L'étude du crash d'un avion complet nécessite une discrétisation EF adaptée au problème « structure ». Ainsi, pour modéliser la ruine éventuelle de la structure, il faut se focaliser sur la modélisation des assemblages rivetés, sites privilégiés d'amorçage et de propagation de la rupture. Or, une modélisation EF fine des perforations est incompatible avec la taille de la maille EF du modèle de l'avion complet. Il s'avère donc nécessaire de rechercher des méthodes EF alternatives (éléments équivalents) adaptées à la problématique de modélisation de l'avion complet et permettant de simuler le comportement réaliste de l'assemblage riveté (concentrations de déformations). La MEF Hybrid-Trefftz permet la formulation d'EF de plaque perforée. Les éléments finis de la littérature sont toutefois limités aux problèmes d'élasticité. Notre objectif est donc d'étendre ces éléments, formulés pour le domaine élastique, aux problèmes non-linéaires et à la dynamique rapide

LANGRAND, Bertrand

LECONTE, Nicolas

MARKIEWICZ, Eric

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Développement d’un élément fini de plaque perforée pour le calcul des 
structures aéronautiques au crash et à l’impact 
 
Nicolas Lecontea*, Bertrand Langranda & Eric Markiewiczb 
 
a
 Département de Mécanique du Solide et de l’Endommagement, ONERA, F-59000 Lille, France 
b
 LAMIH (UMR CNRS 8530), Université de Valenciennes, F-59300 Valenciennes, France 
 
* email : nicolas.leconte@onera.fr 
 
 
 
 
Résumé : 
 
L’étude du crash d’un avion complet nécessite une discrétisation EF adaptée au problème « structure ». 
Ainsi, pour modéliser la ruine éventuelle de la structure, il faut se focaliser sur la modélisation des 
assemblages rivetés, sites privilégiés d’amorçage et de propagation de la rupture. Or, une modélisation 
EF fine des perforations est incompatible avec la taille de la maille EF du modèle de l’avion complet. Il 
s’avère donc nécessaire de rechercher des méthodes EF alternatives (éléments équivalents) adaptées à la 
problématique de modélisation de l’avion complet et permettant de simuler le comportement réaliste de 
l’assemblage riveté (concentrations de déformations). La MEF Hybrid-Trefftz permet la formulation 
d’EF de plaque perforée. Les éléments finis de la littérature sont toutefois limités aux problèmes 
d’élasticité. L’objectif de la recherche est donc d’étendre ces éléments, formulés pour le domaine 
élastique, aux problèmes non-linéaires, et à terme à la dynamique rapide. 
 
Abstract : 
 
The paper deals with the modelling of riveted assemblies for full-scale complete aircraft crashworthiness. 
To model the structural failure, one has to focus on the riveted joints modelling, which are known to be 
areas where cracks initiate and propagate. Nevertheless, a fine FE mesh of the holes is not suitable, due 
to the aircraft model mesh size. Therefore, it appeared necessary to investigate on FE techniques that 
would enable one to model accurately the perforated plates behaviour for a full-scale aircraft FE model. 
The literature survey showed that Hybrid-Trefftz FEM enables one to formulate perforated plate FE for 
elastic problems. The purpose is to find a way to extend this formulation so that the super-element can be 
used for plastic and crashworthiness problems. 
 
Mots-clefs :  
 
EF Hybrid-Trefftz ; Variable complexe ; Asemblages rivetés 
 
1 Introduction 
 
La comparaison de résultats numériques et expérimentaux d’impacts d’oiseaux a montré 
que les calculs numériques arrivaient difficilement à prédire la ruine de la structure lorsqu’elle 
survenait au niveau des joints rivetés (Deletombe et al. (2004)). L’analyse des résultats a mis en 
évidence l’insuffisance de la localisation des déformations plastiques macroscopiques dans 
l’élément de coque (ne comportant pas de trou), afin d’initier et de propager la rupture le long 
des lignes de rivets. Le recours à un maillage fin de la perforation n’étant pas possible dans le 
cadre de l’étude de la ruine d’une structure complète d’aéronef, il est apparu nécessaire 
d’évaluer des méthodes éléments finis permettant de formuler un « super-élément » de plaque 
perforée capable de décrire précisément les distributions de déformations, tout en conservant un 
coût de calcul modéré.  
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
La recherche bibliographique met en évidence l’existence de « super-éléments » de plaque 
perforée (Chen (1994), Dhanasekar et al. (2006), Piltner (1985 et 2002), Soh et al. (1999), Wang 
et al. (2004)), fondés sur des méthodes éléments finis Hybrid-Trefftz (Qin (2000)). Les 
fonctions d’interpolation de ces éléments reposent sur la solution analytique du problème 
considéré (problème de « plaque perforée » dans notre cas) et la compatibilité de ces éléments 
finis spéciaux avec les éléments finis standards est assurée par un principe hybride (continuité 
des champs de déplacement aux frontières).  
La formulation d’un élément caractéristique de la littérature est d’abord présentée. Le 
développement de cet EF et son extension au domaine non-linéaire et à la dynamique rapide 
sont ensuite discutés dans la perspective d’une implémentation. La solution analytique sur 
laquelle reposent les fonctions d’interpolation de ces éléments est finalement évaluée. 
 
2 Elément fini Hybrid-Trefftz de plaque perforée pour les calculs d’élasticité 
 
Un élément fini Hybrid-Trefftz repose sur : 
− un principe variationnel hybride qui assure sa compatibilité avec les éléments finis 
standards (Zienkiewicz et al. (1989), Leconte (2006)), 
− l’utilisation de la méthode de Trefftz (Trefftz (1926), Kita et al. (1995), Zienkiewicz et 
al. (1977)). 
 
La méthode de Trefftz est caractérisée par : 
− la construction de fonctions d’interpolation basées sur la solution analytique du 
problème considéré, 
− la réduction des intégrales d’intérieur de domaine en intégrales de frontière. 
 
2.1 Solution analytique du problème de plaque perforée 
 
Les solutions analytiques du problème « plaque perforée » des éléments Hybrid-Trefftz de 
la littérature ont été déterminées au moyen du formalisme de Kolossov-Muskelishvili 
(Muskelishvili (1953)), qui permet de résoudre n’importe quel problème d’élasticité plane. 
Les étapes importantes de la formulation de cette solution (Leconte (2006)) sont décrites 
ci-après : 
 
1) poser les équations de Kolossov-Muskelishvili décrivant l’état d’élasticité plane 










Ψ
+Φ−Φ+Φ+Φ=τ+σ
Ψ
−Φ−Φ−Φ+Φ=τ−σ
Ψ−Φ−Φ=+µ
df
d)
df
f²dd
²df
²d(f
df
d
df
di
df
d)
df
f²dd
²df
²d(f
df
d
df
di
df
dfk)ivu(2
3xyyy
3xyxx  
dS)TiT(i
df
df yx

+=Ψ+Φ+Φ   
 
2) développer le potentiel Φ  en série de Laurent : 
−=
ζ=ζΦ
M
Nj
j
ja)( , 
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
3 
3) déterminer le potentiel Ψ  en écrivant la condition de bord libre sur le trou 
( 0TT yx ==
 ), 
 
4) après avoir décomposé le complexe ja  en parties réelle et imaginaire 
( jjj ia β+α= ), déterminer le champ de déplacement suivant x ( u ) et le champ de 
déplacement suivant y ( v ) par identification des parties réelle et imaginaire, 
 
5) le champ des contraintes peut être obtenu en suivant une méthodologie similaire. 
 
L’expression du champ des déplacements est volontairement omise (par souci de concision). 
Le champ de contrainte obtenu est le suivant : 
[ ]
[ ]θ−−−−+θ++θ−−β+
θ−−−−−θ+−θ−α=σ
−−−−−
−−−−−
−=

)3jsin(]R)2j(R)1j[()1jsin(R)1jsin(R2j                
)3jcos(]R)2j(R)1j[()1jcos(R)1jcos(R2j
r
1
3j1j1j1j
j
3j1j1j1j
M
Nj
j
0
xx
[ ]
[ ]θ−−−−−θ+−θ−−β+
θ−−−−+θ++θ−α=σ
−−−−−
−−−−−
−=

)3jsin(]R)2j(R)1j[()1jsin(R)1jsin(R2j                
)3jcos(]R)2j(R)1j[()1jcos(R)1jcos(R2j
r
1
3j1j1j1j
j
3j1j1j1j
M
Nj
j
0
yy
[ ]
[ ]θ−−−−+θ+−β+
θ−−−−+θ+−α=σ
−−−−
−−−−
−=

)3jcos(]R)2j(R)1j[()1jcos(Rj                
)3jsin(]R)2j(R)1j[()1jsin(Rj
r
1
3j1j1j
j
3j1j1j
M
Nj
j
0
xy
  
 
Cette solution analytique est évaluée dans la suite des travaux. 
 
2.2 Principe variationnel 
 
La construction du principe Hybrid-Trefftz sur lequel repose l’élément de plaque perforée 
(Leconte et al. (2006)) dérive du principe de l’énergie potentielle totale : 
dSuTˆdVubdV
2
1]u[ i
St
ii
V
i
u
ij
V
u
ijiTPE  −−εσ=Π  
Appliquons le théorème de la divergence : 
dSuTˆdVub
2
1dVu)b(
2
1dSuT
2
1]u[ i
St
ii
V
ii
V
i
u
j,iji
S
ii  −−+σ−=Π  
Or, 0biu j,ij =+σ  (fonctions d’interpolation basées sur la solution analytique du problème 
considéré), et par l’hypothèse 0bi =  (efforts volumiques négligés), il vient : 
dSuTˆdSuT
2
1]u[ i
St
ii
S
ii  −=Π  
Un principe hybride est obtenu en forçant la compatibilité des déplacements de l’élément 
perforé avec les éléments conventionnels voisins : 
dST)uu~(dSuTˆdSuT
2
1]u[ ii
SiSu
ii
St
ii
S
iiH −+−=Π 
+
 
Les attributs de ce principe sont : (1) hybride, (2) intégration sur les frontières (inter-
élément, d’application des conditions aux limites statiques et cinématiques) de l’élément, (3) 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
4 
utilisation de fonctions d’interpolation basées sur une solution analytique. Ces caractéristiques 
sont celles d’un élément Hybrid-Trefftz. 
 
3 Discussion 
 
L’élément présenté est un élément fini de plaque perforée pour les calculs statiques 
d’élasticité plane. L’objectif de la recherche vise à étendre le domaine d’utilisation de cet 
élément à la plasticité puis à la dynamique rapide. 
En ce qui concerne l’extension à l’élasto-plasticité, il apparaît qu’une formulation Hybrid-
Trefftz nécessite une solution analytique afin de bâtir les fonctions d’interpolation de l’élément. 
Une solution du problème « plaque perforée parfaitement plastique » (Dinca (1965)) a été 
établie suivant le formalisme de Kolossov-Muskelishvili. Une première solution sera de 
développer un élément Hybrid-Trefftz de plaque perforée parfaitement plastique. En revanche, 
cette solution n’existe pas dans le cas général d’un problème de la plaque perforée élasto-
plastique écrouissable. 
Une deuxième solution consisterait à abandonner la méthode de Trefftz (et donc à calculer 
les intégrales de volume de la potentielle Π ). Il s’agirait alors de développer un élément fini 
hybride enrichi par les fonctions d’interpolation élastique précédentes, pour effectuer des calculs 
élasto-plastiques. Il s’agira alors d’évaluer l’erreur commise par cet élément en effectuant des 
comparaisons avec des résultats de modèles éléments finis suffisamment fins. 
En ce qui concerne une extension ultérieure à la dynamique rapide, la viscoplasticité sera 
dans un premier temps considérée ( ),(f εε=σ  ), et dans un deuxième temps la matrice de masse 
formulée. Les efforts volumiques seront dans ces cas non négligeables 0bi ≠ , ce qui nous incite 
à privilégier la deuxième solution, abandonnant la méthode de Trefftz. 
 
4 Evaluation de la solution analytique en vue de l’extension à l’élasto-plasticité 
 
La solution analytique élastique du problème de plaque perforée joue un rôle essentiel 
aussi bien dans l’élément Hybrid-Trefftz élastique de la littérature que dans l’élément hybride 
enrichi que nous souhaitons développer. C’est la raison pour laquelle la représentativité de cette 
solution, qui est censée être exacte indépendamment du chargement, est évaluée avant 
d’implémenter ces éléments. 
La solution de Kolossov-Muskelishvili est comparée à celle de Timoshenko (1934), pour 
un chargement appliqué de traction. Le champ des contraintes présenté précédemment est 
tronqué tel que N=M=4 et le terme j=0 n’est pas conservé car toutes les contraintes sont nulles 
(ce qui correspond aux fonctions d’interpolation de l’élément perforé à 8 nœuds). Un système 
de 16 équations est constitué pour déterminer les 8 inconnues jα  et les 8 inconnues jβ . 8 
points, pour lesquels les valeurs de xxσ  et yyσ  sont déterminées par la solution de Timochenko, 
sont utilisés (soit 8*2 valeurs ponctuelles). Un système de 16 équations à 16 inconnues est ainsi 
constitué. On remarquera que pour j=1 l’équation associée à jβ  vaut 0. L’équation associée à 1β  
est donc retirée du système (il reste 15 équations et 15 inconnues). 
 
Une fois les inconnues jα  et jβ  déterminées, les champs continus xxσ , yyσ  et xyσ  sont 
obtenus en tous points par la solution de Kolossov-Muskelishvili et comparés à ceux de la 
méthode de Timoshenko : 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
5 
   
 (a) (b) 
FIG. 1 – Comparaison des solutions analytiques. (a) xxσ  ; (b) xyσ . 
 
On peut observer une parfaite adéquation des deux solutions pour xxσ  et yyσ  (Fig. 1a). Ce 
n’est en revanche pas le cas pour xyσ . L’explication est probablement la suivante : l’expression 
associée à 1β  est nulle dans xxσ  et yyσ  contrairement à xyσ . Le fait de déterminer les inconnues 
jα  et jβ  en n’utilisant pas de valeur ponctuelle de xyσ  ne permet pas de déterminer 1β , ce qui 
nuit à la description du champ continu xyσ . Une solution, en cours d’évaluation, consiste à 
calculer les inconnues jα  et jβ  avec des valeurs ponctuelles des champs xxσ , yyσ  et xyσ  
prélevées de la solution de Timoshenko. La description du champ continu xyσ  s’en trouvera 
certainement améliorée (détermination du paramètre 1β ). 
 
5 Conclusions 
 
La formulation d’un élément Hybrid-Trefftz de plaque perforée pour les calculs d’élasticité 
plane a été présentée. Les possibles extensions de l’élément de plaque perforée à la plasticité et 
à la dynamique rapide sont ensuite discutées. Cette discussion montre que la solution analytique 
de plaque perforée de Kolossov-Muskelishvili joue un rôle central dans l’implémentation de 
l’élément à développer. C’est la raison pour laquelle une première évaluation de cette solution 
analytique a été étudiée. D’autres évaluations de cette solution sont en cours. Une 
implémentation d’un élément fini Hybrid-Trefftz perforé est en cours pour des calculs 
d’élasticité, pour en évaluer la représentativité et la performance. Ces développements préparent 
l’implémentation d’un élément fini de plaque perforée pour des calculs élasto-plastiques (et à 
terme viscoplastiques et de dynamique rapide). 
 
Références 
 
Chen, H. C. 1994 A special finite element with an elliptical hole for laminated structures. 
AIAA-94-1337-CP 253-263. 
 
Deletombe, E., Delsart, D., Fabis, J., Langrand, B. & Ortiz, R. 2004 Recent developments in 
modelling and experimentation fields with respect to crashworthiness and impact of 
aerospace structures. European Congress on Comput. Meth. in Appl. Sci. and Engng., 
(ECCOMAS), Jyväskylä, Finland. 
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
6 
Dhanasekar, M., Han, J. & Qin, Q-H. 2006 A hybrid-Trefftz element containing an elliptic hole. 
Finite Elements in Analysis and Design 42, 1314-1323. 
 
Dinca, G. 1965 Sur la déformation plane du corps élastique parfait (utilisation des variables 
complexes). Rev. Roum. Math. Pures et Appl. Tome X, N°5, 645-651. 
 
Kita, E. & Kamiya, N. 1995 Trefftz method: an overview. Advances in Engineering Software 
24, 3-12. 
 
Leconte, N., Langrand, B. & Markiewicz, E. 2006 Toward a Hybrid-Trefftz element with a hole 
for elasto-plasticity ? Finite Element Methods in Engineering and Science (FEMTEC), El 
Paso, Texas, USA. 
 
Leconte, N. 2006 Eléments finis Hybrid-Trefftz à trous internes. Rapport ONERA n° RA 
4/11377 DMSE. 
 
Muskelishvili, N.I. 1953 Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity. 
Noordhoff, Groningen, Holland. 
 
Piltner, R. 1985 Special finite elements with holes and internal cracks. Int. J. Numer. Meth. 
Engng. 21, 1471-1485. 
 
Piltner, R. 2002 Mixed finite elements with voids and inclusions. 15th Engineering Mechanics 
Conference, New York. 
 
Qin, Q-H. 2000 The Trefftz Finite and Boundary Element Method. WIT Press, Southampton. 
 
Soh, A.K. & Long, Z.F. 1999 A high precision element with a central circular hole. Int. J. of 
Solids Struct. 36, 5485-5497. 
 
Timoshenko, S. 1934 Theory of elasticity. First ed., McGraw-Hill Book Co. 
 
Trefftz, E. 1926 Ein Gegenstuck zum Ritzschen Verfahren. 2. Int. Kongr. Fur Tech. Mech., 
Zurich, pp. 131-137 (en Allemand). 
 
Wang, X., Zhou, Y. & Zhou, W. 2004 A novel hybrid finite element with a hole for analysis of 
plane piezoelectric medium with defects. Int. J. of Solids Struct. 41, 7111-7128. 
 
Zienkiewicz, O.C., Kelly, D.W. & Bettess, P. 1977 The coupling of the finite element method 
and boundary solution procedures. Int. J. Numer. Meth. Engng. 11, 355-375. 
 
Zienkiewicz, O.C. & Taylor, R.L. 1989 The Finite Element Method. pp 373-397. McGraw-Hill, 
London. 


Développement d'un élément de plaque perforée pour le calcul des structures aéronautiques au crash et à l'impact

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