Ce travail s'intéresse au comportement et à la résistance du joint dans les composants unidimensionnels multi-matériaux assemblés par collage et sollicités en flexion par flambage. Une approche multi-échelle est développée pour l'analyse du mécanisme d'interaction entre support, raidisseur et joint de colle et pour la détermination des contraintes dans le joint de colle. Dans un premier temps, la structure est homogénéisée afin d'analyser son comportement global dans le cadre classique de la théorie des poutres. Puis une méthode de localisation permet d'expliciter l'état de contraintes au sein des éléments constitutifs du composant et notamment du joint de colle. L'approche est appliquée à des composants simplement fléchis, puis à des composants sollicités en flambage. La validité de l'approche analytique proposée est discutée par comparaison avec des simulations numériques de deux structures types

BÉAKOU, Alexis

COUDOR, Pascal

DESTREBECQ, Jean-François

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Comportement vis-à-vis du flambage d’une structure multi-matériaux
assemblée par collage
Pascal Coudor, Jean-François Destrebecq & Alexis Béakou
LaMI - Laboratoire de Mécanique et Ingénieries
Université Blaise Pascal - Clermont II - IFMA
Campus scientifique de Clermont-Ferrand - Les Cézeaux
BP 265, 63175 Aubière Cedex, France
pascal.coudor@ifma.fr
Résumé :
Ce travail s’intéresse au comportement et à la résistance du joint dans les composants unidimensionnels multi-
matériaux assemblés par collage et sollicités en flexion par flambage. Une approche multi-échelle est développée
pour l’analyse du mécanisme d’interaction entre support, raidisseur et joint de colle et pour la détermination
des contraintes dans le joint de colle. Dans un premier temps, la structure est homogénéisée afin d’analyser son
comportement global dans le cadre classique de la théorie des poutres. Puis une méthode de localisation permet
d’expliciter l’état de contraintes au sein des éléments constitutifs du composant et notamment du joint de colle.
L’approche est appliquée à des composants simplement fléchis, puis à des composants sollicités en flambage. La
validité de l’approche analytique proposée est discutée par comparaison avec des simulations numériques de deux
structures types.
Abstract :
This paper deals with the stress analysis and strength evaluation of adhesive joints in unidimensional structures.
A multiscale analysis has been developped in order to evaluate stress into the adhesive. First of all, the structure
has been homogenized to get the global behaviour with the classic beam theory. Then, location method allowed
to derive stress into the adhesive. This approach has been used on simple bended struts and to buckled beams.
Obtained results are compared with finite element models.
Mots-clefs :
Structure multi-matériaux ; assemblage collé ; flambage
1 Introduction
Les progrès en terme de performance des matériaux et de tolérance aux dommages per-
mettent une avancée dans le domaine des assemblages collés. Traditionnellement utilisée pour
le renforcement, cette technologie trouve maintenant des applications pour l’assemblage de
composants structurels. Ainsi, dans les panneaux raidis (composants de base des structures na-
vales ou aéronautiques), les liaisons entre panneaux et renforts doivent transmettre des efforts
importants. La technique d’assemblage par collage présente plusieurs avantages : usinage li-
mité, préservation des propriétés mécaniques des composants, faible sensibilité à la fatigue...
Il a été montré qu’un composant raidi assemblé par collage présente une charge critique de
flambage proche de celle de la structure équivalente soudée ou rivetée [Coudor et al. (2006)].
Ceci suppose cependant que le joint collé soit capable de supporter les contraintes qui résultent
du mécanisme d’interaction entre le renfort, le joint et le support au cours du processus de
flambage.
Dans ce contexte, une approche multi-échelle est développée pour l’analyse des mécanismes
d’interaction dans un composant multimatériaux unidimensionnel en phase de flambage. Dans
1
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
un premier temps, la structure est homogénéisée afin d’analyser son comportement global dans
le cadre classique de la théorie des poutres. Puis une méthode de localisation permet la détermi-
nation des contraintes en tout point à partir de la courbure de l’élément fléchi, notamment des
contraintes normale transverse et de cisaillement dans le joint de colle. Dans un second temps,
la validité de la démarche est examinée par comparaison à des simulations par éléments finis
pour deux cas types. L’objectif est la détermination des états bidimensionnels de contrainte dans
le joint dont la connaissance est nécessaire pour l’évaluation du risque de rupture.
2 Approche analytique du mécanisme d’interaction
2.1 Description du composant multimatériaux
L’étude concerne un composant unidimensionnel constitué d’un substrat raidi par un renfort
assemblé par collage (Figure 1). Les trois matériaux sont supposés élastiques linéaires isotropes.
L’épaisseur ti et le module d’Young Ei réfèrent à la ième sous section. La convention de signes
adoptée dans ce travail est précisé sur la Figure 2.
Renfort
Adhésif
Substrat
t 3,E3
t 2,E2
t1,E1
d 4
d 3
d 2
d 1
Axe de référence
Axe du centre mécanique de section
zG
FIG. 1 – Constitution du composant raidi
M y0
0
x
y
z
N , x , x0 en traction
FIG. 2 – Convention de signes
Le centre mécanique de la section homogénéisée est donné par z˜G =
∑n
i=1 ziEiΩi/
∑n
i=1EiΩi,
sa rigidité en flexion s’écrit K˜ =
∑n
i=1EiIi et sa rigidité en traction L˜ =
∑n
i=1EiΩi. L’hypo-
thèse d’adhésion parfaite entre les trois couches est considérée dans ce travail : continuité des
composantes longitudinales et transversales du déplacement aux interfaces.
2.2 Equilibre local en zone courante
 xdz  x∂ x∂ x dxdz
zx∂zx∂ z dzdx
zxdx
xz dz
xz∂xz∂ x dxdz
 zdx
 z∂ z∂ z dzdx
0
2
dx
FIG. 3 – Equilibre local dans un composant fléchi
L’analyse repose sur les hypo-
thèses classiques de la théorie des
poutres (hypothèse de Bernoulli).
L’équilibre statique local se trouve
défini par les équations 1a et 1b en
tenant compte de l’influence de la
courbure χ0(x) du composant fléchi
(grands déplacements).
∂σx
∂x
+
∂τxz
∂z
= 0 (1a)
∂σz
∂z
+
∂τxz
∂x
+ χ0(x)σx = 0 (1b)
2
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Dans la première équation, l’expression de la contrainte normale longitudinale résulte de l’équi-
libre de flexion composée :
σx(x, ξ) = E(ξ) (ε0 − ξχ0(x)) (2)
avec, ξ : distance au centre mécanique de la section, E(ξ) = Ei : module d’Young des sous
sections concernées (fonction de ξ), ε0 = N/L˜ : allongement longitudinal au centre mécanique
de la section, χ0(x) = −My(x)/K˜ : courbure de la section fléchie. La résolution des équations
1 et 2 fournit l’état de contrainte en tout point de la zone courante du composant raidi (en
supposant τxz(x, d1) = 0 et σz(x, d1) = 0, ∀ x) :
– Contrainte de cisaillement :
∀ ξ ∈ [di, di+1] , τxz(x, ξ) = τxz(x, di) + Ei
2
[ξ2 − d2i ]χ′0(x) (3)
– Contrainte normale transverse :
∀ ξ ∈ [di, di+1] , σz(x, ξ) =σz(x, di)− χ0(x)
b
[Nx(x, ξ)−Nx(x, di)]
− [ξ − di]∂τxz
∂x
(x, di)− Ei
6
χ′′0(x)
[
2d3i − 3d2i ξ + ξ3
] (4)
En posant :
Nx(x, ξ) = b
∫ ξ
d1
σx(x, z)dz, ∀ξ ∈ [d1, d4] (5)
2.3 Correction de la contrainte transverse dans l’adhésif en zone d’extrémité
Deux mécanismes complémentaires doivent être pris en compte dans la zone d’extrémité :
Renfort
Substrat
 zx
Fwc
FIG. 4 – Poutre sur appuis continus élastiques
– L’existence d’une zone d’ancrage dans
laquelle le transfert d’effort entre le ren-
fort et le substrat s’accompagne d’un
pic de contrainte dans le joint de colle
[Sierra-Ruiz et al. (2002)]. Dans le cas
d’un composant fléchi, ce phénomène
est négligeable lorsque l’extrémité du
renfort coïncide avec le point de mo-
ment nul.
– Le tassement élastique du joint dont le
module élastique est généralement inférieur à ceux des deux éléments collés. Le renfort
peut alors être considéré comme une poutre élastiquement appuyée sur le substrat par le
biais du joint (Figure 4).
Ce dernier mécanisme provoque l’apparition dans le joint de colle d’une contrainte normale
transverse complémentaire ∆σz(x) proportionnelle au tassement du joint. En conséquence,
l’équilibre statique transverse global du renfort s’écrit (cas d’un composant symétrique) :∫ L/2
0
q(x)dx− b
∫ L/2
0
(σz(x, d3) + ∆σz(x)) dx = 0 (6)
3
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
où q(x) est le chargement extérieur appliqué à la surface du renfort. On en déduit la résultante
de ∆σz(x) sur [0, L/2] :
Fw =
∫ L/2
0
[q(x)− bσz(x, d3)] dx (7)
Finalement, la correction ∆σz(x) à ajouter à σz(x, d3) donné par l’équation 4 peut être évaluée
en modélisant le renfort comme une poutre sur appui continu élastique soumise à une force
ponctuelle Fw appliquée dans la zone de Saint-Venant à une distance c de son extrémité (Figure
4). La solution de ce problème s’écrit [Goulet et al. (1998)] :
∆σz(x) =
Fwγ
2b
W (x− c) + F0γ
2b
W (x) +
C0γ
2
b
X(x) , γ = 4
√
kb
4E3I3
(8)
Avec,
F0 = Fw [Y (c)− 2Z(c)] W (x) = −e−γx(cos γx+ sin γx) X(x) = e−γx sin γx
C0 =
Fw
γ
[Y (c)− Z(c)] Y (x) = e−γx(cos γx− sin γx) Z(x) = −e−γx cos γx
3 Validations
L’approche est appliquée à un assemblage collé soumis à deux modes de chargement :
flexion simple sous un chargement q uniformément réparti, flambement sous un effort de com-
pression appliqué à mi-hauteur du substrat (Figure 5 et 6). Les caractéristiques géométriques et
q
FIG. 5 – Assemblage collé simplement appuyé
sous chargement uniforme
N N
e
FIG. 6 – Assemblage collé simplement appuyé
sous flambage avec excentricité
mécaniques sont données ci-dessous :
b = 10 mm t3 = 1 mm t2 = 0.2 mm t1 = 3 mm
L = 100 mm E3 = 72000MPa E2 = 1950MPa E1 = 72000MPa
Pour le modèle éléments finis, ν1 = ν2 = ν3 = 0, 3. Dans chaque cas, la validation consiste à
comparer les états de contraintes donnés par une modélisation éléments finis à ceux déduits de
l’approche analytique développée ci-dessus.
3.1 Modèle fléchi sous chargement réparti
La figure 7 compare les valeurs obtenues par les deux méthodes pour la contrainte de ci-
saillement dans une section transversale située à 30 mm de l’appui (q = 1kN.m−1). Les va-
leurs numériques et analytiques sont concordantes. Les conditions aux limites pour les faces
inférieure et supérieure sont respectées (cisaillement nul). Aux extrémités, la contrainte de ci-
saillement maximale dans le joint vaut 13,7 MPa pour le modèle éléments finis et 13,8 MPa
pour le modèle théorique, soit une différence relative de 1%.
4
18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
FIG. 7 – Répartition de la contrainte de cisaillement
dans une section transversale
La figure 8 compare les valeurs obtenues
par les deux méthodes pour la contrainte nor-
male transverse dans la même section. Là en-
core, les résultats analytiques et numériques
sont concordants. On note la forte sensibi-
lité vis-à-vis des effets du 2nd ordre (influence
de la courbure). La figure 9 présente la dis-
tribution de la contrainte normale transverse
le long du joint. Le pic visible à chaque ex-
trémité résulte du mécanisme d’interaction
transverse discuté à la section 2.3. On note un
léger écart entre le modèle analytique et les
résultats numériques dans cette zone.
FIG. 8 – Répartition de la contrainte normale
transverse au droit d’une section transversale
FIG. 9 – Répartition de la contrainte normale
transverse le long du joint
3.1.1 Modèle sollicité en flambage
L’effort de compression appliqué au centre du substrat se trouve excentré par rapport au
centre mécanique de la section, ce qui provoque le flambage du modèle. Les résultats discutés
ci-dessous correspondent àN = −3, 4 kN , soit 80% de la force critique. L’expression théorique
de la flèche utilisée pour la mise en oeuvre du modèle théorique est la suivante [Timoshenko et
al. (1961)] :
w(x) = e
[
1− cos kx+ cos kL− 1
sin kL
sin kx
]
, k2 =
N
K˜
(9)
L’écart avec la flèche obtenue par éléments finis est de 2% environ.
FIG. 10 – Contrainte de cisaillement dans le
joint
La figure 10 représente la répartition de
la contrainte de cisaillement le long du joint.
La valeur maximale de cisaillement vaut 7,8
MPa pour le modèle numérique et 8,8 MPa
pour le modèle théorique. soit une différence
relative d’environ 11%. L’écart observé aux
extrémités correspond au mécanisme d’an-
crage qui n’est pas pris en compte dans le mo-
dèle analytique [Sierra-Ruiz et al. (2002)].
La figure 11 montre la concordance entre
résultats analytiques et numériques pour la
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
contrainte transverse dans une section située
à 30 mm de l’appui. La figure 12 donne la répartition de la contrainte transverse dans le joint
de colle, avec ou sans la correction donnée par l’équation 8. On observe sur ces trois figures
que le fonctionnement de l’assemblage collé est correctement décrit en zone courante par le
modèle analytique proposé (à l’exception de la zone d’ancrage). Comme pour l’élément fléchi,
on observe l’existence d’un pic de la contrainte normale transverse dû au tassement du joint.
L’existence de ce pic est déterminante pour l’évaluation du risque de rupture du joint. L’écart
observé sur la figure 12 montre que l’analyse de la zone d’extrémité doit être affinée afin de
mieux comprendre la mécanisme d’interaction dans cette zone.
FIG. 11 – Répartition de la contrainte normale
transverse au droit d’une section transversale
FIG. 12 – Répartition de la contrainte normale
transverse le long du joint
4 Conclusions
Ce papier propose une démarche pour l’analyse du mécanisme d’interaction au sein de com-
posants unidimensionnels multi-matériaux fléchis assemblés par collage. La méthode fournit
une solution analytique de l’état de contrainte dans le joint de colle. Cette solution intègre une
correction apportée à l’extrémité du renfort pour tenir compte de l’effet de tassement transverse
du joint dans cette zone. Les résultats obtenus pour deux cas types montrent l’existence d’un
pic de la contrainte de cisaillement et de la contrainte normale transverse dans cette zone. La
bonne connaissance de ce pic est essentielle pour l’évaluation du risque de rupture du joint. Ce
travail ouvre des perspectives pour l’analyse des renforts bi-dimensionnels.
Références
Coudor, P. , Van der Veen, S. , Béakou, A. 2006 Global-local analysis of bonded skin-to-stiffener joints
in post-buckled panels. ICAS2006.
Goulet, J. , Boutin, J.P. 1998 Aide-mémoire de Résistance des matériaux. Paris : Dunod.
Sierra-Ruiz,V., Destrebecq,J.-F., Grédiac,M. 2002 The transfer length in concrete structures repaired
with composite materials : a survey of some analytical models and simplified approaches. Composite
Structures 55 445-454.
Stephen P.T., James M.G. 1961 Theory of elastic stability. McGraw-Hill, Inc.
Tong, L., Luo, Q. 2007 Fully-coupled nonlinear analysis of single lap adhesive joints. International
Journal of Solids and Structures 44 2349-2370.
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Comportement vis-à-vis du flambage d'une structure multi-matériaux assemblée par collage

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16490/1/CFM2007-0525.pdf

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