L'objectif de ce travail est de mettre en place un générateur de conditions aux limites amont pour les simulations d'écoulements turbulents compressibles. Une étude précédente, basée sur une reconstruction des grandeurs fluctuantes résultant d'une décomposition aux valeurs propres (POD), a permis d'extraire les structures dominantes de l'écoulement afin de minimiser la longueur caractéristique d'établissement de la turbulence. Ayant recueilli sur des temps assez longs les coefficients temporels associés aux modes POD, l'utilisation de systèmes dynamiques d'ordre bas est envisagée pour prédire la dynamique de l'écoulement à long terme. L'identification du système est effectuée grâce à un réseau de neurones. L'influence de la complexité de l'architecture neuronal sur la capacité du réseau à apprendre et à estimer a été étudiée

ABÉGUILÉ, Florian

FRAIGNEAU, Yann

LORANG, Li

TENAUD, Christian

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Identification de systèmes dynamiques dans un canal plan turbulent à l’aide
de réseaux de neurones
Li Lorang, Florian Abéguilé, Yann Fraigneau & Christian Tenaud
UPR CNRS 3251
Laboratoire d’Informatique pour la Mécanique et les Sciences de l’Ingénieur (LIMSI)
B.P. 133, 91403 Orsay Cedex
florian.abeguile@limsi.fr, yann.fraigneau@limsi.fr, li.vodinh@limsi.fr, christian.tenaud@limsi.fr
Résumé :
L’objectif de ce travail est de mettre en place un générateur de conditions aux limites amont pour les simulations
d’écoulements turbulents compressibles. Une étude précédente, basée sur une reconstruction des grandeurs fluc-
tuantes résultant d’une décomposition aux valeurs propres (POD), a permis d’extraire les structures dominantes
de l’écoulement afin de minimiser la longueur caractéristique d’établissement de la turbulence. Ayant recueilli sur
des temps assez longs les coefficients temporels associés aux modes POD, l’utilisation de systèmes dynamiques
d’ordre bas est envisagée pour prédire la dynamique de l’écoulement à long terme. L’identification du système est
effectuée grâce à un réseau de neurones. L’influence de la complexité de l’architecture neuronal sur la capacité du
réseau à apprendre et à estimer a été étudiée.
Abstract :
The objective of this work is to set up a generator of inflow conditions for simulations of fully developed turbulent
flows. A previous study, based on a reconstruction of the fluctuating quantities resulting from a Proper Orthogonal
Decomposition (POD) allowed to extract dominant structures of the flow in order to minimize the characteristic
length from which an equilibrium turbulent boundary layer is recovered. Having collected over rather long times
the associated temporal coefficients, the use of dynamical systems is planned to predict the dynamic of the flow
with long term. A method based on the identification by neural networks is preferred to traditional methods of
POD-Galerkin projection and polynomial identification. The influence of the complexity of network architecture
on the capacity of the network to learn and to estimate was studied.
Mots-clefs :
Identification ; Réseaux de neurones ; Systèmes dynamiques
1 Introduction
L’approche de la simulation des Grandes Echelles (LES) est une alternative à la DNS pour
l’analyse d’écoulements turbulents à hauts nombres de Reynolds. Une des difficultés de mise
en œuvre des simulations instationnaires réside dans le traitement des conditions aux limites aux
frontières ouvertes du domaine de calcul. Le principe des méthodes pour pallier ce problème
consiste à imposer des conditions aux limites réalistes, i.e. des conditions d’entrée présentant
une répartition spectrale correcte ainsi qu’une organisation spatio-temporelle représentative de
l’écoulement. Une étude précédente [Abéguilé et al. (2007)], point de départ de ce travail, ba-
sée sur une reconstruction des grandeurs fluctuantes résultant d’une décomposition aux valeurs
propres (POD), a permis d’extraire les structures dominantes de l’écoulement et de minimiser
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
leur longueur caractéristique d’établissement dans une configuration de canal plan. La capacité
des systèmes dynamiques à reproduire la dynamique des écoulements permet d’envisager leur
utilisation pour des simulations sur des temps longs. Des systèmes dynamiques ont été déve-
loppés avec succès mais toujours dans des configurations simples (couche de mélange [Perret
(2004)], écoulement derrière un cylindre [Bergmann (2004)]. L’originalité de ce travail est
double. D’une part, si la configuration du canal plan étudiée ici est simple, elle possède néan-
moins toute la dynamique d’un écoulement pleinement turbulent et compressible. D’autre part,
le développement des systèmes dynamiques est basé sur l’identification par réseaux de neu-
rones et non pas sur les méthodes classiques de projection POD-Galerkin et d’identification
polynomiale.
2 Principe du générateur de conditions aux limites
Pour générer les fluctuations des quantités avec une répartition spatio-temporelle caractéris-
tiques de la turbulence de l’écoulement considéré, une POD a été effectuée dans un plan arbi-
traire du canal [Abéguilé et al. (2007)]. Le nombre de Reynolds, basé sur la demi-hauteur du ca-
nal est 3000 (correspondant à un Reynolds turbulent Reτ   200), le Mach vaut 1 5. Dans les di-
rections homogènes de l’écoulement, la POD se réduit à une décomposition harmonique [Lum-
ley (1967)], on applique donc préalablement une décomposition de Fourier aux fluctuations des
grandeurs conservatives ψi

xt  

ρ  

ρu 

ρE T dans la direction transverse. Dans la base
POD, le champ fluctuant est estimé comme suit :


ψ

 
est ky x t   ∑NPODn1
	
a
n

ky t   ˆΦ
n

ky x,
où NPOD est le nombre de modes conservés pour la reconstruction. Les coefficients temporels
associés aux modes POD sont donnés par :
	
a


n

ky t   D

ψ
i

ky x t  Φ
n

ky x. Les fluctua-
tions recomposées sont ensuite superposées à un champ moyen connu et injectées en entrée du
domaine. Dans l’optique d’utiliser cette technique sur des temps longs, les coefficients tempo-
rels associés aux modes POD ont été receuillis. Les portraits de phase présentés sur la figure 1
illustrent le caractère chaotique de l’écoulement considéré.
-0.3
-0.2
-0.1
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
-0.8-0.6-0.4-0.2  0  0.2 0.4 0.6 0.8
R
e

aˆ
1

Re aˆ2
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
-0.8-0.6-0.4-0.2  0  0.2 0.4 0.6 0.8
Im

aˆ
1

Re aˆ1
FIG. 1 – Portrait de phase du 1er mode de Fourier : A gauche, Re aˆ1 en fonction de Re aˆ2. A droite,
Im aˆ1 en fonction de Re aˆ1.
3 Systèmes dynamiques et réseaux de neurones
Classiquement, les systèmes dynamiques sont obtenus via une projection de Galerkin des équa-
tions de Navier-Stokes sur la base POD. De par son caractère optimal à capter l’énergie en un
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
nombre réduit de modes, la POD est adaptée au développement de modèles d’ordre bas. Cepen-
dant, la troncature réalisée lors de la projection élimine les modes d’ordre élevé responsables
de la dissipation de l’énergie créée par les grandes structures et ces systèmes divergent aux
temps longs. Pour pallier ce problème, plusieurs solutions ont été avancées (viscosité tourbillo-
naire, correction des coefficients temporels inspirée des méthodes de contrôle optimal). Outre
ces problèmes de divergence, ce type d’approche nécessite d’avoir accès à l’ensemble des va-
riables (en compressible l’inverse de la masse volumique est aussi nécessaire) et de connaître les
conditions aux limites. Le calcul des dérivées spatiales des fonctions propres POD, générateur
de bruit numérique, pose aussi quelques difficultés. Pour ces différentes raisons, des méthodes
d’identification polynomiale ont été proposées pour déterminer les coefficients du modèle réduit
[Perret (2004)]. Une approche classique repose sur l’identification des coefficients du système
dynamique en ayant au préalable fixée la forme de celui-ci. Une autre voie, reposant sur un
système dynamique dont les coefficients sont déterminés par apprentissage à partir d’un réseau
de neurones a été choisie.
Les réseaux de neurones présentent l’avantage d’être des approximateurs universels parcimo-
nieux. En effet, pour obtenir un modèle non linéaire de précision donnée, le nombre de para-
mètres ajustables requis par le réseau de neurones est inférieur à celui requis par toutes autres
méthodes de régressions classiques. Le réseau de neurones choisi dans cette étude est de type
perceptron à une couche cachée et à fonction d’activation sigmoïde [Dreyfus et al. (2004)] (voir
fig. 2).
x0   1 x1 x2 xn
n variables d’entrée
+ un biais
Nc neurones cachés
à fonction d’action sigmoïde
un neurone de sortie linéaire
Nc
Nc
 1
f

i
  
  
1
FIG. 2 – Réseau de neurones à n  1 entrées, une couche de Nc neurones cachés à fonction d’activation
sigmoïde et un neurone de sortie linéaire.
L’apprentissage est effectué sur les coefficients temporels qui sont des nombres complexes. On
découple partie réelle et imaginaire mais on tient compte de leur influence réciproque dans la
fonction à identifier. Le système dynamique qui régit l’évolution des coefficients temporels de
la POD peut s’écrire comme suit pour chaque ky :
Re  resp.Im

daˆ

i
ky 	t 
dt 
   f

i Re aˆ

1
ky
	
t 
	
Im aˆ

1
ky
	
t 
	
  
	
Re aˆ

NPOD 
ky
	
t 
	
Im aˆ

NPOD 
ky
	
t 
où f 
i, la fonction décrivant la sortie du réseau de neurones, s’écrit :
f 
i 
Nc∑
k1 
p1ik tanh

NPOD∑
j1 
w1i jk Re aˆ

j ky t   w2i jk Im aˆ
 j

ky t   p2ik  qi
wli jk, p
l
ik et qi sont les vecteurs poids (inconnues du problème) associés respectivement à la
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
couche cachée, à la couche linéaire et au biais, Nc le nombre de neurones cachés et NPOD le
nombre de modes POD. Aprés avoir défini le degré de complexité de l’architecture neuronale,
la détermination des paramètres est effectuée lors d’une phase d’apprentissage sur une séquence
de la base de données. Cette phase consiste à déterminer w qui minimise l’erreur entre la sortie
du réseau et les échantillons par un algorithme de type simplex :
erreur 
NPOD∑
j1  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re

resp. Im

daˆ
i

ky t 
dt   f 

i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
Une fois cet apprentissage réalisé, i.e., dès l’obtention d’une bonne convergence des paramètres,
l’intégration de la fonction f 
i est effectuée par une intégration de type Runge-Kutta (3ème
ordre), à partir d’une condition initiale donnée par les coefficients temporels originaux à un
instant donné aˆ
i

ky t0.
4 Apprentissage
La robustesse d’un réseau de neurones ne repose pas uniquement sur sa capacité à reproduire
la séquence sur laquelle l’apprentissage a été effectué, mais aussi sur son aptitude à estimer
une séquence inconnue. Théoriquement plus un réseau de neurones est complexe, i.e., plus
le nombre de neurones cachés est important, plus il sera capable de reproduire fidèlement la
séquence apprise. Néanmoins, il peut en résulter une perte de généralité préjudiciable pour
l’estimation d’une séquence différente. Un compromis doit être trouvé entre ces deux types
d’estimation.
4.1 Influence du nombre de neurones cachés
Pour des niveaux croissants de complexité de l’architecture neuronal, les erreurs commises sur
la séquence apprise et sur une séquence ultérieure ont étés reportées dans le tableau 1. On ob-
Nc 1 2 3 4
erreur 0 654 0 537 0 476 0394
TAB. 1 – Influence du nombre de neurones cachés sur l’erreur d’apprentissage.
serve que l’erreur d’apprentissage diminue de 20% environ pour chaque neurone caché supplé-
mentaire. Cependant, l’ajout de neurones cachés augmente de manière conséquente le temps de
calcul de l’apprentissage (il augmente d’un facteur 10 entre 1 et 4 neurones cachés). Pour 4 neu-
rones cachés, l’apprentissage donne des résultats très satisfaisants (voir fig. 4). Pour valider cette
étape d’apprentissage, on a testé l’estimation des différents réseaux sur une séquence inconnue.
Sur la figure 3, on a reproduit le spectre des différents Re daˆ1dt  estimés pour cette séquence.
Les hautes fréquences sont mieux capturées lorsqu’on augmente le nombre de neurones cachés.
Cela met en évidence le lien entre complexité du réseau et robustesse de l’apprentissage pour
l’estimation.
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
4.2 Influence de la troncature des modes POD
Considérant une architecture neuronale composée de 4 neurones cachés, l’influence du nombre
de modes conservés sur l’erreur commise lors de la phase d’apprentissage est étudiée. Les effets
de la troncature de la POD sur la longueur d’établissement de la turbulence ont été étudiés
par Abéguilé et al. (2007). Il ressort de cette étude qu’en deça de 10 modes utilisés pour la
reconstruction, les longueurs d’établissement deviennent grandes et incompatibles dans le cadre
des applications envisagées. Cette valeur a donc constitué le seuil de la troncature utilisé pour
ce travail.
NPOD 10 14 17
erreur 0 542 0 445 0 394
TAB. 2 – Influence du nombre de modes POD conservés sur l’erreur d’apprentissage pour un réseau de
neurones possédant 4 neurones cachés
Comme on pouvait s’en douter, l’erreur d’apprentissage diminue lorsqu’on augmente le nombre
de modes POD pris en compte, car les modes élevés participent également à la dynamique de
l’ensemble. Il est cependant intéressant de voir qu’avec un nombre réduit de modes, on obtient
une bonne approximation de l’évolution des structures les plus énergétiques.
 1e-05
 1e-04
 0.001
 0.01
 0.1
 1
 10
 0.01  0.1  1  10
original
nc = 1
nc = 2
nc = 3
nc = 4
f
ds
p
FIG. 3 – Spectre de Re daˆ1 dt  estimé sur une
séquence temporelle inconnue pour différents
réseaux : original, nC  1, nC  2, nC  3,
nC  4
-2
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 320  330  340  350
original
reconstruit
R
e

daˆ
1

dt

t
FIG. 4 – Séquences des coefficients temporels
Re daˆ1 dt : originale et estimée par le réseau
de neurones à 4 neurones cachés .
5 Intégration de l’ODE
Une fois les fonctions f 
i identifiées, on intègre le système d’équations ordinaires pour obte-
nir l’évolution temporelle des aˆ
i

ky t . Les résultats qui ont été obtenus pour l’apprentissage
présenté n’ont pas abouti, le système dynamique se révélant instable. En découplant dans la
fonction d’apprentissage les parties réelles et imaginaires de chaque mode, on a pu obtenir
des évolutions temporelles stables. L’évolution des basses fréquences est bien reproduite (voir
fig. 5), on n’observe pas de déphasage du signal (voir fig. 6). L’enjeu pour récupérer toute la
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
dynamique repose sur une optimisation de l’apprentissage et on développera par la suite des
algorithmes d’intégration plus adaptés à des systèmes couplés.
 1e-05
 1e-04
 0.001
 0.01
 0.1
 1
 10
 0.01  0.1  1  10
ds
p
f
FIG. 5 – spectre de Re aˆ 1 original (rouge) et
estimé (bleu)
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 345  350  355  360  365  370
R
e

aˆ
1

t
FIG. 6 – Evolution temporelle de Re aˆ 1  ori-
ginale (–) et estimée (•)
6 Conclusion
Nous avons développé une méthode d’identification neuronale de systèmes dynamiques pour
un écoulement pleinement turbulent et compressible. L’architecture du réseau a été optimisée
pour l’apprentissage et nous avons également étudié l’influence de la troncature pour l’estima-
tion des modes POD dans le domaine spectral. En découplant la partie réelle et imaginaire de
chaque mode POD, on obtient des systèmes stables qui permettent d’obtenir une bonne dyna-
mique des basses fréquences (pas de déphasage). Les résultats obtenus sont encourageants et
nous poursuivrons l’étude sur les systèmes couplés pour obtenir de meilleurs résultats pour la
dynamique des hautes fréquences.
Références
Abéguilé F., Fraigneau Y., Lorang L. & Tenaud C. Générateur de conditions aux limites amont
pour les simulations de type LES des écoulements de paroi. 18ème Congrès Français de
Mécanique Grenoble.
Bergmann M. Optimisation aérodynamique par réduction de modèle POD et contrôle optimal.
Application au sillage lamainaire d’un cylindre circulaire. Thèse de Doctorat, Institut Natio-
nal Polytechnique de Lorraine. France, Nancy.
Dreyfus G., Martinez J. M., Samuelides M., Gordon M. B., Badran F., Thiria S. & Hérault L.
Réseaux de neurones. Méthodologie et applications. Edition Eyrolles
Perret L. Etude du couplage instationnaire calculs-expériences en écoulements turbulents.
Thèse de Doctorat, Université de Poitiers. France.
Lumley J.L. The structure of inhomogeneous turbulent flows. In A. M. Yagom and V. I. Tatarski,
editors. Atmospheric turbulence and Radio Wave Propagation, pp 166-178. Nauka : Moskow.
6


Identification de systèmes dynamiques dans un canal plan turbulent à l'aide de réseaux de neurones

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16510/1/CFM2007-1103.pdf

Identification de systèmes dynamiques dans un canal plan turbulent à l'aide de réseaux de neurones

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