Ce papier présente des simulations numériques de problèmes de contact 3D avec une loi de frottement orthotrope et une loi de glissement non associée. L'algorithme de résolution est basé sur la méthode du bi-potentiel appliquée à un système d'équations non linéaires et non différentiables. Une attention particulière est portée aux chargements cycliques car le taux d'usure est fortement couplé à la dissipation par frottement. Cette première étude semble indiquer une grande influence de l'anisotropie du frottement sur l'usure des pièces

DE SAXCÉ, Géry

FENG, Zhi-Qiang

HJIAJ, Mohammed

MRÓZ, Zenon

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
1
Comportement hystérétique du frottement anisotrope
Géry de Saxcé*, Zhi-Qiang Feng†, Zenon Mróz ‡ & Mohammed Hjiaj ~
*Laboratoire de Mécanique de Lille, Université de Lille-1, Villeneuve d’Ascq,
†Laboratoire de Mécanique d’Evry, Université d’Evry-Val d’Essonne, Evry,
‡ Institute of Fundamental Technological Research, Polish Academy of Sciences, Warsaw, Poland,
~Laboratoire de Génie Civil et Génie Mécanique, INSA de Rennes.
gery.desaxce@univ-lille1.fr, Zhi-Qiang.Feng@iup.univ-evry.fr, zmroz@ippt.gov.pl, 
mohammed.hjiaj@insa-rennes.fr
Résumé :
Ce papier présente des simulations numériques de problèmes de contact 3D avec une loi de 
frottement orthotrope et une loi de glissement non associée. L’algorithme de résolution est basé sur la 
méthode du bi-potentiel appliquée à un système d’équations non linéaires et non différentiables. Une 
attention particulière est portée aux chargements cycliques car le taux d’usure est fortement couplé à la 
dissipation par frottement. Cette première étude semble indiquer une grande influence de l’anisotropie du 
frottement sur l’usure des pièces.
Abstract:
This paper presents numerical simulations of 3D contact problems with orthotropic friction law and non-
associated sliding rule. The solution algorithm is based on the bi-potential method applied to a non linear 
and non differentiable system of equations. Cyclic load are especially emphasized because the wear rate 
is strongly coupled to the friction dissipation. This first study seems to indicate a significant influence of 
the anisotropy of the friction on the wear.
Mots-clefs : 
frottement orthotrope ; loi non associée ; usure
1 Un modèle de frottement anisotrope avec loi de glissement non associée
Le modèle d’aspérité utilisé par Michalowski et al. (1978), Mróz et al. (1994) pour étudier 
le frottement orthotrope conduit à définir un cône de frottement convexe K par la condition 
( , , ) 0  rtx ty n t nf r r r rm , (1)
où interviennent la pression nr , la contrainte de frottement tr et la norme elliptique
22
-1
               
r rtytxt t
x y
rr
m
 , avec    








x
y
0
0 .
x et y sont les coefficients de frottement principaux. La norme duale est donnée par
2 2( ) ( ) ( )      u ut x tx y ty tu um 
La loi de glissement est non associée, définie par un potentiel de glissement convexe
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2
( , ) 0rt t tx y pg r r   
où intervient une seconde norme 
22
-1
              
r rtytxt tp
x y
rr
p p
 , avec   






p
p
x
y
0
0 et   
       
k
y y
x x
p
p
En général, on a 1k , ce qui conduit à une règle de glissement non associée 
2
   
r
tx
tx
tx x t p
g ru
r p


, 2
   
r
ty
ty
ty y t p
rgu
r p


L’écart à la loi de normalité est caractérisé par la matrice de non associativité
1 1
0
0
 
           
   
x
x
y
y
p
p
La loi complète de contact unilatéral à frottement sec anisotrope prend la forme complexe de 
deux structures "if…then…else" emboîtées
if 0nr then
0nx , {relâchement du contact}
else if Kintr  m then
u 0 , {adherence}
else ( and 0r nK r  m )
2
0 and such that
               
r
u
r
t
n t
t p
x

{glissement}
end if
Sous cette forme, la loi est difficile à traiter numériquement. Par des raisonnements d’analyse 
convexe, on peut montrer qu’elle est équivalente à l’inégalité variationnelle suivante
2 2
1 1 1
1
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
and
          
  
u r r u u r r
r r
t t t n n tr r
K K
  
m
m m
  
(2)
à vérifier par la réaction de contact à la fin du pas 1r . Cette relation prend alors la forme 
élégante d’une loi de sous-normalité implicite, )(),( 1rubu c  , grâce au bi-potentiel
    2 2( , ) ( )( ) ( )


           u r r u r uc K n t t n tb x rm m   
où K désigne la fonction indicatrice du convexe K . Le lecteur intéressé pourra trouver plus 
de détail dans de Saxcé et al. (1998) pour le cas isotrope, et dans Hjiaj et al. (2002) et Hjiaj et 
al. (2004) pour le cas anisotrope.
2 Algorithme numérique
Le bi-potentiel est non différentiable. Pour le régulariser, nous utilisons la méthode du 
lagrangien augmenté qui conduit à remplacer (2) par l’équation équivalente (Hjiaj et al. (2004))
 t nproj K1 ( , ), mr t t
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3
où 2
1
t   r ut t tr , et  21 ( )     un n n tr u mt r 
La résolution itérative de cette équation non linéaire conduit au schéma prédicteur-correcteur
 t n tu
proj K
2 2
1
1
Pr edictor : ( )
Corrector : ( , )
m
m
r
 
       
  

r u u n
r
t
t
 
où 0 est un paramètre numérique dont la valeur peut être calculée automatiquement (Feng 
et al. (2006)). Le calcul de la projection sur K conduit à une équation algébrique d’ordre 4 
résolue par la méthode de Ferrari. Une nouvelle estimation de l’incrément de déplacement est 
ensuite calculée et le processus est réitéré jusqu’à convergence.
3 Applications
On considère le contact entre une surface plane indéformable et un poinçon cylindrique 
élastique de modules E = 210000 MPa et ν = 0.3. le rayon et la hauteur du poinçon sont de 10 
mm. On impose à la face supérieure du poinçon un déplacement vertical de 0.1 mm. Le 
maillage, composé de 1280 éléments finis de briques à 8 nœuds, est montré à la figure 1. Les 
337 nœuds de contact semblent suffisants pour assurer la précision de la solution de ce 
problème de contact complexe, spécialement en présence de déchargement. La figure 2 montre 
le programme de chargement cyclique. Pour chaque cycle, le chargement est discrétisé en 5 
incréments et le déchargement en 10. Les différents cas traités sont présentés dans la Table 1.
FIG. 1 –Problème de poinçonnement                      FIG. 2 – Programme de chargement
Cas de chargement µx µy px py
A isotrope 0.20 0.20 0.20 0.20
B anisotrope, glissement associé 0.30 0.15 0.30 0.15
C anisotrope, glissement non associé 0.30 0.15 0.05 0.20
TABLE 1 –Caractéristiques du frottement et cas de chargement.
La figure 3 montre la distribution de la valeur de la fonction de charge f (définie par (1)) à la fin 
de déchargements successifs. Au début, la zone d’adhérence (f < 0) est localisée au centre. Lors 
du déchargement, une zone d’adhérence apparaît également en périphérie. La carte des zones de 
glissement et d’adhérence devient ensuite de plus en plus complexe. Les zones d’adhérence se 
réduisent et se fractionnent en plusieurs morceaux. En outre, la zone de glissement inverse 
progresse de la périphérie vers le centre.
x
yz 1 2              
0.1
0.0
01
uy(m
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Cas A Cas B Cas C
FIG. 3 –Fonction f : déchargements après 1, 3, 4 et 6 cycles
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Afin de connaître plus précisément le comportement hystérétique du phénomène de frottement 
anisotrope, on examine, pour le cas B, la trajectoire d’un point particulier de la surface de 
contact (figure 4). La courbe force-glissement ne montre pas, dans le cas isotrope, de différence 
sensible entre le chargement et le déchargement. En revanche, dans les cas anisotrope, on 
observe un comportement hystérétique asymétrique prononcé avec une phase de chargement 
quasi-linéaire tandis que celle de déchargement est non linéaire. La figure 5 montre l’évolution 
des forces de frottement au point P. On observe là aussi un écart très sensible entre le 
chargement et le déchargement. 
FIG. 4 –Trajectoire du point P                     FIG. 5 –Evolution des forces de frottement en P
L’évolution du glissement du point P au cours du chargement est présentée à la figure 6. 
On remarquera l’existence d’un plateau, manifestation d’une phase d’adhérence de ce point à la 
fin de la phase de chargement de chaque cycle. Il existe donc un état d’adhérence entre la fin du 
glissement dans le sens radial direct et le début du glissement inverse.
FIG. 6 –Evolution du glissement de P FIG. 7 –Force appliquée/glissement de P
chemin 
isotrope
chemin
isotrope
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L’évolution de la force appliquée en fonction du glissement du point P est montré à la 
figure 7. Contrairement au cas isotrope dont le comportement est quasi-linéaire, le cas 
anisotrope donne lieu à une dissipation par frottement importante. Le taux d’usure étant
fortement couplé à la dissipation, cette première étude semble indiquer une forte influence de 
l’anisotropie sur l’usure des pièces.
4 Conclusions
A notre connaissance, peu d’attention a été prêtée dans la littérature au traitement 
numérique du frottement anisotrope (Buczkowski & Kleiber (1997)). Dans beaucoup 
d’applications industrielles, l’hypothèse d’un frottement isotrope semble toutefois irréaliste, en 
particulier à cause des stries dues aux opérations d’usinage et de finition. Pour le contact frottant 
anisotrope, Michalowski, Mróz et Stupkiewicz ont mis en évidence la nature non associée de la 
loi de glissement et proposé une modélisation. Utilisant la méthode du bi-potentiel, nous avons 
proposé un schéma d’intégration temporelle de la loi de contact frottant prenant en compte tous
les cas (adhérence, glissement, relâchement du contact) grâce à la projection sur le cône de 
frottement. L’algorithme s’avère robuste et précis dans l’analyse du comportement complexe
d’un poinçon cylindrique soumis à un chargement cyclique. Les calculs montrent une forte 
influence de la non associativité de la loi de glissement sur le comportement frottant. Le 
caractère très hystérétique et dissipatif du frottement anisotrope semble indiquer une forte 
influence de l’anisotropie du frottement sur l’usure des pièces. Ces premiers résultats son 
encourageants. De nouveaux développements sont en cours concernant les problèmes de 
fretting.
Références
Buczkowski, R. & Kleiber, M. 1997 Elasto-plastic interface model for 3D-frictional orthotropic 
contact problems, Int. J. Numer. Meth. Engng., 40, 599-619.
de Saxcé, G. & Feng, Z.-Q. 1998 The bi-potential method: a constructive approach to design the
complete contact law with friction and improved numerical algorithms, Mathematical and 
Computer Modelling, 6,225-245
Feng, Z.-Q., Hjiaj, M., de Saxcé, G. & Mróz, Z. 2006 Influence of frictional anisotropy on 
contacting surfaces during loading/unloading cycles. International Journal of Non-Linear 
Mechanics 41(8), 936-948
Hjiaj, M., de Saxcé, G. & Mróz, Z. 2002 A variational-inequality based formulation of the
frictional contact law with a non-associated sliding rule, European Journal of Mechanics 
A/Solids, 21, 49-59
Hjiaj, M., Feng, Z.-Q., de Saxcé, G. & Mróz, Z. 2004 Three dimensional finite element 
computations for frictional contact problems with on-associated sliding rule. International 
Journal for Numerical Methods in Engineering 60(12), 2045-2076
Michałowski, R. & Mróz, Z. 1978 Associated and non-associated sliding rules in contact
friction problems Archives of Mechanics, 11, 259-276
Mróz, Z. & Stupkiewicz, S. 1994 An anisotropic friction and wear model. International Journal 
of Solids & Structures 31, 1113-1131


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Feng, Zhi-Qiang

Mróz, Zenon

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