Cet article présente une application de la recherche de forme aux gilets de sauvetage gonflables. La recherche de forme est le nom générique désignant le processus de conception de la forme globale des structures légères instables telles que les structures gonflables. L'état d'équilibre statique des gilets gonflables est recherché pour analyser la forme générale, le volume contenu et la localisation des zones de plis. La méthode de relaxation dynamique avec amortissement cinétique permet d'éviter le problème de singularité de la matrice de raideur et le problème d'instabilité locale dans les zones de plis. Sa rapidité de convergence est très dépendante de la formulation de la matrice des masses. Dans cet article, plusieurs expressions des masses sont testées et leurs performances comparées entre elles

CADOU, Jean-Marc

RIO, Gérard

TROUFFLARD, Julien

Troufflard, Julien

Cadou, Jean-Marc

Rio, Gérard

HAL-Université de Bretagne Occidentale

Simulation numérique de recherche de forme : application aux gilets de sauvetage gonflables

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Simulation numérique de recherche de forme : application aux gilets de
sauvetage gonflables
Julien Troufflard, Jean-Marc Cadou, Gérard Rio
Université de Bretagne Sud
Laboratoire Génie Mécanique et Matériaux
Rue de Saint-Maudé BP 92116 56321 Lorient Cedex
troufflard@univ-ubs.fr
Résumé :
Cet article présente une application de la recherche de forme aux gilets de sauvetage gonflables. La recherche
de forme est le nom générique désignant le processus de conception de la forme globale des structures légères
instables telles que les structures gonflables. L’état d’équilibre statique des gilets gonflables est recherché pour
analyser la forme générale, le volume contenu et la localisation des zones de plis. La méthode de relaxation
dynamique avec amortissement cinétique permet d’éviter le problème de singularité de la matrice de raideur
et le problème d’instabilité locale dans les zones de plis. Sa rapidité de convergence est très dépendante de la
formulation de la matrice des masses. Dans cet article, plusieurs expressions des masses sont testées et leurs
performances comparées entre elles.
Abstract :
This paper presents an application of form-finding for lifejackets. Form-finding is the process in which the design of
lightweight structures as inflatable structures is researched. The static equilibrium state is required for lifejackets
to analyse their general form, contained volume and wrinkling zones localisation. The dynamic relaxation method
with kinetic damping avoids the problem of singular stiffness matrix and local instability in wrinkiling zones. Its
convergence rate strongly depends on the mass matrix formulation. In this paper, some expressions for masses are
tested and their efficiency are compared.
Mots-clefs :
Recherche de forme, Relaxation dynamique, gilet de sauvetage gonflable
1 Introduction
La forme d’un gilet de sauvetage à l’état gonflé est impossible à prévoir à partir de la géomé-
trie plane conçue en bureau d’études. En effet, la géométrie complexe du plan de conception et
la présence de plis dans la forme finale rendent cette prévision très difficile par d’autres moyens
que la simulation numérique. Actuellement, les concepteurs de gilets de sauvetage gonflables
réalisent de nombreux prototypes pour vérifier si la forme finale répond à leurs attentes d’une
part en terme de création de nouveaux modèles mais surtout en ce qui concerne le volume de
gaz contenu. Ce volume de gaz est le critère majeur de conception car il induit l’intensité de
l’aide à la flottabilité fournie à l’utilisateur.
Le comportement souple des peaux de l’enveloppe gonflable est modélisé par des éléments fi-
nis de membrane. L’utilisation de ce type d’élément implique le problème de singularité de la
matrice de raideur due au manque de raideur en flexion. Ce problème numérique rencontré dans
le cas des structures membranaires a conduit au développement des méthodes de recherche de
forme. Le gilet de sauvetage gonflable se place dans ce cadre. La méthode de relaxation dyna-
mique avec amortissement cinétique, proposée par Cundall (1976) et largement appliquée en
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
recherche de forme, notamment Barnes (1988), est une des méthodes classiques. L’utilisation
de la dynamique explicite évite le problème d’inversion de la matrice de raideur qui est sin-
gulière étant donnée l’absence de rigidité en flexion des membranes. La dynamique explicite
permet aussi d’éviter les problèmes numériques locaux d’instabilité due au flambement dans
les zones de plis. Le mécanisme simple de dissipation de l’énergie cinétique offert par cette
méthode permet d’aboutir à l’équilibre statique par un processus dynamique. La rapidité de
convergence de la méthode est fortement liée à la matrice masse.
Dans cet article, l’impact de la formulation de la matrice masse sur la convergence est plus parti-
culièrement étudiée. Pour ceci, trois expressions sont comparées, la matrice physique classique
des masses, celle proposée par Han et Lee (2003) et une version modifiée de cette dernière.
Dans une première partie, la méthode de relaxation dynamique est résumée. Ensuite, les diffé-
rentes formulations des masses sont établies. Et enfin, une comparaison des performances de
chacune est menée sur un cas de gilet de sauvetage.
2 Méthode de relaxation dynamique
Le problème de dynamique à résoudre est celui défini par la seconde loi de Newton :
~Facc + ~Fint = ~Fext (1)
avec ~Facc, ~Fint et ~Fext respectivement les forces d’accélération, internes et externes. Les gilets de
sauvetage gonflables sont soumis à des pressions internes relativement faibles (environ 150-200
mBars). Compte tenu des faibles déformations engendrées, les forces internes seront calculées
pour un matériau élastique isotrope. Le chargement extérieur est modélisé par une pression
suiveuse uniforme.
Après discrétisation par la méthode des éléments finis, l’expression [1] devient :
[M ]X¨ +R(X) = 0 (2)
avec [M ] la matrice masse diagonale, X¨ et X respectivement le vecteur accélération et posi-
tion aux noeuds et R(X) le résidu des forces internes et externes dépendant de la position des
noeuds. Nous utilisons un élément fini de membrane triangulaire à trois noeuds et 3 degrés de
liberté par noeud.
Une méthode de différences finies centrées (DFC) est couramment utilisée pour intégrer tem-
porellement les équations de la dynamique. Elle conduit aux approximations suivantes pour le
pas de temps ∆t à l’incrément n :
X¨n = [M ]
−1.R(Xn)
X˙n+ 1
2
= X˙n− 1
2
+∆t.X¨n, Xn+1 = Xn +∆t.X˙n+ 1
2
(3)
Le schéma DFC est typiquement utilisé en recherche de forme par relaxation dynamique.
Nous verrons plus loin que l’application du schéma de Tchamwa-Wielgosz (TW) permet une
meilleure convergence de la méthode dans le cas d’une matrice physique des masses. Pour ce
schéma, les vitesses et positions nodales sont habituellement calculées à l’incrément n+1 selon
Rio et al. (2005) :
X¨n = [M ]
−1.R(Xn)
X˙n+1 = X˙n +∆tX¨n, Xn+1 = Xn +∆tX˙n + φ∆t
2X¨n (4)
où φ est un paramètre supérieur ou égal à 1.
Pour l’application de ce schéma à la relaxation dynamique, le calcul des vitesses a été modifié
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
afin de résoudre un problème de divergence de la simulation. Cette divergence a tendance à
apparaitre aux alentours de la position d’équilibre. Les vitesses à n+1 seront calculées à partir
de la moyenne des accélérations à n et n+ 1 :
X˙n+1 = X˙n +
∆t
2
(X¨n + X¨n+1) (5)
L’utilisation du schéma TW permet de filtrer les hautes fréquences de vibrations numériques
dues à la discrétisation spatiale par éléments finis. Le paramètre φ exprime l’intensité de cette
filtration.
Au cours du processus dynamique, l’énergie cinétique totale de la structure est controlée à
chaque pas de temps. Pour chaque pic d’énergie cinétique rencontré, les vitesses nodales sont
remises à 0. Ce traitement est répété jusqu’à ce qu’un critère d’arrêt soit satisfait sur le résidu
des forces ou sur les déplacements résiduels. En dissipant ainsi peu à peu l’énergie cinétique, le
processus itératif dynamique conduit à la solution statique du problème d’une manière simple
et efficace.
3 Expressions de la matrice masse
La convergence vers l’équilibre est fortement dépendante de la matrice masse diagonale.
Pour la recherche de forme, l’expression générale de la masse au noeud i est donnée par Barnes
(1974) :
mi = λ
∆t2
2
Si (6)
avec Si un terme dépendant du matériau et de l’état de contrainte dans la membrane et λ un
paramètre de convergence constant pour toute la structure. Cette expression [6] traduit une
relation de stabilité définie par Courant et al. (1928). Le pas de temps ∆t est arbitraire et
typiquement égal à 1. Le terme Si peut être décomposé en une partie matérielle et une partie
géométrique relative à l’état de contrainte dans la membrane :
Si =
∑
e
(Semat + S
e
geo) (7)
Le type d’élément fini utilisé a une grande influence sur la formulation de [7]. C’est le premier
aspect à prendre en compte. Ensuite, la raideur matérielle dépend évidemment du matériau de
la structure et la raideur géométrique de l’état de contrainte. Pour un élément membrane à trois
noeuds, l’expression suivante est proposée par Han et Lee (2003) :
Si =
∑
e
ep
4.Se0
(
E
1− ν2
+ σx + σy + σxy
)
(8)
avec Se0 la surface initiale de l’élément e et ep l’épaisseur de la membrane. σx, σy et σxy sont les
composantes du tenseur des contraintes dans la membrane. E et ν sont les coefficients d’une loi
élastique isotrope.
Bien que cette expression soit une bonne évaluation de la raideur environnant chaque noeud, on
s’aperçoit que le terme obtenu en injectant [8] dans [6] n’a pas la dimension d’une masse. Pour
éviter ce problème d’homogénéité des dimensions, nous proposons la forme modifiée suivante :
Si =
∑
e
ep
4
(
E
1− ν2
+ σx + σy + σxy
)
(9)
L’expression [6] offre une bonne approximation des masses pour avoir une convergence opti-
male. De ce fait, la matrice physique classique des masses a peu d’intérêt en terme de rapidité
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de convergence. Cependant, les masses physiques sont introduites ici comme élément de com-
paraison en terme de performance. Toujours dans le cas d’éléments membrane triangulaires à
trois noeuds, la masse physique mi au noeud i est obtenue en sommant sur chaque élément e
incluant le noeud i :
mi =
1
3
∑
e
ρ.Se0.ep (10)
avec ρ la masse volumique des peaux de l’enveloppe gonflable.
4 Résultats
Le cas d’étude est un gilet de sauvetage de catégorie 150N. Les données pour ce calcul sont
les suivantes :
- module d’Young : E = 125 MPa
- coefficient de Poisson : ν = 0.41
- pression de gonflage : p = 150 mBars
- épaisseur de membrane : ep = 0.27 mm
Au voisinage de la position d’équilibre du gilet, les deux parties inférieures sont en contact.
L’interpénétration de ces zones est évitée par l’application d’une force aux noeuds équivalente
à une méthode de pénalisation. Le déroulement du calcul par relaxation dynamique est illus-
tré sur la figure 1 montrant la dissipation progressive de l’énergie cinétique du système. On
distingue trois phases sur cette courbe. Dans la première phase, de hauts niveaux d’énergie ci-
nétique sont atteints découlant du fort déséquilibre entre la forme initiale plane du gilet et son
chargement de pression. La seconde phase traduit le mouvement des parties inférieures du gilet
vers le plan de symétrie. Dans la troisième phase, on observe la stabilisation finale de la géomé-
trie. La forme finale du gilet réel et gonflé numériquement est montrée sur la figure 2. Plusieurs
FIG. 1 – Evolution de l’énergie cinétique en fonction du nombre d’incréments
finesses de maillage sont utilisées. L’influence du paramètre λ de l’expression [6] est étudiée.
Les résultats pour les expressions [8] et [9] des masses sont regroupés respectivement dans les
tableaux 1 et 2. Le tableau 2 montre également des résultats pour une matrice masse physique
avec le schéma TW. On constate une grande sensibilité au maillage du paramètre λ dans le
cas de la formulation [8]. L’expression modifiée [9] efface cette sensibilité. De plus, les perfor-
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 2 – Forme finale du gilet de sauvetage (en haut : résultat de simulation, en bas : gilet réel)
Nb ddl λ : 100 400 800 1000 2000 3000 4000
1053 nb incr : div div div div div 386 469
1971 nb incr : div div div div 1579 716 2288
4590 nb incr : div div div 1574 2494 3086 3947
7611 nb incr : div div 2678 3839 4312 4800 5475
11349 nb incr : div div 4085 3850 6731 8162 9631
16506 nb incr : div 3878 6947 7153 8612 11145 12210
TAB. 1 – Influence de λ sur le nombre d’incréments nécessaire (masses calculées selon expression [8])
Nb ddl λ : 2.2 2.5 3 4 5 6 TW (φ = 1.1)
1053 nb incr : div div 298 350 390 428 415
1971 nb incr : div 417 426 523 547 596 676
4590 nb incr : div div 837 1002 1125 1227 1919
7611 nb incr : div 953 941 1301 1473 1548 2394
11349 nb incr : div 1402 1572 1664 1995 2272 3772
16506 nb incr : div 1800 1883 1991 2393 2611 4122
TAB. 2 – Influence de λ sur le nombre d’incréments nécessaire (masses calculées selon expression [9])
et résultats avec matrice masse physique en utilisant le schéma TW pour φ = 1.1
mances atteintes avec cette formule modifiée en terme de nombre d’incréments sont largement
meilleures, notamment pour les maillages fins. Ceci a un intérêt concret dans son application
en bureau d’étude pour la conception des gilets. En effet, les utilisateurs de cette simulation ne
sont pas toujours initiés au calcul numérique. Les logiciels qui leur sont fournis doivent être
simples d’utilisation en nécessitant très peu d’interventions de la part des utilisateurs. Cette ver-
sion modifiée de l’expression des masses permet au concepteur de faire une recherche de forme
avec une simulation performante quelquesoit la finesse de maillage.
Le tableau 2 montre aussi une comparaison de performance entre matrice masse physique et ma-
trice masse selon l’expression [9]. Le schéma TW est utilisé dans le cas des masses physiques
pour éviter un problème de divergence des calculs observée avec le schéma DFC. Une étude
numérique sur un cas de coussin gonflable a permis de fixer le paramètre φ pour améliorer la
convergence mais les performances restent inférieures. On constate également des performances
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
similaires entre matrice masse physique et matrice masse selon l’expression [8].
L’application du schéma TW couplé à un calcul de masse selon l’expression [9] est une pers-
pective de ce travail.
5 Conclusion
Dans cette étude, l’influence de la matrice masse sur les simulations par relaxation dyna-
mique a été étudiée. Pour ceci, une comparaison entre plusieurs formulations de matrice masse
a été réalisée. Une expression basée sur une formule de la littérature a été modifiée pour amé-
liorer la rapidité de convergence et éviter l’influence de la finesse de maillage. Le but de ces
simulations est leur application en bureau d’étude pour la conception de gilets de sauvetage
gonflables.
Cette étude est financée par la région Bretagne et en collaboration avec la société Plastimo.
Références
P. A. Cundall 1976, Explicit finite-difference methods in geomechanics, Blacksburg, VA
M. R. Barnes 1988, Form-finding and analysis of prestressed nets and membranes, Computers
& Structures, Volume 30, Issue 4, p.685-695
S.-E. Han, K.-S. Lee 2003, A study of the stabilizing process of unstable structures by dynamic
relaxation method, Computers & Structures, Volume 81, Issue 17, Pages 1677-1688
G. Rio, A. Soive, V. Grolleau 2005, Comparative study of numerical explicit time integration
algorithms, Advances in Engineering Software, Volume 36, Issue 4, Pages 252-265
M. R. Barnes 1974, Dynamic relaxation analysis of tension networks, Int. Conf. on Tension
Structures, London
R. Courant, K. Friedrichs, H. Lewy 1928, On the partial Difference Equations of Mathematical
Physics, Mathematische Annalen, Volume 100, p.32-74.
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https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00404089

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