L'instabilité elliptique est un phénomène tridimensionnel apparaissant dans un vortex dont les lignes de courant ont une forme elliptique. Elle est notament suceptible d'accélérer la destruction des sillages avions. Au cours de notre éude, nous avons étudié numériquement l'influence d'un écoulement axial sur la stabilité d'une paire de vortex co-rotatifs. Les taux de croissance des modes les plus instables sont calculés en fonction de l'amplitude W0 de l'écoulement axial et du nombre d'onde k des perturbations, pour un nombre de Reynolds (basé sur la circulation d'un vortex) de 14000, et pour deux tailles du coeur des tourbillons. Il a été mis en évidence l'existence de nombreuses zones instables dans l'espace W0-k. En particulier, pour une taille du coeur élevée, les paires de vortex sont instables quasiment dans l'ensemble de l'espace des paramètres, et on observe une prédominance de modes avec couche critique

HOURRIGAN, Kerry

LEWEKE, Thomas

ROY, Clément

THOMPSON, Mark

Colloque avec actes et comité de lecture. Internationale.International audienceThe elliptic instability is a 3–D phenomenon that can developp on vortex core with elliptic streamlines. It is likely to accelerate the destruction of aircraft wakes. We studied numerically the influence of an axial flow on the stability of a pair of co-rotating vortices. The growth rates of the most unstable modes were computed with a spectral element code for given values of the axial velocity W and the pertubation axial wavenumber k. The simulations were made for one Reynolds number Re = 14000 (based on the circulation of one vortex), and two vortex core sizes. Numerous instable zones were observed in the W0-k parameters space. Interestingly, for a large core size, vortex pairs are unstable in a major part of the parameters space and some critical layer modes were shown to be predominant.L'instabilité elliptique est un phénomène tridimensionnel apparaissant dans un vortex dont les lignes de courant ont une forme elliptique. Elle est notament suceptible d'accélérer la destruction des sillages avions. Au cours de notre éude, nous avons étudié numériquement l'influence d'un écoulement axial sur la stabilité d'une paire de vortex co-rotatifs. Les taux de croissance des modes les plus instables sont calculés en fonction de l'amplitude W0 de l'écoulement axial et du nombre d'onde k des perturbations, pour un nombre de Reynolds (basé sur la circulation d'un vortex) de 14000, et pour deux tailles du coeur des tourbillons. Il a été mis en évidence l'existence de nombreuses zones instables dans l'espace W0-k. En particulier, pour une taille du coeur élevée, les paires de vortex sont instables quasiment dans l'ensemble de l'espace des paramètres, et on observe une prédominance de modes avec couche critique

Roy, Clément

Thompson, Mark

Leweke, Thomas

Hourrigan, Kerry

HAL AMU

Etude numérique de l'instabilité elliptique dans une paire de vortex co-rotatifs avec écoulement axial

I-Revues

18 èmeCongrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Etude numérique de l’instabilité ellitptique dans une paire de vortex
co-rotatifs avec écoulement axial
Clément Roy1,2, Mark Thompson2, Thomas Leweke1 & Kerry Hourrigan 2
1 : IRPHE, CNRS / Universités Aix-Marseille, 49 rue F. Joliot-Curie, 13384 Marseille Cedex 13, FRANCE
2 : FLAIR, Department of Mechanical Engineering, Monash University, Melbourne, VIC 3800, AUSTRALIE
clement.roy@irphe.univ-mrs.fr
Résumé:
L’instabilité elliptique est un phénomène tridimensionnel apparaissant dans un vortex dont les lignes de courant
ont une forme elliptique. Elle est notament suceptible d’accélérer la destruction des sillages avions. Au cours de
notre éude, nous avons étudié numériquement l’influence d’un écoulement axial sur la stabilité d’une paire de
vortex co-rotatifs. Les taux de croissance des modes les plus instables sont calculés en fonction de l’amplitude
W0 de l’écoulement axial et du nombre d’onde k des perturbations, pour un nombre de Reynolds (basé sur la
circulation d’un vortex) de 14000, et pour deux tailles du cœur des tourbillons. Il a été mis en évidence l’existence
de nombreuses zones instables dans l’espace W0-k. En particulier, pour une taille du cœur élevée, les paires d
vortex sont instables quasiment dans l’ensemble de l’espace des paramètres, et on observe une prédominance de
modes avec couche critique.
Abstract :
The elliptic instability is a 3–D phenomenon that can developp n vortex core with elliptic streamlines. It is likely to
accelerate the destruction of aircraft wakes. We studied numerically the influence of an axial flow on the stability
of a pair of co-rotating vortices. The growth rates of the most unstable modes were computed with a spectral
element code for given values of the axial velocity W and the pertubation axial wavenumber k. The simulations
were made for one Reynolds number Re= 14000(based on the circulation of one vortex), and two vortex core
sizes. Numerous instable zones were observed in the W0-k parameters space. Interestingly, for a large core size,
vortex pairs are unstable in a major part of the parameters space and some critical layer modes were shown to be
predominant.
Mots-clefs :
vortex ; instabilité elliptique ;
1 Introduction
Le sillage des avions se compose d’un système de vortex. Ces tourbillons, dont la présence
est liée directement à la portance des ailes, peuvent mettreun t mps important avant de dis-
paraître. Aux environs des aéroports où la cadence de décollage est élevée, ils représentent un
danger réel pour un avion les traversant. Afin de diminuer ce risque, il est nécessaire d’accé-
lérer la destruction des tourbillons derrière un avion. L’instabilité elliptique est un phénomène
physique se présentant comme un bon candidat à la résolutionde ce problème.
L’instabilité elliptique est un processus tridimensionels développant sur un vortex dont
le cœur à une forme elliptique. Moore & Saffman (1975) et Tsai& Widnall (1976) sont les
premiers à étudier la stabilité d’un vortex dont le cœur a unetaill finie dans un champ d’éti-
rement stationnaire. Leur analyse globale a montré que les modes neutres d’un vortex sans
contrainte (modes de Kelvin) peuvent résonner avec le champd’étirement et conduire à une
instabilité à petite longueur d’onde. Plus tard, Pierrehumbert (1986) et Bayly (1986) ont utilisé
1
18 èmeCongrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
une approche locale pour prouver que les écoulements elliptiques bidimensionnels non visqueux
peuvent être déstabilisés par des perturbations tridimension elles. Ils mettent en évidence la
résonnance entre les ondes inertielles avec le champ d’étirement. Le cas d’un écoulement ellip-
tique tournant a notament été étudié par Leblanc (1997) et LeDizès (2000). Récement, Le Dizès
& Laporte (2002) ont étudié théoriquement et numériquementla stabilité d’une paire de vortex.
Ils ont identifié les modes instables. Par une analyse locale, ils ont prédit la valeur du taux de
croissance en fonction des paramètres du systèmes et de la longueur d’onde axiale. Ces résul-
tats sont en bon accord avec les résultat expérimentaux de Lew ke & Williamson (1998), pour
une paire de vortex contra-rotatifs, et Meunier & Leweke (2005), pour une paire de vortex co-
rotatifs. Lacazeet al.(2006) ont ensuite étudié l’influence d’un écoulement axialsur la stabilité
d’un vortex gaussien dans un champs d’étirement stationnaire. Ils ont mis en évidence que la
structure spatiale du mode le plus instable pour une longueur d’onde donnée dépend fortement
de l’amplitude de l’écoulement axial.
2 La Méthode
2.1 Le code à éléments spectraux
Les simulations numériques ont été réalisées en utilisant une echnique à éléments spectraux
d’ordre élevé. La méthode est décrite en détail par Thompsonet al.(1996). Le code a été utilisé
avec succès dans de nombreuses études (e.g.Thompsonet al., 1996; Sheardet al., 2005). Il a
notament été utilisé par Lacazeet al. (2006) pour calculer les taux de croissance de l’instabilité
elliptique dans une paire de tourbillons contra-rotatifs.
2.1.1 La génération de l’écoulement de base
La condition initiale est une paire de tourbillons 2–D, identiques (co-rotatifs), de circulation
Γ et de profiles de vorticité et de vitesse axial gaussiens. On intègre dans le temps les équations
de Navier–Stokes et d’incompressibilité dans le repère tournant à la vitesse de rotation de la
paire de vortex. Chaque vortex induit sur l’autre un étirement. Les lignes d’isovorticité se dé-
forment et perdent leur caractère axisymétrique pour prendre une forme elliptique au cœur du
vortex. La valeur de l’excentricité oscille au cours du temps jusqu’à ce que le vortex tende vers
un état moyen. Le Dizès & Verga (2002) ont étudié cette phase de r laxation. Ils ont montré que
l’état moyen obtenu aini ne dépend pas du type de profile de vorticité utilisé au départ, justifiant
aini l’utilisation de profiles de vorticité gaussiens. En pratique, on intègre les équations dans le
temps jusqu’à ce que l’amplitude de l’oscillation de l’excentricité devienne négligeable.
2.1.2 Les paramètres régissant le problème
Une fois la phase de relaxation terminée, on calcule les différents paramètres définissant le
système. Au cours de la phase de relaxation, sous l’action dela viscosité, la vorticité diffuse,
engendrant un agrandissement du rayon des vortex. On calcule alors le rayona en utilisant le
second moment de la vorticité :
a2 =
1
Γ
Z Z
D
[(x−xc)
2+(y−yc)
2]ω(x,y)dxdy, (1)
où ω est le champ de vorticité et(xc,yc) les coordonnées du centre du vortex. On intègre sur le
domaineD, moitié du domaine total dont une des limites est la médiatrice du segment reliant les
deux vortex. En posantb la distance entre les deux vortex, on définit ensuite le paramètre sans
2
18 èmeCongrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
dimensiona/b, caractérisant l’interaction entre les deux vortex. On utilise également le nombre
de ReynoldsRe= Γ/ν où ν est la viscosité cinématique. Un autre paramètre sans dimens on
est défini comme le rapport de la vitesse axialeW au cœur sur la vitesse azimutale (inverse du
nombre de Swirl) :W0 = 2πaW/Γ. On posek = 2πa/λ le nombre d’onde axial adimensionné
de la perturbation étudiée (λ est la longueur d’onde).
En utilisant l’écoulement de base ainsi défini, il est alors po sible de procéder à une anaylse
de stabilité.
2.1.3 L’analyse de stabilité
On pose maintenant l’hypothèse que l’échelle de temps caractéristique de l’instabilité ellip-
tique est petite devant l’echelle de temps visqueuse. Celà revient à figer l’écoulement de base
pour le rendre stationnaire. Les paramètres de l’écoulement ne varient plus. On superpose à
cet écoulement 2–D un champ de perturbations 3–D initialisépar un bruit aléatoire. On intègre
ensuite dans le temps les équations de Navier–Stokes linéarisées. Il est possible de calculer le
taux de croissance de la perturbation la plus instable en mesurant les variations d’amplitude du
champ de perturbation des vitesses au cours du temps. En pratique, il est nécessaire d’attendre
que le mode le plus instable soit suffisamment développé, c’est à dire que l’influence de tous
les autres soit négligeable.
3 Les résultats
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
W0
2π
a/
λ
3
2
1
4
5
6
7
8
10
9 11
14
13
12
FIG. 1 – Taux de croissance calculé en fonction de (W0,k) pour Re= 14000 eta/b = 0.18. Les zones
instables sont classées parW0 croissant.
Les simulations ont été effectuées poura/b= 0.14 eta/b= 0.18. Seuls les résultats obtenus
poura/b = 0.18 sont présentés dans cette section.
3
18 èmeCongrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
mode W0 2πa/λ 2π2b2ω/Γ 2π2b2σ/Γ m n
1 0 1.76 0 5.21 -1,1 1
2 0 3.12 0 4.99 -1,1 2
3 0 4.48 0 4.73 -1,1 3
4 0.04 3.76 0.59 4.50 0,2 1
5 0.08 4.32 1.13 4.25 -1,1 ?
6 0.1 2.32 0.564 4.00 -1,1 ?
7 0.14 2.88 1.17 3.81 -1,1 ?
8 0.16 4.00 1.68 3.91 -1,1 ?
9 0.28 4.32 2.84 3.33 ? ?
10 0.3 2.88 20.1 3.74 0,2 ?
11 0.46 4.78 10.0 3.03 ? ?
12 0.54 3.04 46.4 3.81 1,3 1
13 0.56 2.24 15.2 3.06 0,2 1,2
14 0.58 1.68 15.7 4.81 0,2 1
TAB . 1 – Paramètres des modes calculés poura/b = 0.18 etRe= 14000.
Dans le but de se restreindre à l’étude de l’instabilité elliptique, les simulations ont été réa-
lisées pour des valeurs deW0 inférieures à 0.6. On évite ainsi l’apparition de l’instabilité de
jet tournant succeptible de se développer dans un tourbillon dont l’amplitude de l’écoulement
axial est important (Mayer & Powell, 1992). La figure 1 montrele taux de croissance calculé
dans l’espace des paramètresW0-k. Des points intéressants sont numérotés de manière à pou-
voir s’y référer par la suite. Pour chacun de ces points, on extrait les caractéristiques du mode en
présence : le taux de croissance, la fréquence de rotation etla structure spatiale. Ces renseigne-
ments sont présentés dans le tableau 1. La structure spatiale du mode est définie par le nombre
d’onde azimutalm du champ de perturbation et le labeln des modes résonnants quantifiant la
complexité radiale du mode. On note la grande dépendance descaractéristiques du mode le plus
instable avec l’amplitude de l’écoulement axial. En effet,si, dans le cas oùW0 = 0, seule une
résonnance entre les modes principaux (de même labeln) pour lesquelsm= −1 etm= 1 peut
conduire à la perturbation la plus instable, ce n’est plus lecas dès lors queW0 augmente. En
effet, on assiste à une complexification de la structure azimutale en augmentant la vitesse axiale.
Cette complexité azimutale est visible en observant par exemple les champs de perturbation de
la vorticité des modes 2 et 10 présentés dans la figure 2. Il estégalement possible d’observer des
résonnances entres des modes de labels différents. C’est lecas par exemple du mode 13 pour
lequel le mode(m= 0,n = 1) résonne avec le mode(m= 2,n = 2).
On note une grande analogie entre les résultats présentés ici et le cas d’une paire de vor-
tex contra-rotatifs avec un champ d’étirement stationnaire étudié par Lacazet al. (2006). Les
modes obtenus se retrouvent dans l’espaceW0-k à un nombre d’onde plus petit, comme dans le
cas sans écoulement axial panalysé par Le Dizès & Laporte (2002).
On remaque que la majeure partie de l’espace des paramètres se trouve être instable. Celà
est dû au rapporta/b élevé. En augmentanta/b, on augmente le taux de croissance des modes et
on élargit les zones instables. On provoque également l’apparition de modes de couche critique.
La figure 3 présente les champs de perturabtion de la vorticité associés à quelques-uns de ces
modes. Les maxima de vorticité ne se trouvent plus dans le cœur du vortex (comme pour les
4
18 èmeCongrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
(a) 2 (b) 4 (c) 10 (d) 13
FIG. 2 – Champ de vorticité des perturbations associé à quelquesmodes de cœur de la figure 1. Les
lignes en pointillés représentent un cercle de rayona. Les niveaux des contours sont choisis symétriques
autour de la valeur nulle.
(a) 9 (b) 11
FIG. 3 – Champ de vorticité des perturbations associé à quelquesmodes de couche critique de la figure
1. Les lignes en pointillés représentent un cercle de rayona. Les niveaux des contours sont choisis
symétriques autour de la valeur nulle.
modes de cœurs présentés dans la figure 2) mais se caractérisent par la présence de structures
fines et alongées en périphérie du vortex. Il est difficile de cara tériser avec précision la struc-
ture spatiale de ces modes. On peut toutefois préciser que l’ordre de la symétrie azimutale du
champ de perturbation de la vorticité varie avec la positionradiale. On peut donc supposer que
le mécanisme de résonnance met en jeu des modes différents selon qu l’on se trouve dans le
cœur du tourbillon ou non.
4 Conclusions
Au cours de cette étude, la stabilité d’une paire de vortex co-rotatifs avec écoulement axial
à été analysée. Celà a permis de mettre en évidence des modes de l’in tabilité elliptique jamais
observés auparavant. Ces résultats peuvent servir à une étud expérimentale comme base de
recherche des modes de l’instabilité elliptique. Ce travail est actuellement en cours à l’IRPHE.
On a également localisé des modes de couche critique. Ces modes nécessitent une étude ap-
pronfondie afin de les caractériser en détail.
Références
Bayly, B. J. 1986 Three-dimensional instability of elliptical flow. Physical Revue Letters57,
2160–63.
Lacaze, L., Ryan, K. & Le Dizès, S. 2006 Elliptic instabilityin a strained Batchelor vortex.
Journal of Fluid Mechanics.
5
18 èmeCongrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007
Le Dizès, S. 2000 Three–dimensionnal stability of a multipoar vortex in a rotating flow.Physics
of Fluids12 (2762).
Le Dizès, S. & Laporte, F. 2002 Theoretical predictions for the elliptical instability in a two-
vortex flow.Journal of Fluid Mechanics471, 169–201.
Le Dizès, S. & Verga, A. 2002 Viscous interaction of two co-rotating vortices before merging.
Journal of Fluid Mechanics467, 389–410.
Leblanc, S. 1997 Stability of stagnation points in rotatingflows.Physics of Fluids9, 3566–3569.
Leweke, T. & Williamson, C. H. K. 1998 Cooperative elliptic instability of a vortex pair.Journal
of Fluid Mechanics360, 85–119.
Mayer, E. W. & Powell, K. G. 1992 Viscous and inviscid instabilities of a trailing vortex.Journal
of Fluid Mechanics245, 91–114.
Meunier, P. & Leweke, T. 2005 Elliptic instability of a co-rotating vortex pair.Journal of Fluid
Mechanics533, 125–159.
Moore, D. W. & Saffman, P. G. 1975 The instability of a straight vortex filament in a strain
field. Proceedings of the Royal Society of London A346, 413–425.
Pierrehumbert, R. T. 1986 Universal short-wave instability of two-dimensional eddies in an
inviscid fluid.Physical Revue Letters57, 2157–2159.
Sheard, G. J., Thompson, M. C., Hourigan, K. & Leweke, T. 2005The evolution of a subhar-
monic mode in a vortex street.Journal of Fluid Mechanics534, 23–38.
Thompson, M. C., Hourigan, K. & Sheridan, J. 1996 Three-dimensional instabilities in the wake
of a circular cylinder.Experimental Thermal and Fluid Science12, 190–196.
Tsai, C.-Y. & Widnall, S. E. 1976 The instability of of short waves in a straight vortex filament
in a weak externally imposed strain field.Journal of Fluids Mechanics73, 721–733.
6


https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00216053

Etude numérique de l'instabilité elliptique dans une paire de vortex co-rotatifs avec écoulement axial

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

HAL AMU

I-Revues