Dans ce travail, on se propose d'étudier numériquement un écoulement de type jet coaxial turbulent de l'air dans l'air pour des rapports des vitesses compris entre 1 et 10. 0n s'intéresse particulièrement à l'effet de ce dernier paramètre sur la structure de l'écoulement. Les équations régissant l'écoulement ont été résolues à l'aide d'un code de calcul numérique personnel basé sur une méthode aux volumes finis. Le modèle de fermeture adopté est le modèle de premier ordre k-epsilon standard. Les résultats obtenus montrent l'apparition d'une zone tourbillonnaire au voisinage de l'axe du jet pour des rapports des vitesses r égal à 3. La structure de l'écoulement dépend étroitement de la présence de ces tourbillons

BEN CHEIKH, Habib

BOURNOT, Philippe

KRIAA, Wassim

LE PALEC, Georges

MHIRI, Hatem

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique    Grenoble, 27-31 août 2007              
1 
Etude numérique de la structure et la dynamique d’un jet coaxial turbulent 
 
Habib BEN CHEIKH1*, Wassim KRIAA1, Hatem MHIRI1,  
Georges LE PALEC2 & Philippe BOURNOT2  
 
1Unité de Recherche de Thermique et Environnement, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir, 
 Route de Ouardanine, 5000 Monastir (TUNISIE) 
2Institut de Mécanique de Marseille, 60 Rue Juliot Curie, Technpole de Château-Gombert,  
13453 Marseille Cedex 13 (FRANCE)  
(*Auteur correspondant : habib_bc@yahoo.fr)  
 
Résumé : 
Dans ce travail, on se propose d’étudier numériquement un écoulement de type jet coaxial turbulent de l’air dans 
l’air pour des rapports des vitesses compris entre 1 et 10. 0n s’intéresse particulièrement à l’effet de ce dernier 
paramètre sur la structure de l’écoulement. Les équations régissant l’écoulement ont été résolues à l’aide d’un 
code de calcul numérique personnel basé sur une méthode aux volumes finis. Le modèle de fermeture adopté est le 
modèle de premier ordre k-ε standard. Les résultats obtenus montrent l’apparition d’une zone tourbillonnaire au 
voisinage de l’axe du jet pour des rapports des vitesses r≥ 3. La structure de l’écoulement dépend étroitement de 
la présence de ces tourbillons. 
Abstract: 
In this work, we propose to study numerically an air-air turbulent coaxial jet for different velocity ratios ranging 
between 1 and 10. We highlight particularly the effect of this last parameter on the flow structure.  The equations 
governing the flow were solved using a personal numerical computer code based on a finite volume method.  The 
closure model is the standard k-ε first order model.  The obtained results show the appearance of a recirculation 
zone on the jet axis starting from a velocity ratio r ≥ 3 and the flow structure depends closely on the presence of 
this zone.   
Mots-clefs :  
Jet coaxial turbulent, zone de recirculation, modèle k-ε  
1 Introduction 
Les jets turbulents coaxiaux sont largement utilisés dans plusieurs applications industrielles telles 
que les chambres de combustion des moteurs des fusées, les pompes à jet, les réservoirs de mélange, les 
brûleurs à flammes pré- mélangées, etc. 
Durant ces dernières décennies, ce type d’écoulement a suscité un intérêt accru des chercheurs. Un 
examen de la littérature révèle que plusieurs travaux ont été consacré aux expériences visant la 
caractérisation de la structure et l’instabilité de l'écoulement dans la région proche des buses.  
 L’étude expérimentale présentée par Ko et Au (1981) a permis de constater qu’un écoulement de 
type jet isotherme à deux buses coaxiales est formé de trois régions séparées: la région initiale, la région 
intermédiaire, et la zone entièrement développée. La région initiale est située entre les buses et la fin du 
cône potentiel extérieur, immédiatement en aval c’est la région intermédiaire qui s’étale jusqu’au point 
de rattachement des deux jets. A partir de ce point l’écoulement se comporte comme un jet issu d’une 
seule buse, c’est la zone entièrement développée dans laquelle les différents paramètres obéissent à des 
lois d’affinité. Ce type d’écoulement est caractérisé par la présence de deux couches de mélange: la 
couche de mélange externe contiguë à l'air extérieur et la couche de mélange interne confinée entre les 
jets central et annulaire (FIG.1). Le travail expérimental de H. Rehab et al.(1997) a permis d’identifier 
deux régimes d'écoulement selon que le rapport des vitesses r 02
01
= U
U
 est plus grand ou plus petit qu’une 
valeur critique rc comprise entre 5 et 8. Quand r < rc, le jet annulaire pince périodiquement le jet central, 
la fréquence de pincement correspond au mode du jet externe. Par contre quand r > rc le cône potentiel 
intérieur est tronqué et il est suivi d'une zone de recirculation instable. Concernant les études 
numériques sur les jets coaxiaux, elles sont beaucoup plus rares et nécessitent des investigations 
détaillées. Nikjooy et al (1989) ont confronté des résultats expérimentaux pour des jets coaxiaux libres 
18ème Congrès Français de Mécanique    Grenoble, 27-31 août 2007              
2 
avec ceux obtenus d’un calcul numérique à l’aide d’une méthode aux volumes finis et d’une 
modélisation soit de type (k-ε) soit d’un modèle algébrique au second ordre. Ces auteurs ont focalisé 
leurs discussions sur la validité des deux modèles de turbulence considérés et l’efficacité des schémas 
de discrétisation adoptés. Des jets coaxiaux air-air compressibles et turbulents pour un grand rapport des 
vitesses ont été simulés par Reynier et Ha Minh (1998), en employant la méthode des volumes finis et le 
modèle de turbulence k-ε standard.  
Dans ce travail, on se propose d’étudier un jet coaxial isotherme turbulent de l’air dans l’air, en 
utilisant une méthode aux volumes finis et un modèle de turbulence k-ε standard. La discussion porte 
sur l’effet du rapport des vitesses initiales sur la structure du jet et en particulier sur le développement 
des zones de recirculation au voisinage des buses d’éjection.  
 
2 Mise en équations 
La configuration expérimentale de Ribeiro et al (1980) est utilisée afin d’étudier un écoulement 
issu de deux buses cylindriques et coaxiales qui éjectent de l’air dans le milieu ambiant stagnant. Les 
diamètres intérieur D1int et extérieur D1ext de la buse interne valent respectivement 16.1 mm et 21.6 mm, 
alors que ceux de la buse externe valent respectivement 44.9 mm (D2int) et 50.4 (D2ext) mm (voir FIG.1).  
 
2.1 Hypothèses 
Les équations gouvernant l’écoulement sont écrites dans un système de coordonnées dont l’origine 
est située au centre de la buse interne et l’écoulement est supposé bidimensionnel. Les hypothèses 
suivantes seront aussi considérées : 
• Le fluide est incompressible 
• Le jet émis verticalement suivant x est à symétrie axiale. 
• L’écoulement est stationnaire en moyenne 
• L’écoulement est supposé turbulent pleinement développé (grands nombres de Reynolds). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   FIG. 1 – Conditions aux limites et maillage du domaine de calcul   
2.1 Système d’équations 
Les équations moyennées de l’écoulement en utilisant la décomposition de Reynolds s’écrivent 
comme suit : 
Domaine de calcul 
Buse 2 
Buse 1 
Y 
X 
X=0, Y>D2int 
0 u k ε= = =  
Frontière libre : X ≥ 0, Y = 10.D2int 
0u k ε= = =  
X= 60.D2int ≥0, Y≥0 
0∂ ∂ ∂ ∂ ε∂ ∂ ∂ ∂= = = =
u v k
y y y y
Axe de symétrie X>0, Y=0 
0   ∂ ∂ ∂ ε∂ ∂ ∂= = = =
u kv
y y y
 
60. D2int 
10
. D
2i
nt
 
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3 
0∂∂ =
i
i
u
x
                   (1)
                  
                           (2) 
 
 
Pour la fermeture du problème, on a utilisé le modèle de turbulence k-ε standard, les équations de k 
et ε s’écrivent donc comme suit : 
• L’équation de l’énergie cinétique de la turbulence k : 
( )' 'ν∂ ν ε∂ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠t ij i jj j k j juk ku u ux x x x                                 (3) 
• L’équation du taux de dissipation de l’énergie cinétique de la turbulence ε : 
( ) 2' '1 2ε ε
ε
ν∂ ε ε ε εν∂ σ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− −t ij i j
j j j j
uu u u
x x x k x k
c c                      (4) 
Avec  
2
t µν ε=
kC                                               (5) 
         2' '
3
ν δ⎛ ⎞∂∂− = + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
ji
i j t ij
j i
uuu u k
x x
                          (6) 
Les valeurs numériques standards (Hossain et al (1981)) des constantes qui  apparaissent dans ces 
équations sont les suivantes: 
Cµ=0,09          Cε1=1,44       Cε2=1,92        kσ =1          εσ =1,3                 (7) 
 
2.3 Conditions aux limites  
 Pour compléter le problème, outre les équations citées ci-dessus, il faut tenir compte des 
conditions aux limites (Voir figure 2) et celles d'émission ( 0x = ) (8). Pour un profil uniforme à la 
sortie des buses, on a pris  pour 0et v 0x = =  : 
  
2 2 2 3
1int 01 01 01
2 2 2 3
1ext 2int 02 01 02 02
1int 1ext 2int
 0 D / 2 ,  u 30 / , k 3.375 / ,   770.2 /      
  D /2 D / 2, u . ,k 3.375 / ,   430.5 /    
D /2 D / 2    D / 2 , u 0 ,k 0, 0
si y m s m s m s
si y r u m s m s
si y et si y
ε
ε
ε
− −
− −
⎧ ≤ < = = =⎪⎪ ≤ < = = =⎨⎪ ≤ < ≥ = = =⎪⎩
            (8) 
01 02etε ε  sont calculés en utilisant la relation suivante : 
3/ 2kε = A . A étant l’échelle de longueur des 
grands tourbillons porteurs d’énergie, elle est estimée par des grandeurs géométriques de type longueur 
de mélange. Pour un jet à symétrie axiale elle est estimée à la moitié du diamètre de la buse (Demuren et 
al (1987)).   
2.4 Méthode de résolution numérique  
La résolution numérique des équations associées à leurs conditions aux limites et d’émission est 
effectuée à l’aide d’un code de calcul numérique personnel basé sur une méthode aux volumes finis 
développée par Patankar (1980). L’algorithme de résolution adopté est l’algorithme SIMPLE et le 
schéma de discrétisation est centré pour les termes de convection et diffusion. Les dimensions du 
domaine d’étude suivant x et y sont respectivement 60 et 10 fois le diamètre intérieur de la buse 
extérieure D2int. Le maillage est non uniforme dans les deux directions, fortement serré prés du jet 
1 ' 'i ij i j
j i j j
u uPu u u
x x x x
∂ ∂∂ ∂ ν∂ ρ ∂ ∂ ∂
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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4 
( 210X Y −∆ = ∆ = ), plus loin, le maillage est un peu plus lâche ( 110X Y −∆ = ∆ = ). La convergence de 
la solution globale est atteinte pour une précision égale à 10-3. 
 
5 Résultats et discussion  
5.1 Validation du code et étude de la sensibilité des résultats au maillage  
Sur la figure 2, on donne l’évolution de la vitesse axiale au centre du jet pour un rapport des 
vitesses égal à 1 et pour différents maillages. On constate que les résultats obtenus concordent bien avec 
ceux expérimentaux de Ribeiro et al (1972) à partir d’une distance x/D2int égale à 10. C’est la zone 
développée du jet (Ribeiro et al (1972, 1980)). 
Dans les zones initiales et de transition une différence est observée entre nos résultats et ceux 
expérimentaux de Ribeiro et al (1980). Ceci est expliqué par le fait qu’on a utilisé dans nos calculs un 
profil de vitesse uniforme alors que Ribeiro et al ont plutôt adopté un profil d’un écoulement de tube 
pleinement développé. On note que plusieurs études antérieures (Mhiri et al (1999), Kriaa et al (2006)) 
ont montré que les profils initiaux à la sortie des buses ont un effet sur les  caractéristiques de 
l’écoulement seulement dans les zones initiale et de transition du jet. 
L’étude de la sensibilité des résultats au maillage a été aussi menée dans le but d’avoir des résultats 
indépendants du maillage. La figure 2 montre qu’à partir d’un maillage ( ) ( ), 450,150=x yN N ( XN et 
YN sont respectivement les nombres de nœuds suivant X et Y), la différence entre les résultats obtenus 
est de l’ordre de 2%. Ainsi le maillage adopté est ( ) ( ), 450, 150=x yN N . 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2 Etude  de la structure d’un jet coaxial 
La figure 3 présente les contours de la vitesse axiale du jet pour un rapport des vitesses égal à 1. 
Elle met en évidence les trois zones du jet : la zone initiale située entre les buses et la fin du cône 
potentiel de la buse extérieure, elle est caractérisée par une zone de dépression au voisinage de 
l’épaisseur de la buse intérieure. Immédiatement en aval, c’est la zone intermédiaire du jet limitée par le 
point de rattachement du jet. Cette zone met en évidence les deux couches de mélange interne et 
externe. A partir du point de rattachement l’écoulement se comporte comme un jet issu d’une seule 
buse, c’est la zone développée du jet. La figure 2 qui donne l’évolution de la vitesse au centre montre 
FIG. 2 – Evolution de la vitesse axiale 
au centre au maillage  
 
ne
 d
e 
tr
an
sit
io
n 
X
Y
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Z
on
e 
 
pl
ei
ne
m
en
t d
év
el
op
pé
e Zone  initiale 
 
 
Point de rattachement 
Zone de dépression 
Z
on
e 
  
de
 tr
an
si
tit
io
n 
FIG. 3 – Contours de la vitesse 
axiale pour un rapport des 
vitesses r=1 
1.00 5.00 10.00 30.00
0.20 
0.40 
0.60 
0.80 
1.00 
200x150 
300x150 
450x150 
600x150 
Ribeiro et al (1980) 
Albertson et al (1950) 
UC/U01 
X/D2int 
18ème Congrès Français de Mécanique    Grenoble, 27-31 août 2007              
5 
X
Y
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
X
Y
0 0.01 0.02 0.03 0.04
0
0.01
0.02
0.03
0.04
-10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
X
Y
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
-80 -40 20 60 100 140 180 220 260 300
(a) r = 1 
(c) r = 4 (d) r = 10 
X
Y
0 0.02 0.04 0.06 0.08
0
0.02
0.04
0.06
0.08
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
que dans la zone développée nos résultats concordent bien avec la corrélation de Albertson et al(1950) 
proposée pour un jet libre axisymétrique : 1
01
6.1CU X
U
−= . 
5.3 Etude des zones tourbillonnaires d’un jet coaxial  
L’analyse des contours de la vitesse axiale et des lignes de courants (figure 4)  pour différents 
rapports de vitesses (r=1, r=3, r=4 et r=10) nous a renseigné sur le développement de zones de 
dépression et recirculation. En effet, pour un rapport des vitesses égal à 1 (figure 4a), on note la 
présence d’une zone de dépression au voisinage de l’épaisseur de la buse intérieure (diminution brusque 
de la vitesse axiale qui reste toujours supérieure à 0). Cette dépression migre vers l’axe du jet lorsque le 
rapport des vitesses tend vers 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 4 – Contours de la vitesse axiale et des lignes de courant  
pour différents rapports des vitesses (r=1, r=3, r=4 et r=10) 
 
Pour des rapports des vitesses supérieurs à 3 (figure 4c et 4d), on constate le développement d’une 
zone tourbillonnaire au voisinage de l’axe du jet. La taille de cette zone de recirculation augmente en 
fonction du rapport des vitesses. 
(b) r = 3 
18ème Congrès Français de Mécanique    Grenoble, 27-31 août 2007              
6 
Sur la figure 5, on représente les contours des zones de recirculation pour des rapports des vitesses 
r≥3 (Le contour correspond aux coordonnées (X, Y) pour lesquelles la vitesse axiale est nulle 
( , ) 0U X Y = ).On note que la zone tourbillonnaire s’approche de plus en plus des buses d’éjection pour 
les grands rapports des vitesses. En effet, pour r=3 la zone de recirculation se situe au début de la zone 
de transition, plus r augmente plus ces recirculations se décalent vers les buses d’éjection et prennent 
place dans la zone initiale du jet.  
 
 
 
 
 
 
 
 
6 Conclusion 
Dans ce travail, on a étudié à l’aide d’un code de calcul personnel un écoulement de type jet 
coaxial axisymétrique en régime turbulent. La validation du code est effectuée grâce aux travaux 
expérimentaux de Ribeiro et al (1980). Les résultats obtenus montrent l’effet du rapport des vitesses 
initiales sur la structure de l’écoulement. Pour r < 3 on a constaté la présence d’une zone de dépression 
qui migre vers l’axe du jet lorsque r tend vers 3. Pour r ≥ 3  on a noté la présence d’une zone de 
recirculation  qui prend une taille plus grande et s’approche des buses d’éjection lorsque r augmente. 
Références 
M.L. ALBERTSON, Y.B.DAI, H.ROUSE, Diffusion of submerged jet, 1950, Trans. Am. Soc. Ci. Engrs.115 
M. M. RIBEIRO, 1972, Turbulent mixing of coaxial jets. Imp. College of Sc. And  Tech. University of 
London. 
M. M. RIBEIRO AND J.H.WHITELAW, 1980, Coaxial jets with and without swirl. J. Fluid Mech. vol. 96, part 
4, 769-795.  
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N.W.M. KO AND H. AU, 1981, Initial region of subsonic coaxial jets of high mean velocity ratio, Trans 
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in: W. Rodi (Ed.), Turbulent Jets and Plumes, Pergamon Press, New York, pp. 121-178.  
DEMUREN A.O., RODI W., 1987, Three numerical calculation of flow and plume spreading past cooling 
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P. REYNIER, H. HA MINH, 1998 Numerical prediction of unsteady compressible turbulent coaxial jets, 
Computers and Fluids 27, N°2, 239-254. 
H.MHIRI, S. HABLI, S. EL GOLLI, G. LE PALEC, PH. BOURNOT, 1999, Etude numérique des conditions 
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W. KRIAA, 2006, Influence d’une couverture gazeuse sur le comportement d’un écoulement de type jet, 
thèse, Université de la Méditérrannée Aix-Marseille II   
r=4 r=6 
r=10 
r=3 
FIG. 5 – Localisation des zones de 
recirculation pour différents rapports de 
vitesses   
 
r=8 


Etude numérique de la structure et la dynamique d'un jet coaxial turbulent

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/16670/1/CFM2007-1494.pdf

Etude numérique de la structure et la dynamique d'un jet coaxial turbulent

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