Nous étudions un problème modèle non classique de transmission décrivant une multi-structure composée de deux solides reliés par une jonction forte. En utilisant une méthode de décomposition de domaines, le problème se ramène à une équation définie sur l'interface. Dans le cas thermique, cette équation est de la forme (I+G)g=F. On montre que les propriétés de G entraînent la convergence q-superlinéaire de l'algorithme GMRES

BESSOUD, Anne-Laure

DARIDON, Loïc

KRASUCKI, Françoise

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Jonction forte entre deux solides : modèle simplifié et algorithme de
résolution
Anne-Laure Bessoud∗,∗∗, Loïc Daridon∗ & Françoise Krasucki∗
Université Montpellier II
∗LMGC, UMR-CNRS 5508
Case 48, Place Eugène Bataillon 34095 Montpellier Cedex 5
∗∗ACSIOM, UMR-CNRS 5149
Case 51, Place Eugène Bataillon 34095 Montpellier Cedex 5
bessoud@lmgc.univ-montp2.fr
Résumé :
Nous étudions un problème modèle non classique de transmission décrivant une multistructure composée de deux
solides reliés par une jonction forte. En utilisant une méthode de décomposition de domaines, le problème se
ramène à une équation définie sur l’interface. Dans le cas thermique, cette équation est de la forme (I + G)g = F .
On montre que les propriétés de G entraînent la convergence q-superlinéaire de l’algorithme GMRES.
Abstract :
We consider a model non classical transmission problem corresponding to a multistructure composed by two bodies
bonded by a thin strong layer. By using a domain decomposition the problem is reduced to an equation defined
on the interface. In the thermic case, this equation has the form (I + G)g = F . We prove that G is compact, and
hence the q-superlinearly convergence of the GMRES algoritm.
Mots-clefs :
Multi-structure, décomposition de domaine.
1 Introduction
Nous étudions un problème modèle de transmission des contraintes entre deux solides as-
semblés par l’intermédiaire d’une couche très fine d’un matériau beaucoup plus rigide. Les
différences de propriétés et d’épaisseur entre ces trois matériaux rendent le calcul numérique de
la solution difficile. Ceci a motivé l’introduction d’un modèle simplifié permettant un calcul de
la solution avec une bonne approximation. En utilisant une analyse asymptotique, semblable à
Geymonat et al. (1999), la couche intermédiaire disparaît d’un point de vue géométrique, mais
est remplacée par une énergie de membrane qui rend compte de conditions de transmission non
classiques. Nous présentons ici le problème mathématique dans le cas de l’élasticité linéaire, et
des résultats numériques dans le cas de la thermique.
2 Présentation du problème en élasticité linéaire
2.1 Position du problème
Soient Ω+ et Ω− deux ouverts disjoints de R3 de frontières ∂Ω+ et ∂Ω−. Soit S = ∂Ω+ ∩
∂Ω−, on suppose que S a une mesure bidimensionnelle positive, et est projetable sur le plan
x3 = 0. On définit Ω = Ω+ ∪ Ω− ∪ S.
On obtient le problème réel en translatant Ω+ (resp. Ω−) dans la direction e3 (resp. −e3) de
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
ǫd/2, qui est la moitié de l’épaisseur du joint, où ǫ > 0 est un petit paramètre sans dimension,
et d une grandeur caractéristique de Ω± (Fig.1.(a)). On définit alors Ω±ǫ = {x± ǫd2 e3,x ∈ Ω±},
Bǫ = {x+ǫze3,
−d
2
< z < d
2
,x ∈ S}, S±ǫ = {x±
ǫd
2
e3,x ∈ S} et Ωǫ = Ω+ǫ ∪Ω
−
ǫ ∪Bǫ∪S
+
ǫ ∪S
−
ǫ .
On se place dans le cadre de l’élasticité anisotrope. Les tenseurs d’élasticité a+, a−, asǫ sa-
tisfont les propriétés habituelles de régularité, de positivité et de symétrie. On suppose que
asǫ =
1
ǫ
as, et a±,as sont indépendants de ǫ.
L’assemblage est bloqué sur la partie uΓǫ de sa frontière. Un chargement surfacique g ∈
L2(gΓǫ,R
3) est imposé sur son complémentaire gΓǫ. On suppose que uΓ− = ∂Ω− ∩u Γǫ est
de mesure non nulle, ainsi que uΓs = ∂Bǫ ∩u Γǫ. On suppose enfin que le complémentaire de
uΓs dans ∂Bǫ est libre de contrainte. f ∈ L2(Ωǫ,R3) est le chargement volumique.
ε
+
−
Βεεd
Sε
+
Sε
−
Ω
εΩ
e
1
3
2
e
e
(a) Le problème réel Pǫ
+
−
Βd
S+
S−
Ω
Ω
(b) Le problème trans-
laté
+
−
S
Ω
Ω
(c) Le problème li-
mite
FIG. 1 – Les configurations de référence
On utilise la convention de sommation de l’indice répété, les indices latins prennent leurs va-
leurs dans l’ensemble {1, 2, 3}, et les indices grecs dans l’ensemble {1, 2}. La formulation
variationnelle de ce problème Pǫ s’écrit alors :{
Trouver uǫ ∈ Vǫ tel que
a+ǫ (uǫ,v) + a
−
ǫ (uǫ,v) +
1
ǫ
asǫ(uǫ,v) = Lǫ(v) ∀v ∈ Vǫ
(1)
où
a±ǫ (u,v) =
∫
Ω
±
ǫ
a±ijklekl(u)eij(v)dΩ
asǫ(u,v) =
∫
Bǫ
asijklekl(u)eij(v)dΩ
Lǫ(v) =
∫
Ωǫ
f ividΩ +
∫
gΓǫ
gividΓ
Ce problème admet une unique solution uǫ(x) ∈ Vǫ = {v ∈ H1(Ωǫ,R3); v = 0 sur uΓǫ}.
2.2 Changement d’échelle et développement asymptotique
Afin d’obtenir des domaines indépendants de ǫ, on dilate Bǫ d’un facteur 1ǫ dans la direction
e3 (Fig.1.(b)). On note (y1, y2, y3) les nouvelles coordonnées et on obtient ainsi les domaines
B = {y + ze3; −d/2 < z < d/2; y ∈ S} et Ω±tr = Ω±±d/2e3. On définit alors S± = ∂Ω±tr∩
∂B et Ωtr = Ω+tr ∪B ∪ Ω
−
tr ∪ S
+ ∪ S−. Sous ces hypothèses, le problème translaté P (ǫ) est :{
Trouver u(ǫ) ∈ V tel que ∀v ∈ V
a+(u(ǫ),v) + a−(u(ǫ),v) + asαβ(u(ǫ),v) +
1
ǫ
as3α(u(ǫ),v) +
1
ǫ2
as33(u(ǫ),v) = L(v) + ǫL
s(v)
(2)
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où
asαβ(u,v) =
∫
B
asiαjβui,αvj,βdΩ,
as3α(u,v) =
∫
B
asi3jα(ui,3vj,α + uj,αvi,3)dΩ,
as33(u,v) =
∫
B
asi3j3ui,3vj,3dΩ,
L(v) =
∫
Ω
+
tr∪Ω
−
fividΩ +
∫
gΓ
+
tr∪
gΓ−
gividΓ,
Ls(v) =
∫
B
fividΩ
et V = {v ∈ H1(Ωtr,R3); v = 0 sur uΓ}.
La solution est alors cherchée sous forme d’un développement asymptotique du type :
u(ǫ) = u0 + ǫu1 + ǫ2u2 + ... (3)
Cette hypothèse est mathématiquement justifiée par des résultats de convergence (Bessoud et
al. (2007)). En injectant (3) dans (2) on obtient les problèmes suivants :
P−2 : a
s
33(u
0,v) = 0 (4)
P−1 : a
s
33(u
1,v) + as3α(u
0,v) = 0 (5)
P0 : a
±(u0,v) + asαβ(u
0,v) + as3α(u
1,v) + as33(u
2,v) = L(v) (6)
On déduit du problème P−2 que u0i,3 = 0 dans B. Ceci traduit la continuité du déplacement au
premier ordre au niveau de l’interface :
u0|S+ = u
0
|S− (7)
Les deux problèmes P−1 et P0 entraînent que u0 vérifie l’équation :∫
Ω±
a±ijkhu
0
i,jvk,hdΩ +
∫
B
(asiαjβ − a
s
l3jβ(M
−1)lka
s
k3iα)u
0
i,αvj,βdΩ = L(v) (8)
∀v ∈ V tel que ∂v
∂x3
= 0 dans B, où (M−1)ij est l’inverse du tenseur Mij = asi3j3. Afin d’alléger
les notations, on désignera par u le premier terme du développement asymptotique u0.
Les éléments intervenant dans l’intégrale sur B sont indépendants de x3. On peut donc identifier
S+ et S− avec S, et reformuler le problème limite de la façon suivante :{
Trouver u ∈W tel que
a+(u,v) + a−(u,v) + as(u,v) = L(v) ∀v ∈ W
(9)
avecW =
{
v = (v+,v−) ∈ H1(Ω+,R3)×H1(Ω−,R3); v+|S = v
−
|S ∈ H
1(S,R3), v = 0 sur uΓ
}
et
as(u,v) = d
∫
S
(asiαjβ − a
s
l3jβ(M
−1)lka
s
k3iα)ui,αvj,βds (10)
Afin de simplifier la présentation, on s’intéressera (sans perte de généralité) au cas monocli-
nique. Dans ce cas, on obtient :
as(u,v) = d
∫
S
(asαβγδ −
as33αβa
s
33γδ
as3333
)uα,βvγ,δds (11)
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Sous la forme (9), le problème limite est défini sur Ω. La jonction disparaît d’un point de vue
géométrique et intervient par l’intermédiaire de l’énergie de membrane as(u,u). Le problème
initial devient alors un problème d’élasticité classique, avec des conditions d’interface de type
Ventcel : 

u+ = u−
[σN ] = 0
[σT ] = d div2σˆ
(12)
où σˆ est défini par σˆαβ = bαβγδeγδ(u), bαβγδ = asαβγδ −
as
33αβ
as
33γδ
as
3333
, div2 est l’opérateur de
divergence dans le plan de S, et [σN ] et [σT ] désignent respectivement le saut des composantes
normale et tangentielles du vecteur contrainte σ ·n. Il y a donc continuité du déplacement et de
la composante normale de la contrainte normale au niveau de l’interface.
On montre, de façon classique, l’existence et l’unicité de la solution de (9).
3 Cas thermique : résolution par décomposition de domaine
Dans un premier temps, nous nous plaçons dans le cas thermique et proposons une méthode
de résolution basée sur une décomposition de domaine (Bessoud et al. (2006)). Les conditions
de transmission dans le problème limite, sont alors les suivantes :{
u+ = u−
K+iju
+
,jn
+
i +K
−
iju
−
,jn
−
i = dHαβu,αβ
(13)
K±, Ks sont les matrices de conductivité des solides Ω± et de l’interface, et Hαβ = Ksαβ −
Ks
3αK
s
3β
Ks
33
. On a alors : as(u, v) = d
∫
S
(Ksαβ −
Ks
3αK
s
3β
Ks
33
)u,αv,β ds.
3.1 Décomposition de domaine
L’utilisation d’une méthode de décomposition de domaine nous conduit à résoudre dans un
premier temps un problème mixte classique sur chaque sous-domaine Ω+ et Ω− avec la donnée
u± = g sur S. Dans un souci de simplifier les équations, on suppose que ∂S ⊂u Γ. Ainsi pour
g ∈ H10 (S) donné, on considère les espaces V ±g = {v ∈ H1(Ω±); v = g sur S et v = 0 sur uΓ±},
et a±(., .), L±(.) sont les équivalents thermiques des formes définies précédemment.
Soit u±g ∈ V ±g tel que :
a±(u±g , v − u
±
g ) = L
±(v − u±g ) ∀v ∈ V
±
g , (14)
alors ug = (u+g , u−g ) est solution du problème limite si et seulement si g est solution du problème
suivant : {
trouver g ∈ H10 (S), tel que pour tout g
∗ ∈ H10 (S)
as(g, g∗) = −
〈
K+iju
+
g,j
n+i +K
−
iju
−
g,j
n−i , g
∗
〉 (15)
où 〈., .〉 désigne le produit de dualité entre H −12 (S) et H 12 (S)∩H10 (S). Notons G : H−1(S) →
H10 (S) l’opérateur solution du problème de Dirichlet associé à la forme as, g est solution de
(15) si et seulement si g = −G
(
K+iju
+
g,j
n+i +K
−
iju
−
g,j
n−i
)
. Les applications g 7→ K±iju±g,jn
±
i
étant affines de H10 (S) → H−
1
2 (S) on peut écrire G
(
K+iju
+
g,j
n+i +K
−
iju
−
g,j
n−i
)
= Gg + F , où
Gg = G
(
K+ij
(
u+g,j − u
+
0,j
)
n+i +K
−
ij
(
u−g,j − u
−
0,j
)
n−i
)
, F = G
(
K+iju
+
0,j
n+i +K
−
iju
−
0,j
n−i
)
, et
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
u±0 désigne la solution de (14) pour g = 0. On est ainsi ramené à la résolution du système
linéaire :
(I + G)g = −F. (16)
L’existence et l’unicité de la solution du problème limite impliquent existence et unicité de
la solution de (16). De plus on montre que l’opérateur linéaire G est continu et compact. En
appliquant les résultats de Moret (1997), on peut résoudre (16) avec un algorithme de type
GMRES avec une convergence q-superlinéaire.
3.2 Résultats numériques
Nous avons choisi d’implémenter le problème décomposé dans Cast3m. Un des intérêts
de la méthode de décomposition de domaine, est que l’on peut résoudre indépendamment les
problèmes (14) et (16), et donc avec des maillages différents (Fig.2).
’
(a) Ω+
’
(b) S
’
(c) Ω−
FIG. 2 – Décomposition du problème limite
Le calcul se décompose en deux étapes. Dans un premier temps, on résout (16) sur S avec
l’algorithme GMRES. On construit les équivalents discrets de F et G (en gardant les mêmes
notations). F est obtenu après résolution de (15) en prenant au second membre u±0 solutions
de (14) avec g = 0. Pour g donné, la k-ième colonne de G est égale à la solution de (15) avec
au second membre K+ij
(
u+
gk,j
− u+0,j
)
n+i + K
−
ij
(
u−
gk,j
− u−0,j
)
n−i , où u±gk est la solution de (14)
avec comme condition aux limites u± = 1 au noeud k et u = 0 en tous les autres noeuds de S.
G est ainsi construit colonne par colonne en résolvant autant de fois (14) qu’il y a de noeuds sur
S. Une fois la solution g∗ de (16) obtenue, on résout (14) avec la condition u = g∗ sur S pour
obtenir la solution du problème limite.
Nous avons réalisé des calculs avec des maillages identiques et avec des maillages différents
mais compatibles. Nous avons pris dans le premier cas NS = NS+ = NS− = 96 éléments
sur S,S+, et S−. Dans le deuxième cas, nous avons réalisé les calculs pour différentes valeurs
de NS , en faisant varier le rapport r = NS
max(NS+ ,NS−)=96
. On impose un flux de la forme 3x2
sur le bord supérieur de Ω+, et la température est imposée nulle sur tous les autres bords. La
construction de G est d’autant plus coûteuse en temps de calcul qu’il y a de noeuds sur S. Il
est donc intéressant d’étudier l’erreur relative en fonction du rapport r. Avec une interpolation
linéaire, l’évolution des températures au niveau de l’interface dans les différents cas, et l’erreur
relative sont représentées par les figures suivantes :
5
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
0
1
2
3
4
5
6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
X/L
Températures
 à l'interface
r=1
r=1/2
r=1/6
(a) évolution des températures à l’interface
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
X/L
erreur
relative %
r=1/6 r=1/4
r=1/3 r=1/2
(b) erreur relative
La condition de continuité des températures est bien respectée dans tous les cas, et les courbes
ont une allure semblable. L’erreur relative est de 3% pour r = 1
2
, le temps de calcul de l’opéra-
teur est alors divisé par deux, et varie de 12 à 18% lorsque r = 1
6
.
4 Conclusions
Dans le cas thermique, la méthode proposée est stable et efficace. Elle utilise un outil per-
fomant qui est l’algorithme GMRES. L’utilisation de maillages différents nous permet de di-
minuer le temps de calcul de l’opérateur G, d’autant plus important que le maillage est fin.
L’utilisation d’opérateurs de projection plus fins que l’interpolation linéaire permettrait sûre-
ment d’améliorer les résultats. Nous travaillons également sur le cas de l’élasticité, mais nous
rencontrons des difficultés pour traiter le système linéaire correspondant, sur S.
Références
A-L. Bessoud, F. Krasucki 2006 Q-Superlinear Convergence of the GMRES Algorithm for
Multi-Materials with Strong Interface C. R. Acad. Sc. Paris, s. I, Vol.343, pp 279–282, 2006.
A-L. Bessoud, F. Krasucki, G. Michaille 2007 Three Models of Multi-Materials with Strong
Interface en préparation.
G. Geymonat, F. Krasucki, S. Lenci 1999 Mathematical Analysis of a Bonded Joint with a Soft
Thin Adhesive Mathematics and Mechanics of Solids Vol.7, pp.201-255.
G. Geymonat, F. Krasucki, D. Marini, M. Vidrascu 1998 A Domain Decomposition Method
for a Bounded Structure Mathematics Models and Methods in Applied Sciences Vol.8, pp.
1387-1402.
I. Moret 1997 A Note On The Superlinear Convergence of GMRES Society for Industrial and
Applied Mathematics Vol.34, pp.513-516.
6


Jonction forte entre deux solides : modèle simplifié et algorithme de résolution

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16491/1/CFM2007-0663.pdf

Jonction forte entre deux solides : modèle simplifié et algorithme de résolution

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