Cette étude s'intéresse au couplage des instabilités hydrodynamiques et thermiques dans un système de Couette-Taylor soumis à un gradient radial de température dont le cylindre intérieur est en rotation. Le nombre de Grashof Gr est fixé et le nombre de Reynolds Re est augmenté. Au dessus d'une valeur critique de Re, l'écoulement de base bifurque vers un écoulement de vortex spiralé. Pour Gr1165, le motif apparaît au centre, remplit le système et présente une modulation basse fréquence dès le seuil

GUILLERM, Raphaël

LEPILLER, Valérie

MUTABAZI, Innocent

PRIGENT, Arnaud

I-Revues

18 e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Grenoble, 27-31 aouˆt 2007
Instabilite´s hydro-thermiques dans un anneau cylindrique vertical soumis a`
un fort gradient radial de tempe´rature
Vale´rie Lepiller, Raphae¨l Guillerm, Arnaud Prigent & Innocent Mutabazi
Universite´ du Havre
LMPG
25 Rue Philippe Lebon
76 058 Le Havre cedex
arnaud.prigent@univ-lehavre.fr
Re´sume´ :
Cette e´tude s’inte´resse au couplage des instabilite´s hydrodynamiques et thermiques dans un syste`me de Couette-
Taylor soumis a` un fort gradient radial de tempe´rature. Un liquide est confine´ dans l’espace annulaire situe´ entre
deux cylindres coaxiaux verticaux maintenus a` des tempe´ratures diffe´rentes dont le cylindre inte´rieur est mis en
rotation. Le rapport d’aspect et le rapport des rayons valent 114 et 0, 8. Le nombre de GrashofGr, lie´ a` l’e´cart de
tempe´rature entre les cylindres, est fixe´ et le nombre de Taylor Ta, lie´ a` la vitesse de rotation du cylindre inte´rieur,
est augmente´. Au dessus d’une valeur critique de Ta, l’ e´coulement de base bifurque vers un e´coulement de vortex
spirale´. PourGr < 965, le motif est re´gulier et apparaıˆt pre`s du bord infe´rieur des cylindres, sa taille augmentant
avec Ta. Pour Gr > 965, le motif apparaıˆt au centre, remplit le syste`eme et pre´sente une modulation basse
fre´quence de`s le seuil.
Abstract :
We investigate experimentally the influence of a radial temperature gradient in a vertical annulus. The geometrical
parameters are fixed with aspect ratio and radius ratio respectively equal to 114 and 0.8. After imposing a Grashof
number Gr, related to the radial temperature gradient, the convection cell is destabilized by inertial forces due
to the increasing of the rotation of the inner cylinder. Above a critical value of the Taylor number Ta, related to
the velocity of the inner cylinder, a spiral pattern occurs giving rise to a finite extent propagating pattern. For
Gr < 965, the pattern is regular. It appears near the bottom of the system and progressively fill in the system as
Ta increases. For Gr > 965, the spiral pattern is modulated. It appears around mid-height and nearly fills the
system at threshold.
Key-words :
Mots-clefs :
Couette-Taylor ; Instabilite´ thermo-centrifuge ; spirale
1 Introduction
Nous conside´rons l’effet d’un gradient radial de tempe´rature sur les instabilite´s centrifuges de
l’e´coulement de Couette-Taylor, l’e´coulement entre deux cylindres coaxiaux dont le cylindre
inte´rieur est mis en rotation. L’e´coulement non isotherme d’un fluide au sein d’un dispositif
cylindrique tournant apparaıˆt dans de nombreuses applications industrielles, notamment dans le
refroidissement de machines tournantes, comme les moteurs e´lectriques et les turbines (Kreith
(1968)). Des e´changeurs thermiques cylindriques et tournants ont e´galement e´te´ introduits dans
les industries chimique, automobile et nucle´aire. Ce type d’e´coulement est e´galement pre´sent
dans des mode`les ge´ophysiques et astrophysiques expliquant la circulation de fluides dans le
manteau supe´rieur, dans l’oce´an ou dans l’atmosphe`re (Kreith (1968)) et la formation des
e´toiles.
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L’e´tude de la convection mixte a commence´ avec les travaux the´oriques de Becker et al.
(1962) qui ne´gligeaient l’effet de la gravite´ et conside´raient seulement des perturbations ax-
isyme´triques. L’effet de la gravite´ a ensuite e´te´ pris en compte dans le cadre de l’approximation
de Boussinesq par Roesner (1978) pour des perturbations axisyme´triques et par Weidman et
al. (1990) pour des perturbations quelconques. En 1990, Chen et al. (1990) ont e´tudie´ l’effet
d’un faible gradient radial de tempe´rature sur la stabilite´ line´aire de l’e´coulement de Couette
circulaire et ont observe´ que le nombre de Taylor critique de´pend du fluide et de la diffe´rence
de tempe´rature. L’effet de la nature du fluide a aussi e´te´ e´tudie´ nume´riquement par Kuo et
al. (1997). En 1964, Snyder et al. (1964) ont e´tudie´ expe´rimentalement l’effet d’un gradient
radial de tempe´rature sur la stabilite´ de l’e´coulement de Couette. Ball et al. (1988, 1989) ont
e´tudie´ les diffe´rentes transitions de l’e´coulement en fonction des parame`tres de controˆle dans
un syste`me de faible rapport d’aspect. Leurs expe´riences ont permis de mesurer l’importance
relative de la rotation et des effets thermiques. Ainsi ils ont observe´s que ceux-ci deviennent
pre´dominants et les vortex similaires a` ceux observe´s en convection naturelle, lorsqu’on aug-
mente le gradient radial de tempe´rature. De notre point de vue peu de donne´es quantitatives sur
les proprie´te´s de l’e´coulement en fonction des parame`tres de controˆle ont e´te´ fournies. Dans ce
qui suit nous tentons de combler ce manque. Le papier est organise´ de la manie`re suivante. Le
dispositif expe´rimental est de´crit dans la partie suivante puis les re´sultats et le protocole suivi
sont pre´sente´s dans la troisie`me partie avant de conclure.
2 Dispositif expe´rimental
Le dispositif expe´rimental est constitue´ de trois cylindres coaxiaux verticaux de longueur H =
57 cm : un cylindre inte´rieur en aluminium anodise´ noir de rayon a = 2 cm, un cylindre
exte´rieur en verre transparent de rayon b = 2, 5 cm et un cylindre d’isolation en verre transparent
de rayon c = 5 cm (Fig. 1).
Figure 1: Dispositif expe´rimental.
Le liquide utilise´, de l’eau de´mine´ralise´e, est confine´ dans l’espace annulaire entre les deux
premiers cylindres dont la distance d = b − a = 0, 5 cm. Ainsi le rapport d’aspect est
Γ = H/d = 114 et le rapport des rayons est η = a/b = 0, 8. Le gradient radial de tempe´rature
est cre´e´ en maintenant les cylindres inte´rieur et exte´rieur a` des tempe´ratures diffe´rentes graˆce
a` deux circulations d’eau provenant de deux bains thermostate´s dont la tempe´rature est fixe´e a`
T1 pour le cylindre inte´rieur et a` T2 pour le cylindre exte´rieur. Le gradient radial effectif ainsi
re´alise´ dans l’entrefer s’e´crit δT = µ(T1− T2) ou` le coefficient µ = 0, 54 de´pend de la conduc-
tivite´ des cylindres et de l’eau, ainsi que de la convection dans le cylindre inte´rieur et l’espace
compris entre les cylindres exte´rieur et d’isolation (Lepiller et al. (2007)). Afin de visualiser
l’e´coulement, on ajoute 2% de Kalliroscope AQ-1000 (Matisse et al. (1984)), une suspension
de paillettes microscopiques anisotropes. Une nappe laser plane paralle`le a` l’axe des cylindres
e´claire une section droite verticale de l’e´coulement et une came´ra CCD line´aire enregistre a` in-
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tervalles de temps re´guliers l’intensite´ lumineuse re´fle´chie par le Kalliroscope. Les lignes ainsi
enregistre´es forment un diagramme spatiotemporel. Deux miroirs plans, entourant le dispositif,
permettent une visualisation comple`te de l’e´coulement dont nous enregistrons une hauteur de
32 cm a` l’aide d’une came´ra CCD (Litschke (1998); Prigent et al. (2000)).
3 Re´sultats
3.1 Protocole
Nous e´tudions la de´stabilisation de l’e´coulement de base duˆ a` la stratification radiale de la den-
site´ par la force centrifuge. Les parame`tres de controˆle physiques du syste`me sont le nombre de
GrashofGr relie´ au gradient radial de tempe´rature et le nombre de Taylor Ta relie´ a` la vitesse de
rotation du cylindre inte´rieur. Le nombre de Grashof s’e´crit Gr = gαδTd3/ν2 ou` α est le coef-
ficient d’expansion thermique, g l’acce´le´ration de la pesanteur et ν la viscosite´ cine´matique. Le
nombre de Taylor s’e´crit Ta = aΩd/ν
√
a/d ou` Ω est la vitesse angulaire du cylindre inte´rieur.
Dans cette e´tude l’espace des parame`tres de controˆle est explore´ en augmentant le nombre de
Taylor pour diffe´rentes valeurs du nombre de Grashof obtenues pour une tempe´rature du cylin-
dre exte´rieur fixe´e a` T2 = 30
◦C. Pre`s du seuil de l’instabilite´, la vitesse angulaire est augmente´e
de fac¸on quasi-statique par pas de 1 mHz.
3.2 Observations
De`s qu’un faible e´cart de tempe´rature est impose´, deux e´coulements axiaux apparaissent : as-
cendant pre`s de la paroi chauffe´e et descendant pre`s de la paroi refroidie. Au dessus d’une valeur
critique du nombre de Taylor Ta
c
, cet e´coulement se de´stabilise et un motif spirale´ propagatif
d’extension verticale finie apparaıˆt. Son he´licite´ de´pend du signe du produit GrTa. Elle est
gauche (resp. droite) si GrTa > 0 (resp. GrTa < 0) confirmant l’e´tude the´orique de Weidman
et al. (1990). Deux motifs diffe´rents sont observe´s selon la valeur du Gr.
(a) (b)
Figure 2: (a) Photographies du motif pour Gr = −600 et Ta = 16.5, 17, 18, 20, 20.8. (b) Diagramme
spatiotemporel du meˆme motif pour Ta = 16.5.
Pour Gr < 965, le motif spirale´ est re´gulier. Il apparaıˆt pre`s du bord infe´rieur du syste`me et
envahit progressivement le syste`me lorsque Ta est augmente´. Aucune hyste´re´sis n’est observe´e.
Un exemple de ce motif est donne´ par les photographies de la figure 2(a), pre´sentant un quart
du syste`me et le diagramme spatiotemporel de la figure 2(b).
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Pour Gr > 965, le motif apparaıˆt a` mi-hauteur en remplissant presque le syste`me qu’il
envahit totalement de`s que Ta est augmente´. Contrairement au cas pre´ce´dent, cette transition
s’accompagne d’une hyste´re´sis. La diffe´rence avec le motif pre´ce´dent apparaıˆt aussi sur les
photographies de la figure 3(a). Les vortex sont plus larges pour les grands nombres de Grashof.
De plus comme on peut le constater sur les diagrammes spatiotemporels des figures 3(b) et
(c), le motif est module´ pour les grands e´carts de tempe´ratures. Pour les plus grands e´carts
de tempe´rature, cette modulation apparaıˆt de`s le seuil d’apparition du motif qui se pre´sente
alors sous la forme de paquets de vortex propagatifs dans le diagramme spatiotemporel de la
figure 3(c).
(a) (b) (c)
Figure 3: (a) Photographies du motif pour Gr = −1330 et Ta = 12, 12.5, 13.5. (b) Diagramme
spatiotemporel du meˆme motif pour Ta = 12.5. (c) Diagramme spatiotemporel du motif au seuil pour
Gr = 4175 et Ta = 12.5.
3.3 Caracte´ristiques des motifs
Pour Gr < 965, le motif apparaıˆt via une bifurcation supercritque. Aucune hyste´re´sis n’est ob-
serve´e et, pour unGr donne´, le carre´ dumaximum d’amplitude dumotif, obtenu par de´modulation
complexe, varie line´airement avec Ta. De plus le motif apparaıˆt avec une fre´quence finie au
seuil, il s’agit donc d’une bifurcation de Hopf supercritique. Ce n’est pas le cas pour Gr > 965
ou` le motif apparaıˆt via une bifurcation sous-critique caracte´rise´e par une faible hyste´re´sis. La
(a) (b)
Figure 4: (a) Seuil d’apparition du motif spirale´ Tac en fonction du nombre de Grashof. (b) Nombre
d’onde critique qc en fonction du nombre de Grashof.
figure 4(a) pre´sente Ta
c
en fonction de Gr. Ta
c
diminue a` partir de la valeur obtenue dans
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le cas isotherme puis tend vers une valeur constante pour les grands nombres de Grashof. De
meˆme le nombre d’onde critique q
c
pre´sente´ sur la figure 4(a) diminue avec Gr. On retrouve
la diffe´rence de comportement correspondant aux deux motifs rencontre´s au seuil et celle-ci se
retrouve aussi dans les spectres temporels qui pre´sentent une basse fre´quence correspondant a`
la modulation en plus de la fre´quence du motif pour les grands nombres de Grashof.
L’e´volution du nombre d’onde axial q, du nombre d’onde azimutal m, de la vitesse an-
gulaire du motif et de la modulation avec Ta pour diffe´rents Gr sont pre´sente´es dans les
figures 5(a-c). q augmente avec Ta (Fig 5(a)) tandis que m diminue (5(b)). La figure 5(c)
pre´sente le rapport ω/m en fonction de < ω >, la vitesse angulaire moyenne de l’e´coulement
c’est-a`-dire la moyenne du profil de vitesse angulaire de l’e´coulement de Couette circulaire
< ω >= ηΩ/(1 + η). ω est la vitesse angulaire mesure´e sur les diagrammes spatiotemporels et
ω/m correspond a` la vistesse angulaire du motif dans son ensemble. L’ajustement line´aire de
ω/m donne ω/m = 1, 07 < ω > −1, 06. En premie`re approximation, le motif de spirale tourne
a` la vitesse angulaire moyenne de l’e´coulement. La constante a` l’origine dans l’ajustement cor-
respond a` une pre´cession re´trograde du motif dans le re´fe´rentiel tournant a` la vitesse angulaire
moyenne de l’e´coulement. Une pre´cession similaire a e´te´ observe´e par Caton et al. (2000)
dans l’e´coulement de Couette-Taylor stratifie´ et s’explique par le caracte`re non-axisyme´trique
du motif. En effet un motif non-axisyme´trique ne peut eˆtre stationnaire dans un un syste`me
ayant la syme´trie de rotation (SO2) (Knobloch (1997)). La figure 5(d) pre´sente la vitesse angu-
laire de la modulation ωmod en fonction de la vitesse angulaire moyenne de l’e´coulement. Un
ajustement line´aire de ces donne´es donne ωmod = 1, 0 < ω >. D’apre`s ces re´sulats, la spirale
apparaıˆt comme un motif tournant en bloc a` une vitesse angulaire proche de la vitesse angulaire
moyenne de l’e´coulement et pouvant pre´senter une modulation spatiale de son amplitude dont
la fre´quence coı¨ncide avec celle de l’e´coulement moyen. Dans le cas des tre`s grands e´carts de
tempe´rature, comme sur la figure 3(c), le motif peut eˆtre de´crit comme un groupe de vortex
isole´ tournant en bloc.
(a) (b)
(c) (d)
Figure 5: (a) Nombre d’onde axial en fonction du nombre de Taylor. (b) Nombre de Taylor en fonction
du nombre d’onde azimutal. (c) ω/m en fonction de < ω > et ajustement line´aire d’e´quation : ω/m =
1, 07 < ω > −1, 06. (d) fmod en fonction de ω/2pi et ajustement line´aire d’e´quation fmod = 1, 0 <
ω > /2pi.
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4 Conclusions
Nous avons montre´ que lorsqu’un gradient radial de tempe´rature est applique´ a` l’e´coulement
circulaire de Couette, l’e´coulement de base est de´stabilise´. Des vortex spirale´s apparaissent
pre`s du bord infe´rieur du dispositif via une bifurcation supercritique pourGr < 965. Ce type de
comportement est analogue au syste`me de Couette-Taylor avec un e´coulement axial. PourGr >
965, des vortex apparaissent dans presque tout le dispositif via une bifurcation sous-critique. Le
motif apparaissant au seuil pre´sente une modulation de fre´quence e´gale a` la fre´quence moyenne
de l’e´coulement.
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6


Instabilités hydro-thermiques dans un anneau cylindrique vertical soumis à un fort gradient radial de température

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