Pour étudier le comportement des éléments rotulés de mât-réacteur d'avions, AIRBUS cherche à construire un outil de simulation numérique par la méthode des éléments finis, permettant d'analyser l'influence de leur géométrie sur leur performance. Cet article présente le travail de comparaison entrepris pour valider la simulation numérique du comportement statique à l'aide d'une technique expérimentale d'investigation dans le volume : la photoélasticimétrie tridimensionnelle. Cette technique permet d'analyser la répartition 3D des contraintes dans des structures modèles fabriquées en résine époxy. Ces premières observations nous ont permis de faire évoluer le modèle numérique afin de le rendre plus réaliste

DOUMALIN, Pascal

DUPRÉ, Jean-Christophe

GERMANEAU, Arnaud

MISTOU, Sébastien

PEYRUSEIGT, François

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Etude de la répartition des efforts dans les rotules aéronautiques : 
Modélisation numérique et validation expérimentale 
 
François Peyruseigt
1
, Arnaud Germaneau
2
, Sébastien Mistou
3
, 
Pascal Doumalin
2
 & Jean-Christophe Dupré
2
 
 
1 
Airbus France - TYEN - E5002 
316, route de Bayonne - 31060 Toulouse Cedex, France 
Francois.Peyruseigt@airbus.com 
 
2
 Université de Poitiers, Laboratoire de Mécanique des solides, UMR 6610 
Téléport 2, Boulevard Pierre et Marie CURIE – 86960 Futuroscope Chasseneuil, France 
germaneau@lms.univ-poitiers.fr, doumalin@lms.univ-poitiers.fr, dupre@lms.univ-poitiers.fr 
 
3 
ENI de Tarbes - Laboratoire Génie de Production 
47, avenue d’Azereix - BP1629 - 65016 Tarbes Cedex, France 
mistou@enit.fr 
 
 
Résumé : 
Pour étudier le comportement des éléments rotulés de mât-réacteur d’avions, AIRBUS cherche à 
construire un outil de simulation numérique par la méthode des éléments finis, permettant d’analyser 
l’influence de leur géométrie sur leur performance. Cet article présente le travail de comparaison 
entrepris pour valider la simulation numérique du comportement statique à l’aide d’une technique 
expérimentale d’investigation dans le volume : la photoélasticimétrie tridimensionnelle. Cette technique 
permet d’analyser la répartition 3D des contraintes dans des structures modèles fabriquées en résine 
époxy. Ces premières observations nous ont permis de faire évoluer le modèle numérique afin de le 
rendre plus réaliste.  
 
Abstract : 
To study spherical ball bearing behavior of aircraft engine pylons, AIRBUS looks for building a tool of 
numerical simulation by finite element method, allowing us to analyse the influence of their geometry on  
performance. This article presents the validation of the numerical simulation of static behavior with the 
help of a bulk experimental investigation technique: three-dimensional scattered light photoelasticity. 
This technique enables to analyse the stress distribution in epoxy resin model structures. These first tests 
allow us to improve numerical model in order to make it more realistic. 
 
Mots-clefs : Rotule ; Modélisation numérique ; Photoélasticimétrie tridimensionnelle 
 
1 Introduction 
Jusqu’au programme A380, les motoristes de la flotte AIRBUS avaient la responsabilité de 
la conception et de la fabrication des attaches-moteurs des mâts-réacteurs des avions (FIG. 1 et 
2). Ces organes, critiques pour un bon comportement mécanique de la liaison mât-moteur, sont 
constitués d’éléments rotulés permettant d’éliminer les degrés d’hyperstaticité de la jonction. 
Depuis l’A380, AIRBUS a repris la responsabilité de ces attaches et cherche à améliorer sa 
connaissance du comportement mécanique de ces éléments rotulés installés sur avion et 
notamment sur les mâts-réacteurs, afin de mieux prévoir leur durée de vie. 
Cette recherche consiste à construire un outil de simulation numérique du comportement 
mécanique des rotules par la méthode des éléments finis, permettant d’étudier l’influence de 
leur géométrie sur leur performance. Pour valider cet outil, une étude préalable est menée sur un 
modèle démonstrateur à géométrie sphérique. Les résultats de la simulation numérique sont 
comparés à des mesures expérimentales. Compte tenu du caractère 3D du contact sphère/sphère, 
il est nécessaire d’utiliser une technique de mesure de champs mécaniques dans le volume. 
Nous avons utilisé la technique de photoélasticimétrie 3D par découpage optique (Dupré & 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
Lagarde (1997), Plouzennec et al. (1998)). Pour cela, une rotule modèle en matériau transparent 
a été fabriquée et sollicitée sur un banc de chargement spécialement conçu. A partir des résultats 
expérimentaux obtenus, nous avons fait évoluer la modélisation en la rendant plus réaliste, 
notamment nous avons introduit un jeu dans la liaison supposé nul initialement, et mieux pris en 
compte les conditions aux limites de chargement réelles. 
                 
 FIG. 1 – Mât-réacteur A380          FIG. 2 – Attache-moteur avant du mât 
 
 
Dans cet article, on décrit dans un premier temps le principe de la technique expérimentale de 
photoélasticimétrie 3D par découpage optique, puis son application au cas des rotules. Ensuite 
le modèle numérique est exposé, ainsi que la procédure de comparaison. Enfin nous présentons 
les premiers résultats obtenus. 
 
2 Photoélasticimétrie 3D par découpage optique 
La photoélasticimétrie 3D par découpage optique consiste à isoler un feuillet dans 
l’échantillon entre deux faisceaux plans laser (Dupré & Lagarde (1997), Plouzennec et al. 
(1998), (Germaneau et al. (2007b)).). Un balayage du volume feuillet par feuillet permet une 
analyse globale de la pièce. Le montage optique est constitué d’une source laser, d’un dispositif 
de séparation du faisceau, d’une lentille convergente et d’une lentille cylindrique (FIG. 3). Une 
caméra CCD placée perpendiculairement à la direction des deux plans laser enregistre les 
champs de granularité correspondant à la diffusion de la lumière dans le modèle. On exprime 
alors le facteur de corrélation  de ces deux champs, qui est similaire à l’expression de l'intensité 
lumineuse obtenue dans un polariscope rectiligne (Dupré & Lagarde (1997)) : 
2
sin2sin1 222

  (1) 
où , le paramètre isocline, correspond à la direction de l'une des contraintes principales 
secondaires par rapport au polariseur : 










yyxx
xy



2
arctan
2
1  (2) 
où xx, yy et xy sont les valeurs des contraintes secondaires dans le plan x-y du feuillet observé. 
Le paramètre isochrome  représente la biréfringence du feuillet isolé qui est fonction de la 
différence des contraintes principales secondaires (1 - 2) selon les équations de Maxwell ou 
de la différence des déformations principales secondaires (1 - 2) selon les lois de Neumann : 
)(
2
)(
2
2121






 K
e
C
e
 (3) 
où e est l’épaisseur du feuillet et  la longueur d’onde de la lumière utilisée. C et K sont les 
constantes photoélastiques du matériau étudié déterminées expérimentalement sur un essai 
mécanique de traction (Germaneau et al. (2007a)). 
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
3 
 
 
 
x 
y 
 
 FIG. 3 – Dispositif expérimental. FIG. 4 –Orientations des faisceaux laser  
 
Les franges photoélastiques ne sont pas visibles car l’intensité de la lumière diffusée correspond 
à un champ de granularité. En pratique, la méthode consiste à enregistrer trois images : l'une 
avec le premier faisceau seul, la seconde avec le deuxième faisceau et la troisième avec les deux 
faisceaux. Une analyse statistique combinée de ces trois champs de granularité permet d’obtenir 

2
 et de visualiser les franges isochromes et isoclines. 
 
3 Essais expérimentaux 
La maquette étudiée est une rotule composée de quatre éléments : une cage, deux demi-
billes et un axe (FIG. 5). Ces pièces ont été réalisées en résine époxy et contiennent des 
particules nécessaires à la diffusion de la lumière (Germaneau et al. (2007a)). Une charge 
radiale est appliquée sur cette rotule par l’intermédiaire d’un logement en PMMA lié à un vérin 
hydraulique pouvant appliquer un effort de 2000 daN (FIG. 5). L’axe est inséré par ses deux 
extrémités dans deux parois en PMMA qui, avec deux autres parois, forment un récipient dans 
lequel un liquide d’indice immerge la rotule afin d’éliminer les phénomènes de réflexion et 
réfraction. Pour cette étude, le découpage optique est réalisé avec un feuillet d’épaisseur 4 mm 
en partant du bord de l’éprouvette et en allant vers le plan médian. Deux séries d’images sont 
prises sous deux incidences des faisceaux (FIG. 4) afin d’éliminer les franges isoclines et 
d’obtenir en tous points les franges isochromes. 
 
 
Axe 
Cage 
Demi-billes 
 
 
 
 FIG. 5 – Eléments de la rotule. FIG. 6 – Montage de photoélasticimétrie 3D  
 
4 Modélisation numérique 
 
4.1 Simulation 
Le modèle numérique réalisé sous ABAQUS est basé sur la configuration du montage 
expérimental. Les propriétés mécaniques du matériau de la rotule et de l’axe ont été identifiées 
par la méthode de suivi de marqueurs (Bretagne et al. (2005)) sur des éprouvettes de traction 
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4 
élaborées lors de la même coulée que les rotules. Le module d’Young Eepoxy  est de 2720 MPa et 
le coefficient de Poisson υepoxy est de 0,39. Les propriétés mécaniques du logement en PMMA 
supposé déformable sont EPMMA = 2800 MPa de et υPMMA = 0,38. Le contact frottant entre les 
pièces est régi par une loi classique de Coulomb avec un coefficient de frottement égal à 0,3. 
Les éléments utilisés sont des éléments hexaédriques à 8 nœuds à intégration réduite (C3D8R 
dans ABAQUS) bien adaptés pour résoudre les problèmes de contact. Un effort radial est 
appliqué sur la rotule par l’intermédiaire de la base du logement. Les parois où sont insérés les 
axes sont considérées comme des surfaces rigides. 
Pour mener les études comparatives, la technique de « sous-modélisation » (FIG. 7) proposée 
par le logiciel de calcul a été employée. Elle permet, à partir d’un modèle global, d’isoler une 
zone d’étude pour réaliser un modèle local. Les déplacements du modèle global seront appliqués 
aux frontières de ce modèle local. Cette méthode permet d’isoler et de mailler plus finement les 
feuillets médians et les feuillets de bord de cage pour chaque élément de la rotule. 
 
 
 
FIG. 7 – Modèle global et isolation d’un feuillet de cage 
 par la technique de « sous-modélisation » 
 
4.2 Observation des franges photoélastiques à partir de données numériques 
 La photoélasticimétrie 3D ne fournit pas les valeurs de contraintes mais des franges qui 
correspondent aux différences des contraintes principales dans le feuillet observé. La 
décomposition de chaque valeur de contrainte est complexe. Il est plus simple d’obtenir les 
franges à partir des valeurs de contraintes provenant de la simulation. A partir de ces valeurs en 
chaque point du maillage, nous calculons les paramètres isochrome  et isocline  donnés à 
l’aide des équations (2) et (3). Pour déterminer les franges numériques, nous devons schématiser 
le feuillet photoélastique isolé. Les contraintes ne peuvent pas être supposées constantes suivant 
l’épaisseur du feuillet comme en photoélasticimétrie 2D. La solution retenue consiste à effectuer 
une discrétisation en une série de sous-feuillets minces (Zenina et al. (1998)). Les contraintes 
sont supposées constantes suivant l’épaisseur de chaque sous-feuillet où chacun est caractérisé 
par i et i (i = 1 à n sous-feuillets) (Zenina et al. (1998)). Le processus consiste à calculer 
numériquement, à partir d’une direction de polarisation donnée, les composantes de la lumière 
après le passage dans le premier sous-feuillet. A la sortie de celui-ci, le calcul est repris à partir 
des nouvelles composantes pour les sous-feuillets suivants jusqu’au n
ième
. On note (X0,Y0) et 
(Xn,Yn) respectivement les composantes de la lumière à l’entrée du premier sous-feuillet et 
celles à la sortie du dernier sous-feuillet : 
 
 00 ,0
0
yx
Y
X








 
 11 ,0
0
yx
Y
X








 
 00 ,1
1
yx
Y
X






 … 
 11 ,1
1











nn yx
n
n
Y
X
 
 nn yxn
n
Y
X
,1
1









  
 nn yxn
n
Y
X
,








 1

R
1
S
2
R
1n
S
n
R
 n
S

 
Le passage entre deux sous-feuillets successifs se fait par les matrices de rotation et de 
déphasage Ri et Si : 
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5 










ii
ii
i
R
cossin
sincos
 et 








ii
j
S
i sincos0
01
 (3) 
Après le dernier sous-feuillet et après la traversée de l’analyseur, l’intensité lumineuse s’écrit : 
    22
0
sin)Im(cos)Im(sin)Re(cos)Re( 
nnnn
YXYXII  (4) 
 
5 Comparaison des résultats numériques et expérimentaux 
 Pour cet essai expérimental, la jonction entre les deux demi-billes est orientée 
verticalement. Les figures 8 et 9 montrent les franges obtenues par découpage optique pour une 
charge de 500 daN sur le bord (Fig. 8-a) et dans le plan médian (Fig. 8-c) puis pour une charge 
de 1000 daN (Fig. 7-a et c).  
 
 
FIG. 8 – Franges photoélastiques pour une charge de 500 daN, (a) expérimentales et  
(b) numériques sur le bord, (c) expérimentales et (d) numériques dans le plan médian 
 
 
FIG. 9 – Franges photoélastiques pour une charge de 1000 daN, (a) expérimentales et  
(b) numériques sur le bord, (c) expérimentales et (d) numériques dans le plan médian 
 
On observe une évolution des franges dans l’épaisseur entre le bord et le plan médian de 
l’éprouvette associée au contact sphère/sphère. Le nombre de franges augmente avec la charge 
ce qui provoque des différences de contraintes plus importantes. Les franges sont difficilement 
observables au niveau de la bille à cause d’une altération du faisceau au passage entre la bague 
extérieur et la bille. D’un point de vue numérique, nous avons fait évoluer le modèle en fonction 
des observations expérimentales. Initialement, le logement en PMMA était supposé 
indéformable. En considérant ce modèle, les franges simulées et expérimentales ne coïncidaient 
pas du tout et on observait des concentrations locales de contraintes très élevées au voisinage de 
la jonction des deux demi-billes. Nous avons donc réajusté les conditions aux limites pour 
qu’elles correspondent au mieux à la réalité : le logement est supposé déformable et nous avons 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
6 
imposé un jeu de 0,1 mm entre celui-ci et la bague extérieure. Pour éviter les aberrations 
numériques locales, le nouveau modèle est constitué d’une bille en une seule partie. Les 
résultats obtenus avec ces nouvelles conditions sont présentés sur les figures 8-b et d et 9-b et d. 
Globalement, nous obtenons le même motif de franges dans les deux cas mais nous observons 
des décalages entre ces deux situations (par exemple d’une demi-frange, soit 1,54 MPa, pour 
une charge de 1000 daN) et aussi entre celle du plan médian et celle du bord. Numériquement, 
on observe un nombre de franges moins important et une évolution plus lente avec l’intensité du 
chargement qu’expérimentalement. En effet, le modèle numérique a tendance à reproduire une 
répartition des contraintes plus uniforme au contact sphère/sphère, évoluant proportionnellement 
avec le chargement et donc entraînant une faible évolution de la différence des contraintes 
principales. La situation expérimentale associant des défauts de forme au contact fait apparaître 
des concentrations de contraintes évoluant plus rapidement avec le chargement. 
 
6 Conclusion 
Nous montrons ici une validation d’une simulation par éléments finis du comportement 
mécanique d’une rotule aéronautique. A partir des données simulées, nous avons calculé les 
franges photoélastiques que nous avons ensuite comparées à celles obtenues par 
photoélasticimétrie 3D. Cette technique permet d’analyser la répartition 3D des contraintes dans 
des structures modèles fabriquées en résine époxy. Ces premières observations nous ont permis 
de faire évoluer le modèle numérique afin de le rendre plus réaliste. Une autre approche est 
envisagée à partir de la comparaison des déplacements à l’intérieur de la rotule obtenus à l’aide 
de la technique expérimentale de corrélation volumique par tomographie optique (Germaneau et 
al. (2007b) et (2007c)). 
 
References 
Bretagne, N., Valle, V. & Dupré, J.C. 2005 Developpement of marks tracking technique for 
strain field and volume variation measurement, NDT&E Int. 38, 290-298. 
Dupré, J.C. & Lagarde, A. 1997 Photoelastic analysis of a three-dimensional specimen by 
optical slicing and digital image processing. Exp. Mech. 37(4), 393-397. 
Germaneau, A., Doumalin, P. & Dupré, J.C. 2007a 3D Photoelasticity and Digital Volume 
Correlation applied to 3D mechanical stuides. In Proc. ICEM 13, Alexandroúpolis, Grèce. 
Germaneau, A., Doumalin, P. & Dupré, J.C. 2007b Corrélation Volumique par Tomographie 
Optique et Photoélasticimétrie 3D pour l’étude des effets mécaniques tridimensionnels. In 
Proc. CFM 2007, Grenoble, France. 
Germaneau, A., Doumalin, P. & Dupré J.C. 2007c Full 3D measurement of strain field by 
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(France), pp. 41-48, Kluwer Academic Publishers. 
Zenina, A., Dupré, J.C. & Lagarde, A. 1998 Optical approaches of a photoelastic medium for 
theoretical and experimental study of the stresses in a three-dimensional specimen. In 
IUTAM Symposium on Advanced Optical Methods and Applications in Solid Mechanics, A. 
Lagarde (Ed.) Poitiers (France), pp. 49-56, Kluwer Academic Publishers. 
Zenina, A., Dupré, J.C. & Lagarde, A. 1999 Separation of isochromatic and isoclinic patterns of 
a slice optically isolated in a 3-D photoelastic medium. Eur. J. of Mech. A/Solids 18, 633-640 


Etude de la répartition des efforts dans les rotules aéronautiques

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16706/1/CFM2007-1056.pdf

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