La fatigue de contact est essentiellement initiée en surface. Un modèle analytique a été développé afin de déterminer les surpressions dues aux rugosités en condition de contact sec élastique. Une analyse du champ de contrainte a été conduite ensuite afin d'identifier le cisaillement maximum. Enfin, un abaque de risque en fonction des paramètres de rugosité et des conditions de contact est proposé

LUBRECHT, Ton

QUERLIOZ, Emmanuelle

SAINSOT, Philippe

VILLE, Fabrice

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
INFLUENCE DES RUGOSITES DE SURFACE 
SUR LA FATIGUE DE CONTACT EN ROULEMENT 
 
Emmanuelle QUERLIOZ, Fabrice VILLE, Philippe SAINSOT & Ton LUBRECHT 
Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures 
LaMCoS, INSA-Lyon, CNRS UMR5259, F69621, France 
fabrice.ville@insa-lyon.fr 
 
 
 
 
 
Résumé : 
 
La fatigue de contact est essentiellement initiée en surface. Un modèle analytique a été développé afin de 
déterminer les surpressions dues aux rugosités en condition de contact sec élastique. Une analyse du 
champ de contrainte a été conduite ensuite afin d'identifier le cisaillement maximum. Enfin, un abaque de 
risque en fonction des paramètres de rugosité et des conditions de contact est proposé. 
 
Abstract : 
 
The authors have developed an analytical model in order to evaluate the pressure increase due to 
roughness profile under elastic dry contact assumptions. An analysis of the stress field is conducted in 
order to identify the maximum shear stress induced by the surface roughness and its position. Thus a risk 
master curve is proposed as a function of the roughness parameters and contact conditions. Finally, an 
analysis of the surface roughness influence on the damage encountered in rolling element bearings is 
proposed. The experimental fatigue life reduction observed is compared to the numerical results. 
 
Mots-clefs :  
 
Fatigue de Contact, rugosité, roulement 
 
1 Introduction 
 
De nos jours, la fatigue de contact est essentiellement due à des endommagements initiés 
en surface par des défauts produits par la pollution solide du lubrifiant (Lubrecht et al. - 1992, 
Coulon et al. - 2002) ou par la finition des surfaces (Zhou et al. - 1989). Le but du travail 
présenté ici est d’analyser l’influence, sur la fatigue de contact, de la rugosité qui modifie la 
distribution de la pression de contact ce qui induit des concentrations de contraintes proches de 
la surface. 
La distribution de pression dans un contact ponctuel sec due à la rugosité est d’abord 
étudiée. Cette étude est alors complétée par une analyse des contraintes maximales de 
cisaillement utilisées comme critère de fatigue puisque à l’origine de la mobilité des 
dislocations qui conduisent à l’initiation et à la propagation de fissures : Lamagnère et al. 
(1998). Un critère de limite d’endurance est établi en utilisant les relations simples obtenues 
entre la contrainte de cisaillement et la distribution de pression due à la rugosité. Ce critère 
permet de prévoir si il y a risque d’endommagement mais ne donne pas de valeur quantitative de 
la réduction de la durée de vie Le volume surcontraint est finalement étudié puisque, quelque 
soit l’approche concernant la prédiction de la fatigue de contact (Coulon -2001), il apparaît que 
le niveau de contrainte et le volume concerné sont les deux paramètres principaux. Finalement 
une courbe de risque de fatigue due aux rugosités est établie. 
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
2 Distribution de pression 
 
La présence de rugosité sur les surfaces en contact modifie la distribution normale de 
pression. Afin de prévoir la durée de vie en fatigue des composants, il est d'abord nécessaire de 
déterminer ce champ de pression en utilisant soit un modèle numérique (Mayeur et al. -1995) 
soit une approche analytique, développée dans cet article. La surpression, ∆p, est définie comme 
la différence entre la pression maximale et la pression hertzienne au point où la pression atteint 
un maximum. Selon la pression appliquée et la géométrie de la rugosité (équation ci-dessous), 
deux configurations de contact sont observées (continue ou discontinue – figure 1). 






λ
pi
=ℜ y2sin.amp)y(  
 
où : - amp, amplitude de la rugosité sinusoïdale, 
 
- λ, longueur d’onde de la rugosité sinusoïdale. 
 
 
 
Champ de pression continu Champ de pression discontinu 
FIG. 1 – Configurations de contact pour des surfaces rugueuses 
 
Johnson (1985) a introduit le paramètre adimensionné χ afin de décrire la distribution de 
pression pour un contact entre deux plans. En utilisant une analyse similaire, il est possible de 
démontrer que ce paramètre est également approprié à un contact circulaire, elliptique ou 
linéaire, Paulin (2003) : 
λ
pi
=χ .amp
p2
'E
h
 
où : - hp , pression maximale de Hertz, 
 - E', module de Young équivalent. 
Ainsi, suivant la configuration de contact, la pression maximale ainsi que le rapport entre 
l’aire de contact nominale ou apparente et l’aire réelle peuvent être déterminés (tableau 1). 
 
χ <1 >1 
Configuration de contact continue discontinue 
pression maximale ( ) hp1p χ+=  hp.2p χ=  
surpression adimensionnée χ=
∆
=∆
hp
pP  1.2
p
pP
h
−χ=∆=∆  
rapport entre l’aire de contact 
nominale ou apparente 
et l’aire réelle 
1
A
A
r
a
=
 
χpi
=
2
A
A
r
a
 
Tableau 1 – Pressions et aires de contact suivant la configuration de contact 
 
A partir d’une approche adimensionnelle pour un contact circulaire, les paramètres 
suivants sont obtenus : 
a
λ
=λ
  
²a
R.ampamp
amp x=
δ
=
  hp
pp =  
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3 
avec : 
 a : rayon de l’aire de contact, 
 Rx : rayon de courbure réduit des corps en contact, 
 δ : déformation maximale en x=y=0. 
Ainsi, le paramètre de Johnson devient : 
λ
pi
=χ amp
2
2
 
Pour un contact rugueux, la distribution de pression peut être considérée comme la 
superposition de la pression due aux surfaces lisses et d'une modulation due à la rugosité. Cette 
modulation dépend de deux paramètres : l'amplitude et la longueur d'onde de la rugosité. 
 
3 Contrainte de cisaillement maximale 
 
Valeur et position 
Pour un contact hertzien linéique ou ponctuel, la valeur et la position de la contrainte de 
cisaillement maximale dépendent de la pression maximale de Hertz et de la demi-largeur de 
contact : 
 contact ponctuel : 31.0pT hcmaxmax =τ= ; 48.0azZ ==  
 contact linéique : 30.0pT hlmaxmax =τ= ; 78.0bzZ ==  
Pour un contact rugueux, le champ de contrainte est la superposition du champ hertzien et 
de celui dû à la rugosité. A partir des hypothèses des massifs semi-infinis et en utilisant les 
transformées de Fourier, pour une distribution de pression donnée ( )y2cos(p)y(p
λ
pi∆= ), le 
maximum de la contrainte de cisaillement maximale et sa position sont calculés : 
pi
λ
=
2
z ; p368.0
e
p
2
yyzz
max ∆≈
∆
=
σ−σ
=τ  
Dans le cas d’un contact hertzien lisse, en considérant les contraintes dans la peau du 
massif (premiers micromètres), les différences entre les termes du tenseur des contraintes 
donnent : 




=σ−σ=σ−σ
=σ−σ
hyyzzxxzz
yyxx
p2.0
0
 
Ainsi, pour un contact rugueux ponctuel, le maximum de la contrainte de cisaillement 
maximale totale devient : 
h
yyzz
max p1.0p368.02
+∆=
σ−σ
=τ  
Soit sous forme adimensionnée : 3226.0P187.1p31.0
T
h
max
max +∆=
τ
=
 
Ainsi, il est montré que le maximum de la contrainte de cisaillement maximale est observé 
à la profondeur de Hertz jusqu’à ∆P=0.57 soit χ=0.57 et proche de la surface pour χ≥0.57. En 
utilisant un modèle numérique (Mayeur et al. – 1995), les résultats précédents sont confirmés 
(Figure 2). La figure 3 donne le maximum de la contrainte de cisaillement maximale en fonction 
du paramètreχ. 
 
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4 
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.5 1 1.5 2
∆P
Ta
u
m
ax
 
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0 0.05 0.1 0.15 0.2
 λ/a
z/
a
 
 valeurs numériques  —— valeurs analytiques 
FIG. 2 – Contrainte de cisaillement maximale due à la rugosité 
 
Limite d’endurance 
Dans la littérature, une limite inférieure H1 de la durée de vie infinie est définie en terme 
de pression hertzienne comme la valeur maximale qui ne provoque aucune déformation 
plastique locale dans le matériau : Lamagnere et al. (1998). Cette limite inférieure est obtenue 
en comparant la contrainte de cisaillement maximale à la limite d'élasticité de cisaillement 
obtenue à 20 µdef. 
 
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2
χ
Ta
u
m
ax
 
 valeurs numériques 
— valeurs analytiques 
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
amp/λ
ph
 
[G
Pa
]
 
FIG. 3 – Contrainte de cisaillement maximale 
en fonction du paramètre χ 
FIG. 4 – Limite d’endurance H1 
pour l’acier 100Cr6 
 
A partir du paramètre χ, le maximum de la contrainte de cisaillement maximale Tmax peut 
être calculé et comparé à la valeur limite adimensionnée (Tlim=τf/(0.31ph). Si Tmax < Tlim, il n’y a 
pas de risque d’endommagement dans le cas contraire, il y a risque. 
La limite d’endurance est tracée en valeurs dimensionnées (pour une pression maximale de 
Hertz donnée phc, la géométrie de la surface rugueuse pour laquelle la contrainte de cisaillement 
maximale est inférieure à la limite élastique τf est déterminée). Par exemple pour un acier 
100Cr6 avec une limite élastique en cisaillement de 915 MPa, la limite d’endurance H1 est 
donnée à la figure 4. 
La figure 4 est très utile car tracée en valeurs dimensionnées mais elle dépend des 
propriétés du matériau. Par contre la figure 3, tracée en valeurs adimensionnées, peut être 
utilisée quelquesoit le matériau. 
 
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5 
Volume contraint 
Le niveau de contrainte et le volume surcontraint sont les deux paramètres principaux 
déterminant la durée de vie en fatigue de contact. Pour un contact rugueux, le niveau de 
contrainte dépend directement de la surpression. La figure 5 montre la distribution de pression 
et les champs de contrainte élastiques associés pour deux surfaces rugueuses. 
 
amp
 
= 0.000405, λ = 0.09 amp
 
= 0.00081, λ = 0.18 
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x/a
p/
ph
-1 -0.5 0 0.5 1
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
x/a
z/
a
 
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x/a
p/
ph
-1 -0.5 0 0.5 1
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
x/a
z/
a
 
FIG. 5 – Pression adimensionnée et Contrainte de cisaillement maximale dans le plan X = 0 
 
Le rapport amplitude sur longeur d’onde, pente de la rugosité, est constant, mais chacune 
des caractéristiques est divisée par 2 et la configuration correspond à un contact continu. La 
surpression dépend directement de la pente de la rugosité et est donc identique dans les deux 
cas. Le volume surcontraint associé dépend uniquement de la longueur d’onde (aires elliptiques 
de demi largeurs 5/λ  et 4/λ ). 
 
4 Courbe de risque d’endommagement 
 
La courbe de risque est obtenue en intégrant la contrainte de cisaillement maximale τ à la 
puissance 31/3 sur le volume contraint : ∫=
v
331
e
dvτr
 
Le risque d'endommagement adimensionné est défini comme le rapport du risque pour un 
contact rugueux sur le risque d’un contact lisse sous la même pression maximale de Hertz. A 
partir des résultats précédents sur la valeur et la position de la contrainte de cisaillement 
maximale et des volumes contraints, le risque adimensionné pour un contact rugueux peut être 
obtenu analytiquement (figure 6) : 
1
22.0
60
T
22.0R2
22.0R2
60
TR2
dVT
dVT
R
10
max
10
max
V
3/31
smooth
V
3/31
rough
e +
λpi
=
×pi
×pi+
λpi
pi
==
∫
∫
 
 
5 Conclusion 
 
Basé sur l'étude des surpressions induites par la rugosité en fonction des paramètres 
géométriques, amplitude et longueur d'onde, une analyse des contraintes a été conduite. Une 
relation simple entre la surpression et la contrainte de cisaillement de maximale a permis 
d’obtenir une limite d’endurance utile pour estimer la sévérité du contact. Malheureusement, un 
tel critère ne peut pas prévoir la réduction de durée de vie en fatigue. De ce fait, un risque 
d'endommagement est défini comme l'intégrale de la contrainte de cisaillement sur le volume 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
6 
contraint. Connaissant la géométrie de la rugosité et les conditions de fonctionnement, un 
abaque de risque d'endommagement, qui prévoit le risque relatif pour les contacts rugueux, est 
obtenu. Quelques expériences confirment que l'approche de risque d'endommagement pourrait 
donner une bonne idée de la réduction de la vie de fatigue : Paulin (2003). 
 
eR
 
0
20
40
60
80
100
120
140
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
 
 
 
5χλ  
 valeurs numériques  valeurs analytiques 
FIG. 6 – Risque adimensionné 
Remerciements 
Les auteurs remercient Anne Labiau, Hervé Julien et Christophe Paulin pour leur aide. 
 
Références 
 
Lubrecht, A.A., Dwyer-Joyce, R.S., Ioannides, E, 1992, "Analysis of the Influence of Dentation 
on Contact Life”, Proceedings of the 19th Leeds-Lyon Symposium on Tribology, D. Dowson, 
C.M. Taylor and M. Godet, Elsevier, Amsterdam, in Tribology Series, Vol.27, pp.173-181. 
 
Coulon, S.; Ville, F ; Lubrecht, A A, 2002, “Effect of a Dent on the Pressure Distribution in Dry 
Point Contacts”, Journal of Tribology, vol. 124, no.1, pp. 220-223 
 
Zhou, R.S., Cheng, H.S., Mura, T., 1989, “Micropitting in Rolling and Sliding Contact Under 
Mixed Lubrication”, Journal of Tribology, vol. 111, n°4, pp. 605-613. 
 
Lamagnere P., Fougeres R., Lormand G., Vincent A., Girodin D., Dudragne G., Vergne F., A 
Physically Based Model for Endurance Limit of Bearing Steels, Journal of Tribology, 1998, 
Vol. 120, pp.421-426. 
 
Mayeur C., Sainsot P. and Flamand L., 1995, "A numerical elastoplastic model for rough 
contact", Journal of Tribology, vol. 114, no.3, pp.422-429 
 
Johnson K.L., 1985, "Contact mechanics", Cambridge University Press, Cambridge, 452 p. 
 
Coulon, S., "Prediction de la durée de vie des contact ponctuels lubrifiés en présence 
d'indentation", Thèse de doctorat, Institut National des Sciences Appliquées de Lyon, 2001. 
 
Paulin, C. ; Ville, F. ; Sainsot, P. ; Coulon, S. ; Lubrecht, A. A., 2003, "Effect of rough surfaces 
on rolling contact fatigue – Theoretical and experimental analysis", 30th Leeds-Lyon 
Symposium on Tribology. Elsevier tribology series , Lyon, Vol.43. p. 611 -617. 


Influence des rugosités de surface sur la fatigue de contact en roulement

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16689/1/CFM2007-0026.pdf

Influence des rugosités de surface sur la fatigue de contact en roulement

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