Les contraintes résiduelles d'usinage résultent du chargement thermomécanique transitoire à l'interface entre l'outil et la pièce. La valeur de cette contrainte en surface ainsi que son gradient dans la profondeur jouent un rôle clé pour la durabilité des surfaces fonctionnelles. Un modèle de contact thermo-élastoplastique frottant/glissant a été développé. Il permet de simuler le contact entre un massif élastique en rotation autour de son axe, l'outil, et un massif élastoplastique en translation, la pièce. L'analyse inclut les effets normaux et tangentiels dus à l'effort normal et au frottement à l'interface. La dissipation à l'interface est également considérée. Des premiers résultats sont présentés pour des chargements thermomécaniques stationnaires ou transitoires

BOUCLY, Vincent

NÉLIAS, Daniel

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Prédiction des contraintes résiduelles d’usinage 
 
Daniel Nélias & Vincent Boucly 
 
INSA Lyon, LaMCoS (UMR 5259), 69621 Villeurbanne Cedex, France 
daniel.nelias@insa-lyon.fr 
 
Résumé : 
 
Les contraintes résiduelles d’usinage résultent du chargement thermomécanique transitoire à l’interface 
entre l’outil et la pièce. La valeur de cette contrainte en surface ainsi que son gradient dans la 
profondeur jouent un rôle clé pour la durabilité des surfaces fonctionnelles. Un modèle de contact 
thermo-élastoplastique frottant/glissant a été développé. Il permet de simuler le contact entre un massif 
élastique en rotation autour de son axe, l’outil, et un massif élastoplastique en translation, la pièce. 
L’analyse inclut les effets normaux et tangentiels dus à l’effort normal et au frottement à l’interface. La 
dissipation à l’interface est également considérée. Des premiers résultats sont présentés pour des 
chargements thermomécaniques stationnaires ou transitoires. 
 
Abstract : 
 
Residual stresses due to machining are the results of the thermo-mechanical history of the piece/tool 
interface. The magnitude and the gradient of stress play a key role for the surface integrity. A thermo-
mechanical model has been developed. It allows simulating the rolling/sliding contact between an elastic 
tool in rotation along its own axis and an elasto-plastic flat in translation. The analysis includes the 
effects of both the normal and tangential loading. Frictional heating is also considered. First results are 
presented for stationary and transient thermo-mechanical loading history. 
 
Mots-clefs : Contraintes résiduelles, usinage, rectification 
 
1 Introduction 
La connaissance des contraintes résiduelles résultant d’une opération de super finition est 
de première importance à la fois dans la maîtrise des procédés et pour l’utilisateur final. Une 
meilleure compréhension des mécanismes mis en jeu doit permettre à terme d’optimiser les 
procédés vis-à-vis d’une utilisation donnée. Nous nous attacherons ici à modéliser le contact 
entre l’outil (meule) et la pièce par une méthode intégrale (ou méthode semi-analytique). Cette 
analyse permet d’isoler la contribution des efforts normaux et tangentiels à l’interface de celle 
des effets thermiques liés au passage d’une source mobile.  
La résolution du problème de contact par une méthode semi-analytique signifie qu’il est 
fait usage de solutions analytiques élémentaires intégrées numériquement sur le domaine 
d’intérêt. Les solutions analytiques dérivent d’une hypothèse qui est celle de massifs semi-
infinis. L’utilisation d’un maillage uniforme selon chaque direction permet l’emploi des 
transformées de Fourier rapides ce qui accélère grandement la résolution. Il est ainsi possible 
d’obtenir des solutions tridimensionnelles pour un temps CPU comparable à celui d’une analyse 
2D par éléments finis. 
C’est à notre connaissance la première fois que cette démarche est utilisée pour prédire les 
contraintes résiduelles de rectification. Cette étude exploratoire s’inspire des développements 
théoriques et numériques de Jacq et al. (2002) pour la prise en compte de la plasticité et de ceux 
de Liu et Wang (2001) pour les effets thermiques. Ces 2 approches ont été récemment couplées 
(Boucly et al., 2005), et les procédures numériques optimisées tant pour le problème de contact 
résolu par la méthode du gradient conjugué (Polonsky et Keer, 1999) que pour la plasticité via 
un algorithme de « return mapping » (Fotiu et Nemat-Nasser, 1996 ; Nélias et al., 2006). Notons 
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2 
que les relations analytiques donnant les contraintes résiduelles produites par un cuboïde 
plastique sont données par Chiu (1977, 1978). 
Cette approche est différente des approches conventionnelles, citons par exemple les 
travaux récents de Warren et Guo (2005) et ceux de Hamdi et al (2005), basées sur l’utilisation 
des éléments finis généralement en déformations planes.  
 
2 Formulation du contact thermo-élasto-plastique 
 
2.1 Contact élastique 
Le problème de contact consiste à résoudre le système d’équations et d’inéquations 
suivant : 
 
( )
( ) cij
Ilk
klljki IjihpK
g
∈+=∑
∈
−−
,,
,
,
α  (1a) 
 ( ) ;,,0 cij Ijip ∈>  (1b) 
 
( )
( ) ;,,
,
, cij
Ilk
klljki IjihpK
g
∉+≥∑
∈
−−
α  (1c) 
 ( ) ;,,0 cij Ijip ∉=  (1d) 
 
( )
.0
,
Ppaa
gIji
ijyx =∑
∈
 (1e) 
où α est le déplacement de corps rigides, ax et ay les pas dans les directions x et y, 
respectivement, P0 la charge normale totale, hij la séparation entre les surfaces et Ic l’aire de 
contact. 
 
2.2 Résolution du problème de contact par la méthode du gradient conjugué et les 
transformées de Fourier discrètes 
Deux situations peuvent se présenter : la charge P peut être imposée, le rapprochement de 
corps solide est alors une inconnue, ou alors on impose une valeur de α et la charge normale 
devient solution de système d’équations (1). Dans le premier cas l’algorithme est donné par 
Polonsky et Keer (1999), dans le second cas il est détaillé dans Boucly et al. (2007). 
 
2.3 Prise en compte des effets thermiques et plastiques 
La résolution du problème de contact élastique constitue l’un des modules du code thermo-
élasto-plastique. Pour de plus amples détails le lecteur peut se référer à Jacq et al. (2002) et 
Boucly et al. (2005). Un algorithme de « return-mapping » avec un prédicteur élastique et un 
correcteur plastique et un critère de plasticité de Von Mises a été implémenté (Nélias et al., 
2006) ce qui a significativement accéléré la convergence. 
A partir d’un état initial – géométrie, déformations plastiques et état d’écrouissage en 
chaque point – et en imposant soit la charge normale soit le rapprochement de corps solides un 
premier calcul consiste à calculer les déplacements résiduels (Jacq et al., 2002). Le contact 
thermo-élastique est résolu dans un second temps. Par rapport à une analyse élastique 
conventionnelle les déformations thermiques ont pour effet de modifier les déplacements, en 
particulier ceux des points de la surface, cf. éq. (2a). La plasticité quant à elle produit un 
déplacement résiduel de chaque point de la surface, ce qui induit une modification de la 
géométrie, cf. éq. (2b). Pour de plus amples détails le lecteur peut se référer à Boucly et al. 
(2005). 
 
t
ij
e
ijij uuu +=  (2a) 
 
r
ijijij uhh +←  (2b) 
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3 
Dans l’équation (2a) uij est le déplacement total, ueij est le déplacement élastique, et utij le 
déplacement induit par les déformations thermiques (Liu et Wang, 2001 ; Boucly et al., 2005), 
qui s’écrit : 
 ( ) ( )*3( ) ,t kku A m T M M A dε
Ω
= ⋅ ⋅ ⋅ Ω∫  (3) 
avec m=αt[E/(1-2ν)] et αt le coefficient de dilatation thermique. A représente le point courant, 
M le point d’intégration, T(M) l’élévation de température en M de volume Ω, et ε*3(M,A) le 
tenseur des déformations élastiques au point M produit par une charge ponctuelle normale et 
unitaire (i.e. agissant selon la direction 3) appliquée au point A de la surface. Dans le cas d’une 
source surfacique en régime stationnaire, ut peut être réécrit de la manière suivante : 
 ( ) ( ) ( ) 3
0
1
** **
tt T Uu A q G G d
α ν ξ
pi
+∞+
= ⋅ ⋅∫  (4) 
avec q=Qf×p le flux de chaleur sur la surface (W/m2) à l’origine de l’augmentation de 
température. Qf=β×µf×V est le facteur de chaleur (m/s), avec β le coefficient de répartition de 
chaleur (0< β <1), µ f le coefficient de frottement, et V la vitesse de glissement (m/s). GT et GU 
sont 2 fonctions de Green, voir Boucly et al. (2005). 
La géométrie initiale hij est mise à jour dans l’équation (2b) avec urij le déplacement 
résiduel. Ce dernier est calculé à partir du tenseur des déformations plastiques :  
 ( ) ( ) ( )*32 ,
p
r p
ij ij iju A M M A dµ ε ε
Ω
= ⋅ Ω∫  (5) 
avec A le point courant, M le point d’intégration, µ le coefficient de Lamé, Ωp le volume 
plastique (où εP est non nul), εp(M) le tenseur des déformations plastiques (totales) au point M. 
L’incrément de déformation plastique δεp est alors calculé par la méthode de Newton-
Raphson avec un algorithme de « return-mapping » (Fotiu and Nemat-Nasser, 1996) selon la 
procédure décrite par Nélias et al. (2006). L’incrément de déplacement résiduel des points de la 
surface est alors calculé et ajouté à la géométrie initiale, Eq. (2b), jusqu’à convergence. Il est 
alors possible de modifier le chargement ou de déplacer les solides l’un par rapport à l’autre.  
 
3 Application à la prédiction des contraintes résiduelles de rectification 
 
0
50
100
150
200
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Qf (m/s)
Depth (µm)
0.075 0.152
                                          
Profondeur (µm)
 
FIG. 1 – Profondeur où la contrainte de Von Mises sous charge est maximale, en fonction du 
facteur de chaleur Qf =µf. β .∆U (contact sphère/plan stationnaire). 
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Un premier exemple qualitatif montrant la compétition entre les effets thermique et 
mécanique est présenté dans la Fig. 1. Il s’agit du contact entre une sphère élastique 
(E=210 GPa, ν=0,3) adiabatique de diamètre 15 mm en contact avec un plan élastoplastique en 
acier 100Cr6 de mêmes propriétés élastiques et de loi d’écrouissage (isotrope) σVM=B(C+εp)n 
avec B=945 MPa, C=20 et n=0,121, εP étant exprimée en µdef. Les propriétés thermiques de 
l’acier 100Cr6 sont les suivantes : K=50,2 W/m.K et αt=11,7 µm/m.K, La charge normale est 
égale à la charge critique, i.e. au moment de l’apparition d’une zone plastique et les effets 
tangentiels sont ici négligés. Le contact est stationnaire et permanent c'est-à-dire que la zone de 
contact et donc la source de chaleur sont immobiles, et le temps d’observation est infini. 
Qf = 0.12m/s à t = 23ms
(régime transitoire continu stationnaire)
Sigvm total Sigvm résiduelles
t = 23ms
 
FIG. 2 – Contrainte de Von Mises sous charge et résiduelles après 23 ms en régime transitoire 
continu stationnaire (contact sphère/plan stationnaire). 
Qf = 0.12m/s à t =1ms
(régime permanent stationnaire)
Sigvm total Sigvm résiduelles
∞
t = ∞
 
FIG. 3 – Contrainte de Von Mises sous charge et résiduelles en régime permanent stationnaire 
(contact sphère/plan stationnaire). 
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Qf = 0.12 m/s à t =23ms et Vsource = 0.95m/s
(régime transitoire continu en mouvement)
Sigvm total Sigvm résiduelles
t = 23ms
 
FIG. 4 – Contrainte de Von Mises sous charge et résiduelles après 23 ms en régime transitoire 
continu avec mouvement (contact sphère/plan en mouvement). 
 
On remarquera que la dissipation thermique à l’interface conduit à modifier profondément 
la distribution des contraintes (sous charge) en sous-couche. L’augmentation du facteur de 
chaleur de 0 à 0,5 m/s conduit tout d’abord à décharger la zone sous la surface de contact, puis à 
repousser les contraintes maximales sur les cotés du contact et enfin au centre de la surface de 
contact. Notons qu’une vitesse de glissement de 50 m/s avec un coefficient de frottement de 
0,01 correspond à un facteur de chaleur de 0,5 m/s.  
Le facteur de chaleur Qf est désormais fixé à 0,12 m/s et la charge normale est égale à 
150 daN. Nous allons faire évoluer le temps d’observation jusqu’à 23 ms ; les répartitions des 
contraintes de von Mises sous charge et après décharge sont représentées Fig. 2. Si l’on atteint 
le régime permanent, i.e. lorsque le temps d’observation tend vers l’infini, on observe les 
répartitions de contraintes Fig. 3. 
Enfin, lorsque l’outil en rotation se déplace à une vitesse de 0,95 m/s, on peut calculer la 
répartition des contraintes sous charge et à la décharge, comme illustré Fig. 4 pour un temps 
d’observation de 23 ms. 
 
 
 
 
 
 
FIG. 5 – Elévation de la température de la 
surface après 23 ms en régime transitoire 
continu avec mouvement (contact sphère/plan 
en mouvement). 
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Pour terminer cette étude, il est possible d’observer la répartition de températures en 
surface des corps en contact. La répartition de température est donnée Fig. 5 dans le troisième 
cas, c'est-à-dire en régime transitoire continu après 23 ms lorsque la source de chaleur se 
déplace à une vitesse de 0,95 m/s. Remarquons que dans cet exemple académique l’élévation de 
température est supérieure à 1000°C. Toutefois la charge normale est élevée et la zone de 
contact réduite. La modélisation d’un outil (meule) de forme cylindrique avec un effort normal 
moindre conduirait à des valeurs de température et de contrainte plus représentatives des 
procédés réels.  
 
4 Conclusion 
Cette première analyse est prometteuse. Elle montre le potentiel des méthodes semi-
analytiques ou intégrales pour la simulation des procédés de super-finition. Les perspectives de 
ce travail sont nombreuses. Dans un premier temps il conviendrait d’analyser des situations un 
peu plus réalistes et de les confronter à des résultats expérimentaux. Dans un second temps il 
s’agira d’améliorer le modèle, par exemple en indexant les propriétés mécaniques sur l’histoire 
thermique ou en prenant en compte les changements de phase. 
 
 
Références 
Boucly, V., Nélias, D., Shuangbiao, L., Wang, Q. J., Keer, L. M., 2005, “Contact Analyses for 
Bodies with Frictional Heating and Plastic Behavior,” ASME J. Tribol., 127, pp. 355-364. 
Chiu, Y. P., 1977, “On the Stress Field Due to Initial Strains in a Cuboid Surrounded by an 
Infinite Elastic Space,” ASME J. Appl. Mech., 44, pp. 587−590. 
Chiu, Y. P., 1978, “On the Stress Field and Surface Deformation in a Half-Space With a 
Cuboidal Zone in which Initial Strains Are Uniform,” ASME J. Appl. Mech., 45, pp. 
302−306. 
Fotiu, P. A., Nemat-Nasser, S., 1996, “A Universal Integration Algorithm for Rate-Dependant 
Elastoplasticity,” Comput. Struct., 59, pp. 1173−1184. 
Hamdi, H., Zahouani, H., Bergheau, J.-M., 2004, “Residual Stresses Computation in a Grinding 
Process,” J. Mat. Processing Techn., 147 (3), pp. 277−285. 
Jacq, C., Nélias, D., Lormand, G., Girodin, D., 2002, “Development of a Three-Dimensional 
Semi-Analytical Elastic-Plastic Contact Code,” ASME J. Tribol., 124, pp. 653−667. 
Liu, S., Wang, Q., Liu, G., 2000, “A Versatile Method of Discrete Convolution and FFT (DC-
FFT) for Contact Analyses,” Wear, 243, pp. 101−111. 
Liu, S., Wang, Q., 2001, “A Three-Dimensional Thermomechanical Model of Contact Between 
Non-Conforming Rough Surfaces,” ASME J. Tribol., 123, pp. 17−26. 
Liu, S. and Wang, Q., 2003, “Transient Thermoelastic Stress Fields in a Half-Space,” ASME J. 
Tribol., 125, pp. 33−43. 
Nélias, D., Boucly, V., Brunet, M., 2006, “Elastic-Plastic Contact between Rough Surfaces: 
Proposal for a Wear or Running-in Model,” ASME J. Tribol., 128, pp. 236–244. 
Polonsky, I. A., Keer, L. M., 1999, “A Numerical Method for Solving Rough Contact Problems 
Based on the Multi-Level Multi-Summation and Conjugate Gradient Techniques,” Wear, 
231, pp. 206−219. 
Polonsky, I. A., Keer, L. M., 2000, “Fast Methods for Solving Rough Contact Problems: a 
Comparative Study,” ASME J. Tribol., 122, pp. 36−41. 
Warren, A. W., Guo, Y. B., 2005, “Fast Methods for Solving Rough Contact Problems: a 
Comparative Study,” Trib Trans., 48, pp. 436−441. 


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