Le contrôle de la déformation sans contact des interfaces liquides à l'échelle micro-métrique est un enjeu majeur pour toute une série d'applications en micro-fluidique. Une technique originale récemment développée au Laboratoire CPMOH (Bordeaux), consiste à employer la pression de radiation d'une onde laser continue, pour déformer des interfaces liquides à l'échelle du micron. Cela conduit pour de faibles intensité, à des formes en cloche indépendantes du sens de propagation du faisceau puis pour des intensités plus élevées, à des formes surprenantes de tétines quand le faisceau se propage du milieu le plus réfringeant vers le moins réfringeant, ou de jet de micro-gouttes pour une direction de propagation inverse. Afin de mieux comprendre la physique de ces écoulements et en maîtriser les applications, nous avons developpé un outil numérique basé sur la méthode des élements de frontière couplant à la fois l'hydrodynamique et l'électromagnétisme. Les résultats numériques obtenus avec cette méthode sont comparés aux résultats expérimentaux en régime de déformation linéaire et non-linéaire et ceci pour les deux sens de propagation

ARQUIS, Eric

CHRAIBI, Hamza

DELVILLE, Jean-Pierre

LASSEUX, Didier

WUNENBURGER, Régis

I-Revues

18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Simulation numérique de l’hydrodynamique d’interfaces liquide-liquide
contrôlées par laser
Chraïbi Hamza, Didier Lasseux, Eric Arquis (TREFLE)
Régis Wunenburger & Jean-Pierre Delville (CPMOH)
Université Bordeaux I
Transferts, Écoulements, Fluides, Énergétique (TREFLE)
Esplanade des Arts et Métiers
33405 Talence Cedex, France.
Université Bordeaux I
Centre de Physique Moléculaire Optique et Hertzienne (CPMOH)
351 cours de la Libération
33405 Talence cedex, France.
Résumé :
Le contrôle de la déformation sans contact des interfaces liquides à l’échelle micro-métrique est un enjeu
majeur pour toute une série d’applications en micro-fluidique. Une technique originale récemment développée
au Laboratoire CPMOH (Bordeaux), consiste à employer la pression de radiation d’une onde laser continue,
pour déformer des interfaces liquides à l’échelle du micron. Cela conduit pour de faibles intensités, à des formes
en cloche indépendantes du sens de propagation du faisceau puis pour des intensités plus élevées, à des formes
surprenantes de tétines quand le faisceau se propage du milieu le plus réfringeant vers le moins réfringeant,
ou de jet de micro-gouttes pour une direction de propagation inverse. Afin de mieux comprendre la physique de
ces écoulements et en maîtriser les applications, nous avons developpé un outil numérique basé sur la méthode
des élements de frontière couplant à la fois l’hydrodynamique et l’électromagnétisme. Les résultats numériques
obtenus avec cette méthode sont comparés aux résultats expérimentaux en régime de déformation linéaire et
non-linéaire et ceci pour les deux sens de propagation.
Abstract :
Control of fluid-fluid interface deformation induced by the radiation pressure of a laser wave is of major concern
for the development of numerous applications in microfluidics. An original technic recently developped at the
CPMOH Laboratory (Bordeaux), consists in inducing micrometric scale deformations of liquid interfaces by
the radiation pressure of a continuous laser wave. For low beam intensities, this leads to bell shapes whatever
the direction of propagation of the incident wave, while for higher intensities, it leads to suprising nipple-like
shape in the case of wave propagation from the less refringent medium to the more refringent one, or to a jet
of micro-droplets otherwise. In order to understand the physics governing these flows, a numerical resolution
based on the Boundary Integral Elements Method, coupling the hydrodynamics and the electromagnetism was
developped. Numerical results obtained with this method are compared to experimental data in both linear and
nonlinear regime of deformation and both directions of propagation.
Key-words :
Opto-hydrodynamique, interface, laser
1 Introduction
La déformation d’interfaces liquide-liquide a fait l’objet d’une attention croissante durant les
dernière années et plusieurs applications pratiques des déformations d’interfaces par laser sont
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18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
ainsi en développement. Parmi elles, nous pouvons citer la mesure des propriétés physiques
de fluides telles que la viscosité ou la tension superficielle (Sakai et al., 2001) mais aussi la
manipulation sans contact de micro-objets biologiques (Bjorkholm et al., 1986).
Historiquement, la déformation d’interfaces liquides par la pression de radiation a été initiale-
ment indentifiée au début des années 70 (Ashkin and Dziedzic, 1973). Des interfaces eau-air
ont alors été deformées donnant lieu à des déformations nano-métriques. L’une des conclusions
essentielle de ces travaux a été que l’interface se déforme toujours vers le milieu de plus faible
indice optique quelque soit le sens de propagation du faisceau.
Dans de récentes expériences (Casner and Delville, 2001), une onde laser continue de rayon
(waist) ω0 allant de 5µm à 15µm a été utilisée pour déformer des interfaces entre deux phases
micellaires en coexistence, caractérisables par leur distance au point critique T − Tc. La pro-
priété essentielle de ces micro-émulsions constituées de micelles d’eau dans de l’huile, étant
d’avoir une faible tension superficielle (γ ∼ 10−7Jm−2), des déformations d’interface très
importantes (jusqu’à ∼ 100µm) ont pu être observées confirmant également dans le régime
linéaire, des déformations identiques quelque soit le sens de propagation du faisceau. Cette
dernière propriété n’est cependant pas vérifiée en régime non-linéaire, la symétrie de déforma-
tion haut/bas étant brisée. Ainsi dans le cas d’une propagation du milieu le moins réfringeant
(noté (1)) vers le plus réfringeant (noté (2)), de surprenantes formes en tétines stables ont pu être
observée alors que dans le cas opposé de propagation, l’interface devient subitement instable
génerant un jet de micro-gouttelettes (Casner et al., 2003).
L’originalité de la présente étude est de simuler par la méthode des éléments de frontière, la
déformation d’interface en régime non-linéaire pour les deux sens de propagation alors que les
études précédentes étaient limitées au régime linéaire ou à des modèles non-linéaires simplifiés
(Hallanger et al., 2005). Nous confirmons et expliquons la brisure de symétrie en comparant les
résultats numériques et expérimentaux, sans toutefois dépasser le seuil d’instabilité conduisant
au jet.
2 Modèle physique
Figure 1: Déformation d’interface liquide-liquide par un faisceau laser se propageant du milieu le moins
réfringeant (1) vers le milieu le plus réfringeant (2).
La figure 1 représente une image de déformation d’interface liquide induite par un faisceau
laser se propageant de (1) vers (2). Les propriétées physiques des deux fluides sont leur den-
sités respectives ρ1 et ρ2, leurs indices optiques N1 et N2 (N1 < N2) et leurs viscosités µ1 et
µ2. Les angles de propagations incidents et transmis sont respectivement θi et θt . Le vecteur
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g représente la gravité (g = 9.81m/s). Un système de coordonées cylindriques (er, ez, eα)
comme indiqué sur la figure 1 sera utilisé lors de cette étude.
2.1 Force électromagnétique
Dans ce qui suit, nous détaillons l’éxpression de la force électromagnétique induite par le laser
sur l’interface (Landau and Lifshitz, 1946):
femi = −
1
2
²0Ei
2∇²i + 1
2
²0∇[Ei2ρi ∂²i
∂ρi
] +
²i − 1
c2
∂
∂t
(Ei ×Hi) (1)
Ei et Hi sont respectivement les champs électrique et magnétique dans le milieu i, ²0 est la
permittivité du vide. ∂²i
∂ρi
represente la variation de permittivité relative ²i de chaque phase en
fonction de sa densité (²i = N2i ). c est la célerité de la lumière dans le vide.
Le premier terme de l’équation (1), appelé force de radiation optique, induit un saut de pres-
sion de radiation sur l’interface traduisant une discontinuité de la quantité de mouvement des
photons à la traversée de cette interface. Le second terme appelé force électrostrictive traduit la
discontinuité des champs et des propriétés physiques des fluides sur l’interface. Son influence
sur la forme de l’interface est nulle étant donné que sa contribution volumique est compensée
par sa contribution surfacique (Lai et al., 1989). Enfin le dernier terme, appelé terme d’Abraham
est indétectable aux fréquences optiques et peut donc être omis.
Dans notre approche numérique, nous utilisons une polarisation linéaire transverse (TE) du
champs électrique et supposons que le problème est à symétrie de révolution. Le choix de la
polarisation TE est en cohérence avec la polarisation utilisée dans l’expérience vis à vis du plan
d’observation de la déformation. Dans ces conditions, la symétrie de révolution reste un point
à étudier plus en détail. Cependant, étant donné que la pression de radiation optique a une trés
faible dépendance à la polarisation lorsque N1
N2
∼ 1 (Casner and Delville, 2003) , la polarisation
linéaire est théoriquement équivalente à une polarisation circulaire.
Dans le cas de polarisation (TE), le champs électrique est continu à l’interface, i.e.:
E1 = E2 (2)
Comme la gravité et la force électrostrictive sont conservatives on peut redéfinir une pseudo-
pression incluant leur effets dans chaque phase. Ensuite, par conservation de la composante
normale du vecteur de Poynting (flux d’énergie sur l’interface) (Stratton, 1941) :
E 2 =
TTE
c²0
I(r)
Ni
cosθi
cosθt
(3)
Cette expression du champ, differente selon le sens de propagation, fait apparaître l’indice Ni
de la phase où se transmet le faisceau et le coefficient de transmission TTE dont l’expression
(Stratton, 1941) dépend du sens de propagation du faisceau.
I(r) est l’intensité du laser assimilée à une gaussienne, donnée :
I(r, z) ≈ I(r) = 2P
piω20
e
−2( r
ω0
)2 (4)
P étant la puissance du faisceau.
3
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2.2 Equations pour l’ecoulement et conditions aux limites
En adimensionnant le problème par la longueur caractéristique ω0, la pression de référence dans
chaque phase µiu
∗
ω0
, le temps caractéristique µ2ω0/γ , et la vitesse de réference γ/µ2, les équa-
tions du mouvement et de conservation de la masse dans l’hypothèse de quasi-stationnarité et à
faible nombre de Reynolds pour des phases incompressibles s’écrivent :
0 = −∇pi +∇2ui ; ∇.ui = 0 (5)
A l’interface, la saut de contrainte normale est compensée par les effets capillaires, la gravité et
la pression de radiation. On écrit donc :
(λT1.n−T2.n).n = κ(r)− Π(r)−Boz(r) (6)
Ti étant le tenseur des contraintes hydrodynamiques et Π(r) étant donné par:
Π(r) = −1
2
²0E
2(²1 − ²2)ω0
γ
(7)
On définit ξ = Π(r = 0, θi = 0, θt = 0) = 4Ppicω0γ
N1(N2−N1)
(N2+N1)
comme le rapport de pression de
radiation sur pression de Laplace. Ici Bo = (ρ1 − ρ2)gω20/γ est le nombre de Bond optique
basé sur le rayon du faisceau; λ = µ1/µ2 est le rapport de viscosité entre les deux phases; κ(r)
est la courbure cylindrique en un point de l’interface.
La continuité des vitesses sur l’interface implique :
u1 = u2 (8)
alors que la condition d’adhérence aux parois est :
ui = 0 (9)
L’advection de l’interface est réalisée par un suivi Langrangien qui s’écrit en tout point de celle-
ci:
dx
dt
= u(x) (10)
La résolution par la méthode des éléments de frontière n’est pas detaillée ici. Pour plus de
précisions, le lecteur pourra consulter l’excellente synthèse de Tanzosh et al. (1992) ainsi que
des travaux sur la déformation d’interfaces par champs électriques et magnétiques (Sherwood,
1987).
3 Résultats
La figure 2 montre l’évolution de la hauteur de l’interface à l’équilibre en fonction du rapport
de pression ξ. Nous pouvons tout d’abord remarquer la brisure de symétrie d’évolution de h à
partir de ξ ≥ 3.4. Dans le cas de propagation 1-2, h(ξ) continue d’augmenter avec une pente
plus importante en restant toutefois stable. En revanche, dans le cas d’incidence par le haut,
h(ξ) diverge subitement à ξ ' 3.4 et atteint le seuil de réflexion totale. Nous considérons en
effet que la réflexion totale puis la focalisation de la lumière sur l’interface sont les mécanisme
responsables de l’instabilité de l’interface. Comparant maintenant les courbes expérimentales
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0 1 2 3 4 5 6 7
ξ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
h(
ξ)
Exp : Propagation 1−2
BIEM : Propagation 1−2
Exp : Propagation 2−1
BIEM : Propagation 2−1
ξtexpξt
num
Figure 2: Variations expérimentale et prédiction numérique de la hauteur de la déformation h(ξ) en
r = 0 pour les deux cas de propagation. ω0 = 5.3µm et T − Tc = 3.5K (Bo = 0.015). On compare
les résultats expérimentaux et numériques. La droite en pointillés décrit un comportement linéaire. ξexpt
(ξnumt ) représente le seuil d’instabilité expérimental (numérique).
et numériques, nous voyons une bonne adéquation des hauteurs dans le cas de propagation 1-
2 jusqu’au seuil d’apparitions des formes en tétines (ξ ' 5), alors que dans le cas inverse la
divergence de h(ξ) est prédite plus tôt dans le modèle numérique. Nous allons expliquer cette
observation en étudiant les profils d’interface.
La figure 3 montre les comparaisons entre profils d’interfaces expérimentaux et prédictions
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
r
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
z
 Propagation 1−2
Exp 
BIEM 
Modele lineaire
ξ=1.35
ξ=4.6
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7
r
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
z
Propagation 2−1
Exp
BIEM
Modele lineaire
ξ=1.35
ξ=3.75
Figure 3: Comparaison entre profils expérimentaux et numériques pour les deux cas de propagation.
ω0 = 5.3µm et T − Tc = 3.5K (Bo = 0.015).
numériques. Nous voyons que dans le cas de propagation 1-2 (gauche), la forme de l’interface
est parfaitement prédite par le modèle, alors que dans le cas contraire (droite), la forme ex-
périmentale est plus large que la forme numérique. Ceci explique alors pourquoi h(ξ) diverge
plus précocement dans le cas numérique, car l’interface étant plus raide elle atteint plus vite
les conditions de réflexion totale. La difference de forme dans ce cas précis de propagation
pourrait alors être due à des effets volumiques de la diffusion de la lumière (Schroll et al., 2007)
quand celle-ci se refracte sur les micelles d’eau contenues dans les phases. A haute intensité
du faisceau, elle pourrait en fait induire des effets non triviaux sur la déformation de l’interface
mais ceux-ci restent encore mal compris . Comme cette force agit dans le sens de propagation
du faisceau, elle pourrait aussi expliquer les forme de tétines non prédites par le modèle actuel.
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4 Conclusions
Cette étude avait pour but de modéliser la déformation d’interface liquide-liquide par pression
de radiation optique dans le régime non-linéaire. Nous avons utilisé un modèle axisymétrique,
basé sur la méthode des élements de frontière, afin de vérifier les différences de déformation
d’interface selon le sens de propagation du faisceau. Dans le cas de propagation du milieu
le moins refringeant vers le plus refringeant, nous avons obtenu une bonne adéquation entre
hauteurs et profils d’interface prédits et observés expérimentalement, alors que dans le cas de
propagation inverse, des différences ont été observées et ont été attribuées aux effets de la dif-
fusion de la lumière dans les phases.
References
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139–142, 1973.
J. E. Bjorkholm, A. Ashkin, J. M. Dziedzic, and S. Chu. Observation of a single-beam gradient
force optical trap for dielectric particles. Opt. Lett., 11:288–290, 1986.
A. Casner and J. P. Delville. Giant deformations of a liquid-liquid interface induced by the
optical radiation pressure. Phys. Rev. Lett., 87:054503, 2001.
A. Casner and J. P. Delville. Laser-induced hydrodynamic instability of fluid interfaces. Phys.
Rev. Lett., 90:14, 2003.
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H. M. Lai, P. T. Leung, K. L. Poon, and K. Young. Electrostrictive distortion of a micrometer-
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J. A. Stratton. Electromagnetic Theory. McGraw-Hill, 1941.
J. Tanzosh, M. Manga, and H. A. Stone. Boundary integral methods for viscous free-boundary
problems : Deformation of single and multiple fluid-fluid interfaces. Boundary Element
Technology, VI:19–39, 1992.
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