Un modèle d'homogénéisation du carton ondulé et un élément fini de coque sont développés pour modéliser le comportement mécanique de structures en carton ondulé. Le modèle d'homogénéisation analytique proposé permet une modélisation d'une structure 3D de carton par une plaque homogénéisée 2D. Il est basé principalement sur la théorie de stratification avec prise en compte du cisaillement transversal. Il est ensuite amélioré avec l'apport de plusieurs théories. Ce modèle d'homogénéisation amélioré est implémenté dans un élément fini de coque triangulaire avec cisaillement transversal. Le présent modèle a été validé par comparaison avec une simulation 3D sur Abaqus et avec d'autres résultats numériques et expérimentaux. Un problème de flambement d'une plaque en carton ondulé est traité et présenté dans cet article

AYAD, Rezak

BATTI, Anis

GUO, Ying Qiao

TALBI, Nabil

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Calcul d’une structure de type carton ondulé à l’aide  
d’une approche 3D coque homogénéisée 
 
Anis Batti, Nabil Talbi, Rezak Ayad, Ying Qiao Guo 
 
Université de Reims Champagne-Ardenne 
Groupe de Mécanique, Matériaux et Structures (GMMS, EA 2617) 
Moulin de la Housse, BP1039, F-51687 Reims cedex 2 
anis.batti@etudiant.univ-reims.fr 
 
 
 
 
Résumé : 
 
Un modèle d’homogénéisation du carton ondulé et un élément fini de coque sont développés pour 
modéliser le comportement mécanique de structures en carton ondulé. Le modèle d’homogénéisation 
analytique proposé permet une modélisation d’une structure 3D de carton par une plaque homogénéisée 
2D. Il est basé principalement sur la théorie de stratification avec prise en compte du cisaillement 
transversal. Il est ensuite amélioré avec l’apport de plusieurs théories. Ce modèle d’homogénéisation 
amélioré est implémenté dans un élément fini de coque triangulaire avec cisaillement transversal. Le 
présent modèle a été validé par comparaison avec une simulation 3D sur Abaqus et avec d’autres 
résultats numériques et expérimentaux. Un problème de flambement d’une plaque en carton ondulé est 
traité et présenté dans cet article.  
 
Abstract : 
 
A homogenisation model of the corrugated cardboard and a shell element are developed for the analysis 
of the mechanical behaviour of corrugated cardboard structures. The proposed analytical 
homogenisation model allows modelling the 3D corrugated cardboard with a 2D homogenised plate. This 
model is essentially based on the theory of stratification including the transverse shear effects. It is then 
improved using several theories. This improved homogenisation model is implemented into a triangular 
bending/shear shell element. This model was validated by comparison with a simulation on the Abaqus 
software and with other numerical and experimental result. A problem of buckling of a corrugated 
cardboard is treated and presented in this paper. 
 
Mots-clefs :  
 
Homogénéisation ; Carton ondulé ; Elément fini  
 
1 Introduction 
 
Dans l’industrie de l’emballage, la part prise par le carton ondulé est de plus en plus 
grande. Il est donc essentiel de pouvoir modéliser et donc prédire le comportement mécanique 
du carton ondulé. Avant la mise sur le marché d’un nouvel emballage, une modélisation 
performante du carton ondulé permettrait de remplacer ou au moins de réduire considérablement 
les essais expérimentaux qui sont à la fois longs et coûteux.  
Carlsson et Nordstrand (2001) ont obtenu par une méthode analytique les propriétés 
mécaniques homogénéisées des plaques en carton ondulé et, en particulier, celles concernant les 
cisaillements transversaux. Ils (1994) ont, de plus, étudié le flambage et le post-flambage d’une 
plaque orthotrope en incluant l’effet des cisaillements transversaux. Un modèle 
d’homogénéisation analytique basé sur la théorie des stratifiés a été proposé par Aboura et al. 
(2004) et comparé avec des résultats numériques et expérimentaux.  Buannic (2003) a présenté 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
une théorie d’homogénéisation basée sur une méthode d’expansion asymptotique. Une approche 
par éléments finis a été utilisée par Biancolini (2005) afin d’évaluer les coefficients de rigidité 
du carton ondulé.  
Cet article a pour objectif de montrer la possibilité de modéliser de manière très efficace le 
comportement mécanique d’un panneau de carton ondulé composé de 3 strates par une plaque 
homogénéisée 2D. Notre modèle d’homogénéisation repose sur la théorie de stratification en 
tenant compte du cisaillement transversal. Diverses modifications et améliorations y ont été 
apportées afin de modéliser au mieux le carton ondulé soumis à tout type de sollicitations. Le 
présent modèle d’homogénéisation est implémenté dans un élément de coque triangulaire avec 
la prise en compte du cisaillement transverse. Les résultats donnés par le présent modèle 
d’homogénéisation sont comparés à ceux obtenus par la simulation 3D d’Abaqus et à d’autres 
résultats numériques et expérimentaux. Un exemple de flambement d’une plaque rectangulaire 
en carton est traité dans cet article.  
 
2 Modèle d’homogénéisation du carton ondulé 
 
Premièrement, est présenté ici l’adaptation de la théorie classique de stratification à la 
structure complexe du carton ondulé. Deuxièmement, plusieurs améliorations sont introduites 
afin que les propriétés mécaniques pour la plaque homogénéisée retranscrivent au mieux le 
comportement mécanique du carton ondulé sous différents types de chargements. 
Troisièmement, notre modèle d’homogénéisation amélioré est implémenté numériquement dans 
un élément de coque avec cisaillement transversal (appelé Τ3γ18), et cet ensemble est ensuite 
implémenté dans une user’s routine (UEL) sur la plate-forme de l’Abaqus.  
 
2.1 Adaptation de la théorie des stratifiés au cas particulier du carton ondulé 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 1 – Volume élémentaire représentatif du carton ondulé 
 
Le carton ondulé est composé de trois strates : une peau supérieure, une cannelure 
sinusoïdale et une peau inférieure. La figure 1 montre un Volume Elémentaire Représentatif 
(VER) du carton ondulé. Pour chacune tranche dx, la théorie des stratifiés peut s’appliquer en 
intégrant les contraintes suivant l’épaisseur (z) afin d’obtenir les rigidités globales liant les 
déformations généralisées et les efforts internes en un point x donné :  
[ ] [ ] [ ] [ ] IICCSS eQeQeQxA ++=)(
 
[ ] [ ] [ ] [ ] IIICCCSSS ezQezQezQxB ++=)(
                             
[ ] [ ] [ ] [ ] )
12
)()(()
12
)()(()
12
)()(()(
3
2
3
2
3
2
I
III
C
CCC
S
SSS e
ezQeezQeezQxD +++++=  
[ ] [ ] [ ] [ ] keCeCeCxF IICCSS )()( ++=
    avec   k=5/6 
dx
z
s u pe
i n fe
c
h H x
θ
dx
P
13 S 
C 
I 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
3 
où [A], [D], [B] sont les matrices de rigidité de membrane, de flexion et de leur couplage, [F] 
celle de cisaillement ; [Q] est la matrice d’élasticité pour les trois contraintes dans le plan, [C] 
celle pour les contraintes de cisaillement transversal ; e et z sont l’épaisseur et la position des 
peaux et de la cannelure.  
Ensuite, une intégration suivant x permet d’homogénéiser le carton dans la direction MD 
(Machine Direction). Ainsi les rigidités globales homogénéisées sont définies comme suit : 
    
    
    
         
0N A B 0 ε
M = B D 0 k
Q 0 0 F γ
                                              
 
2.2 Améliorations du modèle d’homogénéisation  
 
Le carton ondulé est plus complexe qu’une plaque laminée à cause de la cannelure et des 
vides entre les deux peaux. Les rigidités globales obtenues par la théorie des stratifiés 
nécessitent des améliorations, surtout pour les efforts sur les sections normales à x (MD). 
 
2.2.1 Transformation de la loi de comportement de la cannelure dans le repère global 
 
La loi de comportement du papier de cannelure est déterminée expérimentalement dans son 
état initial plan. Dans un carton ondulé, les coefficients du matériau doivent être transformés du 
repère local 123 au repère global xyz (Fig. 1).  
Nous avons les lois de comportement dans le repère local 123 et le repère global xyz, aussi 
les matrices transformation xyz entre les deux repères : 
{ } { }xyzxyz xyzCε σ =    ;  { } { }123123 123Cε σ=     ;  { } [ ]{ }123 xyzTσ σ=  ;  { } [ ]{ }xyz 123T 'ε ε=  
où [T] et [T’] sont les matrices de passage, [C123] et [Cxyz] matrices de flexibilité.  
Ainsi, nous obtenons :   [ ][ ]'xyz 123C T C T   =             
 
2.2.2 Rigidités concernant l’effort normal Nx et le moment de flexion Mx 
 
 Avec la théorie des stratifiés, la cannelure donne les rigidités importantes relatives à 
l’effort normal Nx et au moment de flexion Mx. Nous supposons que la contribution de la 
cannelure peut être étudiée séparément. Considérons la cannelure seule sous traction suivant x 
(Fig. 2). La méthode énergétique est utilisée pour calculer le déplacement et puis la rigidité de 
traction. On coupe la cannelure en G, l’effort normal, l’effort tranchant et le moment de flexion 
sur la section G peuvent être obtenus selon l’équilibre :   
 
N = F cos( θ)            
T=-F sin( θ)             
c
f
h 2M F sin x
2 P
pi 
=  
 
 
 
 
 
FIG. 2 – Calcul de la raideur de la cannelure en traction 
 
L’énergie interne de déformation s’écrit : ds
EI
M
ds
GA
kTds
EA
NU
P
x
f
P
x
P
x
∫∫∫
===
++=
0
2
0
2
0
2
2
1
2
1
2
1
    
 
z 
x 
θ 
P 
F F 
N T 
G 
Mf 
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 ou encore )(
2
cba
Et
FU ++=
      
 Pour une coque mince comme la cannelure, le terme c est très grand par rapport aux deux 
premiers. Le théorème de Castigliano est utilisé pour calculer le déplacement suivant x : 
U 2F ( a b c )
F Et
∆ ∂= = + +
∂
    
;
    
cannelure cannelure
F EtK           K
2( a b c )∆= ⇒ = + +
      
 La raideur d’une peau (inférieure ou supérieure) est calculée comme suit : 
 
P
EtK
P
E
t
FE peau =⇒
∆
=⇒=
1*
εσ
  
Si le module d’Young et  l’épaisseur d’une peau sont égaux à ceux de la cannelure, le 
rapport entre la raideur d’une peau et la raideur de la cannelure : 
cannelure cannelure cannelure
peau peau peau
K E t P P
 
K 2( a b c ) E t 2( a b c )= =+ + + +
      
Dans un carton ondulé « Moyenne Cannelure », les dimensions de la cannelure sont : 
hauteur hc = 4 mm, pas périodique P = 8 mm, épaisseur t = 0.16 mm,   
000316.0
*2
=
peau
cannelure
K
K
     
 On en déduit que la cannelure a peu de contribution à la rigidité de traction Nx et donc 
négligeable. Un calcul similaire a été fait pour la flexion Mx et il en résulte que la cannelure n’a 
pas de contribution non plus à la rigidité de flexion Mx (autour de y). En conclusion, la théorie 
des stratifiés permet de calculer correctement les rigidités de la cannelure relatives à Ny et My, 
mais c’est la théorie de sandwich qui peut s’appliquer à Nx et Mx. 
 
2.2.3 Rigidité concernant l’effort tranchant Qx  
 
La théorie des stratifiés donne une rigidité de cisaillement transversal trop grande. En fait, 
la rigidité de cisaillement du carton n’est pas la somme des rigidités de la cannelure et des 
peaux, elle dépend plutôt de la déformation de flexion des 3 strates. Nordstrand a utilisé la 
théorie de poutre courbe pour calculer le déplacement transversal et puis en déduire la rigidité 
de cisaillement. Cette solution analytique est retenue et implémentée dans le présent modèle.  
 
2.2.3 Rigidité concernant l’effort tranchant Qy  
 
Cette rigidité de cisaillement transversal n’est pas égale à la somme des rigidités des 3 
strates car la distribution de la contrainte tangentielle n’est pas uniforme sur la section. Si on 
concentre la cannelure d’une période P au milieu (x=P/2), une analogie avec une poutre à 
section I nous permet de ne prendre que la cannelure pour calculer la rigidité de cisaillement 
relative à Qy en négligeant la contribution des deux peaux extérieures.  
 
2.2.4 Rigidité concernant le moment de torsion Mxy  
 
La torsion du carton ondulé Mxy ressemble à la torsion d’une poutre à section multi-
cellulaire. La théorie de Bredt basé sur l’analogie de membrane peut s’appliquer. Si le moment 
de torsion est uniformément réparti, les flux des contraintes tangentielles s’annulent dans les 
parois de la cannelure sauf celles au bord. Ainsi la rigidité de torsion peut être obtenue en ne 
considérant que les deux peaux extérieures. 
 
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2.3 Formulation de l’élément coque T3γ18 
 
Le présent modèle d’homogénéisation est implémenté dans l’élément de coque Τ3γ18. Ce 
dernier est un élément triangulaire à facette plane ayant trois nœuds et six degrés de liberté par 
nœud. Il est composé de l’élément de membrane CST (Constant Strain Triangle) et de l’élément 
de plaque T3γ avec prise en compte du cisaillement transversal, proposé par Hughes et al. 
(1981) et ensuite amélioré par Ayad et al. (1992) en utilisant les transformations Jacobiennes 
simplifiées. Pour l’analyse non linéaire en grands déplacements, la matrice tangente et le 
vecteur des forces internes s’écrivent comme suit : 
e e e e e e
m f c zk k k k k kθ σ         = + + + +           
[ ] [ ] [ ][ ]dABHBK mmT
A
m
e
m
e
∫=    ;   [ ] [ ] [ ][ ]dABHBK ffT
A
f
e
f
e
∫=  
[ ] [ ] [ ][ ]dABHBK ccT
A
c
e
c
e
∫=      ;  [ ] [ ] [ ][ ]dABNBK T
A
e
e
σσσ ∫=  
{ } [ ]{ }mm
xy
y
x
eH
N
N
N
N =










=  ; { } [ ]{ }χf
xy
y
x
H
M
M
M
M =










=  ;  { } [ ]{ }cc
y
x H
T
T
T γ=






=  
où e e e e em f ck , k , k , k , kσ                  sont les matrices tangente, de membrane, de flexion, de 
cisaillement et de contraintes initiales ;  e
z
kθ   est la  matrice de rigidité fictive pour éviter la 
singularité de ek    puisque les autres matrices de rigidité n’ont pas de contribution pour la 
rigidité relative à la rotation  θz ; { } { } { }N , M , T  sont les vecteurs des forces de membrane, des 
moments de flexion et de torsion, et des efforts tranchants transversaux. L’analyse de 
flambement est aussi implémentée sur la plate-forme de l’Abaqus. 
 
3 Validation du modèle pour le flambement 
 
Un panneau en carton ondulé (Fig. 4) a été utilisé afin de valider notre modèle avec une 
simulation Abaqus 3D sous différents chargements. Les résultats sont présentés au colloque 
Giens’2007 « Calcul des Structures ».  
Dans cet article, le présent modèle est validé en flambement avec les résultats numériques 
et expérimentaux de Nordstrand (2004). Les dimensions du panneau en carton ondulé sont de 
400×400 mm2, le pas de la cannelure est p=7.26 mm et la hauteur de la cannelure est de 3.65 
mm. Les propriétés mécaniques sont exprimées en GPa et l’épaisseur de chacune des strates est 
donnée en mm dans le tableau 1 : 
 
 Ex Ey Ez Gxy Gxz Gyz νxy νxz νyz Ep. 
Peau sup. 8.25 2.9 2.9 1.89 0.007 .070 0.43 0.01 0.01 0.23 
Cannelure .005 .231 3.0 .005 0.0035 .035 0.05 0.01 0.01 0.25 
Peau inf. 8.18 3.12 3.12 1.95 0.007 .070 0.43 0.01 0.01 0.23 
Tableau. 1 – Propriétés du carton ondulé 
 
Le panneau est simplement supporté au contour et soumis à une compression uniforme 
suivant y. Il est modélisé en une plaque homogénéisée. Cette plaque est discrétisée en 289 puis 
en 545 nœuds et en 512 puis en 1024 éléments triangulaires et le temps CPU est de 2.7 puis de 
2.6 secondes pour un maillage de type A puis pour un maillage de type C. 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
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Les maillages d’élément fini et les iso-couleurs des déplacements transversaux sont 
illustrés aux Fig. 3 et 5. La charge critique de flambement obtenue par les tests expérimentaux 
de Nordstrand (2004) est de 814 N. La force critique calculée par notre modèle est de 903N 
pour le maillage de type A et de 878N pour le maillage croisé. Ces résultats sont en bon accord 
avec la charge critique donnée par Nordstrand (2004) qui est de 870 N. Il est donc possible de 
modéliser efficacement un carton ondulé 3D par une plaque homogénéisée 2D pour le flambage.  
 
4 Conclusion 
 
Un modèle d’homogénéisation analytique du carton ondulé ainsi que son implémentation 
numérique ont été présentés. Ce modèle repose sur la théorie des stratifiés suivant y et sur la 
théorie des sandwichs suivant x. Ce modèle a déjà été validé pour une analyse statique en 
comparant ses résultats avec une simulation Abaqus 3D pour toutes les principales sollicitations. 
Ici, on montre que notre modèle fonctionne très bien pour une analyse en flambement. 
 
REMERCIEMENT : L’Equipe de Modélisation Numérique du GMMS remercie l’Etat, la 
Région Champagne Ardennes, la ville de Reims et le CNRT Emballage pour leur soutien 
financier dans le cadre du projet Opti’pack.  
 
Références 
 
Aboura Z., Talbi N., Allaoui S. & Benzeggagh M.L. 2004 Elastic behavior of corrugated 
cardboard: experiments and modeling.  J. Composite Structures 63,  53-62 
Ayad R., Batoz J.L., Dhatt G. & Katilli I. 1992 A study of recent triangular elements for thin 
and thick plates. J. New Advances in Computational Structural Mechanics 259-271 
Biancolini M.E. 2005 Evaluation of equivalent stiffness properties of corrugated board. J. 
Composite Structures 69, 322-328 
Buannic N., Cartraud P. & Quesnel T. 2003 Homogenization of corrugated core sandwich 
panels. J. Composite Structures 59, 299-312 
Carlsson L.A., Nordstrand T. & Westerlind B. 2001 On the elastic stiffness of corrugated core 
sandwich plate. J. Sandwich Structures and Materials 3, 253-267 
Hughes T.J.R. & Tezduyar T.E. 1981 Finite element based on Mindlin plate theory with    
particular reference to the four-node bilinear isoparametric element. J. App. Mech.  48, 587-
596 
Nordstrand T. & Carlsson L.A. 1994 Transverse shear stiffness of structural core sandwich. J. 
Composite Structures 27, 317-329 
Nordstrand T. 2004 On buckling loads for edge-loaded orthotropic plates including transverse 
shear. J. Composite Structures 65,  1-6 
FIG. 3 – Maillage de type A 
a
MD
CDZD
x
z y
0
a
FIG. 4 – Repère 
 
FIG. 5 – Maillage de type C (croisé) 


Calcul d'une structure de type carton ondulé à l'aide d'une approche 3D coque homogénéisée

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16420/1/CFM2007-0351.pdf

Calcul d'une structure de type carton ondulé à l'aide d'une approche 3D coque homogénéisée

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