle d’Hashin-Shtrikman prédit,
pour un niveau de contrainte donné, une déformation moins importante que celle obtenue avec
le modèle de Reuss.
5 Validation du modèle par comparaison avec des simulations éléments finis
Afin de valider les modèles basés sur la méthode du second ordre, on présente dans cette
section des comparaisons de ses prédictions à des solutions dites de référence obtenues par
calculs éléments finis (EF). Pour cela, les mêmes hypothèses sur les constituants et l’adhérence
particules-matrice sont considérées dans les 2 calculs(homogénéisation et éléments finis).
FIG. 1 – a- modèle de Reuss b- modèle d’Hashin-Shtrikman
Prédictions des modèle de Reuss et d’Hashin-Shtrikman pour une matrice renforcée par des particules
déformables
5.1 Description du calcul par éléments finis
La solution de référence EF est obtenue en considérant une cellule de base (voir figure 2).
Cette cellule est celle utilisé par Doghri and Ouaar (2003) afin de valider les résultats de leur
code d’homogénéisation DIGIMAT.
Le plan (~e1, ~e2) étant un plan de symétrie du problème, on considère uniquement un quart
de section (voir figure 2). Les simulations EF ont été réalisées grâce au logiciel commercial
Abaqus. Les conditions aux frontières considérées pour simuler un essai de traction uniaxiale
sont indiquées sur la figure 2. Le calcul EF Abaqus permet d’évaluer les moyennes volumiques
des champs mécaniques sur la cellule.
5.2 Comparaison entre les prédictions du modèle et les calculs EF
Dans les calculs EF, nous considérons pour modéliser la matrice et les particles les mêmes
densités d’énergie de déformation que précedemment avec les mêmes paramètres matériaux.
On compare les prédictions de la méthode d’homogénéisation aux résultats EF macroscopiques
correspondants (figure 3) pour 2 fractions volumiques de particules, 10% et 25%.
Pour chaque fraction volumique, on observe que le modèle de Reuss surestime la déformation
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 2 – Cellule pour les simulations éléments finis
macroscopique par rapport aux résultats EF. Ceci est sans doute dû à la simplicité des hypo-
thèses de ce schéma. On note en revanche un trés bon accord entre le modèle d’Hashin-Strikman
(HS) et le solution numérique de référence. Cet accord illustre la capacité du modèle basé sur
le schéma HS à prendre en compte l’effet du renforcement et la non linéarité du composite à
travers la méthode du second ordre.
FIG. 3 – Prédictions des modèle de Reuss et d’Hashin-Shtrikman comparées aux solutions éléments finis
pour une matrice renforcée par 10% et 25% particules déformables
6 Comparaison entre les prédictions de l’homogénéisation et les données expérimentales
L’approche d’homogénéisation étant validée grâce à des solutions EF, nous proposons main-
tenant de comparer ses prédictions (seul le modèle HS est considéré) à des résultats expérimen-
taux pour un élastomère (EPDM) renforcé par des particules de PolyPropylène (PP). La densité
d’énergie adoptée pour modéliser la matrice de ce matériau est celle proposée par Lambert-
Diani et Rey (1999) et les particules sont considérées rigides vis à vis de la matrice. On compare
les prédictions du schéma d’homogénéisation d’Hashin-Shtrikman aux résultats expérimentaux
(figure 4) pour 2 fractions volumiques de particules 5% et 10%. Malgré une bonne allure quali-
tative des prédictions, on remarque que le modèle d’homogénéisation surestime les contraintes.
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 4 – Prédictions du modèle d’Hashin-Shtrikman comparées aux résultats expérimentaux pour un
EPDM renforcée avec 10% et 25% de particules
7 Conclusions
Le travail présenté dans cette étude concerne la modélisation (micromécanique et Eléments
Finis (EF)) du comportement mécanique des matériaux hyperélastiques renforcés par des parti-
cules sphériques. La modélisation micromécanique combine la méthode du second ordre et une
borne d’Hashin-Shtrikman ; elle donne des résultats en bon accord avec la solution de référence
obtenue par un calcul EF.
La comparaison des prédictions du schéma d’homogénéisation avec des données expérimen-
tales révèle un écart qui peut être dû à l’insuffisance du modèle actuel à rendre compte des
phénomènes d’endommagement dont l’apparition dans les matériaux étudiés n’est pas à ex-
clure.
Références
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Ponte Castañeda, P. 1996 Exact second order estimates for the effective mechanical properties
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Doghri, I., Ouaar, A. 2003 homogenization of two-phase elasto-plastic composite materials and
structures study of tangent operators, cyclic plasticity and numerical algorithms. International
Journal of Solids and Structures 40 1681-1712
6


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http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16407/1/CFM2007-0567.pdf

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