La vélocimétrie par imagerie de particules (PIV) a été mise en œuvre pour caractériser le comportement spatio-temporel des régimes de vortex spiral observé dans l'écoulement de Couette-Taylor. A partir des mesures de vitesses obtenues par PIV, les variations spatio-temporelles des composantes de vitesses radiale et axiale sont établies. Nous rapportons les principales caractéristiques (nombre d'onde, fréquences) ainsi que la déstabilisation de ces régimes vers des comportements désordonnés. Par ailleurs, nous décrivons le comportement observé dans les zones des défauts de spirales qui se manifestent dans l'écoulement. Une analyse fine autour de chaque défaut a été menée (profil d'amplitude, saut de phase, pinning, ...)

ABCHA, Nizar

EZERSKY, Alexander

LATRACHE, Noureddine

MUTABAZI, Innocent

NANA, Lauran

I-Revues

18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
1 
Dynamique de défauts spatiotemporels dans un motif de spirales de Taylor  
 
Nizar Abcha1, Noureddine Latrache2, Lauran Nana3, Alexander Ezersky4 & Innocent Mutabazi1 
 
1. LMPG, université du Havre 53, rue de Prony, 76058, Le Havre cedex 
2. LIME, IUT de Brest, BP 93169 Rue Kergoat, 29231 Brest Cedex  
3. Laboratoire de Mécanique, Université de Yaoundé I, B.P. 812, Yaoundé, Cameroun 
4. UMR CNRS 6143 « M2C » Université de Caen, 14000 Caen Cedex  
email : nizar.abcha@univ-lehavre.fr 
 
 
 
 
Résumé : 
 
La vélocimétrie par imagerie de particules (PIV) a été mise en œuvre pour caractériser le comportement 
spatio-temporel des régimes de vortex spiral observé dans l’écoulement de Couette-Taylor. A partir des 
mesures de vitesses obtenues par PIV, les variations spatio-temporelles des composantes de vitesses 
radiale et axiale sont établies. Nous rapportons les principales caractéristiques (nombre d’onde, 
fréquences) ainsi que la déstabilisation de ces régimes vers des comportements désordonnés. Par 
ailleurs, nous décrivons le comportement observé dans les zones des défauts de spirales qui se 
manifestent dans l’écoulement. Une analyse fine autour de chaque défaut a été menée (profil d’amplitude, 
saut de phase, pinning, …). 
 
Abstract: 
 
Particle Image Velocimetry (PIV) was implemented to characterize the space-time behavior of the spiral 
vortex flow in Couette-Taylor system. From the velocity measurements obtained by PIV, the variations 
space-time variation of the radial and axial velocities components are established. We report the 
principal characteristics (wave number, frequencies) as well as the destabilization of these modes 
towards disordered behavior. In addition, we describe the dynamics in the neighbourhood of the spiral 
defects.  
 
 
Mots-clefs :  
 
Spirale de Taylor, PIV, défaut spatiotemporel 
 
1 Introduction 
 
Le système de Couette-Taylor est composé de deux cylindres coaxiaux en rotation différentielle 
et est le siège de plusieurs modes d’instabilités (Andereck and al. (1986)). Pour de faibles 
vitesses de rotation des cylindres, on observe un écoulement purement azimutal, laminaire et 
cisaillé dans la direction radiale, appelé écoulement de Couette circulaire. Dans le cas où les 
cylindres tournent en contrarotation, l’écoulement de Couette circulaire subit une bifurcation de 
Hopf supercritique et transite vers un écoulement avec des structures tourbillonnaires, appelées 
spirales, qui s’enroulent en hélice autour du cylindre intérieur. Pour une vitesse de rotation Ωe 
du cylindre extérieur fixée, ce régime d’écoulement spiralé évolue vers des régimes plus 
complexes lorsque la vitesse de rotation Ωi du cylindre intérieur augmente. 
Si le système de Couette-Taylor est largement étudié expérimentalement, par visualisation 
(Andereck and al. (1986)), par vélocimétrie laser Doppler (W.F. Langford et al. (1988)), ou par 
vélocimétrie ultrasonore (Takeda (1999)), il existe très peu de travaux présentant des mesures 
quantitatives de vitesses par PIV (Wereley et al. (1998)). 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
2 
Nous vous présentons les principaux résultats obtenus par la technique de PIV appliquée au 
régime de spirales de Taylor. En particulier, nous avons mesuré le champ de vitesses au 
voisinage des défauts (collisions, sources). Une analyse fine autour de chaque défaut a été 
menée (profil d’amplitude, saut de phase, pinning, …).  
 Les résultats expérimentaux ont été comparés aux résultats de  résolution numérique de 
l’équation complexe de Ginzburg-Landau 1-d avec des conditions aux limites homogènes 
(Dirichlet).  Nous avons mis en évidence la génération de défauts spatiotemporels dans la région 
des paramètres où la théorie avec les conditions aux limites périodiques prédisait la stabilité. Un 
nouveau diagramme des états de l’ECGL avec des conditions aux limites homogènes a été établi 
et comparé.  
 
2 Dispositif expérimental 
 
Le dispositif expérimental comporte un cylindre intérieur de rayon a = 4 cm, un cylindre 
extérieur de rayon b = 5 cm, et de hauteur L = 45,9 cm. Le rapport des rayons est η = a/b = 0,8 
et le rapport d’aspect Γ = L/d = 45,9, où d = b - a est la taille de l’entrefer. Le cylindre extérieur 
est isolé thermiquement de l’extérieur par un bain rectangulaire en plexiglass rempli d’eau. La 
géométrie rectangulaire du bain favorise les observations optiques. Les vitesses de rotation Ωe 
et Ωi du cylindre extérieur et intérieur permettent de définir les nombres de Reynolds associés, 
respectivement Ree = Ωebd/ν et Rei = Ωiad/ν, où ν est la viscosité de l’eau. L’erreur sur les 
nombres de Reynolds est inférieure à 2%. Le fluide entre les deux cylindres est constitué d’eau 
(déminéralisée) ensemencée, pour la PIV, par des particules sphériques creuses de verre de 
diamètre moyen de 8 à 11µm avec une concentration en masse inférieure à 10-4. Le système PIV 
est constitué d’un laser Quantel Nd :YAG à double cavité (45mJ, 6ns) piloté par un contrôleur 
MasterPIV (Tecflow), l’intervalle de temps entre les pulses lasers varie de 2,5 à 32 ms, en 
fonction des valeurs des nombres de Reynolds. Les paires d’images sont collectées à une 
fréquence de 2Hz par une caméra CCD de 1034x779 pixels. Les intercorrélations entre images 
d’une même paire sont calculées avec le logiciel Corélia-V2IP avec une fenêtre d’interrogation 
de 32x32 pixels, afin d’obtenir les champs de vitesse dans le plan (r,z). A partir des champs de 
vitesse nous pouvons extraire les profils vr(z) de vitesse radiale dans la direction axiale à 
différentes position radiale. De même les profils vr(r), vz(z), vz(r) sont extraits à différentes 
positions. L’extraction de ces profils pour chaque champs de vitesse au cours du temps permet 
de former les profils spatio-temporels vr(z,t), vr(r,t), vz(z,t), vz(r,t). 
Nous avons utilisée aussi la visualisation par addition d’une suspension de 2% de Kalliroscope à 
l’eau déminéralisée. La lumière réfléchie par les paillettes est collectée le long d’un axe 
parallèle à l’axe du système par une caméra CCD linéaire. L’intensité est enregistrée sur 25 à 29 
cm de long, ce qui correspond à une résolution de 40 à 30 pixels par cm. Chaque ligne I(z) 
collectée à un temps donné est assemblée aux autres lignes acquises au cours du temps afin de 
former un diagramme spatio-temporel I(z,t). 
 
3 Résultats 
 
Nous présentons les résultats obtenus pour Ree= -299 et différentes valeurs de Rei Le mode 
critique apparaître à Rei = 201, il est constitué de motif spirales. Les champs de vitesse 
instantanés  mesurés dans le plans (r,z) sont réguliers et mettent en évidence le mouvement des 
structures tourbillonnaires, avec une alternance du sens de rotation dans la direction axiale 
(Fig.1), les champs de vorticité instantanés dans le plan (r,z) montrent que la spirale de Taylor 
est composée d’une paire de vortex se propageant autour et le long du cylindre intérieur. 
 
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
3 
I(r,t) 
r-a=10mm 
t =
 9
7.
5s
 
      (a)               (b)                    (c)                   (d)               (e)                     (f)  
        
 
 
 
 
 
 
 
                      (Fig.1)                  (Fig.2) 
Fig.1 – Champs   de vitesse et de vorticité instantanés pour 4 acquisitions (ti+1=ti+0.5s)  
Fig.2 – Profil de vitesse, vr (z) et vz(z) mesuré à r = a + 0.5d pour Rei = 201 
 
A partir des champs de vitesse, nous avons extrait les profils des vitesses vr (z), vz (z), à 
une position radiale r = a + 0.5d (Fig.2). Ils sont rendues adimensionnelles par la vitesse de 
rotation du cylindre intérieur Ωa. La position axiale z est normalisée par la taille de l'espace 
annulaire d.     
   Les diagrammes spatio-temporels des deux composantes de vitesses vr(r,t) et vz(r,t) 
(Fig.3e, 3f) montrent l'alternance régulière du sens de rotation des tourbillons, ceci confirme le 
fait que les spirales sont des ondes radiales stationnaires formées par des paires de tourbillons 
contrarotatifs. Les diagrammes de vr(z,t)  et   vz(z,t) réalisé à r=a+0.5d (Fig.3b) montrent que le 
premier mode d'instabilité se manifeste sous forme d'un motif de spirales se propageant à droite 
dans la direction axiale. A partir du diagramme de v_r(z,t) à r=a+0.5d, la périodicité spatiale et 
temporelle de la spirale ont été mesurée. La fréquence adimensionnée est  f* = f.d ²/ ν = 5.2 
tandis que le nombre d'onde axial vaut 0,3 rad.mm-1.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.3 – a) I(z,t),  b) vr(z,t),  c) vz(z,t), d) I(r,t), e) vr(r,t)  et f)  vz(r,t) pour Rei = 201  
 
3.1 Défauts spatiotemporels : motif des spirales obtenu par visualisation à l'aide des 
paillettes de Kalliroscope 
 
 Pour Rei>343 et Ree= -622, la source entre les deux spirales devient très faible et disparaît de 
l'écoulement, ce qui permet aux spirales d'interférer dans ce petit espace Fig.4. Ce motif possède 
des zones d'interpénétrations où on a coexistence de deux ondes gauche et droite et zones sans 
interpénétration avec une seule onde. Ces spirales subissent une instabilité d'Ekhaus-Benjamin-
Feir qui se manifeste par l'appariation des défauts ponctuels de phase dans le motif sous forme 
de dislocation ou collision entre deux spirales (C. Hoffman et al. (2000 et 2005)) Fig.4. Pour 
étudier la dynamique de défaut dans le motif des spirales, nous suivons l'évolution des 
propriétés spatiotemporelles comme la phase, l'amplitude, la fréquence et le nombre d'onde 
autour d'un défaut. Dans la Fig.4 nous présentons les deux premières grandeurs autour de deux 
défauts dans la région où la propagation de la spirale droite est plus dominante que la spirale 
gauche. Nous avons utilisé le procédé de démodulation pour obtenir l'amplitude complexe A (x, 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
4 
0
50
100
150
200
250
0 1 2 3 4 5 6 7 8
z(cm)
|A
|
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6 7 8
z(cm)
Ph
as
e
t=13.4s
t=13.8s
 
(a) (b)
t) du champ I d'intensité I(x,t) = A(x,t) exp (i (ωdt- kdx))+c.c. Le champ d'amplitude de |A  (x, t) | 
et de la phase Arg(A (x, t)) pour le défaut illustrés sur la Fig.6 À proximité des défauts, la phase 
présente un saut de π, comme l'amplitude subit une dépression représentée par le spot noire dans 
diagramme spatio-temporel. Pour extraire plus d'information sur la dynamique de défaut à partir 
des diagrammes spatio-temporels d’amplitude et de la phase, nous présentons dans la Fig.5a le 
profil spatiale de l’amplitude à travers le défaut où elle atteint zéro au cœur de défaut (N. 
Latrache (2005), P. Bot et al. (2000)). Sur  la Fig.5b un exemple de deux profils de la phase 
dans l’espace avant et après le coeur du défaut dans un intervalle du temps de 0.4s. Ce profil de 
la phase montre clairement le saut du π dans la Fig.4c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.4 - a) spirale interpénétrant droite aux voisinage des défauts  b) amplitude, c) phase. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.5 – Profils  spatiaux de l’amplitude à travers et de la phase avant et après le coeur du défaut. 
 
3.2 Mesure PIV au voisinage d’un défaut 
 
 Nous rapportons maintenant, le comportement observé dans les zones de défauts de spirales 
dans l'écoulement pour Rei = 227, en mesurant les champs de vitesse. Les  diagrammes spatio-
temporels des composantes radiale et axiale dans le plan (z,t), rapportés Fig.6a, présentent un 
défaut vers t=42s. On note que la composante radiale s'annule pour t=42 s à z=12 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       a)  vr(z,t)  et   vz(z,t)                 b)  vr(r,t)  et   vz(r,t) 
Fig.6 – Diagrammes  spatio-temporels au voisinage d’un défaut Rei = 227 
∆z = 11.5cm 
∆t 
= 
35
s 
∆z = 7.8cm 
∆t 
= 
35
s 
∆z = 7.8cm 
∆t 
= 
35
s 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
5 
(a) (b) (c)
Ceci se confirme sur l'ensemble de l'entrefer sur le diagramme vr(r,t) et vz(r,t) pris à z=12 mm, 
rapporté Fig.6b. On remarque en effet des valeurs particulièrement faibles autour de t=42 s, 
entre deux structures tourbillonnaires présentant un écoulement radial rentrant. Ceci est mis en 
évidence par l'évolution de deux composantes de vitesses au cours de temps, où ils s'annulent à 
travers le défaut. Nous avons ensuite, concentré notre attention sur les comportements 
spatiotemporels de deux composantes de vitesses à travers le défaut. Pour cela nous avons tracé 
sur la Fig.7a l’évolution temporelle de la vitesse radiale et axiale. Elles évoluent selon une loi 
parabolique avec une tangente horizontale au cœur de défaut. Dans l’espace les deux 
composantes des vitesses se comportent varient selon une fonction linéaire  avec la taille de 
défauts Fig.7b et 7c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.7 – Evolution temporelle et spatial de deux composantes de vitesses vr(t) et vz(t), Rei = 201 
 
 
4. Discussion   
 
La dynamique des ondes spiralées peut être régie par l’équation de Ginzburg-Landau 
complexe (CGL).  
 
(1)                     ; AA)ci-(1- 
x
A)ci(1A  
x
AV  
t
A 2
32
2
1 ∂
∂++=∂
∂+∂
∂ ε      
 
Le profil de la phase dans l'espace avant et après le noyau d'un défaut, montre que les 
trous observés dans des spirales interpénétrantes sont semblables aux trous type « van Hecke » 
(M. van Hecke et al. (2001)). 
Nous avons intégré numériquement cette équation (1) en utilisant le schéma des 
différences finies sur l’espace et l’algorithme de Runge-Kutta du quatrième ordre  dans le 
temps, avec les conditions aux limites homogène (<A(0) = A(L) > =0). Nous présentons sur la 
Fig.8a le diagramme spatio-temporel de la partie réelle d’amplitude A. 
Au voisinage d’un défaut nous avons cherché une solution approchée de l'équation 
Ginzburg-Landau (1)  sous la forme: )(),( itxtxA +≅  où x=0, t=0 correspondent à la position du 
défaut. Ensuite par démodulation complexe, nous avons construit le champ connu par le modèle 
de pinning:   
)(*)( kxtikxti eAAeU −−− += ωω  
 
où la partie réelle du champ ),( txU  est :    )cos(2)sin(2)(Re kxtxkxttu −+−−= ωω  
Nous présentant sur la Fig.8b le diagramme spatio-temporel de la partie réelle où du paramètre 
d’ordre A avec un défaut topologique.  
 
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 
6 
b) Re u(x,t) a) Re u(x,t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.8 – (a) diagramme  spatio-temporel Re u(x,t) c1=0.5; c3=-2; ε=0.5 et  V=-1 
(b)  diagramme spatio-temporel de la partie réelle Re u(x,t), w=0.1 et k=0.01 
 
Tous d'abord pour étudier les comportements spatiotemporels observés à travers  ce défaut, nous 
avons tracé sur la Fig.9 le profil spatial et temporel à x=0, t=0 correspondant à la position du 
défaut : à x = 0  ttu ωsin2)Re( −=    et   à t = 0   kxxu cos2)Re( =   
Le profil spatial du champ réel ),( txU montre que la partie réelle varie de façon linéaire à 
travers le défaut pour t=0 où elle s’annule à x =0, contrairement au profil temporel qui varie 
selon une loi parabolique avec une tangente horizontale à x=0.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.9 – Profils spatial et temporel du champ réel Re u(x,t)à travers le défaut à x = 0, t = 0 
 
Références  
 
Andereck C.D., Liu S.S. & Swinney H.L. 1986 Flow regimes in a circular Couette system with 
independently rotating cylinders. J. Fluid Mech. 164: 155-183. 
Langford W.F., Golubitsky M., Tagg R., kostelich E.J., & Swinney H.L., 1988 Primary 
instabilities and bicriticality in flow between counter-rotating cylinders, Phys. Fluids, 31, 776. 
Takeda Y., 1999 Quasi-periodic state and transition to turbulence in a rotating Couette system, 
J. Fluid Mech., 389, 81-99. 
Wereley S.T., Lueptow R.M., 1998 Spatio-temporal character of nonwavy and wavy Taylor-
Couette flow, J.Fluid Mech., 364, 59-80. 
Hoffmann C., Lücke M. & Pinter A., 2005 Spiral vortices traveling between two rotating 
defects in the Taylor-Couette system Phys. Rev. E 72 056311.  
Hoffman C. & Lüke M., 2000 Spiral vortices and Taylor vortices in the annulus between couter-
rotating cylinders, Physics of Rotating Fluids, Lectures Notes in Physics 549, Springer Berlin. 
N. Latrache, 2005 Etude des instabilités de liquides newtoniens ou viscoélastiques dans le 
système de Couette-Taylor, Thèse de doctorat de l’université du Havre. 
Bot P. & Mutabazi I., 2000 Dynamics of spatio-temporal defects in the Taylor-Dean system, 
Eur Phys.J. B, 13, 141-155.  
Van Hecke M. & Howard M., 2001 Ordered and self-disordered dynamics of holes and defects 
in the one-dimensional complex Ginzburg-Landau equation, Phys.Rev. Lett.  


Dynamique de défauts spatiotemporels dans un motif de spirales de Taylor

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

I-Revues